奥数培优讲义 第1讲 最大公因数与最小公倍数综合应用（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

【人教版】小学五年级下册奥数培优讲义 第 1 讲 最大公因数与最小公倍数综合应用 讲义基础信息 适用教材：人教版五年级下册第二单元《因数与倍数》同步奥数拓展 难度梯度：基础→提升→竞赛拔高，适配校内培优、小升初、竞赛备赛 配套资源：思维导图、核心速查表、高频易错清单、随堂练、完整习题答案、趣味挑战、一题多解 【前言】 因数、公因数、公倍数是五年级下册数论开篇核心，也是分数通分约分、周期应用题、几何铺砖、分组分配的底层工具。校内仅掌握基础短除法，本讲拓展辗转相除法、分解质因数综合、四大类奥数应用题（铺砖、分组、周期发车、余数变形）、两数乘积核心定理，区分 “求最多（最大公因数）”“求最少（最小公倍数）” 两类题型，配套分层例题与标准化解题模板，熟练后可解决分班考、奥数竞赛全部公因数公倍数压轴题。 【三维教学目标】 知识与技能 熟练运用列举、短除、分解质因数、辗转相除法求 2~3 个数的最大公因数（GCD）、最小公倍数（LCM）； 掌握核心定理：两个自然数乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数； 精准区分铺砖、分组、周期、余数变形四大奥数应用题模型； 规范数论文字证明、分步列式书写格式。 过程与方法 通过校内基础方法延伸奥数简便算法，归纳关键词判题法：看到 “最多、最大、均分无剩余” 求最大公因数；看到 “最少、下次同时、刚好分完” 求最小公倍数；建立 “审题→判题型→选方法→计算验算” 四步解题流程。 情感态度与价值观 破除数论计算枯燥感，建立数形结合（铺砖）、生活建模（发车分组）思维，养成先判断题型再动笔的严谨解题习惯，为后续整除、同余、分数巧算铺垫基础。 【教学重难点】 重点 短除法快速求多组 GCD、LCM； 最大公因数、最小公倍数基础应用题（铺砖、分组、周期发车）； 核心定理灵活运用。 难点 余数变形类公因数题型（分物品有余 / 缺）； 三个及以上数的最小公倍数求解； 范围限定型公倍数（人数 40~50、木棍刻度重合）。 【高频易错总提示】 ⚠️ 易错 1：短除法混淆 GCD 与 LCM 求 GCD（最大公因数）：只把 左侧所有除数连乘； 求 LCM（最小公倍数）：把 左侧所有除数和底部所有商全部连乘。 口诀记忆：“求公因乘左边，求公倍全相乘”。 ⚠️ 易错 2：倍数 / 互质特殊关系记反：倍数关系 GCD 为小数、LCM 为大数；互质 GCD=1，LCM = 两数乘积； ⚠️ 易错 3: 应用题关键词看错：“最多分组” 错算最小公倍数； ⚠️ 易错 4: 三个数求 LCM 未除到两两互质，直接停止短除； ⚠️ 易错 5: 余数题型忘记先补全 / 删减物品再求公因数。 一、核心知识点梳理 （一）基础定义 公因数 & 最大公因数：几个数公有因数，最大的记作；互质：； 公倍数 & 最小公倍数：几个数公有倍数，最小的记作； 核心恒等式：任意正整数， （二）四种求 GCD/LCM 方法 方法 1 列举法（校内基础，小数适用） 例：求12、18的最大公约数和最小公倍数 12 因数：1,2,3,4,6,12； 18 因数：1,2,3,6,9,18 → 12 倍数：12,24,36…； 18 倍数：18,36… → 方法 2 短除法（课内 + 奥数通用首选） 口诀：求公因乘半边，求公倍全相乘（解释：“乘半边”指左侧除数连乘；“全相乘”指左侧除数与底部商全部连乘。） 操作：共同质数连续除，直到底部数字互质（两数）/ 两两互质（三数） 方法 3 分解质因数法（竞赛常用） 取全部公有质因数最低次幂相乘 = GCD； 取所有质因数最高次幂相乘 = LCM 例： 方法 4 辗转相除法（大数快速求 GCD） 步骤：大数 ÷ 小数 = 商… 余数；除数 ÷ 余数，循环至余数 0，最后除数为 GCD 例：求 377、221 最大公约数 ；；；； （三）三类数字特殊关系速记 数字关系 最大公因数 最小公倍数 倍数（12 和 48） 较小数 12 较大数 48 互质（7、11） 1 两数乘积 77 普通关系（非倍数且非互质） 短除左侧乘积 全部除数×商连乘 （四）应用题判题关键词模板 1.求最大公因数（最多、最大边长、均分无剩余、最多分组） 2.求最小公倍数（最少数量、同时发车、下次重合、正好排完） 3.余数变形：有余则减掉余数，缺少则补上缺量，再求 GCD 二、经典基础例题（3 道） 例 1 短除 + 分解质因数计算基础 ★基础 【题目】用两种方法求 24、36 的最大公因数与最小公倍数 【方法 1 短除法】 2 | 24 36 2 | 12 18 3 | 6 9 2 3 ， 【方法 2 分解质因数】 【随堂小练 1】 分别用短除法、辗转相除法求 108、144 的 GCD、LCM 例 2 铺砖类・最大公因数应用题 ★基础 【题目】长方形墙面长 60cm、宽 45cm，用相同正方形瓷砖铺满无剩余，正方形边长最大多少？一共需要多少块瓷砖？ 【解题思路】边长为长、宽公因数，“最大” 即求 【完整解析】 短除求得，正方形最大边长 15cm 长边块数：，宽边块数： 总块数： 答：边长最大 15cm，共 12 块。 【方法总结】 长方形剪正方形 / 铺地砖，无剩余求最大边长 = 长宽最大公因数 【随堂小练 2】 一块长 84dm、宽 60dm 场地，分割相同正方形空地，边长最大多少？能分几块？ 例 3 周期发车・最小公倍数应用题 ★提升 【题目】1 路公交每 6 分钟一班，2 路每 8 分钟一班，两车 7:00 同时发车，下次同时发车是几时？ 【解题思路】间隔同时出现 = 求 【完整解析】 ，每 24 分钟同时发车 7 时 + 24 分 = 7:24 答：下次同时发车 7:24。 【随堂小练 3】 甲每 4 天去图书馆，乙每 6 天去，今日同去，再过多少天再次相遇？ 三、拓展拔高例题（4 道竞赛题型） 拓展 1 分组分配三数 GCD ★★拔高 【题目】五年级 3 个班分别 30 人、24 人、42 人，分班不打乱，每组人数相等且最多，一共分多少组？ 【解析】求 短除：，底部 5、4、7 两两互质 ，每组最多 6 人 总人数：，总组数： 答：每组最多 6 人，共 16 组。 拓展 2 范围限定公倍数 ★★拔高 【题目】班级 40~50 人，做操 8 人一排或 12 人一排都刚好排完，班级多少人？ 【解析】，公倍数：24、48、72… 区间 40~50，符合只有 48 答：全班 48 人。 拓展 3 余数变形公因数题型 ★★★竞赛 【题目】20 个梨分小朋友剩 2 个，25 个苹果分缺 2 个，最多多少小朋友？ 【解析】梨实际可分：；苹果补齐： 求 答：最多 9 名小朋友。 拓展 4 核心恒等式综合计算 ★★★竞赛 【题目】已知两数最大公因数 6，最小公倍数 72，其中一个数 18，求另一个数。 【解析】根据 另一个数： 答：另一个数是 24。 四、易错题专区（3 道典型错例） 易错题 1 短除法 LCM 只乘除数 【题目】12、18 求最小公倍数 错误： 正确： 【避坑】 LCM 必须把短除左侧、底部数字全部相乘 易错题 2 应用题关键词判断颠倒 【题目】长方形铺砖，正方形边长最大 错误：求最小公倍数 正确：求长宽最大公因数 【避坑】 “最大、最多” 锁定 GCD；“最少、同时” 锁定 LCM 易错题 3 三数求 LCM 未除到两两互质 题目 12、18、24 错误：短除到 6、9、12 直接停止； 正确：用短除法继续除。 先除以 2 得到 6、9、12； 再除以 3 得到 2、3、4； 此时 2、3、4 尚未两两互质（2和4还有公因数2），需再除以 2，得到 1、3、2。 此时 1、3、2 两两互质，停止短除。将所有除数与底部商全部连乘，即为 LCM。 五、趣味挑战题（2 道综合压轴） 【趣味 1】 木棍刻度重合问题 【题目】120cm 木棍，每 10cm、12cm、15cm 各画刻度，沿刻度截断，木棍一共分成多少段？ 解： 先算三类刻度的点数（不计端点）： 10cm 刻度：120÷10−1 = 11 个 12cm 刻度：120÷12−1 = 9 个 15cm 刻度：120÷15−1 = 7 个 合计初步点数：11+9+7 = 27 个 再找重合刻度点（不同刻度画在同一位置，会重复计数）： 10和12 重合：lcm(10,12)=60，120÷60−1 = 1 个（60） 10和15 重合：lcm(10,15)=30，120÷30−1 = 3 个（30、60、90） 12和15 重合：lcm(12,15)=60，120÷60−1 = 1 个（60） 实际重合位置只有 3 个不同点：30、60、90。 其中： 30：被 10和15 重复，多算 1 次 60：被三组刻度同时重复，多算 2 次 90：被 10和15 重复，多算 1 次 总共多算次数：1+2+1 = 4 次 实际不重复刻度点数：27 − 4 = 23 个 沿 23 个刻度点截断，木棍被分成：23 + 1 = 24 段 答：木棍一共分成 24 段。 【趣味 2】 同余基础铺垫 【题目】一个数去除 38、56、74 后都余 2，这个数最大是多少？ 【解析】 因为这个数去除各数后都余 2，说明： 38 − 2 = 36 能被这个数整除 56 − 2 = 54 能被这个数整除 74 − 2 = 72 能被这个数整除 所以“这个数”是 36、54、72 的公因数，要求最大的，就是求它们的最大公因数： 短除： 2 | 36 54 72 3 | 18 27 36 3 | 6 9 12 2 3 4 (36, 54, 72) = 2 × 3 × 3 = 18 验算： 38 ÷ 18 = 2……2 ✅ 56 ÷ 18 = 3……2 ✅ 74 ÷ 18 = 4……2 ✅ 答：这个数最大是 18。 六、一题多解精选（求两数 GCD） 【题目】求 210、126 最大公因数 方法 1：短除法（课堂首选） 找出两个数共同的质因数作除数，连续短除： 2 | 210 126 3 | 105 63 7 | 35 21 5 3 2、3、7 是公共质因数，底部 5 和 3 互质，停止短除。 最大公因数 = 左侧所有除数相乘 方法 2：分解质因数法 分别分解质因数： 提取两组中相同质因数，取最小指数相乘： 公共质因数：2、3、7 方法 3：辗转相除法（大数竞赛速算） 规则：大数 ÷ 小数，得到余数；再用除数 ÷ 余数，循环到余数为 0，最后一次的除数就是最大公因数。 步骤 1： 步骤 2： 步骤 3： 余数为 0，除数 42 即为最大公因数。 答：210 与 126 的最大公因数是 42。 【点评】小数用短除，大数优先辗转相除法，三种方法原理互通，本质都是提取公有质因数。 七、基础必做习题（3 道） 【题目1】 用三种方法求 48、72 的 GCD、LCM； 【题目2】 长方形纸片长 90、宽 60，裁相同正方形无剩余，边长最大？能裁多少？ 【题目3】 一批书分给 6 人或 9 人都刚好分完，最少多少本？ 八、拓展拔高习题（2 道） 【拓展1】 一个数除以 12 余 5，除以 18 余 11，这个数最小是多少？ 【拓展2】 两数 GCD=8，LCM=96，其中一数 32，求另一数。 九、随堂小练完整参考答案 随堂小练 1 【题目】分别用短除法、辗转相除法求 108、144 的最大公因数与最小公倍数 解法 1：短除法 2 |108 144 2 | 54 72 3 | 27 36 3 | 9 12 3 4 最大公因数 最小公倍数 解法 2：辗转相除法求 GCD 余数为 0，除数 36 即为最大公因数 利用核心公式求 LCM： 答：最大公因数 36，最小公倍数 432。 随堂小练 2 【题目】一块长 84dm、宽 60dm 场地，分割相同正方形空地，边长最大多少？能分几块？ 解：求 84 和 60 的最大公因数 短除： 2 | 84 60 2 | 42 30 3 | 21 15 7 5 ，正方形最大边长 12 分米。 长边数量： 宽边数量： 总块数： 答：边长最大 12 分米，一共可以分割 35 块正方形。 随堂小练 3 【题目】甲每 4 天去图书馆，乙每 6 天去，今日同去，再过多少天再次相遇？ 解：求 4 和 6 的最小公倍数 短除： 2 | 4 6 2 3 答：再过 12 天两人会再次同时到图书馆。 十、基础必做题完整解答 基础 1 【题目】用三种方法求 48、72 的 GCD、LCM 方法 1 列举法 48 因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 72 因数：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72 公有最大因数 24， 48 倍数：48、96、144、192… 72 倍数：72、144、216… 最小公倍数 144， 方法 2 短除法 2 | 48 72 2 | 24 36 2 | 12 18 3 | 6 9 2 3 方法 3 分解质因数 GCD 取最低次幂： LCM 取最高次幂： 答：最大公因数 24，最小公倍数 144。 基础 2 【题目】长方形纸片长 90、宽 60，裁相同正方形无剩余，边长最大？能裁多少？ 解：求 90 与 60 的最大公因数 短除： 2 | 90 60 3 | 45 30 5 | 15 10 3 2 ，最大边长 30。 长边块数： 宽边块数： 总块数： 答：正方形边长最大 30，一共可裁 6 块。 基础 3 【题目】一批书分给 6 人或 9 人都刚好分完，最少多少本？ 解：求 6、9 最小公倍数 短除： 3 | 6 9 2 3 答：这批书最少 18 本。 十一、拓展习题完整解答 拓展 1 余数变形 · 补缺法应用 ★★★竞赛 【题目】一个数除以 12 余 5，除以 18 余 11，这个数最小是多少？ 解： 观察余数与除数的关系： 12 − 5 = 7 18 − 11 = 7 发现：这个数 加上 7 之后，既能被 12 整除，也能被 18 整除。 因此，这个数 + 7 一定是 12 和 18 的公倍数。 先求 12 和 18 的最小公倍数： 短除： 2 | 12 18 3 | 6 9 2 3 [12, 18] = 2×3×2×3 = 36 最小的公倍数是 36，所以： 这个数 + 7 = 36 这个数 = 36 − 7 = 29 验算： 29 ÷ 12 = 2……5 ✅ 29 ÷ 18 = 1……11 ✅ 答：这个数最小是 29。 【方法总结】 余数变形题中，若“除数 − 余数”的差相同，说明该数补上这个差后，就能同时被几个除数整除——此时转化为求最小公倍数。 拓展 2 【题目】两数 GCD=8，LCM=96，其中一数 32，求另一数 解：使用核心公式 设另一个数为 验算：，条件匹配 答：另一个数是 24。 十二、本讲总结 （一）思维导图 （二）核心速查表 题型特征 求解目标 解题操作 均分无剩余、最大边长、最多分组 最大公因数 GCD 短除取左侧除数相乘 同时发生、最少总量、刚好排满 最小公倍数 LCM 短除全部数字连乘 分物品有余数 GCD 总数减掉余数再求公因 分物品缺少若干 GCD 总数补上缺量再求公因 已知 GCD、LCM 求其中一数 逆用定理 乘积 ÷ 已知数 （三）记忆口诀 公因公倍有诀窍，短除方法最牢靠； 半边相乘最大公，全乘一起最小公； 最多分组求公因，最少周期找公倍； 有余减、缺则加，大数辗转算得快； 乘积公式灵活用，数论难题轻松解。 【老师的话】 本讲是五年级下册奥数数论入门第一课，所有计算方法、应用题模型将贯穿分数、周期、同余后续全部奥数专题，课后务必完成全部随堂练与拔高题，熟练区分两类核心应用题，下一讲将结合分解质因数深化综合计算。 学科网（北京）股份有限公司 $