广东省广州市培英中学2025-2026学年高一下学期（港澳）期中考试数学试题

广州市培英中学2025学年第二学期港澳高一期中考试（数学) 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案： 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考试必须保持答题卡的整洁。考试结束后，答题卡一并交回。 一、单选题（共40分） 1.(本题5分)如图所示，已知在△ABC中，D是线段AB上的靠近A的三等分点，则CD=() A.BC-BA B.-BC+BA C.-BC-BA D.BC+BA 2.(本题5分)已知复数z满足名=2，则z的共轭复数对应的点位于复平面的() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D,第四象限 3.(本题5分)△ABC中，三个内角4，B,C的对边分别为a,b,c.已知A=平a=V2, b=√3，则B的大小为() A.君 B.号 C. D.或号 4.(本题5分)在楼长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CD的中点，则点B到平 面A1AB的距离是() A. B.6/5 5 c.5 D.2W5 5.(本题5分)已知非零向量d与的夹角为60°，且=1，=2，则2a+=() A.2V2 B.2W3 C.4 D.12 6.(本题5分)设d=(1,2),=(1,m).若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是（) A.(G+∞) B.（-o, c.(-2+) D.（-o,- 试卷第1页，共3页 7.(本题5分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1,D,E,F 分别是棱AB,A1B1,AC的中点，则异面直线DB1与EF所成角的余弦值是() C A. B.号 c. D品 &.(本题5分)在△ABC中，A正=AE,A=AC,P在射线BF上，且满足A正=A正+mBC, 则实数m的值为（) A.是 B.号 C. D. 二、多选题（共18分） 9.(本题6分)已知1为虚数单位，以下四个说法中正确的是（) A.i+2+i3+4=0 B.3+1>1-1 C.若z=(1+2)2,则复数z对应的点位于第四象限 D.已知复数z满足引z一2i=3,则z在复平面内对应的点的轨迹为圆 10.(本题6分)已知两条不同的直线影，m,两个不同的平面%，B,则下列说法正确的是（) A.m/儿，//a,则m/a或mce B.U//B,m//B,Ica,mca,a//B C.I/m,lca,mcB,则al/B D.U//B,m//B,Ica,mca,Inm=M,a//B 11.（本题6分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,以下说法中正确的是（) A.若A>B,则sinA>sinB B.若a=4,b=5,c=6,则△ABC为钝角三角形 C.若acosA:=bcosB,则△ABC一定是等腰三角形 D.若a=5,b=10,A=牙，则符合条件的三角形不存在 试卷第2页，共3页 三、填空题（共15分） 12.（本题5分)如图，在测量河对岸的塔高AB时，可以选 取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得 CD=20m,∠CBD=45°；∠CDB=60°，且在点C测得塔顶 A的仰角为30°，则AB=m 13.(本题5分)如图，△0AB是水平放置的△OAB的直观 图，A0'=6,B0'=2,则△0AB的面积是一、 不y 2 -6 B A 14.(本题5分)一个圆锥母线长为V6,侧面积3√2元，则这个圆锥的外接球体积为 四、解答题（共77分） 15.(本题13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2a一b)·cosC=c·cosB. (1)求角C的大小； (2)若c=4,△ABC的面积为4V3,求该三角形的周长. 16.（本题15分)如图，A,B是海上相距30+10V3海里的两个 北 A 观测塔，B位于A的正南方向.A观测塔发现其南偏东30°方向C处有 东 一艘轮船发出求救信号，同时，B观测塔也发现其北偏东45°方向 上C处发出求救信号.此时位于A观测塔南偏西30°方向且与A相距 403海里的D处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. D (1)求C处到A观测塔的距离： (2)D处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往C处救援？至少航行多长时间才能到 达C处？ 试卷第3页，共3页 17.(本题15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD, AB/CD,CD=2AB,AB⊥AD,E,F分别是CD和PC的中点， (1)证明：AB⊥PD; (2)证明：平面BEF/平面PAD. 18.（本题17分)已知a=(1,1),b=(0,-2). (1)若a-6与a+2共线，求k的值： (2)若3a-k6与3a+的夹角为90°，求k的值： (3)求向量a和向量的夹角，并求出向量在向量6上的投影向量. 19.(本题17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4,AB=2,PA⊥ 平面ABCD,且M是PD的中点. (I)求证：AM⊥平面PCD; (2)求异面直线CD与BM所成角的正切值； (3)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值， M B 试卷第4页，共1页