27.1 反比例函数的概念 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习为九年级数学反比例函数概念同步练，通过基础-巩固-综合三层设计，实现从概念理解到跨情境应用的进阶，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|反比例函数定义、比例系数|单选题1-5判断函数类型，强化抽象能力| |巩固|图像特征、实际应用|填空题8杠杆原理体现模型意识，解答题12-13练参数求解| |综合|跨知识点应用|解答题15运动问题结合二次函数，16几何与函数综合提升推理能力|

27.1 反比例函数的概念 同步练习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．下面每组中的两种量成反比例的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．利率一定，存款的本金和利息 C．圆柱的体积一定，它的底面积和高 D．折扣一定，商品的原价和折后价 2．反比例函数的比例系数是（    ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 4．如图，圆柱的侧面积为10m2．记圆柱的底面半径为m，底面周长为m，高为m．当在一定范围内变化时．和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，反比例函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 5．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 6．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A、B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（    ） A．5 B． C． D．以上都不对 7．问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．以下结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且有两个不动点； ③为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点； ④若为“不动点函数”，则． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是_____ 9．已知是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为___________． 10．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 11．从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是_____． 三、解答题 12．下列函数表达式中，是的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出的值． (1)； (2)； (3)． 13．已知函数．当m，n为何值时，该函数为反比例函数？ 14．甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值，2，5，乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为x，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为y．设点A的坐标为． (1)请用树状图或列表法表示点A的坐标的各种可能情况． (2)求点A落在反比例函数图象上的概率． 15．如图1，小球从倾斜轨道由静止滚下时，经过的路程s（米）与时间t（秒）的部分数据如下表． t（秒） 0 0.4 0.8 1 1.2 1.6 … s（米） 0 0.016 0.064 0.1 0.144 0.256 … (1)请在一次函数、二次函数、反比例函数中选择最适合s与t的函数类型，并求出解析式； (2)经过多少秒时，路程为0.225米？ (3)如图2，与轨道AB相连的是一段水平光滑轨道，的另一端连接的是与平行的轨道，足够长．两个同样的小球甲与乙分别从A、C处同时静止滚下，其中甲球在上滚动的时间是2秒，速度是0.4米/秒，问总运动时间为多少时，两球滚过的路程差为1.6米？（注：小球大小忽略不计，小球在下一段轨道的开始速度等于它在上一段轨道的最后速度） 16．如图，点是平面直角坐标系的原点，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，其中，．    (1)试求出，的值； (2)已知点为轴正半轴上的动点，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，交函数的图象于点，过点作轴交的图象于点． ①连结，，，的面积是否随点的运动变化而变化？请说明理由． ②当与互相垂直时，试求出点的坐标． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A C C B B A 1．【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了反比例，熟练掌握反比例的定义是关键．根据两种量成反比例的定义：如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系，判断即可． 【详解】解：A、长方形的周长一定，它的长和宽的和是定值，故不符合题意； B、利率一定，存款的本金和利息成正比例，故不符合题意； C、因为圆柱的体积底面积高，所以圆柱的体积一定，它的底面积和高成反比例，故符合题意； D、折扣一定，商品的原价和折后价不成反比例，故不符合题意； 故选：C． 2．【答案】A 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，理解反比例函数解析式中k的值就是比例系数是解题的关键．根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：反比例函数的比例系数是， 故选：． 3．【答案】C 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数（为常数，）的图象上的点满足横纵坐标的乘积等于，据此计算各选项横纵坐标的乘积，与对比即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴在该反比例函数的图象上的点的横纵坐标的乘积一定要为， ∵， ∴四个点中，只有点在该反比例函数的图象上， 故选：C． 4．【答案】C 【知识点】正比例函数的定义、用反比例函数描述数量关系 【分析】由圆柱的底面的周长公式：底面周长＝2×半径×，可得与的关系，根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高，可得与的关系式，即可得到答案． 【详解】解：由圆柱的底面的周长公式：底面周长＝2×半径×， 可得：， 与的关系为：正比例函数关系， 根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高， 可得：， ， 与的关系式为：反比例函数关系， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数关系式的综合应用，涉及到一次函数、反比例函数、二次函数等知识，熟知函数的相关类型并能够根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键． 5．【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 根据反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义可知是反比例函数， 故选：B． 6．【答案】B 【知识点】求反比例函数值、由平移方式确定点的坐标、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了反比例函数，坐标的平移，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，然后根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴，， 设平移后点A、B的对应点分别为、， ∵将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度， ∴，， ∵平移后的A、B两点恰好都落在函数的图象上， ∴把点代入， 得，即， 解得或（不合题意，舍去）， 故选：B． 7．【答案】A 【知识点】由反比例函数值求自变量、求一次函数自变量或函数值、已知二次函数的函数值求自变量的值、函数的概念 【分析】本题主要考查了函数的定义，求一次函数值，求反比例函数值，二次函数与一元二次方程， 根据“不动点函数”的定义，对每个结论通过解方程判断是否存在不动点，验证结论正确性后统计正确个数． 【详解】解：①∵令，则，化简得，矛盾，无实数解， ∴该函数不是“不动点函数”，①错误； ②∵令，则，两边乘得 又∵实数范围内 ∴方程无实数解，该函数没有不动点，②错误； ③∵令，则，整理得 解得或， ∴点是该函数的不动点，③正确； ④∵若是“不动点函数”，则， 整理得， 方程有实数解需判别式， 即，解得， 而结论中的范围不完整，④错误． 综上，正确的结论只有1个． 故选：A． 8．【答案】甲 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】利用杠杆原理，得到力的大小与对杆的压力的作用点到支点的距离成反比关系，再通过比较力的大小，即可得到正确答案． 【详解】解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，力的大小与对杆的压力的作用点到支点的距离成反比， ∵，且将相同重量的水桶吊起同样的高度， ∴甲同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要是考查了反比关系，利用反比关系，比较不同量的大小，熟练掌握反比关系，是求解该题的关键． 9．【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征， 根据反比例函数图象上点的坐标特征，横纵坐标之积相等，列出方程求解． 【详解】解：∵点和点在同一个反比例函数图象上， ∴， 解得． 故答案为：． 10．【答案】②④⑥ 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，），或可转化为（）、（）形式的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数， ②可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ③中自变量的次数为，不符合反比例函数定义，不是反比例函数， ④可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑤是二次函数，不是反比例函数， ⑥可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑦是正比例函数，不是反比例函数， 综上所述，反比例函数有②④⑥． 故答案为：②④⑥． 11．【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、由反比例函数值求自变量 【分析】本题主要考查概率公式的知识，解答本题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比，首先找出在双曲线上点的个数，然后根据概率公式求出答案． 【详解】解：∵五个点、、、、中，在双曲线上的点有，一共1个， ∴五点任取一点，在双曲线上的概率是， 故答案为：． 12．【答案】(1)不是 (2)是， (3)不是 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键： （1）易得，不是反比例函数； （2）易得，是反比例函数，， （3）易得，不是反比例函数． 【详解】（1）解：不是； ∵， ∴，不是反比例函数； （2）是； ∵， ∴ ∴； （3）不是； ∵， ∴，不是反比例函数； 13．【答案】当时，该函数为反比例函数． 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 根据反比例函数的定义计算即可． 【详解】解：函数为反比例函数， ，且，解得． 故当时，该函数为反比例函数． 14．【答案】(1) 列表如下： ∴总共有9种等可能的结果； (2) 【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数值、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果； （2）由（1）可求得，在函数上，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）∵，在函数上， ∴点A落在的概率为． 【点睛】本题题考查了列表法或树状图法求概率和反比例函数图像上点的特征．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 15．【答案】(1)二次函数， (2)1.5秒 (3)7秒 【知识点】正比例函数的定义、图形运动问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一元二次方程的应用)、用反比例函数描述数量关系 【分析】（1）先根据一次函数和反比例函数的性质排除不是这两种函数，即符合二次函数关系，然后用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式求解即可； （3）根据两球滚过的路程差为1.6米列方程求解即可． 【详解】（1）∵， ∴s与t不是一次函数关系． ∵， ∴s与t不是反比例函数关系， ∴s与t是二次函数关系， 设， 把代入得 ， 解得， ∴； （2）把代入，得 ， 解得（负值舍去）， 答∶经过1.5秒． （3）由题意得∶ ， 解得． 答：总时间为7秒． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的应用，求出二次函数解析式是解答本题的关键． 16．【答案】(1)， (2)①的面积随点的运动变化没有发生变化，见解析；② 【知识点】已知两点坐标求两点距离、求一次函数解析式、求反比例函数值、根据反比例函数的定义求参数 【分析】（1）根据题意求得，求得点，待定系数法求得反比例函数的系数即可； （2）①延长交轴于点．设点，则点，，求得，推得点，点，，，根据割补法求得即可； ②待定系数法求得直线的解析式为：，根据反比例函数的性质可得点，关于直线对称；根据，求得的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， 将代入得： ， ∴点， ∵点在函数的图象上， 将代入得： ； （2）解：①的面积随点的运动变化没有发生变化，理由如下：．    延长交轴于点．设点，则点，． ∴ ∵轴 ∴点，点． ∴，． ∴ ， ∴的面积是一个固定值，不会随点的运动变化而变化． ②∵点，点， 设直线的解析式为：， 将代入，解得：， ∴直线的解析式为：； ∴直线是函数图象的对称轴， 又∵， ∴点，关于直线对称； ∴， ∵点，， ∴ 解得：，（不合题意，舍去）； ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了求反比例函数的系数，三角形的面积公式，求一次函数解析式，反比例函数的性质，两点间距离公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $