奥数培优 第7讲 位值原理（讲义）-2025-2026学年五年级数学下册人教版

—— 小学五年级下册奥数培优讲义 —— 第7讲 位值原理 🎯 学习目标 1. 理解位值原理的含义，掌握十进制计数法中数位与计数单位的对应关系； 2. 学会用字母表示多位数，能熟练将多位数按位值展开（如 = 100a + 10b + c）； 3. 运用位值原理解决数字移位、数位交换、全排列求和、数字重排等典型问题； 4. 在探究中发现规律（如差被9整除、全排列和为222倍等），培养归纳推理能力。 📖 知识要点 同一个数字，写在不同的数位上，表示的大小不同。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，叫做位值原理（位值原则）。 我们通常使用十进制计数法，特点是"满十进一"：10个一是十，10个十是百，10个百是千……从右往左依次是个位、十位、百位、千位…… …… 千位 百位 十位 个位 小数点 …… 1000 100 10 1 · 用字母表示数时，通常在字母上方画横线表示一个多位数，以区别于字母相乘。例如： = 100a + 10b + c 其中 a 是1～9的数码（不能为0），b、c 是0～9的数码。 位值原理的三条重要性质： ▸ 性质1（差被9整除）：一个数交换任意两个数位上的数字后，新数与原数的差一定是9的倍数。 ▸ 性质2（全排列求和）：用三个互不相同的非零数字 a、b、c 组成的所有三位数（共6个）之和 = 222 × (a+b+c)。 ▸ 性质3（重排差被99整除）：三个互不相同的非零数字组成的最大三位数减最小三位数，差一定是99的倍数，即 99 × (最大数字 − 最小数字)。 💡 【记口诀】位值展开拆成和，移位乘十再加码；交换差是九倍数，全排二二二乘和。 ✏️ 典例精析 例1 位值展开与数字关系 【题目】一个三位数，百位数字比十位数字大2，十位数字比个位数字大2，三个数字之和是15。求这个三位数。 【分析与解】 方法一（方程法）：设个位数字为 x，则十位数字为 x+2，百位数字为 x+4。 x + (x+2) + (x+4) = 15 3x + 6 = 15 → x = 3 所以个位是3，十位是5，百位是7，这个三位数是 753。 方法二（算术法/等差中项）：三个数字依次相差2，构成等差数列，中间数（十位）= 15 ÷ 3 = 5，因此三个数字为 3、5、7，原数为 753。 💡 【方法总结】 当已知连续等差的数字和时，用"平均数=中间数"可以快速求解，比方程更简便。 例2 数字插入移位问题 【题目】在一个两位数的左端写上数字4，得到一个三位数；在这个两位数的右端写上数字4，也得到一个三位数。已知这两个三位数之和是888，求原来的两位数。 【分析与解】 设原来的两位数为 x。 左端写4，相当于在百位加4，得到的三位数为 400 + x； 右端写4，相当于原数乘10后加4，得到的三位数为 10x + 4。 (400 + x) + (10x + 4) = 888 11x + 404 = 888 → 11x = 484 → x = 44 检验：左端写4得444，右端写4得444，444+444=888，符合题意。 答：原来的两位数是 44。 💡 【方法总结】 左端加数字 = 加 "数字×10ⁿ"（n为原数位数）； 右端加数字 = 原数×10 + 数字。这是位值移位的核心公式。 例3 数位交换问题 【题目】一个两位数，交换十位与个位数字后得到一个新两位数。已知新数比原数大36，且原数的十位数字是个位数字的一半。求原两位数。 【分析与解】 设原数的个位数字为 2a，则十位数字为 a（a 为1～4的整数）。 原数 = 10a + 2a = 12a；新数 = 10×(2a) + a = 21a。 21a − 12a = 36 → 9a = 36 → a = 4 所以十位数字为4，个位数字为8，原两位数为 48。 检验：交换后得84，84 − 48 = 36，且4是8的一半，符合题意。 💡 【方法总结】 两位数交换数位后的差 = 9 × |十位数字 − 个位数字|。本题差为36，说明两数字之差为 36÷9 = 4。 例4 全排列求和与规律探究 【题目】用2、4、6三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些三位数的和是多少？如果用任意三个互不相同的非零数字 a、b、c，所有组成的三位数之和有什么规律？ 【分析与解】 （1）百位有3种选择，十位有2种，个位有1种，共 3×2×1 = 6 个三位数： 246, 264, 426, 462, 624, 642 （2）观察发现：每个数字在百位、十位、个位上各出现 2 次。因此： 总和 = 2×(2+4+6)×100 + 2×(2+4+6)×10 + 2×(2+4+6)×1 = 2×12×(100+10+1) = 24×111 = 2664 （3）一般规律：用 a、b、c 组成的6个三位数中，每个数字在每个数位上出现 2 次，所以 总和 = 2×(a+b+c)×111 = 222×(a+b+c) 💡 【方法总结】 全排列求和公式：n个不同非零数字组成的所有n位数之和 = (n−1)! × (数字和) × 111…1(n个1)。三位数时即 2×(和)×111 = 222×(和)。 ⚠️【提示】本公式只适用于全部数字不为 0；若包含数字 0，不能直接套用，需要枚举。 例5 数字和的倍数关系（多解题） 【题目】一个两位数，各位数字之和的4倍恰好等于这个两位数本身。求所有满足条件的两位数。 【分析与解】 设这个两位数的十位数字为 a，个位数字为 b。 4(a + b) = 10a + b 4a + 4b = 10a + b → 3b = 6a → b = 2a 因为 a 是1～9的整数，b = 2a 必须是0～9的整数（即 b ≤ 9），所以 a 可取 1、2、3、4。 当 a=1 时 b=2，数为12；当 a=2 时 b=4，数为24； 当 a=3 时 b=6，数为36；当 a=4 时 b=8，数为48。 检验：12→4×3=12✓；24→4×6=24✓；36→4×9=36✓；48→4×12=48✓。 答：满足条件的两位数有 12、24、36、48，共4个。 💡 【方法总结】 求出数字关系后，一定要结合"数码取值范围（0～9，首位非0）"枚举所有可能，避免漏解。 例6 数字重排差的规律 【题目】用1、2、3三个数字组成最大的三位数和最小的三位数，求它们的差。再用4、5、6试一试，你发现了什么？如果三个数字是 a > b > c（均不为0），最大数减最小数的差是多少？ 【分析与解】 用公差为 1 的连续三个数字， 试一试： （1）用1、2、3：最大数321，最小数123。 321 − 123 = 198 （2）用4、5、6：最大数654，最小数456。 654 − 456 = 198 发现：两组数字的差都是198？这是因为两组数字的最大数字与最小数字之差都等于 2（3−1=2，6−4=2）。 （3）一般地，a > b > c 时： 最大数 = 100a + 10b + c，最小数 = 100c + 10b + a 差 = (100a + 10b + c) − (100c + 10b + a) = 99a − 99c = 99(a − c) 所以差一定是99的倍数，等于 99 × (最大数字 − 最小数字)。 💡 【方法总结】 这就是著名的"卡普雷卡常数"原理的基础。三位数中，反复进行"最大减最小"操作，最终会落入495这个常数。 🔀 一题多解 同一道题，从不同角度切入，往往能找到多种解法。对比不同解法，能加深对位值原理的理解，也能在考试中选择最快捷的路径。 【题1】一个两位数，十位数字与个位数字之和为11，交换数位后所得新数比原数大27。求原来的两位数。 解法一（方程法） 设十位数字为 a，个位数字为 b。 a + b = 11 ……① (10b + a) − (10a + b) = 27 → 9(b − a) = 27 → b − a = 3 ……② 联立①②：a = (11−3)÷2 = 4，b = (11+3)÷2 = 7。 答：原数为 47。 解法二（差的倍数法 + 和差问题） 两位数交换数位后的差 = 9 × |十位数字 − 个位数字|。 已知差为27，所以两数字之差 = 27 ÷ 9 = 3（个位比十位大3）。 又知两数字之和为11，这是典型的和差问题： 较小数(十位) = (11 − 3) ÷ 2 = 4 较大数(个位) = (11 + 3) ÷ 2 = 7 答：原数为 47。 解法三（枚举验证法） 数字和为11的两位数有：29、38、47、56、65、74、83、92。 逐一检验交换后的差：29→92(差63)，38→83(差45)，47→74(差27)✓ 答：原数为 47。 💡 【方法总结】 三种解法中，解法二最巧妙——利用"交换差是9的倍数"这一性质，一步算出数字差，再用和差公式秒杀。这就是位值原理带来的"捷径"。 【题2】用2、3、5三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些三位数的和是多少？ 解法一（枚举相加法） 共6个三位数：235、253、325、352、523、532。 235 + 253 + 325 + 352 + 523 + 532 = 2220 解法二（位值分组法） 观察6个数：每个数字在百位、十位、个位上各出现 2 次。 百位和 = 2×(2+3+5)×100 = 2000 十位和 = 2×(2+3+5)×10 = 200 个位和 = 2×(2+3+5)×1 = 20 总和 = 2000 + 200 + 20 = 2220 解法三（公式法） 三个不同非零数字的全排列和 = 222 × (数字之和)。 222 × (2 + 3 + 5) = 222 × 10 = 2220 💡 【方法总结】 解法一最直观但计算量大；解法二是位值原理的核心应用，理解了它就能推出解法三的公式。考试中直接用公式法最快，但要知其所以然。 📝 方法总结 ★ 设元展开法：将多位数按位值展开为代数式（如 =100a+10b+c），根据题意列方程求解。这是最通用的方法。 ★ 移位公式法：左端加数字d→加 d×10ⁿ；右端加数字d→原数×10+d。记住公式可快速列式。 ★ 差的倍数法：交换数位后的差是9的倍数；三位数重排差是99的倍数。利用整除性缩小范围或验证。 ★ 规律归纳法：全排列求和=222×(数字和)；等差数字和=个数×中间数。先算特例，再归纳一般规律。 ★ 枚举验证法：求出数字关系后，在数码取值范围内枚举所有可能，逐一检验，确保不遗漏多解。 📚 巩固练习 【基础巩固】（每题10分，共40分） 1. 【题目】一个两位数，十位数字是个位数字的3倍，各位数字之和是12。求这个两位数。 2. 【题目】在一个两位数的左端写上数字3，得到的三位数比原两位数的4倍还多3。求原来的两位数。 3. 【题目】一个两位数，交换十位与个位数字后，新数比原数小18，且原数各位数字之和为8。求原两位数。 4. 【题目】用1、5、9三个数字组成所有没有重复数字的三位数，求这些三位数的和。 【能力提升】（每题12分，共48分） 5. 【题目】一个两位数，各位数字之和的5倍比原数小9。求所有满足条件的两位数。 6. 【题目】用3、6、9组成最大三位数和最小三位数，求它们的差。如果三个数字是连续的 a、a+1、a+2，差是多少？ 7. 【题目】一个三位数，抹去它的首位数字后得到一个两位数。已知原三位数比这个两位数的3倍还大2。求这个三位数。 8. 【题目】一个两位数，在它前面写上5得到一个三位数，在它后面写上5也得到一个三位数，这两个三位数相差108。求原来的两位数。 【拓展挑战】（每题6分，共12分） 9. 【题目】用0、2、5三个数字可以组成哪些没有重复数字的三位数？这些三位数的和是多少？（提示：0不能作首位） 10. 【题目】一个三位数，各位数字之和为12，十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和。如果把百位数字与个位数字交换，所得新三位数比原数大198。求原来的三位数。 🏆 趣味综合压轴题 下面两道题融合了位值原理的多个知识点，既有挑战性又有趣味性。建议先独立思考，再看解析。 【压轴题1】数字黑洞 495 任选三个互不相同的数字（不含0），用它们组成最大的三位数和最小的三位数，用最大数减去最小数，得到一个新的三位数。对这个新三位数重复以上操作……你会发现，最多不超过6步，一定会得到同一个数！这个数就像一个"黑洞"，所有三位数都会被它吸进去。 （1）请你以数字 1、4、7 为例，完整演算每一步，直到出现重复的数。 （2）这个"黑洞数"是多少？ （3）请你用位值原理解释：为什么每次操作后的差一定是99的倍数？ 【压轴题2】神奇的 1089 写下一个三位数，要求百位数字比个位数字至少大2（例如 523）。将这个数的数字倒过来写，得到另一个三位数（325）。用大数减去小数（523 − 325 = 198），再把所得的差倒过来写（891），最后把这两个数相加（198 + 891 = 1089）。 神奇的是：无论你最初选的是什么三位数（只要百位比个位大至少2），最终结果一定是 1089！ （1）请你自己选两个不同的三位数试一试，验证结果是否为1089。 （2）请你用字母表示数的方法，设原数为 （a ≥ c + 2），通过位值展开证明：最终结果一定是1089。 💡 【知识总结】 1089和495都是数学中著名的"常数"——它们不依赖初始选择，会在特定操作下必然出现。这类现象的背后，都是位值原理在起作用。 ✅ 参考答案与解析 第1题 答案：93 解析：设个位数字为 x，则十位数字为 3x。x + 3x = 12，x = 3。十位=9，个位=3，原数为93。 第2题 答案：99 解析：设两位数为 x。左端写3得 300+x，由题意 300+x = 4x+3，3x = 297，x = 99。检验：399 = 4×99+3 = 399。 第3题 答案：53 解析：设十位 a，个位 b。交换差 = 9(a−b) = 18，所以 a−b = 2；又 a+b = 8。解得 a=5，b=3。原数为53。检验：53−35=18，5+3=8。 第4题 答案：3330 解析：由全排列求和公式：222×(1+5+9) = 222×15 = 3330。 第5题 答案：54、99 解析：设十位 a，个位 b。5(a+b) = 10a+b−9 → 4b = 5a−9。枚举：a=5时b=4（数54）；a=9时b=9（数99）。检验：54→5×9=45，54−45=9✓；99→5×18=90，99−90=9✓。 第6题 答案：594；198 解析：963−369 = 594。连续数字 a,a+1,a+2：最大=100(a+2)+10(a+1)+a=111a+210，最小=100a+10(a+1)+(a+2)=111a+12，差=198。 第7题 答案：149、299 解析：设两位数为 x，首位数字为 a。100a+x = 3x+2 → x = 50a−1。a=1时x=49（数149）；a=2时x=99（数299）；a≥3时x≥149不是两位数。检验：149=3×49+2✓；299=3×99+2✓。 第8题 答案：43或67 解析：设两位数为 x。前写5得500+x，后写5得10x+5。分两种情况：①(10x+5)−(500+x)=108 → 9x=603 → x=67（675−567=108✓）；②(500+x)−(10x+5)=108 → 9x=387 → x=43（543−435=108✓）。 第9题 答案：205、250、502、520；和为1477 解析：0不能在百位，百位只能是2或5。百位为2：205、250；百位为5：502、520。和 = 205+250+502+520 = 1477。 第10题 答案：264 解析：设百位a，十位b，个位c。a+b+c=12，b=a+c → 2b=12 → b=6，a+c=6。交换后差=99(c−a)=198 → c−a=2。联立a+c=6，c−a=2，得a=2，c=4。原数为264。检验：2+6+4=12✓，6=2+4✓，462−264=198✓。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ── 一题多解 参考答案 ── 题1 答案：47 解析：三种解法均得原数为47。推荐解法二——利用"交换差=9×数字差"得数字差为3，再用和差公式：十位=(11−3)÷2=4，个位=(11+3)÷2=7。 题2 答案：6个，和为2220 解析：共3×2×1=6个三位数。由公式法：222×(2+3+5)=222×10=2220。 ── 趣味综合压轴题 参考答案 ── 压轴题1 答案：黑洞数是 495 （1）以1、4、7为例的演算过程： 第1步：741 − 147 = 594 第2步：954 − 459 = 495 第3步：954 − 459 = 495（开始循环） （2）黑洞数是 495。无论初始选哪三个不同数字（不含0），反复操作后最终都会得到495并保持不变。 （3）原理解释：设三个数字为 a > b > c，则最大数=100a+10b+c，最小数=100c+10b+a， 差 = 99a − 99c = 99(a − c) 所以每次操作后的差一定是99的倍数。 由三个互不相同且不含 0 的数字重排得到的差，必然为 99×(a−c)， 其中 a−c 可取 2 到 9， 因此候选值只有：198、297、396、495、594、693、792、891，共8个。 对这8个数逐一验证，最终都会落入495。这就是"黑洞"的秘密——候选集合有限，且最终收敛到495。 压轴题2 答案：结果恒为 1089（证明见下） 证明：设原三位数为 ，其中 a ≥ c + 2（百位比个位至少大2）。 ▸ 第一步：原数与反转数： 原数 = 100a + 10b + c，反转数 = 100c + 10b + a ▸ 第二步：求差： 差 = (100a+10b+c) − (100c+10b+a) = 99(a − c) ▸ 第三步：分析差的形式： 设 d = a − c（2 ≤ d ≤ 8），则差 = 99d。 99d 的形式为：100(d−1) + 90 + (10−d) 例如 d=2→198，d=3→297，d=9→891 ▸ 第四步：差的反转数： 反转数 = 100(10−d) + 90 + (d−1) ▸ 第五步：相加： 和 = [100(d−1)+90+(10−d)] + [100(10−d)+90+(d−1)] = 100(d−1+10−d) + 180 + (10−d+d−1) = 100×9 + 180 + 9 = 900 + 180 + 9 = 1089 结论：无论 a、b、c 取何值（只要 a ≥ c+2），最终结果恒为 1089。这就是位值原理的魔力——字母消去了具体数字，留下了不变的常数。 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