奥数培优第4讲 余数与同余初步（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

小学五年级下册奥数培优讲义 第4讲 余数与同余初步 ——带余除法的性质与应用—— 适用年级：五年级 知识模块：数论 难度星级：★★★★☆ 建议课时：2课时 一、学习目标 1. 理解带余除法的本质，掌握被除数、除数、商、余数四者之间的内在联系； 2. 熟练运用余数的五大性质，能够灵活解决和、差、积、幂的求余问题； 3. 学会将周期问题、数位问题、实际分配问题转化为余数模型，提升数学建模能力； 4. 初步掌握"逐步约束法"和"周期法"两种重要的数论解题策略。 二、知识导航 在整数除法中，当被除数不能被除数整除时，就会产生余数。余数问题看似简单，却蕴含着丰富的数学思想——它是连接"整除"与"不整除"的桥梁，也是周期现象、分类讨论、逐步逼近等数学方法的天然载体。本讲将从基本关系式出发，系统梳理余数的核心性质，并通过丰富的题型展示其广泛应用。 【知识体系图】 基本关系 核心性质 应用场景 a = bq + r 0 ≤ r < b ①余数小于除数 ②和的余数=余数和 ③差的余数=余数差 ④积的余数=余数积 ⑤同余则差整除 周期推算 数位定位 分配问题 极值求解 基础层 核心层 拓展层 三、知识点精讲 ◆ 带余除法的基本关系式 若被除数为 a，除数为 b，商为 q，余数为 r（a、b、q、r 均为非负整数，b＞0），则： a = b × q + r （0 ≤ r ＜ b） 由该式可变形得到： 除数 =（被除数 − 余数）÷ 商； 商 =（被除数 − 余数）÷ 除数。 ◆ 余数的五大重要性质 性质1：余数严格小于除数 在带余除法中，余数必须比除数小。这是余数最基本的约束，常用于确定除数的取值范围或检验计算正误。 【举例】31 ÷ 8 = 3……7，余数7＜除数8，正确；若写成31 ÷ 8 = 2……15则错误，因为15＞8。 性质2：同余则差可整除 若两个数 a、b 除以同一个数 c 的余数相等，则 a 与 b 的差一定能被 c 整除。记作：若 a ≡ b (mod c)，则 c | (a − b)。 【举例】29与17除以6的余数都是5，因此29 − 17 = 12能被6整除。 性质3：和的余数等于余数之和再取余 两数之和除以 c 的余数，等于这两个数分别除以 c 的余数相加后，再除以 c 所得的余数。 【举例】25、18除以7的余数分别为4和4，因此(25+18)除以7的余数等于(4+4)÷7的余数，即1。 性质4：积的余数等于余数之积再取余 两数之积除以 c 的余数，等于这两个数分别除以 c 的余数相乘后，再除以 c 所得的余数。 【举例】25、18除以7的余数分别为4和4，因此(25×18)除以7的余数等于(4×4)÷7的余数，即2。 性质5：性质可推广到多个数 上述和的余数与积的余数性质均可推广到任意多个数：多个数之和（或积）除以 c 的余数，等于各数分别除以 c 的余数之和（或积）再除以 c 的余数。 【举例】计算 123 × 456 × 789 除以11的余数，可先分别求各因数除以11的余数，再将余数相乘后除以11取余。 四、典例精析 【例1】商余相等的极值问题 【题目】 一个三位数除以23，商和余数恰好相等。这个三位数最大是多少？最小是多少？ 〖分析与解〗 设商和余数均为 r，则被除数 = 23 × r + r = 24r。 由余数性质知 r ＜ 23，即 r ≤ 22。 又因为被除数是三位数，所以 100 ≤ 24r ≤ 999。 由 24r ≥ 100 得 r ≥ 5（24×4=96 不足三位），由 r ≤ 22 得最大值。 最大值：r = 22 时，24 × 22 = 528。验证：528 ÷ 23 = 22……22 ✓ 最小值：r = 5 时，24 × 5 = 120。验证：120 ÷ 23 = 5……5 ✓ 答：这个三位数最大是528，最小是120。 【例2】逐步约束法 【题目】 一个自然数除以5余3，除以7余2。这个数最小是多少？在200～300之间有几个这样的数？ 〖分析与解〗 第一步：先列出"除以7余2"的数：2，9，16，23，30，37，…… 第二步：从中筛选"除以5余3"的数。 2÷5余2 ✗；9÷5余4 ✗；16÷5余1 ✗；23÷5余3 ✓！ 所以满足条件的最小数是23。 第三步：5和7的最小公倍数是35，因此所有满足条件的数可表示为 23 + 35k（k为非负整数）。 在200～300之间：23 + 35×5 = 198（偏小），23 + 35×6 = 233，23 + 35×7 = 268，23 + 35×8 = 303（偏大）。 符合条件的数为233和268，共2个。 答：最小是23；200～300之间有2个。 【例3】数位排列中的周期定位 【题目】 将自然数从1开始依次写下去，得到一个多位数：1234567891011121314…… 从左往右数，第2026个数字是几？ 〖分析与解〗 第一步：按位数分段统计。 一位数（1～9）：共9个数，占 9×1 = 9 个数字。 两位数（10～99）：共90个数，占 90×2 = 180 个数字。 前两段累计：9 + 180 = 189 个数字。 第二步：确定第2026个数字落在三位数段中的位置。 2026 − 189 = 1837，即从三位数开始的第1837个数字。 第三步：三位数每个占3位。1837 ÷ 3 = 612……1。 这说明前612个三位数（100～711）占了 612×3 = 1836 个数字，第1837个数字是第613个三位数的第1位。 第613个三位数是 100 + 612 = 712，其第1位数字是7。 答：第2026个数字是7。 【例4】商不变规律中的余数变化 【题目】 两个数相除，商是15，余数是7。如果被除数和除数同时乘4，新的商和余数各是多少？如果被除数和除数同时除以7（假设均能整除），新的商和余数又各是多少？ 〖分析与解〗 设 a ÷ b = 15……7，则 a = 15b + 7。由余数小于除数可知 b > 7，且 b 为整数，所以 b ≥ 8。 （1）被除数和除数同时乘4：被除数变为4a = 60b + 28，除数变为4b。 4a ÷ 4b = (60b + 28) ÷ 4b = 15……28。商不变，余数扩大4倍。 验证：因为 b ≥ 8，所以 4b ≥ 32，取b=14，则a=15×14+7=217。217÷14=15……7；乘4后868÷56=15……28 ，而 28 ＜ 4b 恒成立，所以余数 28 合法。 结论：商不变，余数扩大为原来的4倍（由7变为28）。 （2）被除数和除数同时除以7：设b=7k，则a=15×7k+7=7(15k+1)，均能被7整除。 新被除数 = a/7 = 15k + 1，新除数 = b/7 = k。 (15k+1) ÷ k = 15……1。商不变，余数缩小为原来的1/7。 验证：217÷7=31，14÷7=2，31÷2=15……1 ✓ 结论：商不变，余数缩小为原来的 1/7（由7变为1）。 答：同时乘4后商15余28；同时除以7后商15余1。 【特别提醒】 第（2）问中余数能直接除以7，是因为本题特殊数据下余数7恰好能被7整除。这并非普遍的运算规律！ 如果余数不能被除数整除，绝不能机械地“除以几”。遇到“同时除以”的题型，务必先代入变形，再根据“余数小于除数”重新确认余数。 【例5】幂的余数（周期法） 【题目】 求 2^2026 除以5的余数。 〖分析与解〗 直接计算2^2026数值太大，可利用余数的周期性简化。 列出2的幂除以5的余数： 2^1 = 2，余2；2^2 = 4，余4；2^3 = 8，余3；2^4 = 16，余1； 2^5 = 32，余2；2^6 = 64，余4…… 可见余数以"2，4，3，1"为周期循环，周期长度为4。 2026 ÷ 4 = 506……2，即2^2026的余数与2^2的余数相同。 2^2 = 4，除以5余4。 答：2^2026 除以5的余数是4。 【例6】实际应用——书店促销 【题目】 书店搞促销活动：每消费满40元赠送1张书签，每6张书签可兑换1本笔记本。小华累计消费了850元。（1）他最多能兑换几本笔记本？（2）如果想再多兑换1本，至少还要消费多少元？ 〖分析与解〗 （1）先求书签数量：850 ÷ 40 = 21……10，即获得21张书签（剩余10元不足40，不赠书签）。 再求可换笔记本数：21 ÷ 6 = 3……3，即可换3本笔记本，还剩3张书签。 （2）想再多兑换1本，意味着总共要兑换 3 + 1 = 4 本笔记本。 兑换4本共需书签：4 × 6 = 24（张）。 获得24张书签共需消费：24 × 40 = 960（元）。 因此还需消费：960 − 850 = 110（元）。 验证： 若再消费110元，总消费为960元，获得24张书签，24÷6=4本，恰好比原来多1本。 ✓ 答：（1）最多换3本；（2）至少还要消费110元。 【方法点拨】 本题的关键是分清"消费→书签"和"书签→笔记本"两级换算关系。第（2）问用"目标倒推法"比逐步累加更清晰：先确定目标书签数，再换算成消费金额，最后减去已消费金额。 【避坑指南】 第（1）问中剩余的10元只是未满40元的零头，无法单独兑换书签，只能累积到下次消费中。但用“目标倒推法”直接锁定总消费额，可以完美避开零头干扰，是最稳妥的做法。 五、课堂实战 ◆ 基础巩固（1～4题） 1. 在算式 □ ÷ 12 = △ …… ☆ 中，☆最大是多少？当△ = 8时，□最大是多少？ 2. 已知 a ≡ 5 (mod 9)，b ≡ 2 (mod 9)，求 (3a − 2b) 除以9的余数。 3. 一个两位数除以8，商和余数相等。请写出所有满足条件的两位数。 4. 有一列数：3，7，11，15，19，……（后一个数比前一个大4）。第80个数除以6的余数是多少？ ◆ 能力提升（5～7题） 5. 一个自然数除以6余4，除以8余4，除以10余4。这个数最小是多少？ 6. 分数 5/7 = 0.714285714285……，小数点后第100位数字是几？前100位数字之和是多少？ 7. 鸡和兔共40只，脚共有112只。鸡的数量除以兔的数量，商和余数各是多少？ 六、趣味综合压轴题 下面三道题目综合了余数性质、周期规律、最小公倍数等知识，兼具趣味性与挑战性，适合学有余力的同学深入探究。 【压轴题1】排队之谜 【题目】 五年级同学排队做操。如果每排站9人，则最后一排少4人；如果每排站12人，最后一排也少4人；如果每排站15人，最后一排还是少4人。已知五年级总人数在300～400之间，请问五年级共有多少人？ 【压轴题2】循环小数探秘 【题目】 已知 1/13 = 0.076923076923076923…… （1）这个循环小数的循环节有几位？ （2）小数点后第2026位数字是几？ （3）前2026位数字之和除以11的余数是多少？ 【压轴题3】棋盘上的余数 【题目】 在一个6×6的棋盘上，从左上角格子开始，按从左到右、从上到下的顺序依次填入1，2，3，4，…… （1）第28个数填在第几行第几列？ （2）第4行第5列的数除以8的余数是多少？ （3）棋盘上所有"除以5余2"的数之和是多少？ 七、一题多解 同一道题，从不同角度切入，往往能得到多种解法。掌握一题多解，能让你在考场上灵活应变！ 【题目】一个自然数除以5余3，除以7余2，求满足条件的最小正整数。 解法一：枚举筛选法（直观易懂） 先按"除以7余2"从小到大列举：2，9，16，23，30，37，…… 再逐一检验"除以5是否余3"： 2÷5余2 ✗；9÷5余4 ✗；16÷5余1 ✗；23÷5余3 ✓！ 所以满足条件的最小正整数是23。 解法二：逐步约束法（推荐） 设这个数为 N。由"除以5余3"，可设 N = 5k + 3（k为非负整数）。 代入"除以7余2"的条件：(5k + 3) ÷ 7 余2，即 5k + 3 ≡ 2 (mod 7)。 化简得 5k ≡ −1 ≡ 6 (mod 7)。 两边同时乘3（因为5×3=15≡1 mod 7，即3是5在模7下的逆元）：k ≡ 18 ≡ 4 (mod 7)。 最小的非负整数 k = 4，此时 N = 5×4 + 3 = 23。 解法三：公倍数调整法 先找一个满足"除以5余3"的数，比如3。但3÷7余3，不满足"除以7余2"。 每次加上5（保持除以5余3不变），观察除以7的余数变化： 3→余3，8→余1，13→余6，18→余4，23→余2 ✓ 加了4个5后满足条件，N = 3 + 5×4 = 23。 【方法对比】 枚举法最直观，适合小数字；逐步约束法逻辑严密，是解决中国剩余定理类问题的通用方法；公倍数调整法介于两者之间，通过"固定一个条件、调整另一个条件"来逼近答案。建议重点掌握逐步约束法。 【题目2】甲、乙两数的和是683，甲数除以乙数商13余25，求甲、乙两数。 解法一：方程法（代数思路） 设乙数为 x，则甲数 = 13x + 25。 由题意：x + (13x + 25) = 683 14x + 25 = 683 14x = 658 x = 47 甲数 = 683 − 47 = 636。 答：甲数是636，乙数是47。 解法二：算术法（和倍思路） 甲数除以乙数商13余25，说明甲数比乙数的13倍还多25。 把乙数看作1份，甲数就是13份 + 25。 两数之和 = 1份 + 13份 + 25 = 14份 + 25 = 683。 14份 = 683 − 25 = 658，1份 = 658 ÷ 14 = 47（乙数）。 甲数 = 47 × 13 + 25 = 611 + 25 = 636。 答：甲数是636，乙数是47。 解法三：线段图法（数形结合） 画线段图：乙数画1段，甲数画13段还多一小段（25）。 两数总和对应14段 + 25 = 683。 从总和中去掉多出的25，剩下658，正好对应14等份。 每等份 = 658 ÷ 14 = 47（即乙数）。 甲数 = 47 × 13 + 25 = 636。 答：甲数是636，乙数是47。 【方法对比】 三种方法思路相通，核心都是"先消去多出的零头，再求出1倍量"。方程法列式最直接，算术法锻炼逆向思维，线段图法一目了然。建议三种方法都能熟练运用，考试时择优使用。 【题目3】用一个整数去除210和402所得的余数相同，且商相差8，求这个数。 解法一：差量分析法（推荐） 因为两数除以同一除数余数相同，所以它们的差一定能被除数整除。 402 − 210 = 192。 又因为商相差8，说明402比210多了8个除数。 即 8 × 除数 = 192，除数 = 192 ÷ 8 = 24。 验证：210 ÷ 24 = 8……18，402 ÷ 24 = 16……18，余数相同，商差8，正确。 答：这个数是24。 解法二：设元推导法 设除数为 d，210 ÷ d = q……r，402 ÷ d = (q+8)……r。 则 210 = dq + r，402 = d(q+8) + r = dq + 8d + r。 两式相减：402 − 210 = 8d，即 192 = 8d，d = 24。 答：这个数是24。 解法三：枚举验证法 由余数相同可知，除数是 402 − 210 = 192 的约数。 192 = 2⁶ × 3，其正约数有：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 192。 逐一验证商差是否为8： 402 ÷ 24 = 16……18，210 ÷ 24 = 8……18，商差 16−8 = 8，符合条件。 （其余约数经验证均不满足商差为8） 答：这个数是24。 【方法对比】 差量分析法最为便捷，直接利用"商差×除数=被除数差"的关系；设元推导法逻辑严谨，有助于理解背后的原理；枚举验证法思路朴素但计算量较大，更适合作为检验手段。 八、练习答案详解 第1题 【答案】☆最大是11；□最大是107 余数必须小于除数12，所以☆最大是11。当△=8时，□ = 12×8 + 11 = 96 + 11 = 107。 第2题 【答案】余2 (3a − 2b) mod 9 = (3×5 − 2×2) mod 9 = (15 − 4) mod 9 = 11 mod 9 = 2。 第3题 【答案】18，27，36，45，54，63 设商和余数均为r（r＜8），则被除数 = 8r + r = 9r。 两位数要求 10 ≤ 9r ≤ 99，即 r ≥ 2（9×1=9为一位数），r ≤ 7（9×8=72但r<8）。 r = 2,3,4,5,6,7，对应两位数为18, 27, 36, 45, 54, 63。 第4题 【答案】余1 这是首项为3、公差为4的等差数列，第n项 = 3 + (n−1)×4 = 4n − 1。 第80项 = 4×80 − 1 = 319。319 ÷ 6 = 53……1，所以余数是1。 第5题 【答案】124 三个条件余数都是4，说明 N − 4 能同时被6、8、10整除。 6 = 2×3，8 = 2³，10 = 2×5，最小公倍数 LCM(6,8,10) = 2³×3×5 = 120。 所以 N − 4 = 120，N = 124。验证：124÷6=20……4 ✓，124÷8=15……4 ✓，124÷10=12……4 ✓ 第6题 【答案】第100位是2；前100位数字之和是446 循环节为"714285"，共6位。 （1）100 ÷ 6 = 16……4，第100位对应循环节第4位，即2。 （2）循环节数字和 = 7+1+4+2+8+5 = 27。 前100位包含16个完整循环节，再加循环节前4位（7,1,4,2）。 总和 = 16×27 + (7+1+4+2) = 432 + 14 = 446。 第7题 【答案】商1，余数8 设鸡有x只，兔有y只。x + y = 40，2x + 4y = 112。 由第一式 x = 40 − y，代入第二式：2(40−y) + 4y = 112，80 + 2y = 112，y = 16。 x = 40 − 16 = 24。24 ÷ 16 = 1……8。 第8题 【压轴题1·排队之谜】【答案】356人 "每排9人少4人"即总人数除以9余5（9−4=5）；同理，除以12余8，除以15余11。 观察：9−5=4，12−8=4，15−11=4，即总人数+4能同时被9、12、15整除。 LCM(9,12,15) = 180。总人数 = 180k − 4。 在300～400之间：k=2时，180×2−4 = 356。 验证：356÷9=39……5（少4人）✓，356÷12=29……8（少4人）✓，356÷15=23……11（少4人）✓ 第9题 【压轴题2·循环小数探秘】【答案】(1)6位 (2)9 (3)余2 （1）循环节为"076923"，共6位。 （2）2026 ÷ 6 = 337……4，第2026位对应循环节第4位，即9。 （3）循环节数字和 = 0+7+6+9+2+3 = 27。 前2026位和 = 337×27 + (0+7+6+9) = 9099 + 22 = 9121。 9121 ÷ 11 = 829……2，所以余数是2。 第10题 【压轴题3·棋盘上的余数】【答案】(1)第5行第4列 (2)余7 (3)119 （1）每行6个数。28 ÷ 6 = 4……4，即前4行排满24个，第28个在第5行第4列。 （2）第4行第5列：前3行共18个数，第4行第5列是第18+5=23个数。23 ÷ 8 = 2……7，余7。 （3）6×6=36个数中，除以5余2的数为：2, 7, 12, 17, 22, 27, 32（2+5k≤36，k=0～6，共7个）。 和 = 2+7+12+17+22+27+32 = (2+32)×7÷2 = 119。 九、知识小结 本讲以"余数"为核心，涵盖了基本关系式、五大性质及多种应用题型。请重点掌握以下要点： ★ 基本公式：a = bq + r（0 ≤ r ＜ b），这是所有余数问题的根基。 ★ 极值意识：余数＜除数，常用于求最大/最小被除数、确定除数范围。 ★ 和差积余：和的余数=余数和再取余，差的余数=余数差再取余（注意负数转正），积的余数=余数积再取余。 ★ 周期方法：幂的余数、循环小数、数列等问题中，余数往往呈现周期性，找到周期是关键。 ★ 逐步约束：多个余数条件同时满足时，先写出一个条件的通式，再代入另一个条件求解。 ★ 建模转化：将排队、促销、数位、棋盘等实际问题翻译为余数语言，是数学应用能力的体现。 【易错提醒】 ⚠ 余数必须小于除数陷阱：余数可以等于或大于除数吗？绝对不可以！余数必须严格小于除数。 ⚠ 余数负数陷阱：计算差的余数时，若余数之差为负数，须加上除数化为正余数。 ⚠ 商不变规律中的余数陷阱：被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变，余数也乘这个数（需保证新余数小于新除数，通常需要简单验证）。被除数和除数同时除以一个相同的数（必须都能整除），商不变，但余数不能简单照搬除以这个数！只有当余数本身也能被这个数整除时，余数才会同比例缩小；否则必须通过变形公式重新计算。总之，遇到“同时除以”，务必小心验证。 ⚠ 幂的余数只看前几项陷阱：求幂的余数时，必须先找到完整周期再计算，不能只看前几项就下结论。 ⚠ 正确认知余数陷阱："每排少几人"要正确翻译为余数：每排n人少k人，即除以n余(n−k)。 —— 祝贺你完成了本讲学习 · 再接再厉 —— 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