第25章 一元二次方程中含参数问题 专项提升 2026-2027学年人教版（数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程含参数问题，以定义、判别式、韦达定理为核心，构建"概念-原理-应用"递进式方法体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5题|定义法（二次项系数非零、最高次数2）|从定义出发确定参数基本限制| |根的判别式|7题|判别式法（Δ=b²-4ac与根的个数关系）|通过判别式建立参数与根的数量关系| |韦达定理|6题|韦达定理应用（x1+x2=-b/a，x1x2=c/a变形）|利用根与系数关系构建参数与根的代数关系| |综合应用|5题|模型转化与创新迁移（如"换位方程"定义迁移）|整合多方法解决复杂情境问题，形成递进逻辑|

第25章 一元二次方程 一元二次方程中含参数问题 专项提升 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上学期 一、单选题 1．是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若是方程的一个解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 A．4 B． C．2 D． 4．设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（   ） A．或 B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 二、填空题 6．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 7．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 8．若是关于的方程的解，则_____． 9．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 10．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是_______． 11．已知m为方程的根，那么的值为______． 三、解答题 12．当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 13．已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 14．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若，为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求的值． 15．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若，求一元二次方程的根； (3)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 16．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根； (2)当的斜边长，且两条直角边和恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 17．已知一元二次方程有两个根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，满足，求m的值． 18．定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 19．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 A B D B C 1．A 本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到，进行求解即可． 解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴； 故选A． 2．B 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可． 解：把代入方程得，， 解得． 故选：B． 3．D 本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴判别式， 解得： 故选：D． 4．B 本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意可得，，由可得，结合求出或，由题意可得，求出，即可得解． 解：∵a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴由可得：， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 由题意可得， 解得：， ∴， 故选：B． 5．C 本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 6． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 7． 根据一元二次方程的定义，求出，再根据判别式与根的关系进行求解即可． 解：由题意可知，且， 即且， ∴． ∴原一元二次方程可化为， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． ∴． 8． 根据方程的解的定义，将代入原方程得到的值，再整体代入所求代数式求值即可． 解：是关于的方程的解， ， 整理得， 即， ． 9． 根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 10．且 根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，根据方程有两个实数根可得根的判别式大于等于0，联立不等式求解即可得到的取值范围． 解：是关于的一元二次方程， ， 一元二次方程有两个实数根， ， 化简得， 解得， 因此的取值范围是且． 11．0 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，则，进而可得，，进一步可得，再把所求式子变形为，据此求解即可． 解：∵m为方程的根， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 12．(1)或 (2) 本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； （1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 13．证明：关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根， ， ， ， ， ∴是非负数． 首先根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，然后代入得，即可得出结论． 略 14．(1)见解析 (2)或6或15 本题考查一元二次方程根的判别式及解方程，掌握公式准确计算是本题的解题关键． （1）计算方程的判别式得出即可证明结论； （2）设方程的两个根为，，得，．由求根公式得．进而得必须是整数． 设（k为整数），则．可得，即，由m，n，k均为整数，且p为非负整数，可得，再验证即可求得答案． （1）证明：， ， ， ，， ， 方程总有两个实数根； （2）解：， ， 设方程的两个根为，． ，． 方程的求根公式为． ，则． 因为方程的两个实数根均为整数，且p为非负整数，所以必须是整数． 设（k为整数），则． 当（m，n为整数，且），两式相减得，． ， ， ， ， m，n，k均为整数，且p为非负整数， ， 当时，，此时． 当，，（舍负）， 当，时， ，，（舍负）， 其它情况不合题意， 综上，的值为0或6或15． 15．(1) (2) (3) 本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据有两个不相等的实数根得到，解不等式即可得到答案； （2）把代入，解一元二次方程即可； （3）根据一元二次方程根与系数的关系求出，即可得到答案． （1）解：方程有两个不相等的实数根， ， ； （2）解：把代入，得， ， 解得； （3）解：，， ， 解得． 16．(1)见解析 (2)的周长为． 本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理． （1）根据即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根； （2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案． （1）证明：， ∵，，， ∴ ， ∴无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根； （2）解：∵和是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∵是直角三角形，且斜边长， ∴，即， ∴， 整理得， 解得或， ∵和是直角边， ∴和是正数， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， ∴的周长为． 17．(1) (2) 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式． （1）利用根的判别式即可解决问题； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得，，再将变形得，即可得关于m的方程，解方程即可． （1）解：∵一元二次方程有两个根， ∴， 解得， ∴m的取值范围是； （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴，， 又∵， ∴， 则， 解得或4， 又∵， ∴． 18．(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 （1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． （1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 19．(1) (2) （1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． （1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 学科网（北京）股份有限公司 $