专题25.1 一元二次方程的概念 培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，系统梳理定义（含整式方程、一个未知数、最高次数2三个条件）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及解的意义，通过知识点分层讲解与5类题型归纳构建递进式学习支架。 资料以探究式学习（如整数根探究）培养学生创新意识与推理能力，题型设计结合例题与变式提升运算能力，课后检测与复盘笔记助力查漏补缺，体现数学思维与应用意识，课中辅助教学高效，课后便于学生巩固。

简一数理 初中专题讲义 专题25.1 一元二次方程的概念 （新教材人教版） 知识点一、一元二次方程的定义 2 知识点二、一元二次方程的一般形式 2 知识点三、一元二次方程的解 3 【题型1 一元二次方程的定义】 3 【题型2 化成一元二次方程的一般形式】 3 【题型3 判断是否是 一元二次方程的解】 4 【题型4 由一元二次方程的定义求参数】 5 【题型5 由一元二次方程的定义求参数】 5 【探究式学习】 6 【课后检测】 8 【复盘笔记】 11 知识点一、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点二、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点三、一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【题型1 一元二次方程的定义】 【例1】下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【变式1-2】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【题型2 化成一元二次方程的一般形式】 【例2】用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（     ） A．2，1，1 B．2，， C．2，1， D．，1，1 【变式2-1】将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【变式2-2】一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【题型3 判断是否是 一元二次方程的解】 【例3】关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式3-1】若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】对于关于的方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②当时，方程无实数解； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④一元二次方程有两个相等的实根，则； 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．④ 【变式3-3】若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型4 由一元二次方程的定义求参数】 【例4】若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【变式4-1】关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【题型5 由一元二次方程的定义求参数】 【例5】若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 【变式5-1】若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式5-2】已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（     ） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 【变式5-3】对于一元二次方程，下列判断正确的是（    ） A．若是该方程的一个根，则一定有成立； B．若，则方程有一根为； C．若该方程的解为和x，则方程的解是或 D．当，，时，方程一定有实数根； 【探究式学习】 1．阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得： _______①，由m为整数知： ②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③ 或④ 即或或． 当时，，同理⑤ 或⑥ 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 2．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数，满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数，满足，，求的值． 【课后检测】 1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 2．已知关于x的一元二次方程有两个不同的实数根，则a的值可以是（     ） A．5 B．0 C．4 D．2 3．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 6．下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．若方程有实数根，则m的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 8．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 9．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 10．小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 11．若m是方程的一个根，则代数式的值为______． 12．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 13．若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 14．已知，是方程的两个根，则_______． 15．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 16．一元二次方程的一个根是，且，满足，求此一元二次方程． 17．先化简，再求值：，其中x的值是方程的根． 18．请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 19．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 20．已知是方程的一个根，试求的值． 【复盘笔记】 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题25.1 一元二次方程的概念 （新教材人教版） 知识点一、一元二次方程的定义 2 知识点二、一元二次方程的一般形式 2 知识点三、一元二次方程的解 2 【题型1 一元二次方程的定义】 3 【题型2 化成一元二次方程的一般形式】 4 【题型3 判断是否是 一元二次方程的解】 6 【题型4 由一元二次方程的定义求参数】 8 【题型5 由一元二次方程的定义求参数】 10 【探究式学习】 12 【课后检测】 17 【复盘笔记】 27 知识点一、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点二、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点三、一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【题型1 一元二次方程的定义】 【例1】下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 【变式1-1】已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 【变式1-2】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 【变式1-3】若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 【题型2 化成一元二次方程的一般形式】 【例2】用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（     ） A．2，1，1 B．2，， C．2，1， D．，1，1 【答案】B 【分析】把与一元二次方程一般形式对比即可得a，b，c的值. 【详解】解：根据一元二次方程的一般形式得： 的，，. 【变式2-1】将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 【变式2-2】一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 【变式2-3】把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 【题型3 判断是否是 一元二次方程的解】 【例3】关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 【变式3-1】若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 【变式3-2】对于关于的方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②当时，方程无实数解； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④一元二次方程有两个相等的实根，则； 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．④ 【答案】D 【详解】解：对于①：将代入得，若，则满足方程，即方程的根为，不是，故①错误； 对于②：当时，方程变为，若，方程有实数解，故②错误； 对于③：是方程的一个根，代入得，整理得， 或，不是一定有，故③错误； 对于④：一元二次方程有两个相等的实根， ，且判别式，即， 对两边同乘得，代入得： ， ，故④正确； 综上只有④正确． 【变式3-3】若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据，，得到当时，满足一元二次方程，即可得出结果. 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 【题型4 由一元二次方程的定义求参数】 【例4】若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 【变式4-1】关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 【变式4-2】方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 根据一元二次方程的定义，x的最高次数为2且二次项系数不为0，因此需满足且． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 【变式4-3】若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查“一元二次方程的定义”，掌握一元二次方程的特征求出参数的值，并排除会令二次项系数为0的值是解题关键． 根据一元二次方程的定义，要求方程中未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，解出m的值即可． 【详解】∵ 方程 是一元二次方程， ∴ 的最高次数 ， 解得 ，， 又∵ 二次项系数 ， 当 时，，不符合要求； 当 时，，符合要求， ∴ 实数 的值为 ． 故选：B． 【题型5 由一元二次方程的定义求参数】 【例5】若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 【答案】C 【分析】所求代数式的二次项、一次项系数与方程对应系数成比例，可通过整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 【变式5-1】若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 【变式5-2】已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（     ） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义得到，把该等式的右边展开即可判断①；可证明方程 和 是同一个方程，据此可判断②． 【详解】解：∵方程 的两根为，，， ∴方程 的两根为，，， ∴， ， ∴，因此①正确； ∵， ∴， ∴方程 和 是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确； 综上，①正确，②正确． 【变式5-3】对于一元二次方程，下列判断正确的是（    ） A．若是该方程的一个根，则一定有成立； B．若，则方程有一根为； C．若该方程的解为和x，则方程的解是或 D．当，，时，方程一定有实数根； 【答案】D 【分析】A．将代入方程判断即可； B．将变为，将代入方程可得，即方程有一根为； C．根据解为和可将原方程化为，展开后可知，，代入求解即可； D．根据不等式的性质得到，则，判断判别式的正负即可． 【详解】解：对选项A：∵是方程的根，代入方程得，整理得，∴或，并非一定满足，故A错误． 对选项B：∵，移项得，将代入方程得，∴方程有一根为，不是，故B错误． 对选项C：∵原方程的解为和，则原方程可写为，展开得，即，，代入新方程得：，，整理得，解得或，与选项结论不符，故C错误． 对选项D：∵，，∴，可得，又∵，∴，方程判别式，∴方程一定有实数根，故D正确． 【探究式学习】 1．阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得： _______①，由m为整数知： ②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③ 或④ 即或或． 当时，，同理⑤ 或⑥ 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 【答案】①；②；③；④⑤当时，；⑥当时， 【分析】（1）将去括号展开，然后整理成，再根据整数的性质，即得答案； （2）对于③和④，根据整数的性质，可得另两个结论或；对于⑤和⑥，将和，分别代入求解即可． 【详解】解：问题一： 设n为有理数， 已知方程有一个整数根， 令方程中一个整数根为m， 将m代入一元二次方程得：， ， ， 由m为整数知：是整数， 一定是整数， 是有理数， ， ． 故答案为：①；②． 问题二： 解法一：由得． 具有任意性， 多项式的一次项系数和常数项均为0， ， 即， 或或， 或或． 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：③；④⑤当时，；⑥当时，． 2．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数，满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数，满足，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将代入，得，解方程求出正根即可． （2）将变形得出，将变形得出，结合，得出，是一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数关系即可解答． （3）根据①，②，得出，结合， 得出③，④，将④代入①，得，将③代入②，得，得出，是一元二次方程的两个根，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得：． ∴“黄金分割数”为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴； （3）解：∵①，②， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴③，④， 将④代入①，得， ∴， 将③代入②，得， ∴， ∴，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 【课后检测】 1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 2．已知关于x的一元二次方程有两个不同的实数根，则a的值可以是（     ） A．5 B．0 C．4 D．2 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程定义得到二次项系数不为0，再根据方程有两个不相等实数根得到判别式大于0，解不等式得到a的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程 ∴ ∵方程有两个不同的实数根 ∴判别式 化简得，解得 综上，的取值范围是且 选项中只有满足条件，故选项D符合题意． 3．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 4．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 5．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】一元二次方程有两个不等的实数根则，并且二次项系数不可以为0． 【详解】解：且， 即， 解得，且． 6．下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ②中当时，它不是一元二次方程， ③整理得，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个． 7．若方程有实数根，则m的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】分（一元一次方程）和（一元二次方程）两种情况讨论，根据方程有实数根的条件求解的取值范围． 【详解】解：∵方程未指明次数， 需分两种情况讨论， ①当时，原方程化为，解得，有实数根，符合要求； ②当时，原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则根的判别式， 即， 解不等式得， 综上，的取值范围为． 8．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有实数根要求根的判别式大于等于0，列不等式即可求解. 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程 ∴二次项系数， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 化简得，解得； 综上，的取值范围是且. 9．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题需要同时满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个实数根要求根的判别式，求解两个不等式后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，即， 又∵方程有两个实数根， ∴，即， 解得：， 综上，的取值范围是且． 10．小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用换元法和方程的解的定义求解，设，由的解为，得到一元二次方程的解，再把方程变形为，令，可得，通过对应关系求出方程的解． 【详解】解：设， ∵ 的解为，， ∴ ，， 即的解为，， 对方程两边同乘，得， 即， 令，可得， ∴ 该方程的解为，， 即，， 解得，． 11．若m是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】9 【分析】由方程根的定义得到，变形得到，整体代入所求代数式化简即可得到结果． 【详解】解：∵根据题意，是方程的一个根， ∴ ，变形得 ， ∵， ∴， 将代入所求代数式 ， ∵， ∴原式． 12．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 13．若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 【答案】 【分析】先由方程根的定义，得到，再化简所求代数式，将整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ，则， ． 14．已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】12 【分析】根据一元二次方程根的定义，可得，满足方程，由此求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：因为，是方程的两个根， 将代入方程得， 整理得 ． 将代入方程得 ，整理得． 将，代入所求代数式 得： ． 15．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 16．一元二次方程的一个根是，且，满足，求此一元二次方程． 【答案】 【分析】把代入得出，根据二次根式有意义的条件求出，，进而求出，即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是， ∴， ∵， ， 解得：， ∴， ∴， ∴此一元二次方程为． 17．先化简，再求值：，其中x的值是方程的根． 【答案】 化简结果为，值为 【分析】先通分计算括号内部分，将除法转化为乘法约分化简，最后求出方程的解并代入最简式计算结果 ． 【详解】解： 原式 ； 解方程，得 ， 解得或， 原分式各分母不能为，因此且，舍去，得， 将代入化简后的式子，得原式． 18．请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2028 【分析】（1）仿照题干所给的方法计算即可得出结果； （2）求出，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ，即 两边同时乘以得． ，； （2）解：， ， ， ， 即， ． 19．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵，都是方程的根， ∴，， ∴， ∴ . 20．已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 【复盘笔记】 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $