25.1 一元二次方程的概念 同步讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的概念，系统梳理定义（满足整式方程、一个未知数、最高次数2）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及解的意义，构建从概念理解到形式转化再到应用的递进学习支架。 资料通过题型分类（定义、一般形式、解），结合解题知识解析、典例与变式题，培养学生抽象能力（如定义判断的五个要点）、运算能力（如方程转化确定系数）和模型意识（如代入根求参数）。课中辅助教师教学，课后过关验收助力学生查漏补缺。

第25章 25.1 一元二次方程的概念 内 容 导 航 题型1 一元二次方程的定义 题型2 一元二次方程的一般形式 题型3 一元二次方程的解 考 点 演 练 题型1 一元二次方程的定义 解｜题｜知｜识 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【典例1】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．±1 【答案】A 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得m＝1． 故选：A． 【变式1】下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x26；③x2＝0；④x＝3x2；⑤（x+1）（x﹣1）＝x2+4x．其中一元二次方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：①ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程； ②x26，不是整式方程，即不是一元二次方程； ③x2＝0，是一元二次方程； ④x＝3x2，是一元二次方程； ⑤（x+1）（x﹣1）＝x2+4x，整理得4x＝﹣1，不是一元二次方程； 其中一元二次方程的个数是2个， 故选：A． 【变式2】下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．y2＝x C．x22 D．x﹣3＝﹣x2 【答案】D 【解答】解：A、当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，不符合题意； B、该方程中含有两个未知数，属于二元二次方程，不符合题意； C、该方程不是整式方程，不符合题意； D、该方程符合一元二次方程的定义，符合题意． 故选：D． 【变式3】若x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是　﹣2　 ． 【答案】﹣2 【解答】解：∵x﹣3＝0是关于x的一元二次方程， ∴m﹣2≠0，m2﹣2＝2， 解得：m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 题型2 一元二次方程的一般形式 解｜题｜知｜识 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【典例1】将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5 【答案】D 【解答】解：一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式为：3x2﹣5x+1＝0， 故二次项系数是3，一次项系数是﹣5． 故选：D． 【变式1】一元二次方程3x2﹣4x＝2的常数项是（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．3 【答案】C 【解答】解：由题意得，3x2﹣4x﹣2＝0， ∴常数项为﹣2， 故选：C． 【变式2】方程x（x﹣6）＝6x+25化为一元二次方程的一般形式是x2﹣mx+n＝0，则m，n的值分别是（　　） A．12，﹣25 B．1，﹣25 C．﹣19，25 D．0，25 【答案】A 【解答】解：原方程整理得x2﹣12x﹣25＝0， ∵原方程化为一元二次方程的一般形式是x2﹣mx+n＝0， ∴m＝12，n＝﹣25． 故选：A． 【变式3】方程2x2﹣3＝0的一次项系数是（　　） A．﹣3 B．2 C．0 D．3 【答案】C 【解答】解：方程2x2﹣3＝0没有一次项，所以一次项系数是0．故选C． 题型3 一元二次方程的解 解｜题｜知｜识 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【典例1】若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】C 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0， 解得m＝2． 故选：C． 【变式1】关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 【答案】B 【解答】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1． 故选：B． 【变式2】如果2是方程x2﹣cx+2＝0的一个根，那么c的值是（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 【答案】A 【解答】解：∵2是方程x2﹣cx+2＝0的一个根， ∴22﹣2c+2＝0， 解得c＝3， 故选：A． 【变式3】先化简，再求值：，其中m为方程x2﹣2x﹣4＝0的解． 【答案】，﹣2． 【解答】解： ， ∵m为x2﹣2x﹣4＝0的解， ∴m2﹣2m﹣4＝0， ∴m2﹣4＝2m， 原式． 过 关 验 收 1. 若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＝1 B．m≠1 C．m≥1 D．m≠0 【答案】B 【解答】解：由题意得：m﹣1≠0， 解得：m≠1， 故选：B． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．3x+5y＝0 B．5x+2＝0 C．3x2﹣2025＝0 D． 【答案】C 【解答】解：A、是二元一次方程，故本选项不符合题意； B、是一元一次方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列关于x的方程：①；②；③x2﹣2+x3＝0；④x2﹣23+x＝0；⑤2x2﹣x﹣3＝0；⑥ax2+bx+c＝0中，一元二次方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：①，是分式方程，不是一元二次方程； ②，是一元二次方程； ③x2﹣2+x3＝0，含未知数的项的最高次数是3，不是一元二次方程； ④x2﹣23+x＝0，是一元二次方程； ⑤2x2﹣x﹣3＝0，是一元二次方程； ⑥ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程； 所以一元二次方程的个数是3． 故选：B． 4. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x+6y＝10 B．ax2+bx+c＝0 C．x2﹣6＝0 D． 【答案】C 【解答】解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．当a＝0时，方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．x2﹣6＝0是一元二次方程，故此选项符合题意； D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 已知关于x的方程（k+2）x|k|+x+4＝0是一元二次方程，则k的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：由题意得，|k|＝2且k+2≠0． 解得k＝±2且k≠﹣2． ∴k＝2． 故选：C． 6. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x+1＝x2+5 B．ax2+bx+c＝0 C．x2+x＝﹣8 D．2x2﹣y﹣1＝0 【答案】C 【解答】解：A．x2﹣2x+1＝x2+5，整理后可得2x+4＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意； B．ax2+bx+c＝0，当a＝0时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．x2+x＝﹣8，是一元二次方程，故本选项符合题意； D．2x2﹣y﹣1＝0，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 7. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1的方程是（　　） A．3x2+1＝6x B．3x2﹣1＝6x C．3x2+6x＝1 D．3x2﹣6x＝1 【答案】A 【解答】解：3x2﹣6x+1＝0， 其二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1， 故选：A． 8. 把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 【答案】A 【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝3x， x2﹣1﹣3x＝0， 即x2﹣3x﹣1＝0， 故选：A． 9. 将方程x（x﹣3）＝5化为一元二次方程的一般形式后，其二次项系数是（　　） A．1 B．﹣3 C．5 D．﹣5 【答案】A 【解答】解：去括号得，x2﹣3x＝5， 移项得，x2﹣3x﹣5＝0， 则二次项系数为1． 故选：A． 10. 将方程x2﹣8x＝10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（　　） A．﹣8、﹣10 B．﹣8、10 C．8、﹣10 D．8、10 【答案】A 【解答】解：x2﹣8x＝10， x2﹣8x﹣10＝0， 所以一次项系数、常数项分别为﹣8、﹣10， 故选：A． 11. 若关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为（　　） A．0 B． C． D．或 【答案】B 【解答】解：由题意可得： ，即， ∴或． 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数． 当时，，不符合一元二次方程定义； 当时，，符合题意． ∴． 故选：B． 12. 把一元二次方程2（x﹣1）x＝5化成一般式，则a，b，c的值分别是（　　） A．﹣2，2，5 B．2，﹣2，﹣5 C．1，4，﹣5 D．﹣2，﹣2，﹣5 【答案】B 【解答】解：一元二次方程2（x﹣1）x＝5化成一般式可得：2x2﹣2x﹣5＝0， ∴a＝2，b＝﹣2，c＝﹣5， 故选：B． 13. 根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3 【答案】B 【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0， x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0， ∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0， 即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2， 故选：B． 14. 如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣3 【答案】B 【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，得 m2﹣9＝0， 解得m＝﹣3或3， 当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去， 故选：B． 15. 关于x的一元二次方程x2+2x＝0的常数项被墨迹覆盖，已知x＝2是该方程的一个解，则被墨迹覆盖的常数项为（　　） A．﹣8 B．8 C．0 D．4 【答案】A 【解答】解：设被墨迹覆盖的常数项为a， 由题意得：把x＝2代入x2+2x+a＝0中得：4+4+a＝0， 解得：a＝﹣8， ∴被墨迹覆盖的常数项为﹣8， 故选：A． 16. 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x2+mx+n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn值为（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．3 【答案】B 【解答】解：根据题意得“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为﹣1， 所以一元二次方程2x2+mx+n＝0的根为1和﹣1， 所以2+m+n＝0，2﹣m+n＝0，解得m＝0，n＝﹣2， 所以mn＝0． 故选：B． 17. 如果m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式2m2﹣4m+3的值为 　15　 ． 【答案】15． 【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根， ∴m2﹣2m﹣6＝0， ∴m2﹣2m＝6． ∴2m2﹣4m+3＝2（m2﹣2m）+3＝2×6+3＝15， 故答案为：15． 18. 如果x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根，那么2021﹣4a+4b＝　2033　 ． 【答案】2033． 【解答】解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根， ∴a﹣b+3＝0， ∴a﹣b＝﹣3， ∴2021﹣4a+4b＝2021﹣4（a﹣b）＝2021﹣4×（﹣3）＝2021+12＝2033， 故答案为：2033． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 25.1 一元二次方程的概念 内 容 导 航 题型1 一元二次方程的定义 题型2 一元二次方程的一般形式 题型3 一元二次方程的解 考 点 演 练 题型1 一元二次方程的定义 解｜题｜知｜识 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【典例1】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．±1 【变式1】下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x26；③x2＝0；④x＝3x2；⑤（x+1）（x﹣1）＝x2+4x．其中一元二次方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．y2＝x C．x22 D．x﹣3＝﹣x2 【变式3】若x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是　 　 ． 题型2 一元二次方程的一般形式 解｜题｜知｜识 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【典例1】将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5 【变式1】一元二次方程3x2﹣4x＝2的常数项是（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．3 【变式2】方程x（x﹣6）＝6x+25化为一元二次方程的一般形式是x2﹣mx+n＝0，则m，n的值分别是（　　） A．12，﹣25 B．1，﹣25 C．﹣19，25 D．0，25 【变式3】方程2x2﹣3＝0的一次项系数是（　　） A．﹣3 B．2 C．0 D．3 题型3 一元二次方程的解 解｜题｜知｜识 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【典例1】若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【变式1】关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 【变式2】如果2是方程x2﹣cx+2＝0的一个根，那么c的值是（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 【变式3】先化简，再求值：，其中m为方程x2﹣2x﹣4＝0的解． 过 关 验 收 1. 若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＝1 B．m≠1 C．m≥1 D．m≠0 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．3x+5y＝0 B．5x+2＝0 C．3x2﹣2025＝0 D． 3. 下列关于x的方程：①；②；③x2﹣2+x3＝0；④x2﹣23+x＝0；⑤2x2﹣x﹣3＝0；⑥ax2+bx+c＝0中，一元二次方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x+6y＝10 B．ax2+bx+c＝0 C．x2﹣6＝0 D． 5. 已知关于x的方程（k+2）x|k|+x+4＝0是一元二次方程，则k的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．不能确定 6. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x+1＝x2+5 B．ax2+bx+c＝0 C．x2+x＝﹣8 D．2x2﹣y﹣1＝0 7. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1的方程是（　　） A．3x2+1＝6x B．3x2﹣1＝6x C．3x2+6x＝1 D．3x2﹣6x＝1 8. 把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 9. 将方程x（x﹣3）＝5化为一元二次方程的一般形式后，其二次项系数是（　　） A．1 B．﹣3 C．5 D．﹣5 10. 将方程x2﹣8x＝10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（　　） A．﹣8、﹣10 B．﹣8、10 C．8、﹣10 D．8、10 11. 若关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为（　　） A．0 B． C． D．或 12. 把一元二次方程2（x﹣1）x＝5化成一般式，则a，b，c的值分别是（　　） A．﹣2，2，5 B．2，﹣2，﹣5 C．1，4，﹣5 D．﹣2，﹣2，﹣5 13. 根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3 14. 如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣3 15. 关于x的一元二次方程x2+2x＝0的常数项被墨迹覆盖，已知x＝2是该方程的一个解，则被墨迹覆盖的常数项为（　　） A．﹣8 B．8 C．0 D．4 16. 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x2+mx+n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn值为（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．3 17. 如果m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式2m2﹣4m+3的值为 　 ． 18. 如果x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根，那么2021﹣4a+4b＝　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $