30.3 正多边形与圆 同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦正多边形与圆核心概念，分层设计从基础认知到综合应用，适配新授课知识巩固与能力提升，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|中心角、边数等单一概念|如单选题1-2直接考查中心角定义与边数计算，夯实概念理解| |中档|半径、边心距、面积等公式应用|如填空题9-11结合正多边形性质与圆的计算，深化知识联系| |提升|动态旋转、图形拼接、证明计算等综合探究|如解答题17正五边形与五角星证明，培养逻辑推理与创新意识|

30.3 正多边形与圆 同步练习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．正六边形的中心角是（   ） A． B． C． D． 2．已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 3．如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则正方形的半径是（    ）    A．4 B．2 C． D． 4．如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 5．如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（   ）    A． B． C． D． 6．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：用圆的内接正多边形的面积去无限逼近圆面积．如图所示若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（　） A． B． C． D． 7．如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，给出以下结论：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③，其中正确的是 （   ） A．只有① B．①② C．①③ D．①②③ 8．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长是，则它的边心距为（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题 9．如图，点O是正八边形的中心，连接、，则_____． 10．如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ___________________ （结果保留π）． 11．如图，在正n边形中，，则的值是______． 12．如图，在正六边形中除点为原点，点外，其他各点均在轴上方，将正三角形在正六边形外连续作如下运动：起始位置，与重合；第一次运动：绕点逆时针旋转，使与重合；第二次运动：绕点逆时针旋转，使与重合；……如此运动，共完成六次运动，在这个运动的过程中，点P，O之间距离的最大值为_____________． 13．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上．把正六边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，当连续旋转2025次后，顶点D的对应点的坐标是________． 三、解答题 14．如图，已知．    (1)用尺规作图作的内接正六边形（不写作法、保留作图痕迹）； (2)若的半径为2，求所作正六边形的面积． 15．我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：    (1)将如表的表格补充完整： 正多边形边数 ______ 的 度数 ______ ______ ______ ______ (2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 16．如图，正外接圆的半径为2，求正的边长，边心距，周长和面积． 17．国旗上的每颗星都是标准五角星，圆圆对五角星进行了较深入的研究：延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形的边、 的延长线相交于点，的平分线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C B D A C C 1．【答案】A 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】此题考查了正多边形的中心角．据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：，此题比较简单，注意准确掌握定义是关键． 【详解】解：正六边形的中心角是：． 故选：A． 2．【答案】A 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．根据正多边形的中心角的计算公式计算即可，中心角等于（n为边数）． 【详解】解：由题意得，这个正多边形的边数是， 故选：A． 3．【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理求得，根据正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵是正方形的外接圆，正方形的边长为， ∴ ∴正方形的半径是 故选：C． 4．【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、求正多边形的中心角 【分析】根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 5．【答案】D 【知识点】正多边形和圆的综合、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式．利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意， ， 故选：D． 6．【答案】A 【知识点】正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查正多边形和圆、含角直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先求出中心角，过作于，可求出的长，再根据三角形的面积和圆的面积公式即可求解． 【详解】解：过作于， ， 在中，， ， 故选：A． 7．【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查的是正多边形与圆的含义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键．由六边形是正六边形，得，，从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；由，，故Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误；证明，得，故③说法正确． 【详解】解：如图所示：    ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确； ∴，， ∴Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误； ∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∴，和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 同理可证，， ∴，故③说法正确； 故选：． 8．【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】连接、，过作于点，根据正六边形的特点得到，，进而证明是等边三角形，则，，据此可得答案．本题考查的是正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，数形结合是解题的关键． 【详解】解：连接、，过作于点，则，如图所示， ∵多边形是正六边形，正六边形的周长是12， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 9．【答案】45 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，根据是正八边形即可求出． 【详解】解：∵是正八边形， ∴， 故答案为：45． 10．【答案】/ 【知识点】正多边形和圆的综合、求扇形面积 【分析】本题主要考查正多边形与圆及扇形面积公式，熟练掌握正多边形与圆及扇形面积公式是解题的关键；由正六边形的性质可知，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故答案为． 11．【答案】12 【知识点】圆周角定理、已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，即可求出n的值． 【详解】解：设点O为正n边形外接圆的圆心，连接，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 12．【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查正多边形和圆，点的轨迹以及线段的最值，作出图形得出的长度为点P，O之间距离的最大值，求出，可得的最大值为． 【详解】解：点的运动轨迹如图所示的虚线部分， 延长交轨迹于点（位置不只是一种）， 此时的长度为点P，O之间距离的最大值， ∵点为原点，点外，其他各点均在轴上方， ∴， 又， ∴， 过点E作于点，则， ∴， ∴， 的最大值为． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、根据旋转的性质求解、坐标与图形综合 【分析】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化—旋转，学会探究规律方法是解题的关键．连接、，首先确定点的坐标，再根据6次一个循环，由，推出经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同即可解答． 【详解】解：如图，连接，． 在正六边形中，，，， ， 在中，，， ， ， ， ， 将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，6次一个循环， ， 经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第3次旋转得到的的坐标相同， 与关于原点对称， ， 经过第2025次旋转后，顶点D的对应点的坐标是， 故答案为：． 14．【答案】(1) 正六边形如图所示：    (2) 【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）在上任取一点A，然后过点A画的直径，以点A为圆心，圆的半径为半径依次在圆上画出交点，则六边形满足条件； （2）连接、，过O点作于G点，则，利用正六边形的性质得到，则可判断为等边三角形，接着计算出的面积，然后把的面积乘以6得到正六边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点作，垂足为， 则， ． 正六边形的面积． 【点睛】本题主要考查了圆和内接多边形，首先确定六边形的度数或边长关系，再结合圆的度数作图，利用内接六边形的小三角形为正三角形是解题的关键． 15．【答案】(1)，，，， (2)不存在一个正边形，使其中的，理由： 由（1）得，正边形中， 当时，即， 解得不是整数， 所以不存在一个正边形，使其中的． 【知识点】正多边形和圆的综合、正多边形的内角问题 【分析】（1）根据正多边形的内角，内角和以及三角形内角和定理进行计算即可； （2）根据（1）中的计算方法得出，代入计算即可． 【详解】（1）解：正三角形中的度数是正三角形的内角度数，即， 正方形中的度数为，即， 正五边形中的度数为，即， 正六边形中的度数为，即， 正边形中的度数为，即， 当时，即， 解得， 故答案为：，，，，； （2）略 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，多边形内角和的计算方法是正确解答的前提，得出是解决问题的关键． 16．【答案】正△ABC的边长为，边心距为1，周长为，面积为 【知识点】正多边形和圆的综合、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】如图：连接，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，进而求得；再根据勾股定理求出，即可求出，进而求得周长和面积． 【详解】解：如图：连接，延长交于D， ∵正外接圆是， ∴， ∴边心距, 由勾股定理得：， ∴三角形边长为，， ∴的周长是；的面积是． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点，正确作辅助线后求出的长是解题的关键． 17．【答案】(1) 证明：五边形是正五边形， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ； (2)的长为 【知识点】正多边形和圆的综合、相似三角形的判定与性质综合、公式法解一元二次方程 【分析】（1）根据正五边形的性质可得，从而利用平角定义可得，进而利用三角形内角和定理可得，然后利用角平分线的定义可得，从而可得，进而可证，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答； （2）设，利用（1）的结论可得：，从而可得，在利用（1）的结论可得：，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再利用线段的和差关系可得，最后利用（1）的结论可得：，从而可得，进行计算即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：设， 由（1）可得：， ， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， 由（1）可得：， ， 解得或（舍去）， ， 的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，角平分线的定义，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $