26.2.2 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第1课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+k的图象和性质，通过“温故知新”回顾y=ax²的性质，再以“探索新知”引导画图对比，构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解平移规律及相关性质。 其亮点在于通过列表描点、图象对比等探究活动，培养几何直观和推理意识，如对比y=1/2x²与y=1/2x²±2的关系归纳平移规律。结构化小结表格清晰呈现性质，助力学生形成模型意识，既激发探究兴趣，又为教师提供高效教学流程。

26.2 二次函数的图象和性质 第二十六章 二次函数 人教版九年级上册 26.2.2 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 y=ax2 a>0 a<0 图象 开口方向 对称轴 顶点 增减性 开口大小 向上 向下 y轴 y轴 （0，0）最低点 （0，0）最高点 当x<0时，y随着x的增大而减小；当x>0时，y随着x的增大而增大. 当x<0时，y随着x的增大而增大；当x>0时，y随着x的增大而减小. ∣a∣越大，开口越小 温故知新 y x 这个函数的图象是如何画出来的? O 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y=x2+2，y=x2 -2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. (2) 抛物线y=x2+2，y=x2 -2与抛物线y=x2有什么关系？ 探索新知 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y =x2+2 … 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 … y = x2 -2 … 6 2.5 0 -1.5 -2 -1.5 0 2.5 6 … 先列表，描点、连线，画出这两个函数的图象. y =x2+2 y = x2 -2 思考：抛物线y=x2+2, y= x2 -2的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=x2+2 y= x2 -2 向上 向上 y轴 y轴 （0,2） （0,-2） y =x2+2 y = x2 -2 (2) 抛物线y=x2+2, y= x2 -2与抛物线y= x2有什么关系？ y = x2 y= x2 向上平移 2个单位 向下平移 2个单位 ①开口方向和大小相同； ②对称轴相同； ③顶点纵坐标不同. 思考：抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？ 在同一坐标系内画出下列二次函数的图象： （1）y=- x2 （2）y=- x2-2 （3）y=- x2+2 根据图象回答下列问题： (1)图象的形状都是________； (2)三条抛物线的开口方向______； (3)对称轴都是______； (4)从上而下顶点坐标分别是________________________； 抛物线 向下 y轴 (0,2)，(0,0)，(0,-2) (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为____、____、____； (6)函数的增减性都相同： _________________________； _________________________. 高 大 y=2 y=0 y=-2 对称轴左侧y随x增大而增大 对称轴右侧y随x增大而减小 y=ax2 顶点(0, 0) y=ax2+k 顶点(0, k) 当k>0时， 向上平移k个单位长度得到 当k<0时， 向下平移∣k∣个单位长度得到 思考：抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？ 上下平移规律：上加下减常数项. 点击打开几何画板 归纳小结 二次函数y=ax2 +k的图象和性质： y=ax2+k a>0 a<0 图象 k>0 k<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 向上 向下 y轴（直线x=0） （0，k） x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k 1. 关于二次函数y＝2x2－8，下列叙述正确的是 ( ) A. 函数的图象开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 当x＝0时，y有最大值－8 D. 当x<0时，y随x的增大而增大 B 对应练习 2. 抛物线y＝－2x2－1的顶点坐标是 ( ) A. (0，－1) B. (－1，0) C. (2，－1) D. (－1，－2) 3. 抛物线y＝ x2－1的开口向____；当x______时，y随x的增大而减小. A 上 ＜0 对应练习 4. 将抛物线y＝x2＋1向上平移1个单位长度，所得到的新抛物线的解析式是 ( ) A. y＝(x－1)2＋1 B. y＝(x＋1)2＋1 C. y＝x2＋2 D. y＝x2 C 对应练习 二次函数y=ax2+k的图象和性质 图象 1.开口方向由a的符号决定； 2. k决定顶点的位置； 3.对称轴是y轴. 性质 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 与y=ax2的关系 平移规律： k正向上； k负向下. 课堂小结 1.[2025·合肥五十中期末]抛物线y＝2x2－1的对称轴是 ( ) A.直线x＝－1 B.x轴 C.y轴 D.直线x＝ C 课堂练习 2.在抛物线y＝－x2－1的对称轴的左侧( ) A.y随x的增大而增大 B.y随x的增大而减小 C.y随x的减小而增大 D.以上都不对 A 已知解析式判断增减性→已知增减性判定解析式 下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的是( ) A.y＝x2＋3　　　　　B.y＝x－1 C.y＝－x2－3　　　　D.y＝8x A A B C D 3.下列可能是二次函数y＝ax2＋a(a≠0)的图象的是( ) B 4.填写下表： 抛物线 对称轴 顶点坐标 最值 y＝2x2＋2 y＝－x2－3 y＝x2－2 y＝－x2＋3 y轴 (0，2) y＝2 y轴 (0，－3) y＝－3 y轴 (0，－2) y＝－2 y轴 (0，3) y＝3 5.若y＝(m＋1)xm＋1－n是二次函数，且顶点在y轴的负半轴上，则m＋n的取值范围为　 　.  　m＋n＞1　 6.在同一平面直角坐标系中画出函数y＝－2x2，y＝－2x2＋3的图象，并直接写出它们的对称轴与顶点坐标. 略 7.将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位长度，则平移后的二次函数的解析式为( ) A.y＝x2－1 B.y＝x2＋1 C.y＝(x－1)2 D.y＝(x＋1)2 A 8.二次函数y＝x2＋3的图象可以看作由二次函数y＝x2的图象向　 　平移　 　个单位长度得到.  　3　 　上　 C D A B 9.[2025·芜湖期末]在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax与二次函数y＝ax2－a的图象可能是( ) C 10.已知点(－2，y1)，(－1，y2)，(3，y3)在函数y＝x2＋2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A.y3＜y2＜y1 B.y2＜y1＜y3 C.y1＜y2＜y3 D.y3＜y1＜y2 B 11.(1)对于二次函数y＝x2，当2＜x＜3时，y的取值范围为　 　；  (2)对于二次函数y＝2x2－3，当－1＜x＜2时，y的取值范围为　 　. 　－3≤y＜5　 　4＜y＜9　 12.能否通过上下平移抛物线y＝－x2，使得到的新抛物线经过点(－3，3)？若能，求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由. 解：设平移后的抛物线解析式为y＝－x2＋b. ∵新抛物线经过点(－3，3)， ∴－×(－3)2＋b＝3，解得b＝6， ∴平移后的抛物线的解析式为y＝－x2＋6， ∴将抛物线y＝－x2向上平移6个单位长度，得到的新抛物线经过点(－3，3). 13.选做题：请在A，B两题中任选一题作答. A.在平面直角坐标系中，已知顶点为P(0，2)的抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(2，0). (1)求点B的坐标； (2)若点C在该抛物线上，当△ABC的面积为12时， 求点C的纵坐标. A题图 B.已知抛物线y＝x2＋1具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离相等.如图，已知点M(，3)，P是抛物线y＝x2＋1上的一个动点. (1)当△POF的面积为4时，求点P的坐标； (2)求△PMF周长的最小值. 我选做　　　　题(填“A”或“B”)，并写出完整的答题过程.  B题图 A.解：(1)点B的坐标为(－2，0). (2)分两种情况： ①点C在x轴上方，∵S△PAB＝×4×2＝4＜12，∴这种情况不存在； ②点C在x轴下方，易得点C的纵坐标为－6. 综上所述，点C的纵坐标为－6. B.解：(1)点P的坐标为(－4，5)或(4，5). (2)过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y＝x2＋1于点P，此时△PMF的周长最小. ∵点F的坐标为(0，2)，点M的坐标为(，3)， ∴ME＝3，FM＝2， ∴△PMF周长的最小值＝ME＋FM＝5. $