26.4 实际问题与二次函数 第1课时（吃透教材）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

26.4实际问题与二次函数 第1课时运动类问题、面积问题 ◆教材母题变式· 教材母题1利用二次函数解决运动类问题 例1（教材P55T3改编）我国是最早发明火箭的国家，制作火箭、模拟火箭升空是青少年喜爱的一 项科技活动.已知学校航模组织设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系近似是 h=-t2+26t+1(t≥0)，如果火箭在点火升空的最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落 伞将打开？这时火箭的高度是多少？ 教材母题2利用二次函数解决图形面积问题 例2（教材P51例2改编）如图，用一段长为40m的篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园，已知墙足 够长.设矩形的AB边的长为xm,面积为ym2. D (1)求y与x之间的函数关系式； (2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 变式如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长12m,BC,AB的长各为多 少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 35 例3（教材P62T9改编）如图，已知正方形ABCD的边长是1，正方形EFGH的顶 0 点分别在AB,BC,CD,AD上.设正方形EFGH的面积是S,AE的长是x,则下列说 法正确的是 A当=时，5有最小值 B当=号时，s有最大值 E B C.S随x的增大而减小 D.S随x的增大而增大 方法总结利用二次函数解决图形面积最值问题的一般步骤： (1)求出函数解析式和自变量的取值范围： (2)配方变形或利用公式求该函数的最大值或最小值； (3)检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内. 课堂10分钟 ◆ 1.如图，将一根长2m的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是 1 1 B.3 m C.m D.1m2 A(B) 第1题图 第3题图 2.高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离s(m)与滑行时间t(s)的函数关系式为s=30t-52,当 遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车要滑行 s才能停下来 3.如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用60m长的篱笆围成中间有一道 篱笆的养鸡场，设养鸡场的长为x,则当x=时，养鸡场的面积最大 4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm,BC=10cm,点P从点A开始沿AB边向点B以 1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2c/s的速度移动.如果点P,Q分别从点 A,B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点随之停止.设运动时间为xs时，△PBQ的面积为 y cm2. (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)运动时间为 s时，△PBQ的面积为12cm2; (3)求运动时间为多少时，△PBQ的面积有最大值？最大值是多少？ 36教材母题变式 描点、连线： 例1解：列表： -2-1.5 -4-3-2-10 1234 y=2x2 + y=2x2+1 3 y=2x2-1 描点、连线： 0y=-(x+1) 2x2+110 1y-2x2 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 8 7 y=- 向下 (0,0) 6 y轴 5 y=2x2-1 4 y=- 2(x+1)2 向下 x=-1 (-1,0) y=- 2(-1)3 向下 x=1 (1,0) -3-2-19123 【归纳】向上低向下高x=h(h,0) 抛物线 开口方向 对称轴 例2(1)左1(2)右1【思考】右左 顶点坐标 课堂10分钟 y=2x2 向上 y轴 (0,0) 1.D2.右3.-4 y=2x2+1 向上 y轴 (0,1) 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 y=2x2-1 向上 y轴 (0,-1) 教材知识梳理 ①向上②向下③h④(h,k)⑤减小⑥增大 【思考1】答：a决定开口方向和开口大小：当a>0时，开口 ⑦增大⑧减小⑨kOk①左加右减 向上：当a<0时，开口向下：Ia越大，开口越小 教材母题变式 【思考2】答：k决定顶点的纵坐标.（答案不唯一，合理即可） 例1向上(1，-1)x=1>1<11小-1 例2(1)上1(2)下1(3)下1(4)上1(5)下 【思考】1下1 2(6)上2 例2(1)该抛物线对应的函数解析式为y=- 4(x-1)2+ 【思考】上下k 3(0≤x≤3) 课堂10分钟 9 1.A2.(0,-3)3.y=x2+3(答案不唯一) (2)柱形喷水装置的高度为子m, 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 课堂10分钟 教材知识梳理 1.A2.D3.y=-(x-2)2+10 ①向上②向下③x=h④(h,0)⑤减小⑥增大 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 ⑦增大⑧减小⑨0①0 教材知识梳理 教材母题变式 ①向上②向下③- ④- 54ac-6 2a ⑥减小 2a Aa 例1解：列表： ⑦增大⑧增大⑨减小⑩小①大2- B4uc-b2 2a 4a -3 -2 -1 0 1 2 3 教材母题变式 y=- 23 4.5 -2 -0.5 0 -0.5 2 4.5 例1解：y=2x2-4x+6=2(x2-2x+1)-2+6=2(x-1)2+4, 故该二次函数图象的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,4) 2(x+1)2 2 -0.5 0 -0.5 2 -4.5 -8 例2解：(1)y=x2-4x+3=x2-4x+22-22+3=(x-2)2-1, ∴.抛物线y=x2-4x+3的对称轴为x=2,顶点坐标为(2，-1). (2)由(1)得y=x2-4x+3=(x-2)2-1, (x-1) 8 4.5 -2 -0.5 0 0.5 -2 .抛物线y=x2-4x+3可以看作是由抛物线y=x2先向右平 移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的. 参考答案 (3)画出该抛物线如解图」 (1)方程x2-3x-2=0的近似根为x1≈-0.6，x2≈3.6. (2)方程x2-3x-2=2的实数根为x1=-1,x2=4. (3)方程x2-3x-2=-3的近似根为x1≈0.4，x2≈2.6. 课堂10分钟 1.B2.C3.D4.x1=-1,x2=3-1<x<3 26.4实际问题与二次函数 -2-,木245x 第1课时运动类问题、面积问题 教材母题变式 -2 例1解：由题意可得h=-2+26t+1=-(t2-26t)+1=-(t 例3解：(1)最小值为-7.(2)最大值为6. 13)2+170, 例4B 故火箭点火后13s降落伞将打开，这时火箭的高度是 课堂10分钟 170m. 1.B2.C3.> 例2解：(1)根据题意，得AB=xm,则BC=(40-2x)m, 4.解：(1)y=-2x2+4x+3=-2(x-1)2+5, .y=x(40-2x),即y与x之间的函数关系式为y=-2x2+ .抛物线的开口向下，对称轴为x=1,顶点坐标为(1,5). 40x(0<x<20). (2)由(1)知，抛物线的开口向下，对称轴为x=1, (2)y=-2x2+40x=-2(x-10)2+200,-2<0, .当x>1时，y随x的增大而减小；当x<1时，y随x的增大 ∴.当x=10时，y取得最大值200. 而增大 答：当AB边的长为10m时，才能使菜园的面积最大，最大 26.3 二次函数与一元二次方程 面积为200m2. 教材知识梳理 变式解：设BC的长为xm,则AB的长为30-m m, 2 ①有两个不相等的实数根②有两个相等的实数根 ③无实数根④x<x1或>x,⑤x,<x<x 案园的面积s=,09-}15s=-15) 教材母题变式 例1解：(1)画出函数图象如解图 2(0<x≤12)， 22 所示. 一2<0当<15时，S随x的增大而增大， 1 (2)图象与x轴的交点坐标为(-1， 10112/3x 0),(3,0). 1 当x=12时，S=)×9+2=108(m),此时30x 2 2 (3)当x=-1或x=3时，y=0, 这里x的取值是方程x2-2x-3=0 30-12=9. 2 的根. 答：BC的长为12m,AB的长为9m时，菜园的面积最大，最 例2(1)49 、100 大面积为108m2. 例3A (2)解：由题意，得h=10x-4.92=0.4,即4.9x2-10x+04=0, 课堂10分钟 .4=b2-4ac=(-10)2-4×4.9×0.4=92.16>0, 1.A2.33.30 2 x=-b±√B-4ac_10±√92.16解得x1=2,x,=A0 4.解：(1)由题意，得AP=xcm,BQ=2xcm,则BP=(8-x)cm, 2a 2×4.9 4y=】B0·BP=x2x(8-)=+8x(0<x≤5 当h=0.4时，x的值为或2 2 (2)2 例3(1)x1=-4,x2=1 (3)y=-x2+8x=-(x2-8x+16)+16=-(x-4)2+16 (2)当x<-4或x>1时，y>0. .当x=4,即运动时间为4s时，△PBQ的面积有最大值， (3)当-4<x<1时，y<0. 最大值是16cm2. 例4解：画出函数y=x-3x-2的图象如解图所示 第2课时最大利润问题 教材母题变式 例1解：(1)由题意，得单个利润为25-14=11（元）， 当x=25时，销售量y=-4×25+200=100(个)， .此时总利润为11×100=1100（元）， 答：当销售单价定为25元时，该店每周销售冰箱贴的总利 润为1100元. (2)设总利润为W元.由题意，得 参考答案