26.4 实际问题与二次函数 第3课时（吃透教材）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

第3课时 抛物线形问题 教材母题变式· 教材母题1利用二次函数解决桥梁（隧道）类问题 例1（教材P53探究2改编）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水 面宽4m,若水面上升1m,则水面宽为 m. 教材母题2利用二次函数解决其他抛物线形问题 例2（教材P54T1改编）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈 抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准 确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米， 3.05米 3.05米 02.5米 O 4米 米 7米 图1 图2 (1)如图1建立平面直角坐标系. ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的 高度是 米 20 (2)如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高。米，与篮圈中 心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设 篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 方法总结解决抛物线形实际问题的一般步骤： (1)根据题意建立适当的平面直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出函数解析式； (4)利用待定系数法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 39 ◆课堂10分钟 ◆ 1.如图是某拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O,B,以点0为原点，水平直线OB为x轴，建 立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01(x-20)2+4,桥拱与桥墩AC的交点C 恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为 () A.5米 B.4米 C.2.25米 D.1.25米 +y(m) B D x(m) 第1题图 第2题图 2.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球离地面的高度 )和铅球与运动员出手点的水平距离x(m)之何的函数关系式为y=。+*+2,由此 铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 m 3.(2025南宁兴宁区校级月考)如图1，桥拱截面可视为抛物线的一部分，按如图2所示建立平面直 角坐标系，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=8m,桥拱顶点B到水面的距离是4m. (1)求桥拱部分抛物线的函数表达式 (2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距0点0.4m时，桥下水位刚好 在OA处，有一名身高1.68的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱？ 请说明理由（假设船底与水面齐平） 图1 图2 40W=(x-14)y=(x-14)(-4x+200)=-4x2+256x-2800= ∴.此抛物线的表达式为y=-0.2(x-2.5)2+3.5. -4(x-32)2+1296 ②0.2 .-4<0,且14≤x≤50 (2)由题意，得此时该抛物线的顶点坐标为(4,4)， .当x=32时，W取最大值，最大值为1296 .可设该抛物线的表达式为y=m(x-4)2+4. 答：当销售单价为32元时，总利润最大，最大利润为 又抛物线过点(0， ,16m+4=20 20 1296元. m=- 例2(1)(1100-10x) 六y=-9(x-4)+4.令x=7,则y=3<3.05, 1 解：设一个旅行团的人数是x,营业额是y元， ①当x=30时，y=30×800=24000; .此球不能投中这个篮圈 ②当x>30时，根据题意，得y=x(1100-10x)=-10x2+ 课堂10分钟 1100x, 1.C2.10 :每人单价不能低于580元，1100-10x≥580， 3.解：(1)由题意，得水面宽OA是8m,桥拱顶点B到水面的 .30<x≤52 距离是4m, y=-10x2+1100x=-10(x-55)2+30250, 结合函数图象可知，顶点B(4,4),点0(0,0)， .当30<x≤52时，y随x的增大而增大， 设桥拱部分抛物线的函数表达式为y=a(x-4)2+4, “.当一个旅行团的人数是52时，旅行社可以获得最大营业 额-10×(52-55)2+30250=30160（元）. 将00,0)代人函数表达武解得a=-子 .·24000<30160,..最大营业额为30160元 .y=- 4(x-4)2+4=- 答：当一个旅行团的人数是52时，旅行社可以获得最大营 4+2, 业额，最大营业额为30160元. 区桥拱部分抛物线的函数表达式为y三2+2x(0≤x≤8 例3(1)y=-10x+800 (2)他的头顶不会触碰到桥拱.理由如下： (2)解：设商家销售该商品每天获得的利润为心元， 则0=(x-30)(-10x+800)=-10x2+1100x-24000= 由题意，得工人与0点的距离为0.4+2×1.2=1(m), -10(x-55)2+6250. 7 ·每件该商品的利润率不能超过60%， 将1代人三行+2红，得1万 30 ×100%≤60%，解得x≤48. 30 1.75m>1.68m,.他的头顶不会触碰到桥拱 -10<0,.当x=48时，w有最大值，最大值为5760. 第二十七章反比例函数 答：当销售单价定为48元时，商家销售该商品每天获得的 27.1反比例函数的概念 利润最大，最大利润为5760元. 教材知识梳理 课堂10分钟 1.180006000 ①s4 ②≠0③不等于0的一切实数 2.(1)x-5300-20x(2)y=-20x2+400x-1500 教材母题变式 3.(1)80 例1 解：(1)由题意，得1=V=20 是反比例函数， (2)解：设当每双鞋子降价m元时，每天可以获得的利润为 RR 0元. (2)由题意，得y=8x,不是反比例函数 由题意，得w=(50-m）(40+2m)=-2m2+60m+2000= 是反比例函数 -2(m-15)2+2450, (3)由题意，得y=20 .当m=15时，0最大=2450. 是反比例函数， 答：当每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润，最大 (4)由题意，得 y=24,则y=8 利润为2450元. 变式1解：(1)(2)(4)(5)不是反比例函数； (3)16 (3)(6)(7)是反比例函数，其中反比例函数系数的值分别 第3课时抛物线形问题 为2+1,35， 1 教材母题变式 例122 变式2k≥0且k≠1 例2解：(1)①.：当球运行的水平距离为2.5米时，达到最 大高度3.5米， 例2解：(1)设y=←(k≠0)。 .抛物线的顶点坐标为(2.5,3.5)， .设抛物线的表达式为y=a(x-2.5)2+3.5, :当x=3时，y=-4-4= 3 由图1知抛物线过点(4,3.05)， 12 ∴.2.25a+3.5=3.05,.a=-0.2, 解得=-12，.y关于x的函数解析式为y=- 参考答案 (2)把y=6代人y-是得6=-是解得=-2 5.解反比例函数)y-4+8的图象位于第二、四象限， 例3解：函数y=(k-2)x-3是反比例函数， .4n+8<0,解得n<-2,.n的取值范围是n<-2. ∴.1k1-3=-1,且k-2≠0，解得k=-2. 第2课时 反比例函数图象和性质的综合运用 课堂10分钟 教材知识梳理 1.C2.B3.4 ①IkI 教材母题变式 4解：(1)设)y与x的函数表达式为y=←(k≠0). 例1(1)该反比例函数的解析式为y=- 6 当x=-1时，y=-3,.k=-1×(-3)=3, y与x的函数表达式为y= (2)点B(-1,6)在这个函数的图象上，点C(写，18)不在这 个函数的图象上。 (2)由(1)得y=3 例2(1)一次函数的解析式为y=x+4 .这个函数的比例系数为3，自变量x的取值范围为x≠0. 反比例函数的解析式为y=- (3将)=4代人得-子 (2)4 27.2反比例函数的图象和性质 (3)当x<0时，关于x的不等式+b<m的解集是x<-3或 第1课时反比例函数的图象和性质 -1<x<0. 教材知识梳理 例3C例4±8 ①-一、三②二、四③减小④增大⑤k⑥y=-x 课堂10分钟 教材母题变式 1.A2.D3.x>√3 4 例1解：(1)画反比例函数y=-的图象的步骤： 4当=-3时，反比例函数)=女的对应函数值是-子 列表： 27.3 实际问题与反比例函数 教材知识梳理 ①时间②单价③效率④宽⑤高⑥高⑦电阻 ⑧电阻⑨受力面积 教材母题变式 描点、连线（如解图）： 例1(1)=150 t (2)解：当小汽车匀速行驶的速度为60km/h,即v=60, 在=150中，令=60，得60=150，解得1=2.5 答：若小汽车从乙地原路返回甲地匀速行驶的速度为 60km/h,则从乙地返回甲地需要2.5h. 例2(1)S=10000 d (2)解：当d=16时，S=625:当d=25时，S=400. :S随d的增大而减小，.当16≤d≤25时，储存室的底面 积S的取值范围为400≤S≤625. 例3解：(1)由表格中的数据可知F1=30×4=120, (2)函数的图象位于第一、三象限. (3)在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小。 一F与1的函数解析式为F=120 (4)略. (2)253.75(3)A 例2B变式1m>-1变式2< (4当F=5N时，曲F-12四得1=24 例3(1)k=-12,画图略 (2)当x>0时，函数的值小于0. 当弹簧测力计距离中点0最远时，1=40， :.1的取值范围是24≤l≤40. 变式m<-3 课堂10分钟 例4A 1.D 课堂10分钟 14 2.(1)y=-(x>0) 37 1.C2.C3.B4.10 参考答案