2026—2027学年九年级数学上学期开学学情自测卷（测试范围：人教版八年级数学下册）

**基本信息** 这份开学学情自测卷聚焦八年级下册核心知识，通过《周髀算经》勾股定理验证、书香校园采购等文化与现实情境，结合“镜函数”新定义、正方形旋转综合题，分层检测学生数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|函数定义、统计量、平行四边形性质|第8题用《周髀算经》情境验证勾股定理，渗透文化传承| |填空题|6/18|加权平均数、菱形性质、一次函数平移|第14题直线平移与坐标轴交点结合，考察空间观念| |解答题|9/72|勾股定理应用、统计分析、新定义函数、几何综合|24题“镜函数”新定义问题培养创新意识；25题正方形旋转综合发展推理能力|

2026—2027学年人教版九年级数学上册秋季开学学情自测卷 （测试范围：人教版八年级下册） 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。) 1．下列各曲线中哪些不是表示y是x的函数（   ） A． B． C． D． 2．调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表： 年龄/岁 11 12 13 14 15 人数 3 4 5 2 1 则该足球队队员年龄的第三四分位数是（     ） A．15岁 B．14岁 C．13岁 D．12岁 3．若二次根式有意义，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，下列函数图象可能是一次函数的图象的是（     ） A． B． C． D． 6．如下图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形 7．小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 8．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五的记载，如图1是由边长均为1的小正方形和构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入“长方形，则该长方形的面积为（    ） A．120 B．140 C．130 D．110 9．如图，，，，，是的中点．则的长是（     ） A．4 B． C． D． 10．如图，在正方形中，为中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则正方形的边长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．某地招录教师要进行笔试和面试，其中笔试占，面试占．莫小贝也参与了这次教师招录考试，她的笔试成绩80分，面试成绩90分，莫小贝的最后成绩是_________分． 12．如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为9、5．则的长为________．    13．如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，，则的长为_____． 14．如图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移与轴、轴分别交于点、，若，则直线的函数表达式为____． 15．若一次函数的函数值随自变量的增大而减小，则的取值范围是__________． 16．如图，中，，，，点，分别在，上，且，若，则的长是__________． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．计算：． 18．已知一次函数． (1)若其图象与x轴交于点，求k的值； (2)当k为何值时，y随x的增大而减小？ 19．如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，求这块地的面积． 20．某学校开展了阳光体育活动，倡导同学们课余练习足球、篮球、排球及乒乓球等项目，一段时间后，随机调查了一部分学生参与锻炼的体育项目个数，并进行了统计，绘制出统计图①和图②．请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生人数为_____，图①中的值为_____，这组数据的众数为_____，中位数为_____； (2)求本次抽测的这组数据的平均数； (3)若该校有名学生，试估计该校学生参与锻炼的体育项目个数为的人数约为多少？ 21．如图，在中，，，点为垂足，，．求： (1)的面积； (2)斜边的长； (3)斜边上的高的长． 22．如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 23．为扎实推进中小学“书香校园”标准化建设，弘扬中华传统文化，某校计划采购甲、乙两类经典课外读物丰富馆藏．据了解，甲类读物每本比乙类读物每本低元，用元购买甲类读物的数量和用元购买乙类读物的数量相同． (1)求甲、乙两类读物的单价各是多少元； (2)若学校计划采购两类读物共本，且购买甲类读物的数量不超过乙类读物数量的倍，则购买甲、乙两类读物各多少本时，总采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 24．我们约定：关于的一次函数和，满足，则称和互为“镜函数”请根据该约定，解答下列问题： (1)若关于的一次函数和互为“镜函数”，则_____，_____． (2)关于的一次函数与它的“镜函数”交点为，关于的一次函数与它的“镜函数”交点为，当时，求的范围． (3)已知关于的一次函数（其中）的图像是直线，它的“镜函数”图像是直线，且与的交点为．点关于的对称点为，点关于的对称点为．当以为顶点的四边形是平行四边形时，求该平行四边形的面积． 25．如图，将正方形的边绕点逆时针旋转至，旋转角为，连接，，的角平分线交于点，连接． (1)当时，求旋转角的度数； (2)求证：为等腰直角三角形； (3)求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B A D C D D B 11． 12．2 13． 14．． 15． 16． 17．【详解】解：原式 18．【详解】（1）解：把代入得， 解得； （2）解：由题意得， 解得， ∴当时，y随x的增大而减小． 19．【详解】连接AC，则在Rt△ADC中， AC2＝CD2+AD2＝122+92＝225， ∴AC＝15，在△ABC中，AB2＝625， AC2+BC2＝152+202＝625， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴∠ACB＝90°， ∴S△ABC﹣S△ACD＝AC•BC﹣AD•CD＝×15×20﹣×12×9＝96． 答：这块地的面积是96平方米． 20．【详解】（1）解：本次调查的学生人数为（人）， ∵项所占百分比为， ∴． 参与个项目的人数最多，为人，故众数为． 将数据从小到大排列，第、个数据分别为和， ， 故中位数为． （2）解：， 这组数据的平均数为； （3）解：（人）． 估计该校学生参与锻炼的体育项目个数为的人数约为人． 21．【详解】（1）解：． （2）解：∵在中，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴． 22．【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ， ∵四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ， 设， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， ∴菱形的面积． 23．【详解】（1）解：设甲类读物每本元，则乙类读物每本元， 由题意得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， 故甲类读物每本元，乙类读物每本元． （2）解：设购买甲类读物本， 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴的最大值为， 设总采购费用为元，则， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，总采购费用最小为：（元）． 故当购进本甲类读物，本乙类读物时，总采购费用最少，最少采购费用是元． 24．【详解】（1）解：根据“镜函数”的定义可得， ∴， 解得； （2）解：依题可得的镜函数是， 联立得，解得，则． 同理可得． 由得，整理得， 则或，解得． （3）解：联立， 解得，则． 整理得， 当时， 过定点． 在中，当时， 与轴交点为． ， ， ∴， 经过第一、二、三象限． 同理可得过定点，与轴交点， 经过第二、三、四象限，且与的图像关于轴对称，如图1所示。 关于对称， 是线段的对称轴， ． 同理． 由与的图像关于轴对称，在轴上可得，如图2所示， 当四边形为平行四边形时，， ， ，且， ∴四边形为菱形，且为等边三角形． ． ， 在Rt中，． 连接交于，在Rt中，，则， 菱形面积． 25．【详解】（1）解：平分， ， ， ， 由旋转可得，且四边形为正方形， ，， ， ， 在中，，即， ． (2)证明：在和中，， ， ，， 由（1）证得：， ， 且， ， 为等腰直角三角形． （3）解：过点作， ， ， ， ， 由（2）可知，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $