26.2.2 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第2课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=a(x-h)^2\)的图象和性质，通过温故知新复习\(y=ax^2+k\)的特征及平移关系，以“能否由\(y=ax^2\)平移得到”的问题搭建支架，衔接新旧知识。 其亮点在于通过列表描点画图、对比表格归纳性质，培养学生几何直观与推理意识。如探究环节让学生动手绘制函数图象，课堂练习设计平移应用与变式训练，助力学生深化理解，教师可借此提升教学效率。

26.2 二次函数的图象和性质 第二十六章 二次函数 人教版九年级上册 26.2.2 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第2课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质 1.说说二次函数y=ax2+k的图象的特征. y=ax2+k a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k<0 a<0，k>0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 向上 y轴（直线x=0） （0,k） 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大. x=0时，y最小值=k 向下 y轴（直线x=0） （0,k） 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小. x=0时，y最大值=k 温故知新 2.二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象有何关系？ y=ax2 顶点(0, 0) y=ax2+k 顶点(0, k) 当k>0时， 向上平移k个单位长度得到 当k<0时， 向下平移∣k∣个单位长度得到 思考：二次函数y=a(x-h)2的图象，能否也可以由函数y=ax2平移得到？ 探究：在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y=-(x+1)2， y=- (x-1)2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 解：先分别列表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y=- (x+1)2 … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y=- (x-1)2 … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … 探索新知 y=- x2 y=- (x+1)2 y=- (x-1)2 描点、连线，画出这两个函数的图象. y=- x2 y=- (x+1)2 y=- (x-1)2 y=- x2 y=- (x+1)2 y=- (x-1)2 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 y轴 （0,0） 向下 直线x=-1 （-1,0） 向下 直线x=1 （1,0） x=-1 x=1 思考：抛物线y=- (x+1)2，y=- (x-1)2与抛物线y=- x2有什么关系？ ①开口方向和大小相同； ②顶点纵坐标相同； ③对称轴不同. y=- x2 y=- (x+1)2 y=- (x-1)2 y=- x2 y=- (x+1)2 向左平移 1个单位长度 y=- x2 y=- (x-1)2 向右平移 1个单位长度 x=1 思考：抛物线y=- (x+1)2，y=- (x-1)2与抛物线y=- x2有什么关系？ x=-1 归纳：抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2有什么关系？ y=ax2 对称轴：y轴 顶点(0, 0) y=a(x-h)2 对称轴：x=h 顶点(h, 0) 当h>0时， 向右平移h个单位长度得到 当h<0时， 向左平移∣h∣个单位长度得到 左右平移规律：括号内左加右减. 思考：你能归纳二次函数y=a(x-h)2 的图象特征和性质吗? y=- x2 y=- (x-1)2 x=-1 x=1 y=- (x+1)2 二次函数y=a(x-h)2的图象特征和性质 y=a(x-h)2 a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大. 向上 直线x=h （h,0） x=h时，y最小值=0 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小. 向下 直线x=h （h,0） x=h时，y最大值=0 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y= x2，y= (x+2)2 ，y= (x-2)2 . 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况. 解：图象如图. y O x y= x2 2 -2 y= (x-2)2 y= (x+2)2 对应练习 y O x y= x2 2 -2 y= (x-2)2 y= (x+2)2 y=x2开口向上，对称轴为x=0，顶点坐标为(0,0).当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大. y=(x+2)2开口向上，对称轴为x=-2，顶点坐标为(-2,0).当x<-2时，y随x的增大而减小，当x>-2时，y随x的增大而增大. y=(x-2)2开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,0).当x<2时，y随x的增大而减小，当x>2时，y随x的增大而增大. 把抛物线y=x2向左平移2个单位长度，就得到抛物线y=(x+2)2；把抛物线y=x2向右平移2个单位长度，就得到抛物线y=(x-2)2. 二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质 图象 1.开口方向由a的符号决定； 2.顶点坐标是(h, 0)； 3.对称轴是直线x=h. 性质 与y=ax2的关系 平移规律： 左加右减. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 课堂小结 1.在平面直角坐标系中，二次函数y＝(x－3)2的图象大致是( ) D A　 B　 C　 D 课堂练习 A.m＜－2 B.m＞－3 C.－3＜m＜－2 D.－2＜m＜0 2.[易错题]若关于x的二次函数y＝(m＋2)(x－m)2的图象如图所示，则m的取值范围是( ) C 3.填写下表： 抛物线 对称轴 顶点坐标 最值 y＝(x＋3)2 y＝－(x－1)2 y＝(x－2)2 y＝－(x＋2)2 直线x＝－3 (－3，0) y＝0 直线x＝1 (1，0) y＝0 直线x＝2 (2，0) y＝0 直线x＝－2 (－2，0) y＝0 4.若抛物线y＝2(x－b)2的顶点在x轴的正半轴上，则b的值可以为　 　.(任写一个即可)  　1(答案不唯一，满足b＞0即可)　 5.已知二次函数y＝－(x＋2)2. (1)完成下表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； x … －4 －3 －2 －1 0 … y … －4 －1 … (2)该函数图象的顶点坐标为　 　； 解：(1)图略. 0 －1 －4 (－2，0) (3)结合图象，请直接写出当y随x的增大而减小时x的取值范围. (3)x＞－2. 6.[与T11互为孪生题]将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位长度，得到的二次函数的解析式是( ) A.y＝(x＋2)2 B.y＝(x－2)2 C.y＝x2＋2 D.y＝x2－2 B 7.若抛物线y＝a(x－h)2是由y＝－x2向左平移2个单位长 度得到的，则a＝　 ，h＝　 　.  －　 －2 8.将抛物线y＝2x2沿x轴向右平移3个单位长度，求平移后的抛物线与坐标轴的交点坐标. 解：根据平移规律，抛物线y＝2x2沿x轴向右平移3个单位长度得到新抛物线y＝2(x－3)2. 平移后的抛物线与x轴的交点坐标为(3，0)，与y轴的交点坐标为(0，18). 9.已知抛物线y＝－(x＋3)2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＞x2＞－2，则下列结论正确的是( ) A.y1＜y2＜0 B.y2＜y1＜0 C.0＜y1＜y2 D.y1＜0＜y2 A 点在对称轴同侧→点在对称轴异侧 (1)已知点A(5，y1)，B(－3，y2)都在抛物线y＝3(x－2)2上，则y1与y2的大小关系是　 　.(用“＞”连接)  (2)已知点A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(3，y3)在抛物线y＝－2(x＋2)2上，则y1，y2，y3的大小关系为_________.(用“＞”连接)  y2＞y1＞y3 　y2＞y1　 C D A B 10.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致为( ) B 11.[与T6互为孪生题]在平面直角坐标系中，若抛物线y＝2x2＋1不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标系中，该抛物线的解析式为 .  y＝2(x＋1)2 12.如图，在平面直角坐标系中有两条抛物线，其顶点P，Q均在x轴上，且有一条水平线与两抛物线相交于点A，B，C，D.若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长为　 　.  　8　 13.已知抛物线y＝a(x－h)2与y＝6(x＋1)2的对称轴相同，且抛物线y＝a(x－h)2经过点(2，3). (1)求a，h的值； (2)若某抛物线与已知抛物线y＝6(x＋1)2关于坐标原点对称，求该抛物线的解析式. 解：(1)由题可得h＝－1，∴y＝a(x＋1)2， 把点(2，3)代入，得9a＝3，解得a＝. (2)y＝－6(x－1)2. 14.把二次函数y＝x2－2的图象先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度. (1)请直接写出平移后所得图象的函数解析式； 解：(1)y＝(x－4)2. (2)若(1)中所求得的函数图象的顶点为C，并与一次函数y＝x的图象交于A，B两点(点A在点B左侧)，求△ABC的面积. (2)由(1)知顶点C的坐标是(4，0). 联立解得 ∴点A(2，2)，点B(8，8)， ∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝×4×8－×4×2＝12. $