考点7：函数的零点与方程（三大题型21题）导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理函数零点与方程核心考点，涵盖零点概念、方程根关系、零点存在性定理及二次函数零点特征，按基础理解、参数问题、综合应用三个层次构建知识网络，通过问题链设计和任务驱动引导学生自主关联函数图象与方程解，形成从概念到综合应用的认知框架。 亮点在于诊断性自测与分层学习设计，开篇设置2026年高考真题及基础题型诊断题，学生可根据错题匹配基础巩固或综合提升路径，每个题型模块配有方法指导与反思总结表，培养数学思维与数学语言表达能力，助力学生自主构建解题策略，教师能依据学情实施精准指导，提升备考实效。

2027届高考数学一轮复习·专项训练学案 考点7 函数的零点与方程 考情分析 新高考对知识的考查要求：结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系；结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理。纵观近三年的新高考试题难度很大，经常压轴出现。经常以求参数的形式出现，做法跨度大，经常结合导数构造等知识点，综合性很强。可以预测2027年新高考命题方向将继续以非常综合灵活的方式出现。 1.函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数，把使的实数叫做函数的零点. (2)函数零点与方程根的关系 方程有实数根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点. (3)零点存在性定理 如果函数满足：①在区间上的图象是连续不断的一条曲线；②；则函数在内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. (4)函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. 2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 1.（2026·新高考Ⅱ卷高考真题第13题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】设，那么设，则，由于在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减，在上单调递增，且，根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 2.（2026·天津高考真题第15题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值 ②，有3个解； ③，时，有最大值； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【解析】由题意，①在中，，，，函数为偶函数， 在中，，∴函数单调递增， ∵，∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在处取最小值，， 在中，，为偶函数， 当在内有零点时， 即，，使得， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ，，， ∵， ∴， ∴在和处取最小值，， 在处取最大值， 当在内无零点时，， 在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得最小值，， 在处取得最大值，， 故①正确； ②同①可得推广结论，在中，， ，为偶函数， 即，，使得，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ∴在和处取极小值， 当时，，，， ∵在上单调递减，， ∴，使得， ∵在上单调递增，， ∴，使得， ∴当时，， ∴，有3解， 故②正确； ③当时，，，， 由①可得，在上单调递增， ∵，， ∴，使得， ∴在中，， 此时在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取最大值， ③正确； ④由②可得，在中，，此时在，上单调递减，在，上单调递增，在中，， ，开口向上，∴函数，即恒成立，∴∴在下方，∵，∴在轴上方，此时与有4个交点， 故④正确. 3.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第6题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为， 则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 题型一：函数的零点 题型分析：基础题型，重点考查零点定义、零点存在性定理的理解与简单应用。 1.（2026届·上海徐汇区· 第二学期诊断）函数的零点是__________. 【答案】0 【解析】令，即，解得，所以函数的零点是0. 2.（2026届·吉林长春·一模）已知，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以. 故选：C. 3.（2026届·安徽合肥·三模）已知函数的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（    ） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 【答案】D 【解析】 因为函数的图象是连续不间断的,且 所以根据零点存在性定理,函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由,得函数在区间上至少存在一个零点； 由,得函数在区间上至少存在一个零点. 但不能判断函数在其它区间上是否有零点. 因此，函数在区间上至少存在3个零点. 故选：D. 4.（2026届·天津部分区·二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】定义域为，， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 其中，故，，， 由零点存在性定理可得函数的一个零点所在区间为， 其他选项均错误. 故选：C. 5.（2026届· 江西九江· 二模）定义在上的函数满足：①对任意都有；②，则函数零点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】的零点即为的解， 而的函数值为整数，故或，其中， 由可得，且， 若为正整数，则， 若，则； 若为负整数，设，则为正整数， 则， 综上，当为整数时，总有，故，故； 由可得，同理可得， 故，所以，故， 而为整数，故与不相等， 故函数的零点个数为. 题型二：函数零点有关参数问题 题型分析：数形结合，零点问题转化为图像交点问题，常用解题手段 ①参变分离②分类讨论参数③复合函数零点换元④利用奇偶性、周期性简化图像。 1.（2026届·辽宁鞍山·5月检测）定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知满足， 且函数为偶函数， 所以， 令， 所以函数是周期为的周期函数. 又因为与函数都是偶函数，由对称性可知 由于关于的方程至少有8个实数解， 故当时，与至少有个交点. 函数与图象如图所示. 由图可知：当时，只需，解得 ， 当时，只需，解得， 当时，显然符合题意. 综上所述：. 故选：D. 2.（2026届·江西赣州· 摸底考试）已知函数且有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】函数且有三个零点，则方程有三个根， 即方程有三个根，即方程有三个根，易知， 所以方程有三个根，所以与函数有三个交点， 当时，，则， 则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为， 令得， 又无限趋向于0且时，趋向于负无穷大， 无限趋向于正无穷大时，趋向于0； 当时，，则， 则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，令得， 又无限趋向于0且时，趋向于正无穷大， 无限趋向于负无穷大时，趋向于0； 作出与函数的示意图： 由图可知，或，所以或， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 3.（2026届·T8联考·一模）已知函数 ,若 恰有 4 个零点,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 . 又 定义域为 关于原点对称, 为偶函数. 要使 恰有 4 个零点,则需使 在区间 , 上恰有 2 个零点.当 时, 令 ,显然 不是方程的根, ,记 ,问题转化为 在区间 , 上有 2 个解.又 , 时, 单调递减; 时, 单调递减; 时, 单调递增,且 . 当 从 1 的左侧无限趋近于 1 时, 趋近于 ; 当 从 1 的右侧无限趋近于 1 时, 趋近于 ; 当 趋近于 时, 趋近于 . 又 . 故选：B. 4.（2026届·北京朝阳·二模）设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】当时，，代入方程整理得： ，两根为和，因此，当且时，则有2个不同根；当时，则有1个根；当时，仅存在根；当时，，故恒有1个根. 当时，，代入方程整理得： ， 设， 求导得，当时，，得，有1个根，若，，在单调递增，时，时，故恒有1个根；当时，，，单调递增； ，单调递减，故在取最大值，令，单调递减且. 当时，，方程有2个根； 当时，，方程有1个根； 当时，，方程无实根； 综上所述： ，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 其余均不满足条件，共3个符合的. 故选：D. 5.（2026届·山东济宁· 一模）已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】函数在上单调递增，，在上单调递增，，当，即时，，且， 当，即，，且， 当，即时，，且， 因此，在坐标系内作出函数和的图像，如图所示 关于的方程恰有三个不相等的实数根，则.所以实数的取值范围是. 6.（2026届·安徽合肥· 教学检测）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 故选：C 7.（2026届·湖南名校考联合体· 联考）函数满足：当时，且，，若函数（且）共有6个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，， ，， ，， ，函数的图像关于直线对称， ，， 函数是以4为周期的周期函数. 在上是单调递增函数且， 在上是单调递增函数且， ，在上，， 函数在区间上单调递增，且值域为， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时， 当时. 函数的零点个数就是函数图像与函数， （，）图像的交点个数. 作出函数与的图像如下：   函数，（，）共有6个零点， 当，时，，得，， 当，时，，得，， 实数的取值范围是. 故选：C. 8.（2026届·江西示范高中·一模）已知函数，若方程在上有解，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】由题意得：方程在上有解 即在上有解， 令，即在上有解， 令，当且仅当时取等号， 即在上有解， 因为， 即有解，且大根为， 由题意，即， 当，即时，成立， 当，即时， 等价于， 解得，又，所以， 综上所述：实数的取值范围为 9.（2026届· 辽宁辽阳· 4月调研）已知表示不超过的最大整数，，若在区间恰有两个零点，则t的取值范围是______． 【答案】 【解析】令，则，则， 令，可得，故的零点为， 则有，，即有，， 由题意可得，故，且有，解得， 又，故或，当时，；当时，有； 综上可得：. 10.（2026届·江苏镇江·期中）已知函数，若函数，则的所有零点之积为 ；方程有三个不同的解，则实数的范围为 . 【答案】1， 【解析】的零点即方程的根，作出函数的图象，如图，与的图象共4个交点，从右到左依次是，当时，，则，得，故，即，同理，可得，所以，即的所有零点之积为1.作出函数的图象如图， 方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点，当时，，则，设切点为，所以曲线过原点的切线斜率，解得，所以曲线过原点的切线斜率，与的图象有三个不同的交点，则，即，所以实数的取值范围为. 答案为：1，. 题型三：零点相关问题 题型分析：零点综合拔高题型，常用解题手段①构造辅助函数，求导分析单调性，利用单调性脱外衣比较自变量大小； ②数形结合观察图像，判断根的位置； ③方程变形，同构处理； ④利用函数对称性，得到零点之间的等量关系。 1.（2026届·湖北十一校· 二模）（多选）已知函数有三个零点，则（   ） A．若成等差数列，则成等比数列 B．若成等比数列，则成等差数列 C．若成等差数列，则数列的公差为 D．若成等比数列，则数列的公比为 【答案】AB 【解析】当时，，不合题意； 当时，分别画出与的图象，如图： 所以； 对A、C：由题得，所以，即， 若成等差数列，则，所以， 所以成等比数列，由，则， 即，所以， 由，解得，因为， 所以， 则，即数列的公差为， 故A正确、C错误； 对B：由，若成等比数列，则， 则，即有，故成等差数列，故B正确. 对于D；因为，所以， 则不可能成等比数列， 故D不正确. 故选：AB. 2.（2026届·杭州学军中学·期末）已知正实数满足，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知可得，，，且， 若，则，，此时，故，同理， 构造函数，其中，， 则原等式等价于，，， 对求导得， 因为且，所以，，， 所以，即在上单调递增， 由可得， 所以， 令，则， 由指数函数和对数函数的单调性可得，， 所以，单调递增，所以， 所以， 因为且在上单调递增，所以， 同理由可得， 所以， 同理可得， 因为且在上单调递增，所以， 综上， 故选：A 3.（2026届·厦大附属中学· 3月训练）若，则下列不等关系一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，显然不成立， 当时，由 ， 令，设， 在同一直角坐标系内画出三个函数的图象如下图所示： 由数形结合思想可知：只有选项C不可能， 故选：C 4.（2026届·四川字节精准教育联盟·二阶段学情）已知，则的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，因为， 两边同时取以为底的对数，得，，即，令，则，令，得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，所以或； ，使得，所以或； ，使得，所以或． 当，时，B成立； 当时，C成立； 当（或）时，D成立； 由于B、C、D均可能成立，故选A． 故选：A 5.（2026届· 浙江宁波· 二模）已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 在和单调递增，其简要图形如下： 设，即方程有三个不同的实数解， 又当时，有两个不同的实数解时，只有一个实数解， 所以有三个不同的实数解，当且仅当有两个不同的实数解， 且，，解得， 时，即， 不妨设， 则， 即，解得 ， 又在上单调递增， 时，． 6.（2026届·江苏镇江·零模）（多选）已知函数（）有三个不同零点，，，其中，则（   ） A．的取值范围为 B．若，，成等差数列，则 C． D． 【答案】BCD 【解析】由题可得方程（）有三个不同的根、、，其中， 则直线与函数图像有三个不同的交点， ，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 且时，时， 作出函数图像如图所示， 由图可知的取值范围为，故A错误； 因为导函数关于直线对称， 所以如图所示函数图像关于点对称， 所以由图可知若、、成等差数列，则，故B正确； 由图可知， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 又由题方程即的根为、、， 且方程的根为、、， 所以即，由图可知，所以， 所以，故C正确； 由C可知，所以.故D正确. 故选：BCD 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习·专项训练学案 考点7 函数的零点与方程 考情分析 新高考对知识的考查要求：结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系；结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理。纵观近三年的新高考试题难度很大，经常压轴出现。经常以求参数的形式出现，做法跨度大，经常结合导数构造等知识点，综合性很强。可以预测2027年新高考命题方向将继续以非常综合灵活的方式出现。 1.函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数，把使的实数叫做函数的零点. (2)函数零点与方程根的关系 方程有实数根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点. (3)零点存在性定理 如果函数满足：①在区间上的图象是连续不断的一条曲线；②；则函数在内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. (4)函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. 2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 1. （2026·新高考Ⅱ卷高考真题第13题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 2.（2026·天津高考真题第15题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值 ②，有3个解； ③，时，有最大值； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 3.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第6题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型一：函数的零点 题型分析：基础题型，重点考查零点定义、零点存在性定理的理解与简单应用。 1.（2026届·上海徐汇区· 第二学期诊断）函数的零点是__________. 2.（2026届·吉林长春·一模）已知，则（    ） A．8 B． C． D． 3.（2026届·安徽合肥·三模）已知函数的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（    ） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 4.（2026届·天津部分区·二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 5.（2026届· 江西九江· 二模）定义在上的函数满足：①对任意都有；②，则函数零点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：函数零点有关参数问题 题型分析：数形结合，零点问题转化为图像交点问题，常用解题手段 ①参变分离②分类讨论参数③复合函数零点换元④利用奇偶性、周期性简化图像。 1.（2026届·辽宁鞍山·5月检测）定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2026届·江西赣州· 摸底考试）已知函数且有三个零点，则实数的取值范围是______. 3.（2026届·T8联考·一模）已知函数 ,若 恰有 4 个零点,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 4.（2026届·北京朝阳·二模）设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5.（2026届·山东济宁· 一模）已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________. 6.（2026届·安徽合肥· 教学检测）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.（2026届·湖南名校考联合体· 联考）函数满足：当时，且，，若函数（且）共有6个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.（2026届·江西示范高中·一模）已知函数，若方程在上有解，则实数的取值范围为______． 9.（2026届· 辽宁辽阳· 4月调研）已知表示不超过的最大整数，，若在区间恰有两个零点，则t的取值范围是______． 10. （2026届·江苏镇江·期中）已知函数，若函数，则的所有零点之积为 ；方程有三个不同的解，则实数的范围为 . 题型三：零点相关问题 题型分析：零点综合拔高题型，常用解题手段①构造辅助函数，求导分析单调性，利用单调性脱外衣比较自变量大小； ②数形结合观察图像，判断根的位置； ③方程变形，同构处理； ④利用函数对称性，得到零点之间的等量关系。 1.（2026届·湖北十一校· 二模）（多选）已知函数有三个零点，则（   ） A．若成等差数列，则成等比数列 B．若成等比数列，则成等差数列 C．若成等差数列，则数列的公差为 D．若成等比数列，则数列的公比为 2.（2026届·杭州学军中学·期末）已知正实数满足，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3.（2026届·厦大附属中学· 3月训练）若，则下列不等关系一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 4.（2026届·四川字节精准教育联盟·二阶段学情）已知，则的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 5.（2026届· 浙江宁波· 二模）已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6.（2026届·江苏镇江·零模）（多选）已知函数（）有三个不同零点，，，其中，则（   ） A．的取值范围为 B．若，，成等差数列，则 C． D． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $