31.1 图形的相似（吃透教材）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

九年级下册 第三十一章相似 31.1图形的相似 教材知识梳理 1.相似图形的概念：① 相同的图形叫作相似图形 温馨提示若两个图形相似，则其中一个图形可以看作由另一个图形按一定比例放大或缩小 得到. 2成比例线段：对于四条线段a,bc,d如果其长度的比清足名宁（即d=c),我们就说线段a,6 c,d成比例. 3.相似多边形的概念：两个② 相同的多边形，如果它们的角分别③ ,角的对应边 ④ 那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫作⑤ 相 似用符号“∽”表示，读作“相似于” 4相似多边形的性质：对应角⑥ 对应边⑦ 温馨提示任意边数相等的正多边形都相似！ 教材母题变式 教材母题1相似图形的概念 例1（教材P2思考改编）我们把形状相同的图形称为相似图形，下列各组图形中，是相似图形的是 不是相似图形的是 (2 (3) (5) (6 方法总结判断两个图形是否相似，就是看这两个图形的形状是否相同，这是相似图形的本质.两 个图形是否相似与图形的大小、位置无关 教材母题2成比例线段 例2已知4条线段a,b,c,d,解答下列问题： （1)若a=8cm,b=4cm,c=2.5cm,d=5cm,试判断它们是否是成比例线段？ (2)若a=8cm,b=0.05cm,c=0.6dm,d=10cm,试判断它们是否是成比例线段？ (3)若a=6cm,b=0.12m,c=10cm,且线段a,b,c,d成比例，求线段d的长. 87 变式【易错】已知三条线段的长分别为1cm,2cm,√2cm,如果另外一条线段与它们是成比例线 段，那么另外一条线段的长为 方法总结判断四条线段是不是成比例线段的步骤： (1)将线段的长度单位统一，并按大小排序； (2)判断前两条线段的比是否等于后两条线段的比； (3)若等于，则这四条线段是成比例线段，否则就不是成比例线段 易错提醒利用成比例线段的概念求线段长时，若未指明顺序，需要分类讨论 教材母题3相似多边形的判定 例3（教材P4习题T3改编)如图，矩形草坪长30m,宽20m,草坪外围两条横向小路的宽均为 1m,如果设两条纵向小路的宽都为xm,那么当x为多少时，小路内、外边缘所形成的两个矩形 相似？ I m 30m 20m xm xm 1 m 教材母题4相似多边形的性质 例4（教材P16习题T1改编)一个五边形的草地，它的一条边长为16m,在图纸上，这条边长是 4cm,其他四条边的长分别为5cm,6cm,4cm,5cm,则这个五边形草地的实际周长是 例5（教材P4习题T4改编）已知A4纸的宽度为21cm,如图，将其沿较长 21cm 边的中点对折后，所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4纸的长度为 对 A4 cm. 课堂10分钟 1.如图，用放大镜将图形放大，应该属于 A.相似变换 B.平移变换 C.对称变换 D.旋转变换 2.四条线段a,b,c,d成比例，其中b=3cm,c=8cm,d=12cm,则a= A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 3.下列说法中，错误的是 ( A.等边三角形都相似 B.等腰直角三角形都相似 C.矩形都相似 D.正方形都相似 4利用复印机的缩放功能将直角△4BC缩小为原来的2得到△A'B'C,已知∠ACB=90,A'B=15, AC3则△ABC的斜边上的高CD为 BC 4 88教材母题变式 例496m例5212 例1(1)36(2)54W3 课堂10分钟 (3)解：如解图，连接OB,0C,作OG1 1.A2.A3.C4.12 BC于点G. 31.2相似三角形 易知△BOC是等边三角形， 31.2.1平行线分线段成比例 .∠OBC=60°，OB=BC=R, .:OG⊥BC于点G 教材知识梳理 1 ①相等②成比例③∽④k⑤成比例⑥平行 ·BG= 2 BC=- 2R,∠B0G=30, ⑦成比例⑧相似 教材母题变式 、在R△0BG中，0G=V0B-BG=R-(2R)=2R, 例15：33：5 例2(1)2 (2号 变式C例3 3 1 ∴.S△B0c= BC·OG= -XRX- -R= 2 -R, 2 4 例4DE=10。 3 cm. .正六边形ABCDEF的面积为6× TR- 2R,即s=33 R. 课堂10分钟 例2√3cm 1.B23 3.(1)EF=3.(2)BE=9. 例3解：(1)先画⊙0的内接正六边形，再在正六边形的基 31.2.2 三角形相似的判定 础上，选择不相邻的三个顶点，顺次连接，即可作正三角 第1课时 三角形相似的判定（一） 形.如解图1，△DBF是⊙O的内接正三角形 教材知识梳理 (2)先画圆的内接正方形，再在正方形的基础上，用直尺和 ①两②成比例③夹 圆规分别作与正方形相邻两边垂直的直径，即可作正八边 教材母题变式 形.如解图2，八边形AHBFCGDE是⊙O的内接正八边形. 例1证明：AB=AC,且∠BAC=120°， 米 .∴.∠ABD=∠ACB=30° .·∠ADE=30°，.∠ABD=∠ADE=30° ·.·∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB .∠EDC=∠DAB,.△ABD∽△DCE. 例2B例3B 解图1 解图2 例4解：相似理由如下： 课堂10分钟 设小正方形的边长为1，由勾股定理，得AB=√2，DE=22 136°2.723.34.4424245 AB 1 小DE2 九年级下册 又4C-2-1ABAC DF42DE DF 第三十一章相似 又：∠BAC=∠EDF,.△ABC∽△DEF 例5证明：.·△CDP是等边三角形，..PC=PD=CD=3 31.1图形的相似 ∠PCD=∠PDC=60°， 教材知识梳理 .∠ACP=180°-∠PCD=120°，∠PDB=180°-∠PDC ①形状②边数③相等④成比例⑤相似比⑥相等 120°，.∠ACP=∠PDB. ⑦成比例 .AC=2 PC_3 2 AC PC 教材母题变式 PD3'BD93PDBD.△ACP△PDB 例1(3)(5)(6)(1)(2)(4) 2 例2(1)它们是成比例线段. 例6C (2)它们不是成比例线段. 课堂10分钟 (3)d=20cm. 1.证明：CE=CD,.∠CED=∠CDE,.∠AEC=∠BDA, 变式22cm或，cm或2cn 又.·∠DAC=∠B,∴.△ACE∽△BAD AE AD 1 例3解：若小路内、外边缘所形成的两个矩形相似，则可以 2.证明：AB=2AD,AC=2AE,ACAB2 得到两个矩形长之比与宽之比相等， 又.·∠DAE=∠BAC,.△ADE∽△ABC. 9器降5 3.证明：.AB⊥BC,ED⊥CD,∴.∠B=∠D=90°， ∴.∠A+∠1=90° .当x为1.5时，小路内、外边缘所形成的两个矩形相似 又.∠1+∠2=90°，∴.∠A=∠2，.△ABC∽△CDE. 参考答案 第2课时三角形相似的判定（二） 31.3相似三角形的应用 教材知识梳理 教材母题变式 ①成比例②成比例 例1B例2B例312m 教材母题变式 例4解：·∠BAE=∠DCE=90°，∠AEB=∠CED, 例1解：(1)△ABC和△DEF不相似， 理由B),C-4C240BC4C 4B_AE.即4B=25 △AEBn△CED,·CDCE1.625AB=16, DE2'EF2'DF3·DEEF≠DF 答：教学楼的高度AB是16米. .△ABC和△DEF不相似. 课堂10分钟 (2)△ABC和△DEF相似. 1.A2.C3.D4.605.3 理由：AR_BC_AC1 DF EFDE2△ABC∽△DEF 31.4 位似 9 第1课时位似图形 变式它的男外两条边长是cm,4cm或4cm,cm 教材知识梳理 7 ①位似图形②位似中心 或4cm,2cm 教材母题变式 例2C 例1D例2B 课堂10分钟 例3略. 1.C2.C3.D 课堂10分钟 4.解：△ABC与△ADE相似.理由如下： 1.D2.C3.A4.6 在△ABC中，AB=25,BC=40,AC=20, 5.略 在△ADE中，AE=12,AD=15,DE=24, 第2课时平面直角坐标系中的位似 AB BC AC 5 ”AD DE AE3.△ABC∽△ADE. 教材知识梳理 ①(kx,y)或(-kx,-ky) 31.2.3相似三角形的性质 教材母题变式 教材知识梳理 例1(6，-2)(4,2)(2x,2y) 变式(3,1) ①相似比②相似比③相似比④相似比的平方 例2(6,2)或(-6，-2)变式(4,6) 教材母题变式 例3解：(1)如解图，△A,B,C,即为所求。 m 1(m(2 (4)2:3 例2证明：△ABC∽△A'B'C',BE,B'E'分别是∠ABC, ∠A'B'C的平分线， BE AB BC PE AB BC,∠ABD=∠A'BD CD=2BD.C'D'=2B'D' C BD-c.BnrC即e指品 BD BC AB BD 0123456789x (2)由解图可得A1(6,6),B1(2,4),C1(8,2). 又：∠ABD=∠A'B'D',.△ABD∽△A'B'D', (3)由题意，得△ABC∽△A,BC,相似比为 AD AB AD BE AD ABA'D'B'E 1 例3解：△AC与△AgC的相似比为子 变式略。 SAueSaure=49SArE 课堂10分钟 1.C2.(-3,-1)或(3,1) Sac+SAc4See+SC=。rh 3.画图略.A,(-4,-2),P(-2m,-2n). .Saxwc =63. 第三十二章锐角三角函数 例416 32.1正弦、余弦与正切 课堂10分钟 第1课时锐角的正弦 1.222.4:34:33.(1)32cm(2)36cm24.3:4 教材知识梳理 =4. 5 S△DEF ①对边②斜边③对边④斜边⑤“ 参考答案