新疆生产建设兵团第二师华山中学、乌鲁木齐八一中学2025～2026学年第二学期高一期末考试数学试卷

2025-2026学年第二学期八一中学·华山中学期末考试 高一年级数学试卷 （考试时长：120分钟满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数为纯虚数，则（ ） A． B． C． D．2 2．已知，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A．， B．， C．， D．，，， 3．若圆锥的母线与轴的夹角为，则其侧面积与过轴的截面面积之比为（ ） A．2 B． C． D． 4．某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用．该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（ ） A． B． C． D． 5．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东，距离为；在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为．货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，则灯塔C与D处之间的距离是（ ）． A． B．8 C． D． 6．如图所示，在中，，，，D是BC的中点，点E在AD上，且，则（ ） A． B． C． D． 7．在中，，则这个三角形一定是（ ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 8．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在正方体的表面上运动，且平面．则线段的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图是某企业2018年至2024年的污水净化量（单位：吨）的折线图，则（ ） A．这组数据的中位数等于平均数 B．这组数据的第60百分位数是55.5 C．污水净化量逐年递增 D．去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小 10．若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若在上的投影向量为，则 C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D．若，则的最小值为2 11．在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点在正方形及其内部运动，且，则下列正确的选项有（ ） A．点的轨迹的长度为 B． C．的最小值为 D．直线与平面所成角的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知复数（其中为虚数单位），则=． 13．如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为． 14．在中，，为的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、．设，，复数，则取到的最小值为． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）在中，，，的面积为6． （1）证明：为锐角； （2）求； （3）求的外接圆面积． 16．（15分）为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按，，…分组，作出频率分布直方图如图所示． （1）求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； （2）估计样本中成绩的上四分位数； （3）若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 17．（15分）如图，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周． （1）求旋转体的体积与表面积； （2）求图中所示圆锥的内切球体积． 18．（17分）如图所示，已知三棱锥中，，，，． （1）在棱上取点使，证明：． （2）求二面角的余弦值． 19．（17分）在中，已知，，分别为三个内角，，的对边，且，点为边上一点． （1）求角； （2）已知是边上一点，． ①若，求的最小值； ②若存在，使得，且，求的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $