精品解析：广东广州科学城中学2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试题

广州科学城中学2025学年第二学期期中质量监测 高一数学科试题卷 命题人：吴乐宜 审校人：龙晓禹 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知点在所在平面内，满足，则点是的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心 2. 已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A. B. C. D. 12 4. 已知三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 位于某海域的甲船获悉，在其北偏西45°方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东15°方向行驶，发现该灯塔位于甲船的正西方，那么此时甲船距离该灯塔（ ） A. B. C. D. 6. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，的角平分线交于D，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 8. 如图，在平面四边形中，，，，，，点是线段上的一点，且，点是线段上的一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 如图是一个正方体的展开图，则在这个正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 与平行 B. 与是异面直线 C. 与相交 D. 与是异面直线 10. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. B. z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C. 若复数满足，则 D. 若，则 11. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，则 C. 若中C为钝角，则 D. 若，，，则解的个数为2 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为________． 13. 底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面积为______，侧面展开图中扇形的中心角为______（弧度制表示）. 14. 在中，，，点M在的内部，若，则的面积是________． 四、解答题（共77分） 15. 已知的内角所对的边长分别为，. （1）求角的大小； （2）求的值和的面积． 16. 已知向量，满足，向量的夹角为60°． （1）求的值； （2）求； （3）求向量与的夹角的余弦值． 17. 如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 18. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围. 19. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作，关于复向量的有关运算，现定义如下：两个复向量，的积记作，定义为，其中，分别为，的共轭复数，显然两个复向量的积也为复数．复向量的模定义为，与的夹角记作，则，若复向量与满足，则称复向量与平行．定义以复向量，为“邻边”的“平行四边形”的面积为．记i为虚数单位．设复向量． （1）若复向量，求； （2）若复向量，且与平行，求z； （3）若复向量，其中m，，且．试问对于满足条件的任意实数m，n，是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州科学城中学2025学年第二学期期中质量监测 高一数学科试题卷 命题人：吴乐宜 审校人：龙晓禹 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知点在所在平面内，满足，则点是的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到的距离相等可得答案. 【详解】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A 2. 已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的除法，求出复数，再求共轭复数，然后判定所在象限. 【详解】由题意知，，则， 故复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 3. 如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A. B. C. D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】由题可作出如图所示： 由题意，，，， 则， 故的周长为. 4. 已知三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，， 由.故D正确. 5. 位于某海域的甲船获悉，在其北偏西45°方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东15°方向行驶，发现该灯塔位于甲船的正西方，那么此时甲船距离该灯塔（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意画出图形，结合正弦定理即可求解. 【详解】 设甲船初始位置为，航行后位置为，灯塔为， 由题意， 航行后灯塔在正西方，结合方位关系可得， 根据正弦定理， 代入已知值：，  因此此时甲船距离灯塔. 6. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可． 【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为， 由，可得，解得. 7. 在中，，，，的角平分线交于D，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理得到，再根据即可求出答案. 【详解】 由余弦定理可得，， 即， 因为，解得， 由可得， ， 解得． 8. 如图，在平面四边形中，，，，，，点是线段上的一点，且，点是线段上的一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理求解的长度，进而可求得，，是等边三角形，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】以为原点，所在的直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 连接，在中，由余弦定理得：， 则，所以，所以，而，所以，连接，在中， 由余弦定理得：， 则，所以，所以， 在中，，所以是等边三角形， 所以，所以， 设，令，则， 即，所以， 所以， 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为12， 所以的取值范围为. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 如图是一个正方体的展开图，则在这个正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 与平行 B. 与是异面直线 C. 与相交 D. 与是异面直线 【答案】ABD 【解析】 【分析】把平面图还原正方体，由正方体的结构特征逐一判断即可. 【详解】把正方体的平面展开图还原原正方体如图， 在正方体中，与平行，故A正确；由异面直线定义可得，与是异面直线，故B正确； 与是异面直线，故C错误；由异面直线定义可得，与是异面直线，故D正确； 故选：ABD. 10. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. B. z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C. 若复数满足，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，复数的共轭复数为， ，A错误； 对于B，复数对应点， 其共轭复数对应点，两点关于实轴（轴）对称，正确； 对于C，由已知的解为，， 因此由 不能推出 ，C错误； 对于D，表示以点为圆心、半径为1的圆，圆心到原点的距离为， 因此圆上的点到原点的距离最小值为，最大值为， 即，D正确. 11. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，则 C. 若中C为钝角，则 D. 若，，，则解的个数为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题可得，据此可判断选项正误；对于B，由余弦定理可得，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由正弦函数单调性可判断选项正误；对于D，由正弦定理可得，然后由可判断选项正误. 【详解】对于A，， 则，因A，B为三角形内角，则， 从而，则为等腰三角形，故A正确； 对于B，，由余弦定理， ，故B正确； 对于C，因C为钝角，则. 则，因正弦函数在上递增， 则，故C错误； 对于D，由正弦定理， 因，且，则， 使，即解的个数为2，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】借助投影向量定义计算即可得. 【详解】， 则向量在向量方向上的投影向量的坐标为. 13. 底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面积为______，侧面展开图中扇形的中心角为______（弧度制表示）. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】第一空，由圆锥的侧面积公式求解；第二空，由弧长公式求解． 【详解】圆锥的侧面积为； 设侧面展开图中扇形的中心角为， 由题意可得：，解得， 所以侧面展开图中扇形的中心角为. 14. 在中，，，点M在的内部，若，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】借助数量积公式计算可得，再利用同角三角函数基本关系计算可得，即可借助面积公式计算出，利用平面向量线性运算法则可得点位置，则可得与比例，即可得解. 【详解】由，则， ， 则， 取中点，由，则， 则，则为靠近点的三等分点， 则 四、解答题（共77分） 15. 已知的内角所对的边长分别为，. （1）求角的大小； （2）求的值和的面积． 【答案】（1） （2），的面积为 【解析】 【小问1详解】 已知在中，，，。 由余弦定理，代入边长得： 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，得： . 的面积，代入得：. 16. 已知向量，满足，向量的夹角为60°． （1）求的值； （2）求； （3）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积运算律求解即可； （2）根据平面向量模长公式及数量积运算律求解即可； （3）根据平面向量的夹角和模长公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 则； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 由已知，， 则向量与的夹角的余弦值为． 17. 如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）由直三棱柱性质可得，， 由D，E分别是，的中点，则，， 则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到四边形是平行四边形，从而，再利用线面平行的判定定理证明； （2）由面，再利用等体积法，由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 等腰中，，从而， 所以， 由面，且 所以，               又因为， 所以三棱锥的体积为. 18. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【小问1详解】 在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； 【小问2详解】 因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. 【小问3详解】 由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 19. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作，关于复向量的有关运算，现定义如下：两个复向量，的积记作，定义为，其中，分别为，的共轭复数，显然两个复向量的积也为复数．复向量的模定义为，与的夹角记作，则，若复向量与满足，则称复向量与平行．定义以复向量，为“邻边”的“平行四边形”的面积为．记i为虚数单位．设复向量． （1）若复向量，求； （2）若复向量，且与平行，求z； （3）若复向量，其中m，，且．试问对于满足条件的任意实数m，n，是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值且该定值为. 【解析】 【分析】（1）直接套用题目定义的复向量内积公式，先求出两个分量的共轭复数，再代入的分量展开计算，利用化简得到结果； （2）根据题目定义的平行条件，将设为的复数倍数，通过分量对应相等求出复数系数，再代入计算得到的值； （3）先利用复向量模的定义，结合求出与，再计算内积并求出其模长，进而由夹角公式得到，再求出，最后代入面积公式验证结果为定值. 【小问1详解】 由题意得； 【小问2详解】 设， 则， 得， 又， ， 若与平行，则，即， 整理得，所以，， 所以； 【小问3详解】 设与的夹角为，则 ， 由题意知， ，， 所以，所以， 因为，所以， 即是定值，且该定值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $