30.2 三角形的内切圆（吃透教材）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

30.2 三角形的内切圆 教材知识梳理 1.三角形的内切圆和内心 与三角形① 的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条 ② 的交点，叫作三角形的③ ,这个三角形叫作圆的外切三角形， 温馨提示三角形的内心到三角形三条边的距离相等 2.三角形的外接圆与内切圆对比 定义 圆心 性质 角度关系 图示 三角形的外心 三角形 经过三角 外心：三条边 到三角形 ∠BOC= 的外接 形三个顶 ④ ⑤ ⑥ ∠A 圆 点的圆 的交点 的距离相等 三角形的内心 三角形 与三角形 内心：三条 ∠BOC=90°+ 到三角形 的内切 各边都相 ⑦ ⑧ ⑨ 圆 切的圆 的交点 的距离相等 教材母题变式 教材母题三角形的内切圆和内心 例1（教材P158例改编)如图，△ABC的内切圆⊙O和BC,AC,AB分别相切于 A 点D,E,F若AF=2,BD=7,CE=4,则BC= ,AC=AB= 结论归纳如例1题图，切线长与三角形边长的关系：AB=A_AB+4C-BC, 2 BD=BF-AB+BC-AC .CD=CE-AC+BC-AB 2 2 结论拓展如图，设Rt△ABC的直角边为a,b,斜边为c,则Rt△ABC的内切圆的半 径r=a+-c或r=b 2 atb+c 例2（教材P159习题T2改编）如图，⊙0是等边三角形ABC的内切圆，若AB=4,则⊙0的半径为 .0 方法总结求三角形内切圆的相关问题，一般作辅助线的方法有两种：一是连顶，点和内心得到角 平分线；二是连切，点和内心得到半径及垂直条件 83 例3如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆，三角形的内心是否 都在三角形的内部？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 >课堂10分钟 1.在△ABC中，AB=AC,当△ABC的内切圆的半径确定时，随着∠A的度数增大，△ABC的外接圆的 半径 () A.一直增大 B.一直减小 C.先增大再减小 D.先减小再增大 2.如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°，则∠B0D的度 数是 3.已知，正三角形ABC的边长为1，正三角形ABC的外接圆和它的内切圆是同心圆，求这两个圆所形 成的圆环的面积 84教材母题变式 教材母题变式 例1D变式A 例1B变式1127°变式28.5例2125π 例2证明：如解图，连接OD,OE. 例3解：.BC=AB+AC2,BC=4,.AB=AC=2√2」 :△ABC为等边三角形， 1 ..∠A=∠B=60°. we AC-x2x2 又：OA=0D=0B=0E 1 ∴.△AOD和△BOE都是等边三角形 :∠B+LC=90°，BE=CE=2BC=2, .∴.∠AOD=∠B0E=60°，∴.∠D0E=60° ·两个扇形面积之和为”mR_90m×2 =T, .∠A0D=LDOE=∠B0E,.AD=DE=EB 360360 例3B .阴影部分的面积为S△ABC-S两个嘲形=4-T· 课堂10分钟 课堂10分钟 1.C2.2π3.5π4.6120° 1.B2.D3.34.略 5.解：(1)∠A=45°，.∠B0C=2∠A=90° 29.2.3圆周角 第1课时圆周角定理及其推论 (2)BC的长为90mx3_3m 1802 教材知识梳理 (3)⊙0的半径为3，∠B0C=90°， ①圆上②相交③一半④同弧或等弧⑤相等 ⑥直角⑦直径⑧圆上⑨无数⑩圆心①1②一半 3x39 Sawe-20G 0B- 2 教材母题变式 90m×329 例1C例220°例3(1)120°(2)2例42.5 又：S南形OBc 360 4”, 例530°或1509 99 课堂10分钟 ·.S阴影=S扇形0Be-S△B0c= 4m-2 1.C2.A3.224.36° 第2课时圆锥的侧面积和全面积 第2课时 圆内接四边形 教材知识梳理 教材知识梳理 ①顶点②扇形③母线④底面周长⑤侧面积⑥ ①同一个圆②圆的内接多边形③外接圆④互补 ⑦2πr⑧πrl⑨πr(r+l)0矩形①高②周长 ⑤等于 B侧面积 教材母题变式 教材母题变式 例1C例2125° 例1D例2D例384πcm2例4A 例3解：四边形ABCD不是某个圆的内接四边形，理由 课堂10分钟 如下： 1.B2.B3.180°4.1030 ·四边形ABCD的内角∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比为 第三十章直线与圆的位置关系 3:12:5, 30.1直线与圆 ∴.设∠A=3x°，∠B=x°，∠C=2x°，∠D=5x°， .∠A+∠C=5x°，∠B+∠D=6x°. 30.1.1直线与圆相离、相切、相交 ·圆内接四边形的对角互补， 教材知识梳理 ∴圆内接四边形的两组对角的和相等。 ①相切②0③1④2⑤>⑥=⑦<⑧切线 ⑨切点 .∠A+∠C≠∠B+∠D, 教材母题变式 .四边形ABCD不是某个圆的内接四边形 例4证明：四边形APBC为⊙O的内接四边形， 例1①当⊙A与直线BC相切时，⊙A的半径r=2, ②当⊙A与直线BC相交时，⊙A的半径>2， .∠ACB+∠APB=180°. ③当⊙A与直线BC相离时，⊙A的半径r<2. ∠ACB=60°，.∠APB=180°-60°=120°， :PC平分∠APB,.∠APC=∠BPC=60. 变式)相离2相交33,3 由圆周角定理，得∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC 例2(1)相切(2)0<r<3(3)相交 =60°， 例3D ∴.△ABC是等边三角形 课堂10分钟 课堂10分钟 1.A2.D3.D4.55.1或5 1.B2.A3.604.∠A=50° 6.解：如解图，过点O作OD⊥AB于点D. B 29.3弧长和扇形面积 .·∠A=90°，∠C=60°， 第1课时弧长和扇形面积 .∠B=30°. 教材知识梳理 1 ①nrR .B0=x,∴.OD= 180 ②半径③nmK 360 参考答案 若AB所在直线与⊙0相离，则0D>,即了>2， 例2(1)3OA⊥PA,0B1PB,AB⊥PC(2)3 ∠OBC, ∠APC,∠BPC(3)AC=BC(4)6(5)5 解得x>4; 例3解：(1)：PA,PB切⊙0于点A,B,CD切⊙0于点E, 若AB所在直线与⊙0相切，则0D=r,即，x=2 .PA=PB=6,ED=BD,CE=AC. .△PCD的周长为PD+DE+PC+CE=2PA=12. 解得x=4: (2)如解图，连接OE.由切线的性质， 若AB所在直线与⊙0相交，则0<0D<r,即0< 2x<2, 得OA⊥PA,OB⊥PB,OE⊥CD .∠OAC=∠0EC=∠OED= 解得0<x<4. ∠OBD=90°， 综上所述，当x>4时，AB所在直线与⊙0相离：当x=4时， .∠A0B+∠P=180°， B AB所在直线与⊙0相切：当0<x<4时，AB所在直线与⊙0 .∠A0B=180°-∠P=130° 相交 由切线长定理得∠AOC=∠EOC,∠EOD=∠BOD 30.1.2圆的切线 1 1 .∠COD= LAOB=- 第1课时切线的性质与判定 2 ×130°=650 教材知识梳理 课堂10分钟 ①垂直②切点③一个④半径⑤外端⑥垂直 1C2.530°3.12 ⑦一个⑧半径 教材母题变式 30.2三角形的内切圆 例1(1)证明：如解图，连接0P, 教材知识梳理 大圆的弦AB与小圆相切于点P ①各边都相切②角平分线③内心④垂直平分线 .OP⊥AB,PA=PB=2AB, ⑤三个顶点⑥2①角平分线⑧三边⑨】∠BAC .AP=BP. 教材母题变式 (2)解：如解图，连接0A, 例11169例2 23 :图中阴影部分的面积为10π，.π·0A2-T·0P2=10π， 3 ∴.0A2-0p2=10. 例3解：如解图所示. 0P⊥AB,.AP2=0A2-0P2=10,.AP=√10 .AB=2AP=2√I0. 例2证明：如解图，连接OP. ·:△ABC为等腰三角形，BC是底边， 锐角三角形 直角三角形 纯角三角形 .∠B=∠C 三角形的内心都在三角形的内部. 0B=OP,∠B=∠OPB, 课堂10分钟 .∠OPB=∠C,.OP∥AC. 1.D2.70° .PE⊥AC,∴.PE⊥OP. 又0P为⊙0的半径， 3.解：如解图，△ABC为等边三角形，点O 为中心，作OD⊥BC于点D,连接B0, .PE是⊙O的切线， 例3D 则BD=CD= 课堂10分钟 .·△ABC为等边三角形 D 1.×V××V2.略 .OB为三角形外接圆的半径，OD为三角形内切圆的半 第2课时切线长及切线长定理 教材知识梳理 径，0-0m-0-号 ①圆外②两③相等④平分 .这两个圆所形成的圆环的面积为T·OB-π·OD= 教材母题变式 例1(1)过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的 T·BD2=1 公 切线 30.3正多边形与圆 (2)证明：由题意，得OA=0M,OB=0P 教材知识梳理 0A=OM, ①相等②内接正多边形③外接圆④外切正多边形 在△0BA和△OPM中，∠0=∠0， ⑨n-2)x180 OB=OP. ⑤内切圆⑥圆心⑦半径⑧圆心角 ·.△OBA≌△OPM(SAS),∴.∠OAB=∠OMP=90° 360° 0 OM是⊙0的半径，.直线PM是⊙0的切线. ①相等 n 参考答案