第二十五章一元二次方程单元练习题2026—2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上学期一元二次方程单元卷，全面覆盖概念、解法及应用，通过分层设计与真实情境融合，培养抽象能力、运算能力和模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、解法选择、根的判别式|结合《四元玉鉴》古代数学问题与概念辨析| |填空题|5/15|公式法参数、病毒传染、物理上抛|融入黄金分割文化元素与科学情境| |解答题|9/75|解法应用、研学收费、果园规划|分层设计实际问题，综合考查模型构建与探究能力|

第二十五章一元二次方程单元练习题2026—2027学年度人教版九年级数学上学期 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1.下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.方程的根为(    ) A. B. ， C. D. ， 3.方程化成一般形式后，若二次项系数为，则常数项为(    ) A. B. C. D. 4.若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.用配方法解方程，变形后的结果正确的是(    ) A. B. C. D. 6.有下列方程：；；，则解上述方程较适合的方法为  (    ) A. 直接开平方法，因式分解法，配方法 B. 因式分解法，分解法，直接开平方法 C. 公式法，直接开平方法，因式分解法 D. 直接开平方法，公式法，因式分解法 7.关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 8.如图，长方形铁皮的长为，宽为，现在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 9.我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中表示  (    ) A. 剩余椽的数量 B. 这批椽的数量 C. 剩余椽的运费 D. 每株椽的价钱 10.已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，设，，，则的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 11.用公式法解方程时，           ，           ，           ． 12.若是关于的一元二次方程的一个根，则常数的值为          ． 13.调查发现：某病毒人传人，人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有人感染，假设每轮每人传染的人数相同，则每轮每人传染          人 14.根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过秒物体离地面的高度单位：约为根据上述规律，物体经过          秒落回到地面． 15.人们把叫做黄金分割数．五角星是常见的图案，如图，在五角星中存在黄金分割数，，若，则          ． 三、解答题：本题共9小题，共75分. 16.本小题分用指定的方法解一元二次方程： 直接开平方法； 配方法； 公式法； 因式分解法． 17.本小题分用适当的方法解下列方程： ； ； ； ． 18.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个不等的实数根； 若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 19.本小题分 研究旅行继承和发展了我国传统游学、“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某校八班组织学生进行“一日研学”活动，某旅行社推出了如下收费标准：如果人数不超过人，人均旅游费用为元；如果超过人，则每超过人，人均旅游费用降低元，但人均旅游费用不能低于元． 当参加人数人时，人均旅游费用________元；当参加人数人时，人均旅游费用________元； 已知该班实际人数超过人，共支付给旅行社问：共有多少名同学参加了研学活动？ 20.本小题6分 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，即，解得，． 当时，，， 当时，，， 原方程的解为，，，． 以上方法叫作换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想用上述方法解下列方程： ． 21.本小题分 如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门建在处，另用其他材料． 若花圃的面积为，求花圃的一边的长； 花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 22.本小题分 随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月份游客人数为万人，月份游客人数为万人． 求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率． 预计月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率已知该景区月日至月日已接待游客万人，则月份后天日均接待游客人数最多是多少万人？ 23.本小题8分 年暑期，某区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共棵进行栽种其中小叶榕每棵元，香樟每棵元，经测算，购买两种树共需元． 原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ 实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元，且两种树的售价每降低元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕棵，香樟棵物业管理公司实际购买的费用比原计划多元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 24.本小题分 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材 某农户承包了一块矩形果园，图是果园的平面图，其中，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为，左右两条纵向道路的宽度都为，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是元；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过，且不小于． 素材 该农户发现某种草莓销售前景比较不错，经市场调查发现，草莓培育一年可产果，已知每平方米草莓的平均销售利润为元；果园每年的承包费为万元，期间需一次性投入万元购进新苗，每年还需万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响问题． 请直接写出纵向道路宽度的取值范围； 若中间种植区域的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求？ 任务 解决果园种植的预期净利润问题．净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用 经过年后，该农户是否可以达到预期净利润万元？请说明理由． 参考答案 1.D 2.D 3.C 4.C 5.A 6.D 7.A 8.A 9.B 10.A，，， ， ，是方程的两个实数根， ，， 原式． 故选：． 11. 12.  13.  14.  15.  16.【小题】原方程化为，，解得，  【小题】 ，，，，，则， 【小题】 ，，，．．，  【小题】原方程化为，，解得，  17.【小题】， 【小题】， 【小题】， 【小题】， 18.【小题】证明：因为关于的方程中，，，，  所以，  所以方程总有两个不等的实数根． 【小题】 19.；  ； 设共有名同学参加了研学活动，  根据题意，得：，  整理，得：，  解得：，，  ，  ，  ，  答：共有名同学参加了研学活动．  20.【小题】方程的解为，，， 【小题】方程的解为，． 21.设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：花圃的一边的长为； 花圃的面积不能达到，理由如下： 假设花圃的面积能达到，设，则， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程无实数根， 假设不成立，即花圃的面积不能达到． 设，则，根据花圃的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长，即可确定结论； 假设花圃的面积能达到，设，则，根据花圃的面积为，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程无实数根，进而可得出假设不成立，即花圃的面积不能达到． 22.【小题】设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为． 依题意，得，解得，不合题意，舍去答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为． 【小题】设月份后天日均接待游客人数是万人． 依题意，得，解得答：月份后天日均接待游客人数最多是万人． 23.设原计划购买小叶榕棵，香樟棵， 根据题意得：，解得：． 答：原计划购买小叶榕棵，香樟棵； 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， ． 答：物业管理公司实际购买两种树共棵．  24.道路宽度不超过米，且不小于米， 纵向道路宽度的取值范围为； 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ， 符合题意， 路面设置的宽度符合要求； 经过年后，农户可以达到预期净利润万元，理由如下： 假设经过年后，农户可以达到预期净利润万元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又， 符合题意， 假设成立， 即经过年后，农户可以达到预期净利润万元．  1 学科网（北京）股份有限公司 $