九年级数学开学摸底考（华东师大版七八九全册）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

2024-2025学年九年级下学期开学摸底考 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. _____________ 12. ________________ 13. ________________ 14._____ ______15. ________________ 16. ________________ 17. _____________18. _____ ______ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 证明：在中， ①_______ 又，D为BC中点 ②_______ 又，D为BC中点 又 ③_______ 在和中， ． 小北在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则⑤_______． 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华师大版七八九年级全部。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．－2的倒数的相反数为（    ） A．2 B．－2 C． D． 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式 B．数据，，，，的中位数是4 C．“清明时节雨纷纷”是必然事件 D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为，则乙的成绩比甲的稳定 4．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 5．估算的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 6．如图，在正方形中，点E，F分别在，边上，且，以为斜边向左侧作等腰，连接和，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．如图，正方形中，点E、F分别在对角线、边上，连接，取线段的中点O，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 10．已知多项式，多项式． ①若，则代数式的值为； ②当，时，代数式的最小值为； ③当时，若，则关于的方程有两个实数根； ④当时，若，则的取值范围是． 以上结论正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 11． ． 12．有四张大小和形状完全相同的卡片，卡片上分别写有，，3，4，从这四张卡片中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积大于0的概率是 ． 13．如图，边长为与的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，连接，则圆弧与线段所围成的阴影部分的面积是 （结果保留）． 14．如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结．延长交于点E，若，，则的半径为 ， ． 15．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上， ，将向右平移到位置，反比例函数的图象经过点A，交边于点F，若，，则k的值是 ． 16．若关于的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 17．如图，在矩形中，，点在线段上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在线段上的点处，则的长为 ． 18．一个正整数能够写成两个正整数与的差与它们的乘积之和，即，那么叫做“成长数”．例如，所以与都是“成长数”．若，则满足条件的“成长数”中最大的数是 ；若，取、中较大的数为个位数字，较小的数为十位数字组成的两位数记为，将的个位数字与十位数字交换后形成的新两位数记为．记，，若为完全平方数，且能被整除，则满足条件的“成长数”的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，19题为8分，20-26题各为10分，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算： (1)； (2)． 20．小北在学习完直角三角形后，小北进行了如下思考：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，当两条射线互相垂直时，两交点与斜边中点所连线段有什么数量关系?请根据他的思考完成以下作图与填空． 已知：在中，，E为边上一点，D为边中点． (1)尺规作图：过点D作直线的垂线，交于点F（只保留作图痕迹） (2)求证：． 证明：在中， ①_______ 又，D为BC中点 ②_______ 又，D为BC中点 又 ③_______ 在和中， ． 小北在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则⑤_______． 21．芒果在海南是常见水果，品种很多，象牙芒、白玉芒、青皮芒、吕宋芒、鸡蛋芒、龙井大芒和秋芒等都为我国大陆稀有．芒果肉质细腻，气味香甜，口感适宜，含有丰富的维生素，有“热带果王”之称．某电商将海南、两村村民的特产“象牙芒”在抖音平台进行销售（每箱象牙芒规格一致），该电商平台从、两村各抽取15户进行了抽样调查，并对每户每月销售的象牙芒箱数用表示，进行了数据整理、描述和分析，下 面给出了部分信息： 村卖出的象牙芒箱数为的数据有：400，490，420，420，430 村卖出的象牙芒箱数为的数据有：400，430，480，460 象牙芒箱数 村 0 3 5 5 2 村 1 4 5 平均数、中位数、众数如表所示 村名 平均数 中位数 众数 村 488 590 村 474 460 560 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中_________，_________，_________． （2）你认为、两村中哪个村的象牙芒卖得更好？请说明理由（写出一条理由即可） （3）在该电商平台进行销售的、两村村民共210户，若该电商平台把每月的象牙芒销售量在范围内的村民列为重点扶贫对象，估计两村共有多少户村民会被列为重点扶贫对象？ 22．成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”的周边商品的销量不断上升．一家网店的店主统计了前两周的“蓉宝”单肩包的销售情况，发现第一周A型单肩包的销量是100个，B型单肩包销量是120个，总利润是2800元；第二周A型单肩包的销量是180个，B型单肩包的销量是200个，总利润是4800元． (1)请问1个A型单肩包、1个B型单肩包的利润分别是多少元？ (2)店主在第三周调整了价格，A型单肩包每个涨价元，B型单肩包每个降价a元，统计后发现，调整后的这周A、B两种型号单肩包的销量一样，并且A型单肩包的总利润达2400元，B型单肩包的总利润达2600元．求出a的值． 23．如图，在中，，，，动点P以每秒1个单位，动点Q以每秒个单位长度的速度同时从点C出发，点P沿折线方向运动，点Q沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点P，Q距离大于5个单位长度时x的取值范围． 24．某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展研学旅行，同学们来到入口A观测到山顶D在仰角的地方（学生身高忽略不计），然后水平前行了27米，到达一个岔路口B处，从这里上山有两条路线．路线一：沿着一个坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一条长500米，且与水平线夹角为的索道上山；路线二：继续沿水平路线前行到山脚E，然后乘坐山体电梯直达山顶D（山体电梯与水平地面垂直）．（参考数据：，，，，） (1)求山顶D离水平地面的高度为多少米？（结果精确到1米） (2)若师生的步行速度为50米分，索道的运行速度为70米分，山体电梯的运行速度为180米分．张老师带领部分同学选择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从B点一起出发，请问哪个队伍先到山顶？（结果精确到个位） 25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接，且，点G为线段的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作于点H，点E、F是线段上两动点（点E在F的右侧），且，连接、．当取最大值时，求出此时点P的坐标及的最小值； (3)如图2，连接，将该抛物线沿射线方向平移5个单位得新抛物线，点Q为新抛物线上的一个动点，直线与线段交于点N，与y轴交于点M，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 26．已知，在中，，，以为边向下作一个且，连接． (1)如图1，若，当时，求线段的长度；； (2)如图2，若点E是线段的中点，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并给出证明； (3)在（2）的条件下，当取得最小值时，请直接写出的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华师大版七八九年级全部。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．－2的倒数的相反数为（    ） A．2 B．－2 C． D． 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式 B．数据，，，，的中位数是4 C．“清明时节雨纷纷”是必然事件 D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为，则乙的成绩比甲的稳定 4．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 5．估算的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 6．如图，在正方形中，点E，F分别在，边上，且，以为斜边向左侧作等腰，连接和，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．如图，正方形中，点E、F分别在对角线、边上，连接，取线段的中点O，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 10．已知多项式，多项式． ①若，则代数式的值为； ②当，时，代数式的最小值为； ③当时，若，则关于的方程有两个实数根； ④当时，若，则的取值范围是． 以上结论正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 11． ． 12．有四张大小和形状完全相同的卡片，卡片上分别写有，，3，4，从这四张卡片中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积大于0的概率是 ． 13．如图，边长为与的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，连接，则圆弧与线段所围成的阴影部分的面积是 （结果保留）． 14．如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结．延长交于点E，若，，则的半径为 ， ． 15．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上， ，将向右平移到位置，反比例函数的图象经过点A，交边于点F，若，，则k的值是 ． 16．若关于的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 17．如图，在矩形中，，点在线段上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在线段上的点处，则的长为 ． 18．一个正整数能够写成两个正整数与的差与它们的乘积之和，即，那么叫做“成长数”．例如，所以与都是“成长数”．若，则满足条件的“成长数”中最大的数是 ；若，取、中较大的数为个位数字，较小的数为十位数字组成的两位数记为，将的个位数字与十位数字交换后形成的新两位数记为．记，，若为完全平方数，且能被整除，则满足条件的“成长数”的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，19题为8分，20-26题各为10分，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算： (1)； (2)． 20．小北在学习完直角三角形后，小北进行了如下思考：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，当两条射线互相垂直时，两交点与斜边中点所连线段有什么数量关系?请根据他的思考完成以下作图与填空． 已知：在中，，E为边上一点，D为边中点． (1)尺规作图：过点D作直线的垂线，交于点F（只保留作图痕迹） (2)求证：． 证明：在中， ①_______ 又，D为BC中点 ②_______ 又，D为BC中点 又 ③_______ 在和中， ． 小北在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则⑤_______． 21．芒果在海南是常见水果，品种很多，象牙芒、白玉芒、青皮芒、吕宋芒、鸡蛋芒、龙井大芒和秋芒等都为我国大陆稀有．芒果肉质细腻，气味香甜，口感适宜，含有丰富的维生素，有“热带果王”之称．某电商将海南、两村村民的特产“象牙芒”在抖音平台进行销售（每箱象牙芒规格一致），该电商平台从、两村各抽取15户进行了抽样调查，并对每户每月销售的象牙芒箱数用表示，进行了数据整理、描述和分析，下 面给出了部分信息： 村卖出的象牙芒箱数为的数据有：400，490，420，420，430 村卖出的象牙芒箱数为的数据有：400，430，480，460 象牙芒箱数 村 0 3 5 5 2 村 1 4 5 平均数、中位数、众数如表所示 村名 平均数 中位数 众数 村 488 590 村 474 460 560 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中_________，_________，_________． （2）你认为、两村中哪个村的象牙芒卖得更好？请说明理由（写出一条理由即可） （3）在该电商平台进行销售的、两村村民共210户，若该电商平台把每月的象牙芒销售量在范围内的村民列为重点扶贫对象，估计两村共有多少户村民会被列为重点扶贫对象？ 22．成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”的周边商品的销量不断上升．一家网店的店主统计了前两周的“蓉宝”单肩包的销售情况，发现第一周A型单肩包的销量是100个，B型单肩包销量是120个，总利润是2800元；第二周A型单肩包的销量是180个，B型单肩包的销量是200个，总利润是4800元． (1)请问1个A型单肩包、1个B型单肩包的利润分别是多少元？ (2)店主在第三周调整了价格，A型单肩包每个涨价元，B型单肩包每个降价a元，统计后发现，调整后的这周A、B两种型号单肩包的销量一样，并且A型单肩包的总利润达2400元，B型单肩包的总利润达2600元．求出a的值． 23．如图，在中，，，，动点P以每秒1个单位，动点Q以每秒个单位长度的速度同时从点C出发，点P沿折线方向运动，点Q沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点P，Q距离大于5个单位长度时x的取值范围． 24．某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展研学旅行，同学们来到入口A观测到山顶D在仰角的地方（学生身高忽略不计），然后水平前行了27米，到达一个岔路口B处，从这里上山有两条路线．路线一：沿着一个坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一条长500米，且与水平线夹角为的索道上山；路线二：继续沿水平路线前行到山脚E，然后乘坐山体电梯直达山顶D（山体电梯与水平地面垂直）．（参考数据：，，，，） (1)求山顶D离水平地面的高度为多少米？（结果精确到1米） (2)若师生的步行速度为50米分，索道的运行速度为70米分，山体电梯的运行速度为180米分．张老师带领部分同学选择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从B点一起出发，请问哪个队伍先到山顶？（结果精确到个位） 25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接，且，点G为线段的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作于点H，点E、F是线段上两动点（点E在F的右侧），且，连接、．当取最大值时，求出此时点P的坐标及的最小值； (3)如图2，连接，将该抛物线沿射线方向平移5个单位得新抛物线，点Q为新抛物线上的一个动点，直线与线段交于点N，与y轴交于点M，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 26．已知，在中，，，以为边向下作一个且，连接． (1)如图1，若，当时，求线段的长度；； (2)如图2，若点E是线段的中点，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并给出证明； (3)在（2）的条件下，当取得最小值时，请直接写出的值． 2 / 11 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华师大版七八九年级全部。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题4分）－2的倒数的相反数为（    ） A．2 B．－2 C． D． 【答案】C 【分析】根据乘积为1的两数互为倒数，要求-2的倒数，就用1除以-2得到商为-2的倒数，然后再根据只有符号不同的两数互为相反数，由求出的-2的倒数求出对应的相反数即可． 【详解】∵－2的倒数为， 的相反数是， 则－2的倒数的相反数为． 故选C． 【点睛】此题考查倒数，相反数，熟练掌握倒数及相反数的定义是解本题的关键． 2．（本题4分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 3．（本题4分）下列说法正确的是（    ） A．调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式 B．数据，，，，的中位数是4 C．“清明时节雨纷纷”是必然事件 D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为，则乙的成绩比甲的稳定 【答案】A 【分析】本题考查了统计与概率的有关知识，难度不大．利用调查方式的选择、中位数的定义、事件可能性大小判定及方差的意义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式，故此选项符合题意； B、数据3，5，4，1，2的中位数是3，故此选项不符合题意； C、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故此选项不符合题意； D、甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差，则甲的成绩比乙的稳定，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．（本题4分）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质．根据“位似图形的对应边互相平行，位似图形是相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方”逐项判断可得答案． 【详解】解：A、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，原说法正确，本选项不符合题意； B、与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则，所以，原说法错误，本选项符合题意； C、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，则，原说法正确，本选项不符合题意； D、与是相似图形，相似比为，则其面积之比等于相似比的平方，即，原说法正确，本选项不符合题意． 故选B． 5．（本题4分）估算的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的运算，先运用二次根式的乘法进行化简，然后估算求解即可． 【详解】解： ， ∵，即， ∴， 故选：C． 6．（本题4分）如图，在正方形中，点E，F分别在，边上，且，以为斜边向左侧作等腰，连接和，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等；延长交于，连接，结合正方形的性质及等腰直角三角形的性质可判定，由相似三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质，即可求解；掌握方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能根据题意构建全等三角形及相似三角形是解题的关键． 【详解】解：延长交于，连接， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ； 故选：C． 7．（本题4分）函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数图象、二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键． 分两种情况讨论，当时和当时，结合一次函数与二次函数的图象和性质即可得出答案． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过一、二、三象限，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，且一次函数与二次函数交于点，符合条件的为选项C； 当时，一次函数的图象经过一、二、四象限，二次函数图象开口向下，对称轴为直线，且一次函数与二次函数交于点，没有符合条件的选项； 故选：C． 8．（本题4分）今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共发多少条拜年短信，首先确定一个人发多少条拜年短信是解题关键．如果全班有x名同学，那么每名同学要发出条短信，共有x名学生，那么总共发送的条数数应该是条，即可列出方程． 【详解】解：∵小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，且全班有x名同学， ∴每位同学需发送条拜年短信． 根据题意得：． 故选：C． 9．（本题4分）如图，正方形中，点E、F分别在对角线、边上，连接，取线段的中点O，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，过E作于H，交于G，证明，可得，，即可知是等腰直角三角形，得，由，设，则，可得，再求出，再代入计算可得答案． 【详解】解：过E作于H，交于G，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵O为中点， ∴， 由，设，则， ∴， ∴, ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．（本题4分）已知多项式，多项式． ①若，则代数式的值为； ②当，时，代数式的最小值为； ③当时，若，则关于的方程有两个实数根； ④当时，若，则的取值范围是． 以上结论正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据题意，把代入，运用公式法求解一元二次方程可得判定①；把代入，根据二次函数求最值的计算方法可判定②；把代入，根据解一元二次方程的方法可判定③；把代入，运用数轴上两点之间距离的计算方法，绝对值的意义可判定④；由此即可求解． 【详解】解：①若， ∴， ∴， ∴， 解得，， 当时，代数式；当时，代数式， ∴若，则代数式的值为，故①正确； ②当， ∴， ∵， ∴当时，有最小值，且最小值为， ∴当，时，代数式的最小值为错误，故②错误； ③当时，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴关于的方程有两个实数根，故③正确； ④当时，若， ∴， 整理得，， 根据数轴上两点之间距离的计算方法可得，表示的点到的距离与表示的点到的距离之和为， ∵到的距离为， ∴表示的点在到之间， ∴， 解得，的取值范围是，故④正确． 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：D ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解一元二次方程，二次函数最值的计算，数轴上两点之间距离的计算，绝对值的意义等知识的综合，掌握一元二次方程，二次函数最值的计算是解题的关键． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 11．（本题4分） ． 【答案】 【分析】题主要考查了实数的混和运算，负整数指数幂和0指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12．（本题4分）有四张大小和形状完全相同的卡片，卡片上分别写有，，3，4，从这四张卡片中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积大于0的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解题的关键． 首先画出树状图，然后列出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的数字之积大于0的结果数，再利用概率公式计算概率即可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字之积大于0的结果有4种， ∴抽取的两张卡片上的数字之积大于0的概率是， 故答案为：． 13．（本题4分）如图，边长为与的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，连接，则圆弧与线段所围成的阴影部分的面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积、正方形以及平行线的性质是解决问题的关键．根据正方形的性质，平行线的性质得出，于是将转化为，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，， 四边形，是正方形， ， ， （同底等高）， ， 故答案为：． 14．（本题4分）如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结．延长交于点E，若，，则的半径为 ， ． 【答案】 6 【分析】延长交于F，根据直径所对的圆周角为直角得，再根据垂径定理得，设的半径为R，则，证明，得到，进而得，在和中利用勾股定理构造方程由此解出R即可，再由求解． 【详解】解：延长交于F， 如图所示 ∵是的直径， ，即， ∵点C为 的中点， 根据垂径定理得， ， 设的半径为R，则 ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得， ∴， 整理得， 解得 (不合题意，舍去)， ∴的半径为． ∴， ∴， 故答案为：；6． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，理解圆周角定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 15．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上， ，将向右平移到位置，反比例函数的图象经过点A，交边于点F，若，，则k的值是 ． 【答案】18 【分析】过点F作轴于点P，设，则，，则可得点A、C的坐标，得k的值；由及相似三角形的性质可得点F的坐标，从而可求得a的值，最后求得k的值． 【详解】解：如图，过点F作轴于点P， 由平移的性质得：，； 设，则，， 点A的坐标为，点C的坐标为， 点A在双曲线上，则有； ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即点F的坐标为 ∵点F在双曲线上， ∴， 即， 解得：， ∴； 故答案为：18． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，平移的性质，利用相似三角形的性质求得点F的坐标是解题的关键． 16．（本题4分）若关于的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程等知识点，先解一元一次不等式组，求出x的取值范围，然后根据关于x的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，求出a的取值范围，再解分式方程，根据关于y的分方程有非负整数解，列出关于a的不等式，求出a的值，从而求出答案即可，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤． 【详解】解：解一元一次不等式组， 解得， ∵一元一次不等式组有解且至多有5个整数解， ∴， ∴或或或0或1， 解分式方程， ∴， ∴， ∵分式方程有非负整数解， ∴，即或或4或， ∴或或1， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴或1． ∴． 故答案为：． 17．（本题4分）如图，在矩形中，，点在线段上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在线段上的点处，则的长为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，，设，则，根据轴对称的性质可得，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出，则，由直角三角形的两个锐角互余可得，由可得，进而可得，于是可证得，由相似三角形的性质可得，即，于是可得，，根据轴对称的性质可得，则根据即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 设，则， 将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处， 根据轴对称的性质可得：，， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即：， ，， 将矩形沿折叠，点恰好落在线段上的点处， 根据轴对称的性质可得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，矩形的性质，线段的和与差，轴对称的性质，勾股定理，解一元一次方程，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，相似三角形的判定与性质，等式的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 18．（本题4分）一个正整数能够写成两个正整数与的差与它们的乘积之和，即，那么叫做“成长数”．例如，所以与都是“成长数”．若，则满足条件的“成长数”中最大的数是 ；若，取、中较大的数为个位数字，较小的数为十位数字组成的两位数记为，将的个位数字与十位数字交换后形成的新两位数记为．记，，若为完全平方数，且能被整除，则满足条件的“成长数”的值为 ． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，列代数式、整除、有理数的混合运算等知识点，解决本题的关键是利用分类讨论的思想分情况计算． 首先根据，所以可得，然后根据“成长数”的定义进行计算即可； 首先根据为完全平方数，可得或，再根据能被整除，可得，分两种情况求出满足条件的、的值，根据“成长数”的定义计算出结果即可． 【详解】解：，则， 这个“成长数”为：， 整理得：， 当时，这个“成长数”有最大值，最大值是； 由题意可得：，， 则，， ， 、都为整数且， ，且为整数， 又是完全平方数， 或， 或， 能被整除， 则(为整数)， 整理得：， 、都为整数且， 为正整数， 当时，， 整理得：， 当时，， 则此时，则， ，故符合题意， 当时，， 整理得：， 不存在的值使为到之间的整数， 符合题意的只有、， 此时的“成长数”为． 故答案为：， ． 三、解答题（本大题共8小题，19题为8分，20-26题各为10分，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则展开，然后再算加减； （2）先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的． 本题考查整式的混合运算，分式的混合运算，掌握完全平方公式的结构及通分和约分的技巧是解题关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（本题10分）小北在学习完直角三角形后，小北进行了如下思考：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，当两条射线互相垂直时，两交点与斜边中点所连线段有什么数量关系?请根据他的思考完成以下作图与填空． 已知：在中，，E为边上一点，D为边中点． (1)尺规作图：过点D作直线的垂线，交于点F（只保留作图痕迹） (2)求证：． 证明：在中， ①_______ 又，D为BC中点 ②_______ 又，D为BC中点 又 ③_______ 在和中， ． 小北在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则⑤_______． 【答案】(1)见解析 (2)，，，，两交点与斜边中点所连线段相等 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，证明是解题的关键． （1）按照线段垂直平分线的作图方法，作图即可； （2）根据等腰直角三角的性质得到，证明，，即可证明，则，据此得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）证明：在中， 又，D为中点 又∵，D为中点 又 在和中， ， ． 小北在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则两交点与斜边中点所连线段相等． 故答案为：，，，，两交点与斜边中点所连线段相等． 21．（本题10分）芒果在海南是常见水果，品种很多，象牙芒、白玉芒、青皮芒、吕宋芒、鸡蛋芒、龙井大芒和秋芒等都为我国大陆稀有．芒果肉质细腻，气味香甜，口感适宜，含有丰富的维生素，有“热带果王”之称．某电商将海南、两村村民的特产“象牙芒”在抖音平台进行销售（每箱象牙芒规格一致），该电商平台从、两村各抽取15户进行了抽样调查，并对每户每月销售的象牙芒箱数用表示，进行了数据整理、描述和分析，下 面给出了部分信息： 村卖出的象牙芒箱数为的数据有：400，490，420，420，430 村卖出的象牙芒箱数为的数据有：400，430，480，460 象牙芒箱数 村 0 3 5 5 2 村 1 4 5 平均数、中位数、众数如表所示 村名 平均数 中位数 众数 村 488 590 村 474 460 560 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中_________，_________，_________． （2）你认为、两村中哪个村的象牙芒卖得更好？请说明理由（写出一条理由即可） （3）在该电商平台进行销售的、两村村民共210户，若该电商平台把每月的象牙芒销售量在范围内的村民列为重点扶贫对象，估计两村共有多少户村民会被列为重点扶贫对象？ 【答案】（1）4；1；490；（2）A村象牙芒卖得更好，理由见解析；（3）119户． 【分析】（1）由该电商平台从A、B两村各抽取15户进行了抽样调查，可得+=5，根据中位数定义可得=4，可求=1，由A村卖出的象牙芒箱数为的数据排序：400， 420，420，430，490，根据中位数定义，在的数据有3个，第8个数据在范围内的第5个数据，可得=490； （2）从平均数上看A村平均数为488，B村平均数为474，知488>474，可得A村象牙芒卖得更好；从中位数上看A村中位数为490，B村中位数为460，知490>460，可得A村象牙芒卖得更好；从众数上看A村众数为590，B村众数为560，知590>560，可得A村象牙芒卖得更好； （3）根据该电商平台从A、B两村各抽取15户进行了抽样调查，可得在范围内的村民有8+9=17户，占抽样百分比为：17÷30×100%=%，用样本的百分比估计总体的含量即可； 【详解】解：（1）∵该电商平台从A、B两村各抽取15户进行了抽样调查， ∴1++4+5+=15， 则+=5， 村卖出的象牙芒箱数为的数据排序为：400，430，460，480，且中位数是460， ∴1++3=8， ∴=4， ∴=1， A村卖出的象牙芒箱数为的数据排序：400， 420，420，430，490， ∵在的数据有3个，第8个数据在范围内的第5个数据， ∴=490， 故答案为4；1；490； （2）从平均数上看A村平均数为488，B村平均数为474， ∵488>474， ∴A村象牙芒卖得更好； 从中位数上看A村中位数为490，B村中位数为460， ∵490>460， ∴A村象牙芒卖得更好； 从众数上看A村众数为590，B村众数为560， ∵590>560， ∴A村象牙芒卖得更好； （3）该电商平台从A、B两村各抽取15户进行了抽样调查， 在范围内的村民有8+9=17户，占抽样17÷30×100%=%， 在该电商平台进行销售的A、B两村村民共210户中重点扶贫对象有210×%=119户． 【点睛】本题考查表格信息，中位数，众数，用平均数，中位数，众数进行决策，用样本的百分比估计总体中的数量，掌握中位数，众数，用平均数，中位数，众数进行决策的方法，用样本的百分比估计总体中的数量计算是解题关键． 22．（本题10分）成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”的周边商品的销量不断上升．一家网店的店主统计了前两周的“蓉宝”单肩包的销售情况，发现第一周A型单肩包的销量是100个，B型单肩包销量是120个，总利润是2800元；第二周A型单肩包的销量是180个，B型单肩包的销量是200个，总利润是4800元． (1)请问1个A型单肩包、1个B型单肩包的利润分别是多少元？ (2)店主在第三周调整了价格，A型单肩包每个涨价元，B型单肩包每个降价a元，统计后发现，调整后的这周A、B两种型号单肩包的销量一样，并且A型单肩包的总利润达2400元，B型单肩包的总利润达2600元．求出a的值． 【答案】(1)1个A型单肩包的利润是10元，1个B型单肩包的利润是15元 (2) 【分析】（1）设1个A型单肩包的利润是元，1个B型单肩包的利润是元，根据题中第一周和第二周的销量情况和总利润，列二元一次方程即可解答； （2）根据两种单肩包的销量一样，列分式方程，即可解答． 【详解】（1）解：设1个A型单肩包的利润是元，1个B型单肩包的利润是元， 由题意可得， 解得， 1个A型单肩包的利润是10元，1个B型单肩包的利润是15元； （2）解：根据题意可得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系列方程． 23．（本题10分）如图，在中，，，，动点P以每秒1个单位，动点Q以每秒个单位长度的速度同时从点C出发，点P沿折线方向运动，点Q沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点P，Q距离大于5个单位长度时x的取值范围． 【答案】(1) (2)画图见解析，当时，函数最大值为； (3)点P，Q距离大于5个单位长度时，． 【分析】（1）根据勾股定理先求解，由运动速度可得时间界点为时，分两种情况：当时，当时，再进一步解答即可； （2）在直角坐标系中描点连线即可，再根据函数的图象即可得出其性质； （3）利用分别求解时间，再结合图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 当时，点P在上，点Q在上，，， ∴， 即（） 当点P与点Q在上相遇时， ，解得：， 当时，， ∴； （2）解：如图，函数图象如下： ； 性质：当时，函数最大值为； （3）解：当时， ∴，解得：， 当时，解得：， 当点P，Q距离大于5个单位长度时，． 【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，勾股定理的应用，正确理解动点问题是解题的关键． 24．（本题10分）某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展研学旅行，同学们来到入口A观测到山顶D在仰角的地方（学生身高忽略不计），然后水平前行了27米，到达一个岔路口B处，从这里上山有两条路线．路线一：沿着一个坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一条长500米，且与水平线夹角为的索道上山；路线二：继续沿水平路线前行到山脚E，然后乘坐山体电梯直达山顶D（山体电梯与水平地面垂直）．（参考数据：，，，，） (1)求山顶D离水平地面的高度为多少米？（结果精确到1米） (2)若师生的步行速度为50米分，索道的运行速度为70米分，山体电梯的运行速度为180米分．张老师带领部分同学选择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从B点一起出发，请问哪个队伍先到山顶？（结果精确到个位） 【答案】(1) (2)张老师所带队伍先到山顶 【分析】（1）设过点的水平线交于点，过点作于点，易证得四边形为矩形，故可设米，则米，在中，可求得米，米，进而可得米，米，米，由，可得，进而可得，由等角对等边可得，即，解方程即可求得的长，然后根据即可求出山顶离水平地面的高度； （2）由（1）可知米，进而可得米，米，米，再列式求出路线一所需时间和路线二所需时间，比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，设过点的水平线交于点，过点作于点， 则四边形为矩形， ； 设米， ， （米）， 在中， （米）， （米）， 米， 米， 米， 米， ，， ， ， ， 即：， 解得：（米）， （米）， 答：山顶离水平地面的高度约为米； （2）解：由（1）可知：米， 米， （米）， （米）， 路线一所需时间（分钟）， 路线二所需时间（分钟）， ， 选择线路一的队伍先到山顶， 答：张老师带领部分同学选择路线一先到山顶． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用（坡度坡比问题），解直角三角形的应用（仰角俯角问题），矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 25．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接，且，点G为线段的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作于点H，点E、F是线段上两动点（点E在F的右侧），且，连接、．当取最大值时，求出此时点P的坐标及的最小值； (3)如图2，连接，将该抛物线沿射线方向平移5个单位得新抛物线，点Q为新抛物线上的一个动点，直线与线段交于点N，与y轴交于点M，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的最小值为 (3)或 【分析】（1）先求出A、C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，过点作直线，分析可知当取最大值时，此时直线与抛物线恰好只有唯一公共点，联立直线与抛物线的解析式，利用求出直线的解析式和此时点P的坐标；在直线上截取（在左侧），连接、，可推出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质将的最小值转化为的最小值，利用两点之间线段最短性质可得的最小值为的长，即可解答； （3）先求出B的坐标，再利用二次函数的平移得到新抛物线的解析式，设，，得出直线的解析式，结合是以为腰的等腰三角形，分两种情况①；②，利用勾股定理和一元二次方程求出、的值，再联立直线和抛物线的解析式求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， 代入，得，， 解得：， 抛物线的表达式为． （2）解：设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， 直线的解析式为， 过点作直线，设直线的解析式为， ，， 是直线与直线的距离， 当取最大值时，此时直线与抛物线恰好只有唯一公共点， 联立， 消去整理得：， 直线与抛物线恰好只有唯一公共点， 方程有两个相等的实数根， ， 解得：，即直线的解析式为， 此时方程为，解得， 代入，则， ； 在直线上截取（在左侧），连接、， ，， 四边形是平行四边形， ， 设， 则， 解得：，（舍去）， ， 点G为线段的中点， ， ， ， ，， ， 的最小值为； 综上所述，此时点P的坐标为，的最小值为． （3）解：对于，令，则， 解得：，， ， ， ， 又将抛物线沿射线方向平移5个单位得新抛物线， 点通过平移恰好落在点上， 抛物线向上平移4个单位，向右平移3个单位可以得到新抛物线， ， ； 由（2）中的结论得，直线的解析式为， 设，， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， 直线的解析式为， 在直线上， ， 整理得：， 是以为腰的等腰三角形， 或， ①若，则， ， 整理得：， ， 解得：（舍去），， 此时直线的解析式为， 令，解得，， ； ②若，则， ， 整理得：， ， 解得：（舍去），， 此时直线的解析式为， 令，解得，， ； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合、最短路径问题、等腰三角形的性质、一元二次方程、二次函数的平移、待定系数法求函数解析式、勾股定理，熟练掌握以上知识点，学会利用点的坐标表示线段长度是解题的关键，本题属于二次函数综合题，同时涉及较大的运算量，需要较强的数形结合和运算能力，适合有能力解决难题的学生． 26．（本题10分）已知，在中，，，以为边向下作一个且，连接． (1)如图1，若，当时，求线段的长度；； (2)如图2，若点E是线段的中点，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并给出证明； (3)在（2）的条件下，当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，见解析； (3) 【分析】（1），截取，连接，，可证明，从而得出，，，进而得出结果； （2）延长至，使，连接，，在上截取，连接，可得出，是等边三角形，从而点、、、共圆，，，可证得，从而，进一步得出结论； （3）以为边在下方作等边三角形，作的外接圆，则点在上，连接，，，取的中点，连接，作，交的延长线于，不妨设，则，可得出，，进而得出，进而得出，，，，的值，在上截取，连接，可证得，从而得出，从而，从而，当、、共线时，最小，即最小，作于，作于，设，则，由得，从而，从而得出，，由得出，进而得出，的长，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1，作，截取，连接，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2）证明：如图2， 延长至，使，连接，，在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ，是等边三角形， 点、、、共圆，，， ，，， ， ， ， ， 点是的中点， ， ； （3）解：如图3， ， 以为边在下方作等边三角形，作的外接圆， 则点在上，连接，，，取的中点，连接，作，交的延长线于， ， 不妨设，则， 是的中点， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， 当、、共线时，最小，即最小， 如图4， ，，，， 作于，作于， 设，则， 由得， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形． 2 / 41 38 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考 参考答案 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D A B C C C C C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11． 12． 13． 14． 15．18 16． 17．4 18．26;13 三、解答题：本大题共8小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（每小题4分，共8分） 【解答】 （1）解： …………………………………………（2分） ；…………………………………………（4分） （2）解： …………………………………………（2分） ．…………………………………………（4分） 20．（共10分） 【解答】 （1）解：如图所示，即为所求， …………………………………………（4分） （2）证明：在中， …………………………………………（5分） 又，D为中点 …………………………………………（6分） 又∵，D为中点 又 …………………………………………（7分） 在和中， ，…………………………………………（8分） ． 小北在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则两交点与斜边中点所连线段相等．…………………（10分） 21．（共10分） 【解答】 解：（1）∵该电商平台从A、B两村各抽取15户进行了抽样调查， ∴1++4+5+=15， 则+=5， 村卖出的象牙芒箱数为的数据排序为：400，430，460，480，且中位数是460， ∴1++3=8， ∴=4， ∴=1， A村卖出的象牙芒箱数为的数据排序：400， 420，420，430，490， ∵在的数据有3个，第8个数据在范围内的第5个数据， ∴=490， 故答案为4；1；490；…………………………………………（3分） （2）从平均数上看A村平均数为488，B村平均数为474， ∵488>474， ∴A村象牙芒卖得更好； 从中位数上看A村中位数为490，B村中位数为460， ∵490>460， ∴A村象牙芒卖得更好； 从众数上看A村众数为590，B村众数为560， ∵590>560， ∴A村象牙芒卖得更好；…………………………………………（6分） （3）该电商平台从A、B两村各抽取15户进行了抽样调查， 在范围内的村民有8+9=17户，占抽样17÷30×100%=%， 答：在该电商平台进行销售的A、B两村村民共210户中重点扶贫对象有210×%=119户．……（10分） 22．（共10分） 【解答】 （1）解：设1个A型单肩包的利润是元，1个B型单肩包的利润是元，……………（2分） 由题意可得，……………（3分） 解得，……………（4分） 1个A型单肩包的利润是10元，1个B型单肩包的利润是15元；……………（5分） （2）解：根据题意可得：，……………（6分） 解得，……………（7分） 经检验，是原方程的解，且符合题意，……………（8分） ． 答：a的值为2．………………………………………………（10分） 23．（共10分） 【解答】 （1）解：∵，，， ∴， 当时，点P在上，点Q在上，，， ∴， 即（）………………………………………………（1分） 当点P与点Q在上相遇时， ，解得：， 当时，，………………………………（2分） ∴；………………………………………………（3分） （2）解：如图，函数图象如下： ；………………………………………………（5分） 性质：当时，函数最大值为；………………………………………………（7分） （3）解：当时， ∴，解得：， 当时，解得：， 当点P，Q距离大于5个单位长度时，．……………………………（10分） 24．（共10分） 【解答】 （1）解：如图，设过点的水平线交于点，过点作于点，…………（1分） 则四边形为矩形， ； 设米， ， （米）， 在中， （米）， （米）， 米， 米，………………………………………………（2分） 米， 米， ，， ， ， ， 即：， 解得：（米）， （米），………………………………………………（3分） 答：山顶离水平地面的高度约为米；………………………………………（4分） （2）解：由（1）可知：米， 米， （米），………………………………………………（5分） （米），………………………………………………（6分） 路线一所需时间（分钟），………………………………………（7分） 路线二所需时间（分钟），……………………………………（8分） ，………………………………………………（9分） 选择线路一的队伍先到山顶， 答：张老师带领部分同学选择路线一先到山顶．…………………………………………（10分） 25．（共10分） 【解答】 （1）解：， ，， 代入，得，， 解得：， 抛物线的表达式为．………………………………………………（2分） （2）解：设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， 直线的解析式为， 过点作直线，设直线的解析式为， ，， 是直线与直线的距离， 当取最大值时，此时直线与抛物线恰好只有唯一公共点， 联立， 消去整理得：， 直线与抛物线恰好只有唯一公共点， 方程有两个相等的实数根， ， 解得：，即直线的解析式为， 此时方程为，解得， 代入，则， ； 在直线上截取（在左侧），连接、， ，， 四边形是平行四边形， ， 设， 则， 解得：，（舍去），………………………………………………（4分） ， 点G为线段的中点， ， ， ， ，， ， 的最小值为； 综上所述，此时点P的坐标为，的最小值为． ………………………………………………（6分） （3）解：对于，令，则， 解得：，， ， ， ， 又将抛物线沿射线方向平移5个单位得新抛物线， 点通过平移恰好落在点上， 抛物线向上平移4个单位，向右平移3个单位可以得到新抛物线， ， ；………………………………………（7分） 由（2）中的结论得，直线的解析式为， 设，， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， 直线的解析式为，……………………………………（8分） 在直线上， ， 整理得：， 是以为腰的等腰三角形， 或， ①若，则， ， 整理得：， ， 解得：（舍去），， 此时直线的解析式为， 令，解得，， ；………………………………………………（9分） ②若，则， ， 整理得：， ， 解得：（舍去），， 此时直线的解析式为， 令，解得，， ； 综上所述，点Q的坐标为或．………………………………………………（10分） 25．（共10分） 【解答】 （1）解：如图1，作，截取，连接，， ……………………………………（1分） ， ， ， ，，……………………………………（2分） ， ， ， ， ， ，， ， ；………………………………………………（3分） （2）证明：如图2， ……………………………………（4分） 延长至，使，连接，，在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ，是等边三角形， 点、、、共圆，，， ，，， ， ，……………………………………（5分） ， ， 点是的中点， ， ；………………………………………………（7分） （3）解：如图3， ， 以为边在下方作等边三角形，作的外接圆， 则点在上，连接，，，取的中点，连接，作，交的延长线于， ， 不妨设，则， 是的中点， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， 当、、共线时，最小，即最小， 如图4， ，，，， 作于，作于， 设，则， 由得， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ．………………………………………………（10分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$