精品解析：新疆乌鲁木齐市第97中学(金英外国语学校)2025-2026学年高一下学期期末考试数学问卷

乌鲁木齐市第97中学(金英外国语学校)2025-2026学年(下)期末考试问卷 高一年级 数学 一、选择题(共8题，每题只有一个正确答案，每题5分，共40分) 1. 设复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】复数， 所以z的虚部为. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在题干等式两边同时平方，结合二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】因为，等式两边平方可得， 所以，解得. 3. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A，，两向量共线，不符合基底的定义，故A错误； 对于选项B，，两向量共线，不符合基底的定义，故B错误； 对于选项C，不存在实数，使得，故C正确； 对于选项D，，两向量共线，不符合基底的定义，故D错误. 4. 在 中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理即可求解. 【详解】由，有，所以. 5. 在中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理角化边，然后整理化简即可得答案. 【详解】因为 所以， 整理得， 即的形状是等腰三角形. 故选：A. 6. 甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（ ） A. 人，人，人 B. 人，人，人 C. 人，人，人 D. 人，人，人 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以甲校应抽取， 乙校应抽取，丙校应抽取. 7. 现有一组数据：1，3，4，4，4，6，6，若在这组数据中删去一个4，则发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 标准差 D. 极差 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出新的数据，分别求出原数据和新数据的平均数、中位数、标准差、极差即可做出判断. 【详解】解：由题可知，原数据为1，3，4，4，4，6，6，共7个数据，删去一个4后， 新数据为1，3，4，4，6，6，共6个数据， 则原数据平均数为，新数据的平均数为， 因此平均数不变； 原数据中位数为4，新数据中位数为，因此中位数不变； 原数据标准差为， 新数据的标准差为， 因此标准差发生变化； 原数据的极差为，新数据的极差也为，因此极差不变. 8. 已知8个样本数据，，，…，的平均数为4，其中，则这8个数据的方差为（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】B 【解析】 【详解】因8个样本数据，，，…，的平均数为4，记为， 则可得， 又， 则 ． 二、多选题(共3题，有选错得0分，少选得部分分，全选对得6分，共18分) 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量模的计算公式，可判定A正确；利用共线向量的坐标表示，列出方程，可判定B正确；利用向量垂直的坐标表示，列出方程，可判定C正确；利用模的公式，列出方程，可判定D错误. 【详解】对于A，因为向量，所以，故A正确； 对于B，因为，若，则，解得，故B正确； 对于C，因为，所以，解得，故C正确； 对于D，若，则，解得，故D错误. 10. 一组样本数据的平均数为，方差为．现将每个数据都变为，所得新样本数据的平均数为，方差为．则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 若原样本中位数为，则新样本中位数为 【答案】ACD 【解析】 【详解】由，可知平均数满足，故A正确． 方差在平移时不变，在乘以2时变为原来的倍，所以，故B错误，C正确． 因为变换是严格递增的一次函数，所以中位数也对应变为，故D正确． 11. 从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（ ） A. 事件“两球都不是白球” B. 事件“两球恰有一白球” C. 事件“两球至少有一个白球” D. 事件“两球不都是白球” 【答案】AB 【解析】 【分析】由对立事件，互斥事件的定义结合题意逐一判断即可. 【详解】从口袋内一次取出2个球，这个试验的样本空间 (白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)，包含6个基本事件， 当事件“两球都为白球”发生时，事件“两球都不是白球”和事件“两球恰有一白球”不可能发生，满足互斥事件的定义， 且“两球都为白球”不发生时，事件“两球都不是白球”不一定发生，事件“两球恰有一白球”不一定发生，故非对立事件，故A、B正确； “两球都为白球”发生时，事件“两球至少有一个白球”可以发生，故不是互斥事件，故C错误； 事件“两球不都是白球”意思是“两球至少有一个不是白球”与事件“两球都是白球”是对立事件， 故D错误. 故选：AB 三、填空题(共3题，每题5分，共15分) 12. 1、2、2、4、5、6、8、9的下四分位数_______. 【答案】2 【解析】 【详解】由，得1、2、2、4、5、6、8、9的下四分位数为. 13. 已知向量，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知， 所以. 14. A，B是两个相互独立的随机事件，且，，则________________. 【答案】0.8 【解析】 【分析】由独立性先求交事件概率，再用加法公式求并事件概率. 【详解】因为相互独立，且，， 所以. 于是. 四、解答题(共5题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或验算步骤) 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期，以及最大值和最小值； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） 最小正周期为，最大值为，最小值为； （2） 单调递增区间为，； （3） 在区间上的最大值为，最小值为。 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以. ，. 【小问2详解】 令， 解得单调递增区间为，. 【小问3详解】 因为，所以，则, 所以，. 16. 已知向量，，点. （1）求、两点的坐标和线段的中点的坐标； （2）若点满足，求与的值. 【答案】（1）、、 （2）、 【解析】 【小问1详解】 由，，，则，， 则线段的中点的坐标为； 【小问2详解】 、，由， 则，解得. 17. 在中，角，，对边，，，已知 . （1）求； （2）若，，求面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角求；利用余弦定理以及乘法公式求三角形面积. 【小问1详解】 由正弦定理得以及题意 ， 又，所以； 【小问2详解】 因为， 由余弦定理得， 所以，则. 18. 某校从全校随机抽取名学生参加奥运知识竞赛，并根据这名学生的竞赛成绩（总分为100分）绘制频率分布直方图（如图所示），其中分数在内的学生有6名. （1）求 （2）求 （3）样本中分数在内的学生有几名 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图中所有小矩形面积之和为1列式计算求解； （2）结合频率直方图，根据抽样比计算即可； （3）结合频率直方图，根据抽样比计算即可. 【小问1详解】 由题意可得， 解得； 【小问2详解】 由题意可知样本中分数在的频率为， 因为样本中分数在内的学生有6名，所以全校随机抽取的人数； 【小问3详解】 样本中分数在的频率为， 所以样本中分数在内的学生有名. 19. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为），女同学名（记为），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）. （1）写出这个随机试验的样本空间； （2）设事件为“参赛的名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； （3）求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率. 【答案】（1） （2），； （3） 【解析】 【分析】（1）列举法写出样本空间； （2）由题意写出，根据古典概型求概率； （3）根据题意写出，根据古典概型求概率. 【小问1详解】 从名同学中选取名同学参赛，这个随机试验的样本空间为 . 【小问2详解】 由事件为“参赛的2名同学都是女同学”知，共1个样本点， 由（1）知样本点个数为，所以. 【小问3详解】 设 “参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共个样本点. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第97中学(金英外国语学校)2025-2026学年(下)期末考试问卷 高一年级 数学 一、选择题(共8题，每题只有一个正确答案，每题5分，共40分) 1. 设复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A. B. C. D. 4. 在 中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（ ） A. 人，人，人 B. 人，人，人 C. 人，人，人 D. 人，人，人 7. 现有一组数据：1，3，4，4，4，6，6，若在这组数据中删去一个4，则发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 标准差 D. 极差 8. 已知8个样本数据，，，…，的平均数为4，其中，则这8个数据的方差为（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 28 二、多选题(共3题，有选错得0分，少选得部分分，全选对得6分，共18分) 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 一组样本数据的平均数为，方差为．现将每个数据都变为，所得新样本数据的平均数为，方差为．则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 若原样本中位数为，则新样本中位数为 11. 从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（ ） A. 事件“两球都不是白球” B. 事件“两球恰有一白球” C. 事件“两球至少有一个白球” D. 事件“两球不都是白球” 三、填空题(共3题，每题5分，共15分) 12. 1、2、2、4、5、6、8、9的下四分位数_______. 13. 已知向量，则___________． 14. A，B是两个相互独立的随机事件，且，，则________________. 四、解答题(共5题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或验算步骤) 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期，以及最大值和最小值； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 16. 已知向量，，点. （1）求、两点的坐标和线段的中点的坐标； （2）若点满足，求与的值. 17. 在中，角，，对边，，，已知 . （1）求； （2）若，，求面积. 18. 某校从全校随机抽取名学生参加奥运知识竞赛，并根据这名学生的竞赛成绩（总分为100分）绘制频率分布直方图（如图所示），其中分数在内的学生有6名. （1）求 （2）求 （3）样本中分数在内的学生有几名 19. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为），女同学名（记为），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）. （1）写出这个随机试验的样本空间； （2）设事件为“参赛的名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； （3）求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $