30.3 正多边形与圆 课后同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习以“正多边形与圆”为核心，通过基础概念辨析、综合计算应用及实际问题探究，构建“概念理解-能力提升-综合创新”的三阶巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|中心角计算、内接多边形半径|直接应用公式（如正十边形中心角），夯实概念理解| |能力提升|割圆术面积估算、正多边形坐标|结合历史情境（刘徽割圆术）与坐标几何，发展空间观念| |综合应用|尺规作图、实际问题（窗花图案）|通过图形变换与规律探究，培养模型意识与创新思维|

30.3 正多边形与圆 课后同步练习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．正十边形的中心角度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 4．早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（    ） A．3 B． C． D．6 5．边长为4的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（　　） A． B．2 C．2 D．4 6．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算.如图，利用内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（    ） A． B． C．3 D． 7．如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，给出以下结论：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③，其中正确的是 （   ） A．只有① B．①② C．①③ D．①②③ 8．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为________． A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，点O是正八边形的中心，连接、，则_____． 10．如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为______． 11．如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ___________________ （结果保留π）． 12．如图，正六边形ABCDEF在平面直角坐标系中，以中心为原点，顶点A，D在x轴上，半径为4cm，则点A的坐标为________，点E的坐标为________． 13．如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 _________________ ． 三、解答题 14．如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 15．（1）解方程：． （2）如图，正六边形内接于，半径，求边心距的长． 16．如图（1）是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图（2），它是由八片相同的瓦片组成，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图（3），点A，B，C，D表示瓦片的交接点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若厘米，求图（3）中阴影部分的面积．（结果保留π） 17．我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：    (1)将如表的表格补充完整： 正多边形边数 ______ 的 度数 ______ ______ ______ ______ (2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B A C C C B 1．【答案】B 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角度数，掌握相关计算公式是解题的关键． 正多边形的中心角度数等于除以边数． 【详解】解：∵正十边形的边数， ∴中心角度数为， 故选B． 2．【答案】C 【知识点】圆周角定理、已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， 是的内接正边形的一边，   ． 故选：C． 3．【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、求正多边形的中心角 【分析】根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 4．【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质．如图，过A作于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C，      ∵圆的内接正十二边形的圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：A． 5．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合 【分析】连接OB，CO，在RtBOC中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接OB，OC， 则OC=OB，∠BOC==90°， 在RtBOC中，， ∵BC=4， ∴OC=OB=． ∴⊙O的半径是， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题． 6．【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算．过作于，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心， 不妨设圆的半径为， 过作于， 在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为， ， ， 的近似值为3， 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查的是正多边形与圆的含义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键．由六边形是正六边形，得，，从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；由，，故Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误；证明，得，故③说法正确． 【详解】解：如图所示：    ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确； ∴，， ∴Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误； ∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∴，和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 同理可证，， ∴，故③说法正确； 故选：． 8．【答案】B 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、正多边形和圆的综合 【分析】连接OA、OB，证明△OAB是等边三角形，得出AB＝OA＝1，由垂径定理求出AM，再由勾股定理求出OM即可． 【详解】解：连接OA、OB，如图所示： ∵六边形ABCDEF为正六边形， ， ∵OA＝OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴AB＝OA＝1， ∵OM⊥AB， ∴AM＝BM＝AB＝， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键． 9．【答案】45 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，根据是正八边形即可求出． 【详解】解：∵是正八边形， ∴， 故答案为：45． 10．【答案】 【知识点】圆周角定理、已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题主要考查了正多边形中心角问题、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，，易知点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，再根据正多边形中心角计算方法即可得到答案． 【详解】解：连接，，如下图， ∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵ ∴， ∴这个正多边形的边数． 故答案为：． 11．【答案】/ 【知识点】正多边形和圆的综合、求扇形面积 【分析】本题主要考查正多边形与圆及扇形面积公式，熟练掌握正多边形与圆及扇形面积公式是解题的关键；由正六边形的性质可知，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故答案为． 12．【答案】 （-4，0） （2，） 【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】根据图形特点求出A点坐标，然后连接OE，由于正六边形是轴对称图形，并设EF交y轴于G，那么∠GOE＝30°；在Rt△GOE中，则GE＝2，OG＝，故可得出E的坐标． 【详解】解：∵正六边形ABCDEF在平面直角坐标系中，以中心为原点，顶点A，D在x轴上，半径为4cm， ∴AO=4cm ∴A（-4，0） 连接OE，由正六边形是轴对称图形知： 在Rt△OEG中，∠GOE＝30°，OE＝4． ∴GE＝=2，OG＝． ∴E（2，）． 故答案为：（-4，0）；（2，）． 【点睛】本题利用了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识． 13．【答案】1/ 【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹． 如图，取的中点K，以为直径作，则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得的长，进而根据勾股定理求出的长，根据即可解决问题． 【详解】如图，取的中点K，以为直径作，连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）． ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴当B,Q,K在一条直线上时，有最小值， 此时， 故答案为：． 14．【答案】 正方形如图所示： 【知识点】正方形性质理解、尺规作图——正多边形、作垂线(尺规作图) 【分析】此题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握作图的方法． 过点A作于点O，以O为圆心，为半径画弧交直线l于点B，D，交直线于点C，连接，，，，正方形即为所求． 【详解】略 15．【答案】（1），  （2） 【知识点】正多边形和圆的综合、公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查一元二次方程的解法，圆内接正六边形的边心距问题，掌握公式法解一元二次方程，正多边形的性质，会求中心角，会利用边心距和半径构成直角三角形，会用锐角三角函数求解是关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）连接，证出，，利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解： ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，； （2）连接， ∵是正六边形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 16．【答案】(1) 四边形是正方形，理由如下： 如图，连接，，，，则， 由题意可知，， ，， ， ， 四边形是正方形； (2)平方厘米 【知识点】正多边形和圆的综合、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查与圆有关的计算，正方形的判定和性质，掌握正方形的性质，圆面积、正方形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆周角定理以及正方形的判定方法进行解答即可； （2）根据圆面积，正方形的面积与阴影部分面积之间的关系进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ， 平方厘米． 答：阴影部分面积为平方厘米． 17．【答案】(1)，，，， (2)不存在一个正边形，使其中的，理由： 由（1）得，正边形中， 当时，即， 解得不是整数， 所以不存在一个正边形，使其中的． 【知识点】正多边形和圆的综合、正多边形的内角问题 【分析】（1）根据正多边形的内角，内角和以及三角形内角和定理进行计算即可； （2）根据（1）中的计算方法得出，代入计算即可． 【详解】（1）解：正三角形中的度数是正三角形的内角度数，即， 正方形中的度数为，即， 正五边形中的度数为，即， 正六边形中的度数为，即， 正边形中的度数为，即， 当时，即， 解得， 故答案为：，，，，； （2）略 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，多边形内角和的计算方法是正确解答的前提，得出是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $