6.3.1 二项式定理 专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦二项式定理全维度应用，以“概念理解-公式应用-综合拓展”为逻辑主线，通过分层题型系统训练二项式系数与项的求解方法，培养抽象能力与运算推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二项式展开式|4题|项数公式、通项公式直接应用|从展开式基本结构切入，建立项数与指数关系认知| |特定项求解|9题|通项公式参数方程法、常数项指数零化法|强化“通项公式是核心工具”的解题思维，掌握变量指数控制技巧| |多项式展开|5题|分步展开法、同类项合并策略|拓展二项式定理至多项式场景，培养复杂问题分解能力| |二项式系数|12题|对称性应用、最大项不等式法|深化二项式系数性质理解，构建“性质-应用”逻辑链条| |系数和|8题|赋值法（x=1/-1）、求导法|建立“代数变形-系数关系”转化思维，提升数学语言表达能力|

6.3.1 二项式定理 知识点一 二项式的展开式 1．的展开式共有（    ） A．54项 B．55项 C．56项 D．57项 2．的二项展开式中的一项是（    ） A． B． C． D． 3．化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 4．（   ） A． B． C． D． 知识点二 求二项展开式的第k项 5．展开式中的常数项是（   ） A．-540 B．-20 C．20 D．540 6．展开式中的第4项为（   ） A． B． C． D． 7．的展开式中常数项是（     ） A．15 B．60 C．64 D．240 8．在的二项式展开式中，常数项为________（用数字作答） 9．的展开式中常数项为160，则它展开式的第5项为________． 10．若的展开式中第4项为常数项，则n的值为______． 11．若的展开式中第4项为160，则__________. 12．已知 的二项展开式中的第 4 项为常数项，则 _____. 13．若(a3＋4b2)n的展开式中有一项是ma12b8，则m，n的值分别是________． 知识点三 多项式的二项展开式的特定项 14．的展开式的常数项为（    ） A．6 B．10 C．15 D．16 15．的展开式中，常数项为（     ） A． B． C． D． 16．在的展开式中，含项的系数为（  ） A． B． C． D． 17．的展开式中的常数项为______. 18．在的展开式中常数项等于_______. 知识点四 求指定项的二项式系数 19．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则______． 20．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为__________． 21．在的二项展开式中，第4项的二项式系数是________． 22．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为_____________． 23．的展开式中第4项的二项式系数是，则其展开式中项的系数为________． 24．二项式展开式的中间一项的二项式系数为（    ） A． B． C． D． 知识点五 二项式系数和 25．展开式中的二项式系数和为512，则展开式常数项为（   ） A．84 B．28 C．28 D．84 26．展开式中所有项的二项式系数之和与所有项的系数之和分别为（     ） A．； B．； C．； D．； 27．若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（     ） A． B． C． D． 28．在的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（   ） A． B．256 C．960 D．3840 29．已知二项式，则下列说法正确的是（   ） A．展开式中第3项与第4项的二项式系数之比为 B．展开式中所有项的二项式系数之和为128 C．展开式中所有项的系数之和为64 D．展开式中常数项为 30．已知的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（    ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数和为256 C．二项式系数最大项为第5项 D．展开式中常数项为45 知识点六 二项式系数最大问题 31．若二项式展开式中，二项式系数最大的项是第3项和第4项，则该展开式的第4项的系数为（     ） A． B．40 C． D．80 32．已知二项式的展开式中仅有第3项的二项式系数最大，则的值为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 33．在二项式的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大，则二项式展开式中的系数为（    ） A．14 B． C．84 D． 34．若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（   ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 知识点七 二项式系数之和 35．在的展开式中，各项系数的和等于（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 36．已知，则（   ） A． B． C． D． 37．已知，则下列结论中不正确的是（     ） A． B． C． D． 38．（多选）已知，则（     ） A． B． C．二项式系数最大的项是第六项 D． 39．（多选）已知，则下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 知识点八 系数最大的项 40．二项式的展开式中的系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 41．的展开式中，系数最大的项是第（    ）项. A． B． C． D． 42．已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 43．在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 14 15 16 答案 C D A D A A B D A B 题号 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 答案 B D C C C D D C D C 题号 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 答案 C A B C ABD ABD C C B D 1．C 【详解】的展开式共有项. 2．D 【详解】因为， 所以ABC不是的二项展开式中的项，是的二项展开式中的项. 3．A 【分析】根据二项式定理，对所给式子进行变形，然后结合二项式定理的形式求出结果． 【详解】设． 根据组合数的性质，则． 由二项式定理可知， 即． 那么， 因为，所以． 即，则． 故选：A． 4．D 【分析】根据的展开式和计算即可判断 【详解】由， 所以. 5．A 【详解】 展开式的通项公式是， 令 ，得， 所以. 6．A 【详解】展开式的通项公式为 所以第4项为. 7．B 【分析】利用二项式展开式的通项，令的指数为0，求出参数，代入计算即可得到常数项. 【详解】由二项式定理，展开式的第项为， 令，得， 所以的展开式中常数项是. 8． / 【详解】二项式展开式的通项为， 由，得，所以所求常数项为. 9． 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】由题意可知的展开式的常数项为，则，所以展开式的第5项为． 10．12 【详解】由题得展开式的通项为， 当时，，所以 11． 【分析】根据二项式展开的通项公式，结合题意，列出等式，化简计算，即可得答案. 【详解】的展开式中第4项为， 所以，解得. 故答案为： 12． 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，结合展开式中的第 4 项为常数项，进而求得的值. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 可得展开式的第4项为， 因为二项展开式的第4项为常数项，所以，解得. 故答案为：. 13．17920，8 【分析】由题得解方程组即得解. 【详解】解：令Tr＋1＝＝ma12b8(r＝0，1，2，…，n)， 则有解得 所以m＝17920，n＝8． 故答案为：17920，8. 14．D 【分析】先根据二项展开式通项公式求含系数，再根据多项式法则求常数项. 【详解】由题意得的展开式的通项为， 令，则， 所以的展开式的常数项为. 故选：D. 【点睛】本题考查二项式定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．A 【分析】中将看成一项，两次展开，求出展开式的通项，令的指数为0，即可求解. 【详解】，展开式通项为 ， 令，当时， 为常数项即. 故选:A. 【点睛】本题考查二项展开式求特定项，解题关键要求出通项，属于中档题. 16．B 【分析】把看成6个相乘，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，即可得到结果. 【详解】是6个相乘，需要依次从每个的三项（1，，）中选出一项后相乘，就可得到展开式中的一项. 得到项的方法有两类： 第一类是，6个的1个里选出，1个里选出，其余里选出，相乘得，这类方法，共可得到个，合并同类项后即得到； 第二类是，6个的3个里选出，其余里选出，相乘得，这类方法，共可得到个，合并同类项后即得到. 再将上述两项合并，得，因此项的系数为. 故选：B. 17． 【详解】因为， 二项式的展开式的通项为，， 所以的展开式中的常数项， 所以的展开式中的常数项， 所以的展开式中的常数项， 故的展开式中的常数项为. 18．16 【分析】根据二项式展开式结合其常数项组成形式即可得到答案. 【详解】因为展开式的通项为，， 的展开式中常数项由两项构成， 即与， 所以的展开式中常数项为. 故答案为：16. 19． 【分析】先确定展开式中第4项和第8项的二项式系数，再利用二项式系数的性质求解. 【详解】二项式展开式中第项的二项式系数为. 由题意知，第4项的二项式系数为，第8项的二项式系数为， 因此有，根据二项式系数的性质得，，解得. 20．210 【详解】由的展开式中第项与第项的二项式系数相等，得，解得， 二项式的展开式通项公式， 由，得，所以该展开式中的常数项为. 21． 【详解】第4项的二项式系数是. 22． 60 【详解】由题意得，解得. . 令，解得， 因此系数为. 23． 【详解】已知展开式第4项的二项式系数是，则，解得, 则的通项为， 令，解得， 则项的系数为． 24．B 【详解】展开式共有7项，中间一项是第4项，其二项式系数为. 25．D 【详解】因为展开式中所有二项式系数和为，所以，解得， 二项展开式的通项为， 令，即， 所以展开式中的常数项为 . 26．C 【详解】展开式中所有项的二项式系数之和是， 令，所以所有项的系数之和是. 27．C 【分析】根据二项式展开式的各项的二项式系数和求得，结合展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】由题得，解得. 的通项为. 令，则系数为. 28．C 【分析】首先根据二项式系数之和求出，然后求展开式的通项公式，确定展开式的常数项. 【详解】因为的展开式中，二项式系数之和为64， 所以，解得， 所以， 展开式的通项为. 令，得， 所以展开式的常数项为． 29．D 【详解】对于A，展开式中第3项的二项式系数为，第4项的二项式系数为，则，故A错误； 对于B，展开式中所有项的二项式系数之和为，故B错误； 对于C，令，则展开式中所有项的系数之和为，故C错误； 对于D，，其中；令，得，则常数项为，故D正确. 30．D 【详解】因为的展开式中二项式系数之和为1024， 又二项式系数之和为 ， 所以 ，选项 A错误； 选项 B：奇数项的二项式系数和为 ，不是256，错误； 选项 C：当时，二项式系数最大的项是中间项， 即第项，不是第5项，错误； 选项 D：， 令 ，解得 ； 常数项为 ，正确.正确答案是D. 31．C 【详解】因为二项式系数最大的项是第3项和第4项，则展开式共6项，故， 所以二项式展开式的第4项为，系数为. 32．D 【分析】根据二项式系数的对称性，仅第3项二项式系数最大说明为偶数，中间项为第3项，列方程即可求解. 【详解】已知二项式展开式中，仅有第项的二项式系数最大. 第项对应的二项式系数为唯一最大值. 由二项式系数性质可知二项式系数唯一最大值出现在为偶数时，位置为. 所以有，解得，因此. 33．C 【分析】根据题意得到展开式共有8项，求出，从而利用展开式通项公式进行求解 【详解】因为在的展开式中，只有第4项和第5项的二项式系数最大， 所以展开式共有8项. 故，解得； 设展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式中项系数为. 34．C 【分析】根据二项式系数之和求出，结合二项式系数的特征可求答案. 【详解】因为二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则，解得， 所以二项式的展开式中，最大的二项式系数是，即二项式系数最大的项是第6项． 35．A 【详解】令，则，因此在的展开式中，各项系数的和等于16. 36．B 【详解】令，可得，令，，所以. 37．C 【分析】对于A，可以用赋值法判断；对于B，利用二项式展开的通项公式进行判断；对于C，可以用赋值法判断；对于D，使用求导法进行判断. 【详解】对于A，令,得 ，故A正确； 对于B，设的通项为，令，得，所以，故B正确； 对于C，令,得 ， 令,得 ， 两式相减，得 ，，故C错误； 对于D，两边求导，得 ， 令，得 ，即，故D正确. 38．ABD 【分析】应用赋值法计算判断A，B，D，应用二项式系数性质判断C. 【详解】A选项，代入得，A正确； B选项，代入得，代入得， 将两式相加除以2得，B正确； C选项，二项式展开式共13项，为偶数，二项式系数最大的项为第7项，C选项表述错误； D选项，令，则， 所以， 等式两边同除以2，得，D正确， 39．ABD 【分析】利用赋值法验证A，B，C选项的正误，再结合通项求判断D的正误. 【详解】因为， 令，得，故选项A正确； 令，得， 即，故选项B正确； 令，得， 由及， 两式相加，得，所以， 所以，故选项C错误； 由，其展开式的通项为， 所以，故选项D正确. 40．C 【详解】二项式展开式的通项为， 可知当为偶数时，系数为正，当为奇数时，系数为负， 故系数最大时为偶数， 当时，系数为， 当时，系数为， 当时，系数为， 当时，系数为， 故系数最大项为． 41．C 【分析】先求出通项公式，可得第项的系数，设第项的系数最大，列不等式解出的范围，从而可得答案 【详解】的展开式通项公式为， 设第项为系数最大的项，则有， 解得，即， 所以的展开式中，系数最大的项是第项. 42．B 【分析】根据二项式系数之和公式求出m， 结合通项公式进行求解即可. 【详解】因为展开式的所有二项式系数之和为32， 所以， 所以的通项公式为 ， 当或6时，展开式的系数最大，其系数最大值为， 故选：B 43．D 【分析】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解. 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $