27.1 反比例函数的概念 一课一练2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习聚焦反比例函数概念，通过基础巩固、情境应用到综合创新的三阶设计，覆盖定义理解、图像性质及实际建模，培养数学思维与应用意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|反比例函数定义、解析式参数、简单关系判断|直接考查概念辨析（如题3判断反比例函数）、基础计算（题8求比例系数）| |中档|图像性质应用、概率结合、实际问题列式|结合几何情境（题5圆柱侧面积与函数关系）、生活数据应用（题12装订本数问题）| |提高|跨知识综合、新定义应用|整合一次函数与反比例函数（题7三点共线问题）、创新情境建模（题15“双倍点”探究）|

27.1 反比例函数的概念 一课一练2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．已知反比例函数．当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，是关于的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 5．如图，圆柱的侧面积为10m2．记圆柱的底面半径为m，底面周长为m，高为m．当在一定范围内变化时．和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，反比例函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 6．已知反比例函数的图象如图所示，当时，y的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 二、填空题 8．在反比例函数中，比例系数_____________，自变量的取值范围是_____________． 9．一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是_____ 10．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有___________（填序号） 11．小明为研究函数y＝的图象，在﹣2、﹣1、1中任取一个数为横坐标，在﹣2、﹣1、2中任取一个数为纵坐标组成点P的坐标，点P在函数y＝的图象上的概率是___． 三、解答题 12．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 13．已知计划修建铁路，设铺轨天数为y天，每天铺设铁轨的长度为， (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)判断该函数是否是反比例函数，若是，请写出比例系数． 14．已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ 15．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． (1)求直线上的“双倍点”的坐标； (2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； (3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； (4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 16．【概念感知】 在平面直角坐标系中，关于点和函数图象，给出如下定义：过点作轴的垂线交函数图象于点，点与点的纵坐标之差称为点到函数图象的有向量． 【概念理解】 (1)如图1，点在直线上，函数图像对应的解析式为． 若点的横坐标是，则点到函数图像的有向量等于______； 若点到函数图像的有向量等于，求点的坐标； 【概念应用】 (2)如图，函数图像对应的解析式为；函数图像对应的解析式为，点的坐标为，其中，若点到函数图像的有向量与点到函数图像有向量之和等于，且的最大值为，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C D B C D B 1．【答案】A 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 将，代入解析式可得值． 【详解】解：∵时，， ∴， ∴． 故选：A． 2．【答案】C 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数（为常数，）的图象上的点满足横纵坐标的乘积等于，据此计算各选项横纵坐标的乘积，与对比即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴在该反比例函数的图象上的点的横纵坐标的乘积一定要为， ∵， ∴四个点中，只有点在该反比例函数的图象上， 故选：C． 3．【答案】D 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，牢记反比例函数的标准形式是解题的关键．根据定义，判断函数是否可化为的形式，进而确定哪个选项是反比例函数． 【详解】解：反比例函数定义为， 选项：，为一次函数，不符合； 选项：，为正比例函数，不符合； 选项：，分母为，不符合； 选项：，符合形式，且， 是关于的反比例函数． 故选：． 4．【答案】B 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】此题考查反比例的定义：两种相关联的量的乘积为定值时，它们成反比例关系，逐一分析各选项中的两个量是否满足该条件 【详解】解：A. 圆的面积公式为，当面积一定时，是常数，也随之固定，二者无变化关系，不成反比例； B. 平行四边形的面积公式为，当面积一定时，底与高的乘积为定值，符合反比例定义； C. 年龄一定时，身高与体重无必然的乘积或比值关系，不成比例； D. 三角形面积公式为，当高不变时，面积与底的比值为（定值），二者成正比例； 故选：B 5．【答案】C 【知识点】正比例函数的定义、用反比例函数描述数量关系 【分析】由圆柱的底面的周长公式：底面周长＝2×半径×，可得与的关系，根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高，可得与的关系式，即可得到答案． 【详解】解：由圆柱的底面的周长公式：底面周长＝2×半径×， 可得：， 与的关系为：正比例函数关系， 根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高， 可得：， ， 与的关系式为：反比例函数关系， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数关系式的综合应用，涉及到一次函数、反比例函数、二次函数等知识，熟知函数的相关类型并能够根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键． 6．【答案】D 【知识点】求反比例函数值 【分析】根据图像，知反比例函数过点（1，4），故k=4，所以当x=2时，y=2，所以y的范围是． 【详解】如图，根据图像，知反比例函数过点（1，4）， ∴， ∴k=4， ∴当x=2时， ∴y=＝2， ∴y的范围是． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像，解析式的确定，根据自变量范围确定函数值的范围，读懂图像，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 7．【答案】B 【知识点】由反比例函数值求自变量、正比例函数的图象、求一次函数解析式 【分析】先根据直线过原点设出直线解析式，代入A、B坐标得到与的乘积，再根据C点坐标判断其满足哪个函数解析式． 【详解】解：∵直线经过原点， ∴设直线的解析式为， 把代入解析式得，即， ∴直线的解析式为， 把代入得，即， ∵点的坐标为， ∴点横纵坐标的乘积为， 对函数变形可得，满足点的坐标特征， ∴点一定在函数的图象上． 8．【答案】 【知识点】求自变量的取值范围、根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数的标准形式确定比例系数，依据分式分母不为0的条件确定自变量的取值范围． 【详解】解：将给定的函数变形为，由此可得比例系数， 由于分式的分母不能为0，所以， 解得， 即自变量的取值范围是． 9．【答案】甲 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】利用杠杆原理，得到力的大小与对杆的压力的作用点到支点的距离成反比关系，再通过比较力的大小，即可得到正确答案． 【详解】解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，力的大小与对杆的压力的作用点到支点的距离成反比， ∵，且将相同重量的水桶吊起同样的高度， ∴甲同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要是考查了反比关系，利用反比关系，比较不同量的大小，熟练掌握反比关系，是求解该题的关键． 10．【答案】②⑤ 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数，故不符合要求； ②是反比例函数，故符合要求； ③不是反比例函数，故不符合要求； ④不是反比例函数，故不符合要求； ⑤是反比例函数，故符合要求； ⑥中，当时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数，故不符合要求； 故答案为：②⑤． 11．【答案】 【知识点】求反比例函数值、列表法或树状图法求概率 【分析】先利用列表的方法求解所有的等可能的结果，再求解点P在函数上的有，，共3种，从而可得答案. 【详解】解：列表如下： 所有的等可能的结果有种， 其中点P在函数上的有，，共3种， 所有点P在函数y＝的图象上的概率是 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，利用列表法求解简单随机事件的概率，熟悉列表的方法求解概率是解题的关键. 12．【答案】(1) 补充表格如下： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 144 120 60 (2) 解：每本的页数和可以装订的本数成反比例；理由如下： 根据表中的数据可知，每本的页数随装订本数的变化而变化，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积一定，所以成反比例. (3) 页 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了反比例函数，（1）先根据已知的每本页数和装订本数算出总页数，再用总页数除以对应页数得到装订本数；（2）根据反比例函数的定义判断即可；（3）用（1）中得到的总页数除以本，即可得到每本的页数. 【详解】（1）解：总页数为：（页）； 当页数为页时，本数为：（本）； 当页数为页时，本数为：（本）； （2）略 （3）解：（页）． 故每本练习本有页． 13．【答案】(1) (2)是反比例函数，比例系数为 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的定义，求反比例函数的解析式． （1）铺轨天数=铁路长÷每天铺轨量，把相关数值代入即可得到y与x之间的函数关系式； （2）反比例函数解析式的一般形式为，比例系数为k，根据反比例函数的一般形式判断是否为反比例函数，写出比例系数即可． 【详解】（1）解：∵铺轨天数=铁路长÷每天铺轨量， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）∵反比例函数解析式的一般形式为，比例系数为k， ∴是反比例函数，比例系数为． 14．【答案】(1)当时，该函数是一次函数 (2)当时，该函数是正比例函数 (3)当时，该函数是反比例函数 【知识点】正比例函数的定义、根据一次函数的定义求参数、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查根据正比例函数，一次函数，反比例函数的定义求参数的值，熟练掌握相关定义，是解题的关键： （1）根据一次函数的定义，得到，进行求解即可； （2）根据正比例函数的定义，得到，进行求解即可； （3）根据反比例函数的定义，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得， 即当时，该函数是一次函数． （2）由题意，得，解得， 即当时，该函数是正比例函数． （3）由题意，得，解得， 即当时，该函数是反比例函数． 15．【答案】(1) (2)不存在“双倍点”，理由见解析 (3)或 (4)的值为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值、求反比例函数值 【分析】（1）根据“双倍点”的定义设直线上的“双倍点”的坐标，可得，解方程求出的值即可； （2）设在反比例函数图象上，把代入可得，根据平方的非负数性质得出得出该方程无实数解，可得不存在“双倍点”； （3）根据二次函数解析式得出与轴的交点坐标是，根据“双倍点”的定义得出，根据“双倍二次函数”的定义得出顶点坐标为，根据“双倍点”的定义求出或，即可得出答案； （4）根据“双倍二次函数”的得出及“双倍点”的定义求出二次函数解析式为，分，，三种情况，利用二次函数的性质分别求解即可得答案． 【详解】（1）解：设直线上的“双倍点”的坐标， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“双倍点”的坐标． （2）解：不存在“双倍点”，理由如下： 设在反比例函数图象上， ∴ ∴，此方程无实数解， ∴在反比例函数图象上不存在“双倍点”． （3）解：∵二次函数解析式为， ∴当时，， ∴函数的图象与轴的交点坐标是， ∵函数的图象与轴的交点是“双倍点”， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵该二次函数是“双倍二次函数”， ∴， 解得：或， ∴二次函数的解析式为或． （4）解：设“双倍二次函数”， ∵为“双倍点”， ∴， ∴， 解得：或， 当时，顶点为，不合题意，舍去； ∴时，这个“双倍二次函数”为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）； 当时，时，函数的最小值为，不存在满足条件的t值； 当时，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 16．【答案】(1)    或 (2)或 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、求一次函数自变量或函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质、求反比例函数值 【分析】（1）根据“有向量”的定义计算即可求解； 设，过点作轴的垂线交函数图像于点，则，然后根据“有向量”的定义计算即可求解； （2）由题意得：点到函数图像的有向量为，点到函数图像的有向量为，因为点到函数图像的有向量与点到函数图像有向量之和等于，所以得到，化简得，分两种情况讨论：当时，即时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；即可解答． 【详解】（1）解：将点的横坐标代入，得， 将点的横坐标代入，得， 点到函数图像的有向量等于， 故答案为：； 点在直线上， 可设，过点作轴的垂线交函数图像于点，则， 点到函数图象的有向量等于， ， 解得或， 或； （2）解：由题意得：点到函数图像的有向量为，点到函数图像的有向量为， 点到函数图像的有向量与点到函数图像有向量之和等于， ， ， ， 当时，即时，随的增大而减小， 当时，的最大值等于， ， 解得或， （舍去）， ； 当时，随的增大而增大， 当时，的最大值等于， ， 解得或， （舍去）， ， 综上所述或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的图像和性质、解一元一次方程、解一元二次方程等知识点，根据题意理解“有向量”的定义以及掌握以上知识点是解答本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $