31.1图形的相似（教学课件）数学新教材人教版九年级下册

31.1 图形的相似 第三十一章 相 似 人教版（新教材）·九年级下册 rong guo (rg) - 学 习 目 标 1 2 3 理解相似图形、相似多边形、成比例线段的概念；掌握相似多边形的性质——对应角相等、对应边成比例；理解相似比的含义，会区分相似比的顺序。 能依据相似多边形的性质计算多边形的未知角度与边长；能准确判断两个边数相同的多边形是否相似；会识别成比例线段。 体验类比、从特殊到一般的数学思想；感受图形放大与缩小的变换，提升几何直观，培养严谨推理的习惯。 章前导言 同学们，我们已经学过全等图形 ——形状和大小都完全相同，能够重合。 但生活中还有很多图形，它们形状一样，大小却不同 章前导言 全等图形 形状相同，大小也相同 能够完全重合 大小可以不同 相似图形 形状相同，大小可以不同 一个由另一个放大或缩小得到 思考：既然不能重合，那相似图形之间有什么不变的规律？这就是我们本章要探索的问题。 形状相同，大小不同——我们能研究什么？ 生活中哪里能找到相似图形？ 国旗上的五角星 我国国旗上大小不同的 五角星，形状完全相同 章前导言 生活中哪里能找到相似图形？ 不同尺寸的照片 同一数码照片文件 打印出的不同尺寸 不同比例尺的地图 同一区域两幅地图 比例尺不同，形状相同 这些例子的共同特点：形状相同，大小不同——它们都是相似图形。 章前导言 比例尺：1:25000 比例尺：1:50000 本章我们要学什么？ 1 认识相似图形 从全等出发 建立相似概念 2 相似三角形性质 对应角相等 对应边成比例 3 相似三角形判定 类比全等判定 探索相似条件 4 应用与实践 图形的放大与缩小 解决实际问题 核心思路： 类比全等三角形的学习路径，我们将从性质到判定，再到应用，逐步掌握相似三角形。 章前导言 1.下列各组图形中，________中的两个图形是全等形. 知识回顾 ① ④ 知识点链接 （1）全等图形：能够完全重合的两个图形 （2）全等的两要素：形状相同、大小相等 2.如图 (1)△ABC平移后得到△DEF，则△ABC___△DEF； (2)△ABC沿BC翻折后得到△DBC，则△ABC___△DBC； (3)△ABC绕点C旋转后得到△FEC，则△ABC___△FEC. 知识回顾 全等变换：变换后两三角形对应角相等，对应边相等 ≌ ≌ ≌ 导入新课 放大镜下的角与原图形中角是什么关系? 角的大小是相等的. 数学中称为：相似 例如：放大镜下的图形和原来的图形有什么关系？ 全等图形形状相同、大小相等。那生活中形状相同、大小不一样的图形，我们该如何定义它们的关系？ ——31.1 图形的相似 在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形． 新知探究 相同 点：形状一样， 不同点：大小不同。 观察这几组物体，它们在形状上有什么共同点和不同点？ 大小不同的足球 大小不同的中国结 字号不同但文字相同的一组图片 探究点1 相似图形的定义 日常生活中我们会碰到很多这种形状相同、大小不一定相同的图形， 议一议 新知探究 探究点1 相似图形的定义 每组中两个图形在形状变了吗？一个图形可以看作由另一个图形如何得到？ 议一议 (2)你能给具有上述特点的图形起个名字吗？ 我们把__________的图形叫做 . 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形 得到. 缩小 放大 缩小 形状相同 相似图形（similarfigures） 放大或缩小 12 把计算机上的图形投影到大屏幕上，图形就放大了，得到的图形与原图形相似； 新知探究 探究点1 相似图形的定义 议一议 生活中如何得到相似图形？ 用绘图软件可以把图形放大或者缩小，得到的图形与原图形相似. 放大或缩小 13 新知探究 探究点1 相似图形的定义 思考 下列各对相似图形中，其中一个图形是由另一个图形怎样变化得到的？ 缩小 缩小 缩小 放大 其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到。 相似图形定义：形状相同的图形叫做相似图形。 新知探究 探究点1 相似图形的定义 观察下组相似图片中，是放大还是缩小？ 图形放大 图形缩小 相似图形本质：形状相同，大小不同 两个相似图形中，一个图形可以看作由另一个图形放大或者缩小得到。 议一议 新知探究 探究点1 相似图形的定义 （1）全等图形是不是相似图形？ 不相似。哈哈镜扭曲了图形形状。 全等图形可以看成是一种特殊的相似， 即 不仅形状相同，而且大小也相同. 平面镜是表面平整的镜子，它所成像的形状和大小与物体完全相同.哈哈镜的表面凹凸不平，它能使所成的像产生奇异变形． 所以从哈哈镜里看到的自己的形象与自己不相似． 议一议 （2）你见过哈哈镜吗？哈哈镜形象与你本人相似？ 典例分析 探究点1 相似图形的定义 例1．观察下面图形，指出(1)～(9)中的图形哪些是与给出的图形(a)、(b)、(c)相似？ 解：通过观察可以发现： 图形(4)、(8)与图形(a)相似； 图形(6)与图形(b)相似； 图形(5)与图形(c)相似 方法总结： 判断两个图形的形状是否相同，应仔细观察，当两个图形的形状除了大小没有其他任何差异时，我们才可以说这两个图形形状相同．　 新知探究 探究点1 相似图形的定义 形状相同的图形叫做相似图形，两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到. 全等的两个图形是相似的. 如果两个图形相似，那么它们的形状相同，与它们的大小、位置无关. 1 2 3 新知探究 探究点2 比例线段 1、图所示的两个直角三角形是相似图形，你能用数字表示线段AB与线段DE的比吗？ （1）线段的比是什么？ 线段的比： 两条线段长度的比 ∵线段AB长度为3cm，线段DE长度为4.5 cm, ∴线段AB与线段DE的比: ． 可表示为：AB∶CD=2∶3 议一议 （2）线段AB与线段DE的比 新知探究 探究点2 比例线段 2、你能用数字表示线段AC与线段DF的比吗？线段BC与线段EF的比呢？你发现了什么规律？ ． ． 议一议 ， 发现：四条线段的比值相等 ∴ ， ∵ ． 四条线段AC、DF、BC、EF成比例 四条线段AB、DE、AC、DF成比例 四条线段AB、DE、BC、EF成比例 成比例线段定义： a b c d 新知探究 探究点2 比例线段 议一议 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比）与另两条线段的比相等，如 （即 ad = bc），我们就说这四条线段成比例. (1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，但在计算时要 注意统一单位； (2)线段的比是一个没有单位的正数； (3)成比例线段是有顺序的，四条线段a，b，c，d成比例， 记作： 或a∶b＝c∶d； (4)若四条线段满足： ，则有ad＝bc； (5)如果： ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么： 注 意 下列长度的四组线段中,成比例的一组是(　　) A.1，1.5，3，3.5　　　　B. C.1,　　　　 D.4，5，6，7 新知探究 探究点2 比例线段 练一练 解：选项A,∵1×3.5≠1.5×3,∴四条线段不成比例; 选项B,∵≠3×3,∴四条线段不成比例; 选项C,∵1××3,∴四条线段成比例; 选项D,∵4×7≠5×6,∴四条线段不成比例.故选C. C ∵正三角形的每个角都等于 60° 新知探究 （1）观察正△ABC和正△A₁ B₁ C₁中，它们的对应角有什么关系？对应边呢？ 探究点3 相似多边形的定义 A B C A₁ B₁ C₁ 对应边的比值相等，对应角相等 对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系． 思考 ∴＝ ＝ . ∴ ∠A＝∠A1=60° ∠B＝∠B1=60° ∠C＝∠C1=60° ∵正三角形的三边都相等， 23 新知探究 ∠A =∠A1，∠B =∠B1，∠C =∠C1,∠D =∠D1，∠E =∠E1，∠F =∠F1 探究点3 相似多边形的定义 (2)以下两个图形均是正六边形，它们是相似图形吗？对应角有什么关系？对应边有什么关系？ B₁ 120° A₁ C₁ D₁ E₁ F₁ A 120° B C D E F 思考 对应角相等 ∵AB = BC = CD = DE = EF = FA ， A1B1 = B1C1 = C1D1 = D1E1 = E1F1 = F1A1 ∴= 对应边成比例 相似图形 新知探究 探究点3 相似多边形的定义 图中的两个大小不同的四边形ABCD 和四边形A1B1C1D1中，由格点可得： ∠A=∠A1，∠B=∠B1， ∠C=∠C1，∠D=∠D1， = . （3）图中两个相似四边形，它们的对应角、对应边是否也有同样的结论？ 思考 （4）如果两个多边形边数相同，是不是只要“看上去像”就一定相似？究竟需要满足哪些条件？ 对应角分别相等、对应边成比例 新知探究 探究点3 相似多边形的定义 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 （1）相似多边形定义 归一归 (2)相似的表示 相似符号：∽，读作“相似于”。 四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1 （3）相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。 四边形ABCD ∽四边形A1B1C1D1 注意：在记两个多边形相似时，字母书写类似于全等，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 . 新知探究 注意： 相似比是有顺序的！写相似多边形时，顶点的排列顺序就代表了对应关系。 探究点4 相似多边形的性质 若四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且 =k，那么四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比是多少？若反过来写A′B′C′D′∽ABCD，相似比又是多少？这两个相似比有什么关系？ 议一议 ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′ ∴相似比 =k ∵四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD ∴相似比= = 新知探究 正方形：相似。 所有内角都是90°，对应角相等； 四条边长度相等，对应边成比例。 探究点4 相似多边形的性质 结论： 判断多边形相似必须同时满足“对应角相等”和“对应边成比例”两个条件，缺一不可！ 议一议 任意的两个正方形（或矩形）是否相似？为什么？任意的两个矩形或菱形? 菱形：不一定相似 四条边相等，对应边比值相等， 但内角不一定相等。 矩形：不一定相似。 内角都是90°（角相等）， 但长与宽的比值不一定相等， 对应边不一定成比例。 新知探究 探究点4 相似多边形的性质 定义既是判定方法，也是图形性质。已知两个多边形相似，就可以直接使用“对应角相等、对应边成比例”进行计算和推理。 点 拨 议一议 当我们已经知道两个多边形相似时，可以直接得到什么结论？ 相似多边形性质： 相似多边形的对应角相等，对应边成比例 典例分析 例2：如图，四边形ABCD∽四边形EFGH。求∠G、∠D的度数和边EH的长度。 解：∵ 四边形ABCD∽四边形EFGH（已知）， ∴ 对应角相等： ∠G=∠C=83°，∠A=∠E=118°。 ∴∠D=360°-(∠A+∠B+∠C) =360°-(118°+78°+83°)=81°。（四边形内角和为360° ） ∵四边形ABCD∽四边形EFGH ∴ （相似多边形对应边成比例， ） 即 ，解得 x=28 ∴＝ ＝ ，所以a＝5，b＝18. 典例分析 例3.在比例尺为1:10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，求两地的实际距离. 解：设两地的实际距离为xcm，则 ，解得，x=300000000 300000000cm=3000km 答：甲，乙两地的实际距离为3000km. 新知巩固 教材P4 1.（1）两个边数相同的正多边形相似吗？为什么？ 答：相似。因为正多边形的每一个内角都相等，每一条边长都相等。两个边数相同的正多边形，对应角相等，对应边也成比例，同时满足相似多边形的两个条件，因此相似。 （2）角分别相等的两个多边形相似吗？边成比例的两个多边形呢？为什么？ 答：①角分别相等的多边形不一定相似。例如： 长、宽比值不同的两个矩形，四个角都是直角（角相等），但长与宽比值不等，对应边不成比例，不相似。 ②边成比例的多边形不一定相似。例如： 两个内角不相等的菱形，对应边比值相等，但内角不相等，不相似 小结：多边形相似必须同时满足“对应角相等”和“对应边成比例”两个条件，缺一不可。 新知巩固 教材P4 2.如图，五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′。求∠A′、∠B的度数，以及边C′D′、DE的长 解： ∵ 五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′， ∴ ∠A′=∠A=78°，∠B=∠B′=105°。 （相似多边形对应角相等，） ∵相似比 ， ∴ 将BC=1，B′C′=3代入得： C′D′=6，DE=1.5。 拓展提升 1.如图，一块长3m、宽1.5m的矩形黑板ABCD如图所示，镶在其外围的木质边框宽75cm.边框的内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH相似吗？为什么？ 解：不相似． ∵矩形ABCD中，AB＝1.5m，AD＝3m， 镶在其外围的木质边框宽75cm＝0.75m， ∴EF＝1.5＋2×0.75＝3m， EH＝3＋2×0.75＝4.5m， ∴＝ ＝ ， ＝ ＝ . ∵ ≠ ， ∴内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH不相似． 拓展提升 2.如图，一张矩形纸片的长，宽，按照图中所示方式将它裁成矩形与矩形.若矩形与矩形的短边与长边之比相等，求的长. 解：设，则. 应分两种情况进行讨论： ⑴当， 即 时， 解得：或； ⑵当，即时， 解得：. 综上所述，的长为1或4或. 1.（24-25九年级上·河南郑州·期末）人们出行方式越来越丰富，以下四组LOGO中，不相似的一组是（   ） 解：A选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，A选项错误； B选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，B选项错误； C选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，C选项错误； D选项，两个图形形状不同，不符合相似定义，符合题意，D选项正确． 真题感知 B． C． D． A． D 真题感知 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 C 解：设两地间的实际距离为毫米， 根据题意，， 解得， 即实际距离是千米． 课堂小结 知识点总结 ①相似图形：形状相同，大小可以不同；一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到。全等图形是特殊的相似图形（相似比=1）。 ②相似多边形：边数相同，且同时满足“对应角相等、对应边成比例”； ③其性质也是“对应角相等、对应边成比例”。 ④相似比：相似多边形对应边的比，具有顺序性；前后两个图形交换，相似比互为倒数。 ⑤成比例线段：四条线段a、b、c、d满足a/b=c/d（即ad=bc）。 课堂小结 方法思想总结 （1）数形结合思想： 将代数方程问题与几何函数图象相互转化，以形助数、以数释形； （2）转化思想： 把求函数图象交点问题转化为解方程问题，简化几何求解难度； （3）归纳推理思想： 通过特殊案例探究，归纳出通用数学规律. 课堂小结 易错提醒 ►忽略相似比的顺序：相似比是“前项比后项”，写反了就会得到倒数；解题前先看清题目问的是哪一个图形与哪一个图形的相似比。 ►漏判条件：只看到角相等，或只看到边成比例，就草率判定两个多边形相似——这是最常见的错误，两个条件必须同时成立。 ►找错对应边、对应角：不能凭图形的直观长短或大小感觉来判断对应关系，相似符号书写的顶点顺序才是找对应元素的唯一依据。 ►单位不统一：计算线段的比或成比例线段时，若两条线段单位不一致（如米和厘米），必须先统一单位再求比值。 课后练习 教材P4 1.如图，△ABC∽△DEF。求x、y的值。 解： ∵AB=7，BC=8，AC=12，EF=4。 相似三角形对应边成比例，AB∶DE=BC∶EF=AC∶/DF， 即7∶x=8∶4=12∶y。 由8∶4=2，得x=3.5，y=6。 习题 31.1 课后练习 教材P4 2.如图，试着在方格纸中画出与原图形相似的图形。你用的是什么方法？与同学交流一下。 把原图形所有顶点的横、纵坐标同时扩大（或缩小）相同的倍数，再按照原来的顺序顺次连接各顶点。本质是把整个图形按同一比例放大或缩小，保持形状不变。 习题 31.1 课后练习 教材P4 3.如图，矩形草坪长40m、宽30m，沿草坪外围有1m宽的环形小路。小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由。如果要使小路内外边缘形成的两个矩形相似，应该怎样设计环形小路的宽度？ 解：内边缘矩形：长40m，宽30m； 外边缘矩形：长40+2=42m，宽30+2=32m。 40∶42=20∶21，30∶32=15∶16， 而2∶21≠15∶16，对应边不成比例，因此不相似。 设计方案： 设沿长方向的小路宽度为x，沿宽方向的小路宽度为y， 要使两矩形相似，则： 40∶(40+2x)=30∶(30+2y)， 化简得x∶y=4∶3。 结论：小路沿长方向的宽度与沿宽方向的宽度之比为4∶3时， 内外边缘形成的两个矩形相似。 习题 31.1 课后练习 教材P4 4.将一张矩形纸片沿着较长边的中点所在直线对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形相邻两边的比是多少？将这张纸片如此再对折下去，得到的矩形都相似吗？ 解：设原矩形长为a、宽为b（a＞b）。对折后新矩形的长为b、宽为。由两矩形相似，对应边成比例： a∶b=b∶()，即a∶b=2b∶a， 化简得：a²=2b²， 所以 =。 答：原矩形长与宽的比为:1；继续对折下去，每次得到的矩形长、宽之比始终保持:1；，因此所有得到的矩形都彼此相似。 习题 31.1 谢谢聆听 $