第二单元 第08课时 长方体和正方体的体积（分层作业）数学青岛版五四制五年级上册（新教材）

**基本信息** 本练习围绕长方体和正方体体积，分层设计从基础概念到综合探究，梯度清晰，通过生活情境与规律探究，培养空间观念、运算能力和应用意识，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|正方体定义、长方体特征、长宽高概念|填空题直接考查核心概念，夯实基础认知| |提升层|体积与表面积辨析、简单体积计算|选择与计算题结合黄蜡石、沙包等生活情境，强化应用能力| |拓展层|排水法求体积、拼组规律探究、最优问题|探究题（如小正方体拼组、注水问题）培养空间观念与推理意识|

第二单元 第8课时 长方体和正方体的体积 分层作业 1.正方体是长、宽、高都相等的特殊（ ）。 2.长方体和正方体都有（ ）个面，（ ）条棱，（ ）个顶点。 3.相交于一个顶点的三条棱的长度，分别叫作长方体的（ ）、（ ）、（ ）。 1．将两块同样大小的橡皮泥分别捏成一个长方体和一个正方体，长方体和正方体相比较，（    ）。 A．体积和表面积都相等 B．体积相等，表面积不相等 C．体积和表面积都不相等 2．如图是由12个小正方体拼成的长方体，挖去一个小正方体后与原来相比，（    ）。 A．表面积不变，体积不变 B．表面积增加，体积变小 C．表面积减少，体积变小 3．如图，将一块面积为5cm2的长方形木板竖直放置在桌面上，将木板向右平移4.5cm，则它扫过的立体图形体积是( )cm3。 4．把一根长18分米的木材如下图截成两段，表面积增加了108平方分米，原来这根木材的体积是( )立方分米。 5．兰溪黄蜡石因其质地细腻、色泽温润如黄蜡而得名，在赏石文化中具有较高的知名度。张师傅把一块不规则的黄蜡石加工成一个棱长为6分米的正方体底座，上面摆放一株高度为8分米的黄蜡石刻兰花，就是一件极具观赏价值的艺术品。如果1立方分米黄蜡石的质量在2.6–2.8千克之间，这块正方体黄蜡石底座最多重几千克？ 6．老师为同学们准备一些小棒（如下图），东东用这些小棒搭成一个长方体，这个长方体的体积是（    ）立方厘米。 小棒长度 8cm 10cm 5cm 根数 4 7 5 A．800 B．500 C．400 D．320 7．2023年中国空间站“天宫课堂”第三课中，航天员演示了在微重力环境下用柔性材料搭建几何体的实验。他们使用总长72厘米的记忆合金丝，成功搭建出一个正方体框架模型。这个模型未来可用于验证空间站舱内模块化设备的空间布局。请问这个正方体框架模型的体积是( )立方厘米。 8．劳动课上，我们学会了做沙包。制作一个棱长是8厘米的正方体沙包，需要( )平方厘米的布，装满1个沙包需要( )立方厘米的沙子。 9．一个棱长5分米的正方体水缸有50升水，将一个长方体铁块全部浸没水中，此时水面距离容器口的高度如下图所示。这个长方体的体积是多少？ 10．中国发明生铁冶炼技术比欧洲早1900多年，据文献记载，齐国很早就有了冶铁记录。如果把锻造好的一个长6分米、宽5分米、高3分米的长方体铁块，完全浸没在一个从里面量棱长是10分米、水深8分米的正方体水池中淬火，池子里的水面会上升多少分米？ 11．照样子排一排，算一算，想一想。（每个小正方体的棱长为1cm）。 小正方体个数 1 2 3 4 ( ) 5 ( ) … 表面积 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 体积 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 我的发现 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12．如图：将一个小长方体容器（无盖），放入一个大长方体无盖容器中，已知大长方体的高是9分米。现在以每分钟4立方分米的速度向大长方体中注水，大长方体中水面的高度和注水时间如下图（容器的厚度忽略不计）。 (1)小长方体的容积是多少立方分米？ (2)需要多少分钟才能够将大长方体完全注满水？ (3)当注水时间等于3分钟时，大长方体中水面的高度是多少分米？ 13．（1）用12个棱长是1厘米的小正方体搭一个长方体有4种搭法。 搭法 长 （厘米） 宽 （厘米） 高 （厘米） 表面积 （平方厘米） 搭成的长方体 ① 12 1 1 50 ② 6 2 1 40 ③ 4 3 1 38 请你写出最后一种搭法的长、宽、高并算出它的表面积。 （2）观察第（1）题中4种搭法的长、宽、高和表面积的数据，你发现了什么？ （3）用336个棱长是1厘米的小正方体搭一个长方体，表面积最小是多少？ 4． （1）有一个底面为正方形，高为9厘米的无盖玻璃容器。 将1.8L水倒入容器中，水深8厘米（如图），此容器的底面积是多少平方厘米？ （2）将一个棱长为5厘米的正方体铁块浸没在水中，容器中的水会怎么样？请在你认为对的情况后面画“√”，并通过计算说明。 ①水面上升但不会到容器口。（    ） ②水面刚好上升到容器口。（    ） ③水面上升到容器口后还会溢出。（    ） 【知识加油站】 1.长方体 2.6；12；8 3.长；宽；高 cm2，高为4.5cm的长方体，长方体的体积＝底面积×高，把数据代入计算即可求出扫过的立体图形的体积。 【详解】5×4.5＝22.5（cm3） 4． 【分析】把木材截成两段，会增加个截面，所以长方体的底面积等于截面的面积（平方分米）。这根木料的长是分米，再利用公式“长方体的体积等于截面的面积乘长”计算。 【详解】 （立方分米） 原来这根木材的体积是立方分米。 5． 千克 【分析】要得到最多重量，所以每立方分米黄蜡石的质量取给定范围的最大值2.8千克； 首先用正方体体积公式计算底座体积，然后用单位体积最大质量2.8乘总体积，就得到这块正方体黄蜡石底座最重是多少千克。 【详解】 （立方分米） （千克） 答：这块正方体黄蜡石底座最多重604.8千克。 6．C 【分析】长方体12条棱分为3组，每组有4条长度相等的棱，所以用作同一种棱的小棒至少需要4根。先判断可选的小棒长度组合，再根据长方体体积公式V＝abh计算体积。 【详解】如果选择两种长度相同的棱，需要对应长度的小棒至少8根，三种小棒的数量都不足8根，因此长方体的长、宽、高分别对应三种不同长度的小棒，各取4根。 10×8×5 ＝80×5 ＝400（立方厘米） 7．216 【分析】正方体的棱长＝合金丝的总长度÷12，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此解答即可。 【详解】72÷12＝6（厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 8． 384 512 【分析】需要布的面积＝正方体表面积＝棱长×棱长×6；沙子体积＝正方体沙包的容积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】布的面积： 8×8×6＝384（平方厘米） 沙子的体积： 8×8×8＝512（立方厘米） 9．12.5立方分米 【分析】铁块完全浸没，铁块体积＝水和铁块总体积−原有水的体积，根据正方形的面积公式：面积＝边长×边长，求出正方体的底面积，用棱长减去放入铁块后水面距离容器口的高度，求出放入铁块后水深，根据正方体的体积公式：体积＝底面积×高，求出水和铁块总体积，根据1升＝1立方分米，将升换算成立方分米，最后用水和铁块总体积减去原有水体积得到铁块体积。 【详解】5×5＝25（平方分米） 5－2.5＝2.5（分米） 25×2.5＝62.5（立方分米） 50升＝50立方分米 62.5－50＝12.5（立方分米） 答：这个长方体的体积是12.5立方分米。 10．0.9分米 【分析】铁块完全浸没在水中时，水面上升部分的水的体积等于长方体铁块的体积。先根据长方体体积公式V＝abh，求出铁块的体积。根据正方体底面积公式：底面积＝边长×边长，求出正方体水池的底面积。最后用铁块的体积除以正方体水池的底面积，即可求出水面上升的高度。 【详解】（6×5×3）÷（10×10） ＝90÷100 ＝0.9（分米） 答：池子里的水面会上升0.9分米。 11． 6 10 14 18 22 1 2 3 4 5 表面积＝1×6＝6，体积＝1×1＝1 表面积＝2×6－2×1＝10，体积＝1×2＝2 表面积＝3×6－2×2＝14，体积＝1×3＝3 表面积＝4×6－2×3＝18，体积＝1×4＝4 表面积＝5×6－2×4＝22，体积＝1×5＝5 表面积＝＝，体积＝＝ 【分析】正方体的棱长，由正方体表面积公式，计算出一个正方体的表面积。由正方体的体积公式，计算出一个正方体的体积。正方体个数变成2个时，表面积应该等于12个面的面积减去2个重叠的面的面积，体积应等于2个正方体的体积。正方体个数变成3个时，表面积应该等于18个面的面积减去4个重叠的面的面积，体积应等于3个正方体的体积。正方体个数变成4个时，表面积应该等于24个面的面积减去6个重叠的面的面积，体积应等于4个正方体的体积。正方体个数变成5个时，表面积应该等于30个面的面积减去8个重叠的面的面积，体积应等于5个正方体的体积。正方体个数变成个时，表面积应该等于个面的面积减去个重叠的面的面积，体积应等于个正方体的体积。 【详解】正方体个数为1时，表面积＝1×6＝6，体积＝1×1＝1 正方体个数为2时，表面积＝2×6－2×1＝10，体积＝1×2＝2 正方体个数为3时，表面积＝3×6－2×2＝14，体积＝1×3＝3 正方体个数为4时，表面积＝4×6－2×3＝18，体积＝1×4＝4 正方体个数为5时，表面积＝5×6－2×4＝22，体积＝1×5＝5 正方体个数为时，表面积＝＝，体积＝＝ 【点睛】此题需要熟练运用正方体的表面积和体积公式求出单个正方体的数据，而突破的难点关键是理解正方体每次叠加后表面积都会减少个面的面积，体积是依次增加，根据这样的规律，推理出最终的结果。 12．(1)20立方分米 (2)27分钟 (3)1.5分米 【分析】观察关系图可知，0～10分钟，大长方体水面高度随时间增加而增高；10～15分钟，大长方体水面高度随时间增加而不变，说明此时水注入到了小长方体内；15～t分钟，大长方体水面高度随时间增加再次增高，说明水注入到小长方体内持续了（15－10）分钟，且小长方体的高是5分米。 （1）用（15－10）求出小长方体中注满水的时间，根据注水的速度×注水的时间求出小长方体的容积； （2）根据“底面积＝长方体的体积÷高”求出小长方体的底面积；10分后，开始向小长方体内注水，根据“注水的速度×注水的时间”求出10分钟内大长方体与小长方体之间空隙的水的体积，除以5，求出空隙的底面积；小长方体的底面积＋空隙的底面积＝大长方体的底面积，乘高（9分米），求出大长方体的总容积，除以注水速度，得到注满水所需时间； （3）用“注水的速度×注水的时间”求出3分钟注入水的体积（此时注入的水是在大、小长方体空隙之间），除以空隙的底面积，得到大长方体中水面的高度。 【详解】（1）15－10＝5（分钟） 4×5＝20（立方分米） 答：小长方体的容积是20立方分米。 （2）小长方体的底面积： 20÷5＝4（平方分米） 大长方体与小长方体之间空隙的底面积： 4×10÷5 ＝40÷5 ＝8（平方分米） 大长方体的底面积： 4＋8＝12（平方分米） 大长方体的总容积： 12×9＝108（立方分米） 注满水所需时间： 108÷4＝27（分钟） 答：需要27分钟才能够将大长方体完全注满水。 （3）3分钟注入水的体积： 4×3＝12（立方分米） 此时水面的高度： 12÷8＝1.5（分米） 答：大长方体中水面的高度是1.5分米。 13．（1）3厘米；2厘米；2厘米；32平方厘米 （2）长、宽、高数据越接近，表面积越小 （3）292平方厘米 【分析】（1）根据长方体体积＝长×宽×高，确定最后一种搭法的长、宽、高，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2； （2）观察比较长方体的长、宽、高和表面积，得出表面积如何变小的结论即可； （3）根据第（2）题得出的结论，将336分解质因数，通过组合质因数，将336拆成最接近的三个数相乘，表面积最小的长方体的长、宽、高，根据长方体表面积公式计算出表面积即可。 【详解】（1）12＝3×2×2 （3×2＋3×2＋2×2）×2 ＝（6＋6＋4）×2 ＝16×2 ＝32（平方厘米） 答：最后一种搭法的长3厘米、宽2厘米、高2厘米，它的表面积是32平方厘米。 （2）50＞40＞38＞32 答：长、宽、高数据越接近，越接近正方体，表面积越小。 （3）336＝2×2×2×2×3×7＝（2×2×2）×7×（2×3）＝8×7×6 数据最接近的长宽高分别是8厘米、7厘米、6厘米。 （8×7＋8×6＋7×6）×2 ＝（56＋48＋42）×2 ＝146×2 ＝292（平方厘米） 答：表面积最小是292平方厘米。 14．（1）225平方厘米； （2）①水面上升但不会到容器口。（√） 【分析】解答这道题首先应熟知长方体和正方体的体积公式：长方体的体积底面积高；正方体的体积棱长棱长棱长。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $