湖北襄阳市第四中学2026-2027学年高三上学期8月质量检测数学试卷

襄阳四中2027届高三年级8月质量检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据7，8，14，16，20的平均数为（ ） A．8 B．9 C．12 D．13 2．已知的展开式的各项系数之和为81，则（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．函数在处的切线方程为（ ） A． B． C．． D．． 4．某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为（ ） A． B． C． D． 5．若函数为其定义域上的增函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 6．为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局将安排包括甲、乙在内的4名城区教师前往三所乡镇学校支教．若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则甲、乙不安排在同一个学校的概率为（ ） A． B． C． D． 7．从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为（ ） A．126个 B．112个 C．98个 D．84个 8．设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列．那么（ ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（ ） A．（，为正整数且） B．满足方程的值可能为或 C．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 D．把6个相同的小球分到3个不同的盒子中，每个盒子至少分一个球的分法有10种 10．下列说法正确的是（ ） A．若线性回归方程为，则样本数据的残差为 B．已知随机变量，满足，若，，则， C．已知随机事件，，且，，若，则事件，相互独立 D．已知随机变量，且函数为偶函数，则 11．已知函数，则（ ） A．若存在实数，使得，则 B．当时，过原点且与曲线相切的直线不存在 C．当时，方程有3个不相等的实数根 D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知变量、的样本数据如下表，若变量的经验回归方程为，则_________． 1 2 3 4 5 2 5 9 14 20 13．已知函数在处取得极值0，则_________． 14．一个不透明的袋中有分别标有数字，，…，的相同小球．规定每人每次从中随机抽取3个，记录好标号后将小球放回袋中．现有两人依次各抽取1次，记为这个小球中至少被取出1次的小球的个数，则的数学期望_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知在的展开式中，第6项为常数项． （1）求； （2）求含的项的系数； （3）求展开式中所有的有理项． 16．在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程．为探究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各100名进行调查统计．记事件“成绩优良”，“有固定阅读习惯”，据统计，． （1）补全列联表，依据小概率的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业成绩水平有关？ 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 100 成绩一般 100 合计 （2）为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建6人宣传小组．每次宣传时，需从宣传小组中选3人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为，求的分布列与期望． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．已知函数． （1）判断函数的单调性； （2）已知在上的最小值为2，求的值； （3）若恒成立，求的取值范围． 18．在襄阳市第四中学举办的体育节乒乓球活动中，甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． （1）时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为，求的概率； （2）时，若两人共进行局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出，，，的值（直接写出结果即可）； （3）若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．当时，试判断与的大小，并说明理由． 19．设，若对任意的，，且，函数与满足关系，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的最大值； （3）若函数是函数在区间上的2026级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，，求两零点之积的取值范围． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳四中2027届高三年级8月质量检测 数学试卷评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B C C D A C ABD ACD ACD 12． 13． 14． 15．（1）10（2），（3），， 【详解】（1）的展开式的通项为， 因为第6项为常数项，所以时，有，解得． 4分 （2）令，得， 所以含的项的系数为． 该项的二项式系数为． 7分 （3）根据通项公式与题意得，令， 则，即，，所以应为偶数．又， 所以可取，，，即可取，，．所以第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为，，，即，，． 13分 16．【详解】（1）由题可知，，，所以，得， 又，所以，得， 结合已知可得列联表： 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 80 20 100 成绩一般 40 60 100 合计 120 80 200 零假设：阅读习惯与学业成绩水平没有关系． 因为， 所以，依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 即阅读习惯与学业成绩水平有关系，且该结论犯错误的概率不超过． 8分 （2）有固定阅读习惯中成绩优良的有80人，成绩一般的有40人， 所以组建的6人宣传小组中，成绩优良的有人，成绩一般的有人， 10分 则的可能取值为：，，， ，，， 所以的分布列为： 1 2 3 期望． 15分 17．【详解】（1）由题意知的定义域为， 且， 当时，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递减； 4分 （2）由（1）知， 当，则在上单调递减， 所以，则，矛盾舍去， 当，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，得，矛盾舍去， 若，则在上单调递增， 所以，则，符合题意， 综上； 9分 （3）若恒成立， 即，恒成立， 设， 则， 令，则， 所以在上单调递增， ，， 所以在上有唯一零点，即， 所以， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 所以由，得， 所以， 当时，，，则在上单调递增， 当时，，，则在上单调递减， 所以， 由，恒成立， 所以，即的取值范围为． 15分 18．【详解】（1）总共进行5局，是甲乙赢局数之差的绝对值，即为甲赢3局乙赢2局、甲赢2局乙赢3局． 所以． 4分 （2）当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，其概率为；； 当时，需要赢剩余2局，其概率为； 当时，需要赢至少1局，其概率； 当时，已满足获胜条件，概率为． 故，，，． 9分 （3）由全概率公式得 14分 因为，所以，．所以． 因为，所以，即． 17分 19．（1）不是，理由见解析（2）（3） 【详解】（1）由于，， 故． 所以函数不是函数在区间上的1级控制函数． 4分 （2）由函数是函数在区间上的级控制函数， 得， ，，， 从而， 即在上恒成立． 令，则在上恒成立， 即在上为增函数， 故在上恒成立． 即， 在恒成立，即． 记，，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 从而，故实数的最大值为． 9分 （3）因为函数在区间上存在两个零点，， 不妨设，且， 因为函数是在区间上的2026级控制函数， 所以，即， 所以， 即． 13分 又函数在上单调递增，故有， 从而，即． 令，，， 则． 令，则， 从而， 即的取值范围是． 17分 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $襄阳四中2027届高三年级8月质量检测 数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 贴条形码区 班级： 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准 (正面潮上，切勿贴出虚线方框) 考证号填写清楚。 ===============-=======-=====- 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填 涂，修改时用橡皮擦干净。 正确填涂 缺考标记 □ 各，茶数数线内作 、 选择题：18为单选题；911为多选题，共58分。 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分。 12. 13 14. 三、 解答题：本题共5小题，共计77分。 15.(13分) 囚囚■ 16.(15分) 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 100 成绩一般 100 合计 囚囚■ 17.(15分) ■ 囚■囚 0 0 0 (LD)81 ■ 囚■囚 (LI)6I ■ 口 ■