精品解析：湖北襄阳市第四中学2026届高三上学期1月质量检测（六）数学试题

襄阳四中2026届高三上学期质量检测（六） 数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘方和除法运算即可得到答案. 【详解】， 则其虚部为1. 故选：A. 2. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简两个集合，即可根据补集和交集的定义，结合图形求解. 【详解】由，可得或，， 故或 由图可知阴影部分表示的集合为， 故选：D 3. 椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数的取值范围. 【详解】由椭圆方程， 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得； 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 4. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称中心结合正切函数性质可得，进而可求最小正周期. 【详解】因为函数的图象的一个对称中心为， 则，解得， 且，所以函数的最小正周期为， 对于选项A：若，此时，不合题意，故A错误； 对于选项B：若，此时，不合题意，故B错误； 对于选项C：若，解得，故C正确； 对于选项D：若，此时，不合题意，故D错误； 故选：C. 5. 已知是单位向量，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由为单位向量，可得，结合向量数量积公式计算即可得. 【详解】由为单位向量，则， 故. 故选：C. 6. 若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等比数列的定义可推导出“梦想数列”是公比为的等比数列，进而结合题意可知数列是公比为的等比数列，由此可得，即可得解. 【详解】由题意可知，若数列为“梦想数列”，则，可得， 所以，“梦想数列”是公比为的等比数列， 若正项数列为“梦想数列”，则，所以，， 即正项数列是公比为的等比数列， 因为，因此，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义“梦想数列”，解题的关键就是紧扣新定义，本题中，“梦想数列”就是公比为的等比数列，解题要将这种定义应用到数列中，推导出数列为等比数列，然后利用等比数列基本量法求解. 7. 在中，内角所对的边分别为，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合三角形面积公式和正弦定理对已知条件进行处理，再利用切化弦和正弦和角公式化简要求的式子，从而可得答案． 【详解】，得， 又 ∴． 故选：C． 8. 已知实数是函数的两个零点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导求出函数的单调区间，代入求出，，，，进而得到，即可求出答案. 【详解】由题意得，令，得，令，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以， ， ， ， 所以， 所以，，， ，故ACD正确，B错误. 故选：B. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 依据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，没有充分的证据推断与有关联 B. 极差、方差、标准差均能刻画一组数据的离散程度 C. 若事件A、B发生的概率分别为、，且，则与独立 D. 若随机变量，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，结合独立性检验的性质判断即可.对于B，根据极差、方差、标准差的定义判断即可.对于C，根据事件独立的定义判断即可.对于D，根据正态分布的对称性求解判断即可. 【详解】对于A：由于，根据的独立性检验，可以认为变量与有关联.故A错误. 对于B：根据极差、方差、标准差的定义，极差、方差、标准差均能刻画一组数据的离散程度.故B正确 对于C：根据定义，若，则称事件与相互独立.故C正确. 对于D：由，则， 因为，则， 所以.故D正确. 故选：BCD 10. 抛物线上点处的切线分别交、轴于、，抛物线焦点为，交抛物线于异于点的.则以下说法正确的有（ ） A. 为中点 B. 一定为等腰三角形 C. 若，则的斜率为 D. 若在准线上，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出切线的方程，进而可求出点、的坐标，可判断A选项；利用斜率关系证明出，可判断B选项；利用抛物线的定义求出点的坐标，结合斜率关系可判断C选项；求出点的坐标，可得出点的坐标，结合两点间的距离公式，可判断D选项. 【详解】由题意可知，点不与原点重合. 设，设切线的方程为，其中. 联立可得，即. 由题意可得，解得. 此时直线的方程为，即. 对于A选项，在直线的方程中令可得，即点， 在直线的方程中令可得，即点， 故点为线段的中点，A对； 对于B选项，易知点，，， 所以，故， 又因为为的中点，所以，即为等腰三角形，B对； 对于C选项，抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可得，可得，则点坐标为,且，故， 当点时， 当点时， 综上所述，若，则的斜率为，C对； 对于D选项，当点在准线上时，点，则， 此时，D错. 故选：ABC. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点在正方形内运动（含边界）且，则下列结论正确的有（ ） A. 点的轨迹长度大小为 B. 三棱锥的体积随着的位置变化而变化 C. 当点位于点时，异面直线与所成角最小，且最小值为 D. 为直线上一点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用两直线垂直的坐标表示求得动点轨迹，进而求得长度；根据三棱锥的体积计算判断；根据异面直线所成角的余弦值计算判断；利用公垂线计算得到线段的最小值； 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 对于A，设，， 因为，所以，即， 因此点的轨迹为正方形内满足的线段，即线段， 长度大小为，A正确； 对于B，因为平面，平面， 所以平面，且到平面的距离固定，设为， 由上分析可知点在线段上运动时，到平面的距离为定值， 所以三棱锥的体积为，为定值，B错误； 对于C，设，，， 设异面直线与所成角的余弦值为 ， 令， ， 所以在上单调递减，最大值，最小值， 当，异面直线与所成角的余弦值最大，异面直线与所成角最小， 则，即当点位于点时，， 异面直线与所成角最小为，C正确； 对于D，为直线上一点， 则的最小值为线段上的点到直线的距离的最小值， 即异面直线与之间的距离， ， 设公垂向量为，则， 解得，则， 计算异面直线距离，则的最小值为，D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在点，处的切线互相平行，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合导数的几何意义列方程可得结果. 【详解】由题意，，所以， ， 由于在点，处的切线互相平行，所以， 即，，，检验符合. 故答案为：. 13. 在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则______． 【答案】3375 【解析】 【分析】由题意利用列举法，列举数列的前几项，可得数列的周期，进而求和即可． 【详解】由，且，则，同理解得，， 由题意可得下表： 数列的最小正周期，由， 则． 故答案为：. 14. 如图是由九个半径相同的圆构成的图形(该图形不能旋转和翻转)，若将1，2，…，9九个数字分别填入这九个圆中，且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字，则填法一共有________种. 【答案】 【解析】 【分析】将有阴影的圆中填入的数字用 表示，则为 ； 这几种情况讨论，求出相应填法种数，即可求得结果. 【详解】将三个有阴影的圆中填入的数字用 表示， 当 为9，8，7时，有 种填法； 当 为9，8，6时，则7不能与6相邻， 故7有种填法，剩余的五个数字可以任意填在空白圆中，有 种情况，有2160 种填法； 当 为9，8，5时，则与5相邻的只能是4，3，2，1中的三个数字， 有 种填法； 当 为9，8，4时，则与4相邻的只能是3，2，1，有 种填法； 当 为9，7，6时，则8与9相邻且8只有1种位置，有 种填法； 当 为9，7，5时，则8与9相邻且8只有1种位置， 6不与5相邻有2种位置选择，有 种填法； 当 为9，7，4时，则8与9相邻且8只有1种位置， 与4相邻的只能是3，2，1，故有 种填法. 所以填法共有： (种). 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设函数． （1）证明：当 时，恒成立； （2）若对任意恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）证明：当 时，，令，求导得， 当时，，当 时，， 函数 在上递减，在 上递增， 因此，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数求出 的最小值即可. （2）变形给定的不等式，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 任意， 令，求导得， 令， 求导得，函数在 上单调递减，而， 当 时，，当 时，， 则函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 因此，则， 所以a的取值范围是. 16. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知成等差数列. （1）求； （2）若，点在BC上，满足，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差中项可得，由正弦定理及两角和的正弦公式化简求解； （2）因为，得，设，由三角形面积公式可得，根据同角三角函数基本关系计算求解. 【小问1详解】 因为成等差数列， 所以， 由正弦定理可得， 因为，所以且， 所以，故， 【小问2详解】 因为，， 设，则， 因为，， 所以， 因为，所以，即， 所以，则， 因为，故，即. 17. 如图，在三棱锥中，. （1）求证：平面. （2）在线段BC上是否存在点D（不与重合），使平面与平面所成锐二面角为？若存在，求三棱锥与三棱锥的体积之比；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在中，由正弦定理得，即， 所以，又，所以， 所以，即， 所以，所以， 所以，则， 因为，平面， 所以平面； （2）存在，三棱锥与三棱锥的体积之比为2 【解析】 【分析】（1）根据已知得，且、，再由线面垂直的判定证明结论； （2）根据已知将补全为如下图所示的长方体，构建合适的空间直角坐标系，且，应用向量法及面面角的大小列方程求参数值，再由棱锥的体积公式求体积比，即可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，则， 由平面，平面，则， 由，平面，则平面， 结合平面，可将补全为如下图所示的长方体， 构建如下图示空间直角坐标系，则，且， 所以， 若是平面的一个法向量，则， 取，则，又平面的一个法向量为， 若平面与平面所成锐二面角为，则， 所以，整理得，可得， 所以，线段上存在靠近的三等分点，此时， 由，则. 18. 已知双曲线 离心率为，为坐标原点，为左、右焦点，直线过右焦点与右支交于两点，当轴时，. （1）求双曲线的方程； （2）若动点在双曲线右支上，设的平分线分别与轴、轴交于点、，直线与双曲线左、右支分别交于、两点，如图所示： ①求实数的取值范围； ②求面积的最大值. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据双曲线通径的长，离心率的公式以及之间的关系列方程组求解即可； （2）①由角平分线性质结合双曲线的定义可得，再利用得出的取值范围，解关于的不等式即可求解； ②直线与双曲线联立，根据①求出的范围，由，最后利用导数判断函数的单调性即可求出最大值. 【小问1详解】 设双曲线的焦距为，把代入双曲线方程可得， 由题意可知，解得，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 ①由（1）可知，由角平分线性质可得， 又 ，联立两式可得， 因为在双曲线右支上，所以且，即，所以，， 所以，解得，又 ，所以的取值范围为. ②由①可知；当时，，，此时直线的方程为， 即，令，得，直线的斜率最小，，且， 设，直线的方程为，则， 由消去得， 则，，， 由图可知， 令，， 因为，所以，在上单调递增，所以， 所以面积的最大值为. 19. 云南花卉产业作为云南全力打造世界一流“绿色食品牌”的重点产业之一､从起步发展至今仅四十多年的时间，取得了令人瞩目的成绩.目前云南已成为全球公认的三大最适宜鲜切花种植的区域之一，鲜切花种植面积和产量位居全球第一，全省花卉种植面积稳定在190万亩左右.近8年云南省花卉种植面积统计数据及散点图如图 （1）经计算得下表中数据，根据散点图，在模型①：与模型②：，（均为常数）中，选择一个更适合作为云南省花卉种植面积关于年份代码的回归方程类型，求出关于的回归方程； 1.3 165.0 204 17.5 42 3.5 6448.3 1901.5 其中. （2）运输过程中，为保证鲜切花质量，需对其存活天数进行研究.一品种鲜切花存活天数为随机变量，且最多只能存活天，研究人员发现，存活天数为的样本在存活天数超过的样本里占，存活天数为1的样本在全体样本中占. ①求； ②用表示该品种鲜切花存活天数的数学期望. 附：. 【答案】（1）更适合， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据散点图，确定更适合，再利用换元法，以及题中的数据，代入公式求回归方程； （2）①根据条件概率，以及递推关系，可证明数列是以0.18为首项，0.8为公比的等比数列，再根据分段函数的形式列出解析式；②根据①的结果，列式，再利用错位相减法，即可求解. 【小问1详解】 由散点图可知，更适合作为云南省花卉种植面积y关于年份代码x的回归方程类型. 令，所以. 因为，，，， 所以. 所以， 所以. 云南省花卉种植面积y关于年份代码x的回归方程为. 【小问2详解】 ①由题可得，， 当时，， 又，即， 同理可得，当时，， 两式相减得， 即，，， 因为， 所以，当时，是以0.18为首项，0.8为公比的等比数列， 当时，， 所以. ② ， 令， 则， 两式相减得， ， 所以， 则. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由条件概率，以及公式，从而列出数列的递推关系式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳四中2026届高三上学期质量检测（六） 数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 2. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是单位向量，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角所对的边分别为，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 已知实数是函数的两个零点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 依据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，没有充分的证据推断与有关联 B. 极差、方差、标准差均能刻画一组数据的离散程度 C. 若事件A、B发生的概率分别为、，且，则与独立 D. 若随机变量，且，则 10. 抛物线上点处的切线分别交、轴于、，抛物线焦点为，交抛物线于异于点的.则以下说法正确的有（ ） A. 为中点 B. 一定为等腰三角形 C. 若，则的斜率为 D. 若在准线上，则 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点在正方形内运动（含边界）且，则下列结论正确的有（ ） A. 点的轨迹长度大小为 B. 三棱锥的体积随着的位置变化而变化 C. 当点位于点时，异面直线与所成角最小，且最小值为 D. 为直线上一点，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在点，处的切线互相平行，则__________. 13. 在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则______． 14. 如图是由九个半径相同的圆构成的图形(该图形不能旋转和翻转)，若将1，2，…，9九个数字分别填入这九个圆中，且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字，则填法一共有________种. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设函数． （1）证明：当 时，恒成立； （2）若对任意恒成立，求a的取值范围． 16. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知成等差数列. （1）求； （2）若，点在BC上，满足，求. 17. 如图，在三棱锥中，. （1）求证：平面. （2）在线段BC上是否存在点D（不与重合），使平面与平面所成锐二面角为？若存在，求三棱锥与三棱锥的体积之比；若不存在，请说明理由. 18. 已知双曲线 离心率为，为坐标原点，为左、右焦点，直线过右焦点与右支交于两点，当轴时，. （1）求双曲线的方程； （2）若动点在双曲线右支上，设的平分线分别与轴、轴交于点、，直线与双曲线左、右支分别交于、两点，如图所示： ①求实数的取值范围； ②求面积的最大值. 19. 云南花卉产业作为云南全力打造世界一流“绿色食品牌”的重点产业之一､从起步发展至今仅四十多年的时间，取得了令人瞩目的成绩.目前云南已成为全球公认的三大最适宜鲜切花种植的区域之一，鲜切花种植面积和产量位居全球第一，全省花卉种植面积稳定在190万亩左右.近8年云南省花卉种植面积统计数据及散点图如图 （1）经计算得下表中数据，根据散点图，在模型①：与模型②：，（均为常数）中，选择一个更适合作为云南省花卉种植面积关于年份代码的回归方程类型，求出关于的回归方程； 1.3 165.0 204 17.5 42 3.5 6448.3 1901.5 其中. （2）运输过程中，为保证鲜切花质量，需对其存活天数进行研究.一品种鲜切花存活天数为随机变量，且最多只能存活天，研究人员发现，存活天数为的样本在存活天数超过的样本里占，存活天数为1的样本在全体样本中占. ①求； ②用表示该品种鲜切花存活天数的数学期望. 附：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $