26.4 课时3 抛物线形问题 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以抛物线形实际问题为载体，通过基础建模→方法选择→综合应用的分层设计，强化二次函数建模与数形结合能力，培养抽象思维与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|建立坐标系、选择解析式|以拱桥、隧道为情境，通过选择、填空巩固建系方法与解析式形式（如知识点01-02的基础题）| |提升|求高度宽度、物体通过性判断|结合货车过隧道等实际问题，训练方程求解与空间比较（如知识点04-05的解答题）| |综合|实际测量与多知识点融合|通过喷灌、运动轨迹等复杂情境，整合建模、计算与推理（如知识点06的项目式问题）|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章二次函数 26.4实际问题与二次函数 课时3抛物线形问题 课时目标 了解抛物线形实物（如拱桥、隧道、喷泉）的数学建模过程，能根据实际问题建立适 当的平面直角坐标系，将实物形状转化为二次函数图象。 2.能根据已知条件（顶点、交点、普通点）选择合适的解析式形式（顶点式、一般式、 交点式)，利用待定系数法求出函数解析式。 3.能运用求得的二次函数解析式解决抛物线形问题中的高度、宽度计算及物体通过性判 断等实际问题，体会数形结合与数学建模思想。 课时目录 知识点01：建立平面直角坐标系表示抛物线形实物 知识点02：根据已知条件选解析式形式 知识点03：利用已知点求解析式中的待定系数 知识点04：求抛物线形问题中的高度、宽度、距离 1/19 知识点05：判断物体能否通过 知识点06：抛物线形问题与实际测量的综合 知识点01：建立平面直鱼坐标系表示抛物线形实物 实际中的抛物线形物体（如拱桥洞、隧道顶、喷泉水流）可以看作二次函数的图象。建立 坐标系的原则是简化计算，通常使抛物线关于y轴对称且顶点在坐标轴上。 常见建系方法： 以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴： 以水面（或地面）为x轴，对称轴为y轴且过顶点。 建系后，将实物的尺寸（跨度、高度）转化为点的坐标。 1.(25-26九年级上·安徽合肥：阶段检测)坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为 中国十大名桥之一.按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为=6”，正常水位时 水面宽AB为16m,当水位上升3m时，水面CD的宽为() C D A.12m B.10m C.8m D.6m 2.(25-26九年级上天津·阶段检测)如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段OA表示水平的路面， 以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.若 OA=12m,抛物线的顶点P到OA的距离为9m,则抛物线对应的函数表达式为 y/m P 3.(25-26九年级上·山东临沂·期中)某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐 2/19 标系，得到抛物线的函数解析式为y=6?,正常水位时，水面宽4B为16m,此时拱顶O到水面 AB的距离为 m y/m个 0 x B 5 4.(25-26九年级上江苏~课后作业)某学生推铅球，铅球出手(4点处)的高度是3m,出手后的铅球沿 段抛物线弧（如图）运行，当运行到最高y=3m时，水平距离是x=4m. A (I)试求铅球行进高度(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式； 2)如果将y轴平移至直线x=4,x轴平移至直线y=3,原抛物线不动，在新的坐标系下，求原抛物线 弧的函数表达式 知识点02：根据已知条件选解析式形式 若已知抛物线的顶点坐标，优先设顶点式y=(x-h)+k,只需再找一个点的坐标即可求 出a,计算简便： 若已知抛物线与x轴的两个交点，0)，(2,0)，可设交点式y=a(x-x)x-), 若已知抛物线上三个普通点的坐标，设一般式y=ar+br+c。 抛物线形问题通常利用顶点和另一点求解析式，顶点式最为常用。 5.(2026广东清远·三模)某公园雕塑OA的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形.测得雕 塑OA的高度为2m,当喷出的水柱与OA的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m.以点0为原点， OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）· 3/19 A B (I)求水柱所在抛物线的函数表达式： (2)求水柱落地点与雕塑OA的水平距离. 6.(25-26九年级上浙江绍兴期中)如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m.若 以通过拱顶点O的水平直线为x轴，过点O的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系. 工工工工工 工工工工工 3m 工 4m (I)求出该抛物线的解析式。 (2)若水面下降1m,则此时水面宽度为多少m.(结果允许保留根号的形式) 7.(24-25九年级上·山东烟台期末)如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部AB宽为4m,顶部C距 地面的高度为4.4m. C 4.4m -4m B ()试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式： 2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.65m,装货宽度为2.4m,那么这辆汽车能否 顺利通过大门？ 8.(2425九年级上·安徽毫州阶段检测)某校足球队在一次训练中，一球员从高2.4米的球门正前方m 米处将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此 时球离地面3米.建立如图所示的平面直角坐标系， 4/19 球 m米 (1)求出抛物线的函数解析式： (2)当m=10时，试判断足球能否射入球门，并说明理由； 知识点03：利用已知点求解析式中的待定系数 将已知点坐标代入所选的解析式中，解关于待定系数的方程（组）。 例如：以拱桥顶点为原点建系，设y=x°，已知水面宽20米时对应点坐标为Q0,一4（水 面低于顶点4米)，代入得-4ax102,解得a-0.04,故解析式为y-0.04x2。 9.(25-26九年级上·陕西安康期末)某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截 面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中OA是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点， AB是保温墙，AB⊥OA,已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面OA的高度是3米， 以OA所在直线为x轴，以过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 图1 图2 (I)求该抛物线的函数解析式： P ②)若保温墙的高度4B为3米，且保温墙位于塑料项棚最高点的右侧，求保温墙4B到点O的水平距 离（即OA的长）. 10.(25-26九年级上陕西榆林·期末)垂榆的枝条柔软细长，因其对有害气体具有较强的抗性，被广泛用 于城市街道、小区等场所，某小区空地处的一棵垂榆中某一枝的形状呈如图所示的抛物线形，己知这 支垂榆在距离树干OA的水平距离为2m时，达到最高点9m,枝条的末端B到树干底部的水平距离 OB=5m,以地面OB所在直线为x轴，树干OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系。 (注：树干近似看作直线，且与地面垂直，无风，枝条不动) 5/19 Ay/m 0 Bx/m (1)求这支垂榆所在抛物线的函数表达式： (2)身高1.5m的小明站在距离树干OA多少米时，头顶刚好碰到这支垂榆？ 11.(25-26九年级上·陕西榆林期末)随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统.从喷水口 喷出的水柱呈抛物线形.如图是某家庭喷灌器OA喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为 0.25m(即0A=0.25m),喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m处达到最高，高度为0.45m,以喷灌 器OA(与地面垂直)所在直线为y轴、地面所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系. VA (I)求喷出的水柱所在抛物线的解析式： (②)若水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处，求喷灌器OA到围墙的距离OB 12.(25-26九年级上浙江台州期末)经观察，白鲸的喷水形状近似看作一条二次项系数为ˉ2的抛物线， 如图，当白鲸在水池边缘O处表演喷水时，以O为原点建立平面直角坐标系，观众席AB段解析式为： (1≤x≤4)，测得抛物线水柱在观众席的落点处C的横坐标为2，试求白鲸在O点处喷水产 2 生的抛物线解析式. B C 观众席 OA 知识点04：求抛物线形问题中的高度、宽度。距离 求宽度：给定高度（即给定y值），解方程求x,所得两解之差的绝对值即为水平宽度； 6/19 求高度：给定水平位置（即给定x值），代入解析式求y值，即为该位置相对基准面的高 度 求距离：结合几何图形，计算点到点、点到线的垂直距离，常用于比较实际物体的空间位 置。 13.(2026陕西榆林·二模)校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等. 如图是某数学兴趣小组设计的一款抛物线形状的校门正面示意图，该校门由抛物线L和左右对称的矩 形门房BOCD、AEFG及中间的电动推拉门（完全拉开时，为图中阴影部分，即矩形BEPO)构成， 点O与点A都在抛物线L上，且OA两点关于抛物线L的对称轴对称.己知OA=24m,OB=AE=4m 抛物线L的最高点到地面OA的距离为8m,以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为 y轴建立平面直角坐标系，点BE在x轴上. D G B EA末 (I)求抛物线L的函数表达式： 5 ②已知电动推拉的高度为m（邮BQ?m),求点O到抛物线，的竖直距圈 14.(2026陕西西安·二模)儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注 力与耐心.当儿童软弹玩具枪发射口A距水平地面的高度为0.8m时，发射软弹后软弹最终落在距发射 L 口水平距离4m的水平地面上的点B处，软弹（大小忽略不计）的飞行路线可近似看作抛物线，发 射口可随玩具枪竖直上下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点（抛物线的项点为点A)·过点 A作水平地面的垂线与地面交于点O,以OA所在直线为y轴，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐 标系如图所示， L L A D 7/19 (I)求抛物线的函数表达式： ②)发射口C在点A正上方1m处，发射软弹后软弹的飞行路线可近似看作抛物线一，抛物线一与抛物 线的形状相同，软弹最终落在地面上的点D处，求OD的长。 15.(2026陕西商洛一模)在一次烟花大赛中，两个不同位置的发射台同时发射了特制的烟花弹，烟花 弹的轨迹高度与水平距离之间的关系图象可近似看作抛物线，如图所示，以水平地面为x轴，垂直于 地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，己知如下信息： y/m A O E x/m 烟花弹的发射点位于坐标原点 0(0,0) 其爆炸最高点坐标为4,80， 落地点为E； 烟花弹的发射点位于轴上点 A(-10,0) -464) 其爆炸最高点坐标为 设所有烟花弹轨迹的对称轴均垂直于水平地面，且均沿抛物线轨迹运动直至落地. (1)求烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式： ②若将烟花弹一的轨迹关于'轴对称后，得到一条新的抛物线，点尸在抛物线上，F1轴。 求点F到点E的距离。 16.(25-26九年级上湖北武汉·阶段检测)在一次篮球比赛中，小华传出了一个球，球从小华的手中飞出， C 在空中形成了一条优美的抛物线，落地点为尸球落地后弹起，向小源所在位置方向飞去，球飞行 的轨迹为抛物线C2,篮球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的函数关系如图所示.小华传出 9 球时球的起点处高度为2米，当球飞出的水平距离为2米时，球行进至最高点，此时高度为4米。 8/19 Ay/米 C2 G x/米 C (I)求小华传球的抛物线的函数解析式。 2抛物线C的函数解析式为y20下-5+K,求篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞 距离FG 3)在(1)的条件下，小源的身高为1.7米，小源的最佳接球高度大于或等于0.75米，小于或等于1.8 米假设小华、小源、点F,G均在x轴上，小源要想更好地接住球，请直接写出小源在线段℉G上可 移动位置的点的横坐标x的取值范围是 知识点05：判断物体能否通过 典型问题：卡车（或船只）通过抛物线形隧道。 解题步骤： 建立坐标系，求出抛物线解析式： 根据车高，计算对应位置的y值（若顶点在上方，车高为h,则y顶点纵坐标一）； 求该y值对应的x值，得到水平方向的许可宽度； 比较许可宽度与车体宽度：若许可宽度大于车体宽度，则能通过；否则不能通过。 通常以对称轴为中线，比较单侧宽度与半车宽。 17.(25-26九年级上河南新乡·期末)如图，一辆宽为2m的货车要通过跨度为l0m,拱高为5m的单行抛 物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式y=一5+5，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至 少要有0.8m的距离，则货车的限高应是 m -101 5无 18.(25-26九年级下·江苏泰州阶段检测)如图，有一座抛物线型拱桥.在正常水位时，水面宽4B=20m, 当水位上升3m时，水面宽CD=10m 9/19 (I)请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式： (2)当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为8米？ (3)在正常水位情况下，一艘宽为l2m,高2.6m的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由. 19.(25-26九年级上·山东滨州期中)如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长OA为10m,宽 6 0B为2m,抛物线可用y=25+bx+c表示。 ◆y/m D x/m (1)求抛物线的表达式和拱顶D到地面OA的距离. 解：(1)根据题意，将B,C --25x+bx+e. 一分别代入y=一5 C= b= 得 =2,解得c= 抛物线的表达式为y= .y= (将一般式转化为顶点式) ∴拱顶D到地面OA的距离为」 (②)一辆货运汽车装载集装箱后高为4m,宽为2m,若隧道内设双向行车道，则这辆货运汽车是否可以 通过？ 解：(2)当x=5-2=3时，y= 这辆货运汽车通过. 20.(25-26九年级上·浙江杭州阶段检测)如图，一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的， 隧道宽BC=10米，矩形部分高AB=3米，抛物线的最高点E离地面OE=6米，按如图建立以BC所 在直线为x轴，OE所在直线为轴的直角坐标系， 10119 y B (1)求抛物线的函数表达式： (2)该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高4.5米、宽3米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说 明理由 3)在(2)的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，E为弧AD的中点，其余条 件均不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由 知识点06：抛物线形狗题与实际测量的综金 将实际测量数据（如跨度、拱高、水位变化）转化为数学模型中的线段长度，再对应为坐 标。 例如：测量某拱桥跨度24m,拱高8m,以拱顶为原点建系，则跨度为x从一12到12，拱 底坐标为(12，-8)或(-12，-8)。 综合问题常要求先建系、求解析式，再回答“水位下降2后水面宽多少”等。 解题关键是准确将文字描述转化为坐标运算，并注意单位统一。 21.(2026河南平顶山三模)如图1，将一钢球从斜槽A0的点A处静止释放，钢球在点0处被向右水平 抛出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2所示，并以点O为原点，钢球运动的 水平方向为x轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为x,),钢球的运动轨迹为抛物线.根据 运动的原理，可知x,y(单位：Cm)与钢球下落运动时的时间t(单位：s)的关系式分别为 x=vot,y=- (,为钢球在水平方向上的速度，g为重力加速度)·根据钢球的运动位置，测量数 据如下： t/s 0.1 0.2 0.3 x/cm 0.8 1.6 2.4 y/cm -5 -20 -45 11/19 ◆y/cm 斜槽轨道 00.81.6 -5。 x/cm 频闪相 ● -20 ● 图1 图2 根据测量数据，钢球在水平方向上的速度%一 cm/s 重力加速度8 cm/s2. (②)求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式 3)若点O距离地面的高度为l40cm,钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为l5cm的无盖的正方 体箱子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O的水平距离最远是多少？ 22.(2026河南商丘一模)【问题引入】 如图1是某学校的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧 各挂一个灯笼，为此学校综合与实践小组的同学们展开了测量活动. 【问题情境】 学校大门的拱形部分可近似看作抛物线，图2是该拱门的示意图，以AB的中点O为原点，AB所在的 直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.经测量，拱门的宽AB=6m,拱门最高 点P到地面AB的距离为4m,AC和BD垂直于地面，高度均为lm H D O B衣 图1 图2 【问题解决】 (1)求该大门拱形部分所在抛物线的函数表达式。 (2)如图2，线段EF和GH分别表示大门两侧悬挂的灯笼.已知每个灯笼的长为1.lm(含挂线)，灯 笼悬挂点G,E到最高点P的水平距离均为l.2m. ①求灯笼底端H到地面AB的距离 ②学校每天需要用货车运输物品进校，已知货车通常从拱形大门的正中间位置进校.若货车的高为 2.7m,宽为2.4m,请通过计算说明悬挂的灯笼是否影响进车，若影响进车，求需要将两个灯笼向大 12119 门中心点P处移动的最小水平距离；若不影响进车，请说明理由（参考数据： V0.6≈0.77 23.(2026江苏淮安·二模)【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九(T)班分三个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据 共享，对蔬菜喷水管建立数学模型.菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜.如图1所示，观 察喷头可顺、逆时针往返喷洒. y(m) (m) Ay(m) x(m)O x(m) (m) 图1 图2 图3 图4 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA,从A点向外喷水， 喷出的水柱形状为抛物线，这些抛物线的开口方向和大小都与y=一2相同。以水平方向为x轴，点 O为原点建立平面直角坐标系，点A(喷水口)在y轴上，x轴上的点D为水流的最外落水点. 素材二：乙小组了解到需要给蔬菜大棚里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长， 素材三：丙小组了解到，农户大棚内分区域种植不同的蔬菜，需要利用喷灌机喷洒药剂.截面如图 4,OE与ED区域种植不同蔬菜，测得OE=2.5米。 【项目任务】 )任务一：甲小组测呈得喷头的高O4=!, 8米，喷水口中心点0到水柱的最外落水点D水平距离为5.5 米.求出水柱所在抛物线的函数解析式。 (2)任务二：乙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与 喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（结果精确到01米，参考数 据： 2≈14) (3)任务三：现需要对OE区域的蔬菜喷洒药剂，但不能洒落到ED区域的蔬菜上，丙小组准备在E处 设立挡板EF,为了挡板使用材料最少，请直接写出EF的最小值. 24.(25-26九年级上·山西朔州期末)综合与实践 问题情境： 13119 为了提升交通安全，某市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯，现需要对隧道入口隔音 屏项部的装灯位置进行合理设计， D D D D M 图1 图2 图3 数学建模： 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似地看成抛物线，其截面如图2所示.以地面为x轴，左侧 墙面为'轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合函数解析式'=(x-4+ .最高点A距离地面 8m,点B的坐标为 15,5.58) 照明灯安装在'轴右侧的点C处. (1)请直接写出抛物线的函数解析式（不需要写出x的取值范围）. 问题解决： (2)为测量点C到地面的距离CG的长度，小敏参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行 测量，具体测量方法如图3所示.经测量，标杆Ⅲ=K=1.5m(标杆垂直于地面)，两杆相距15步， 从HⅢ退行10步到点M,从K退行15步到点N.点C,H,M在同一条直线上，点C、J、N在 同一条直线上，请计算出CG的长度. (3)为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯.按要求，指示灯需距离 地面4.5m 5m.如图2，灯 D6D,D,B,DE均平行于'轴，指示灯 DD:D:D. 3，在同一 条直线上，该条直线平行轴，DD=D,D=D,D,=3.5m,点D的坐标为 （2,4.5) 求灯架DB的 长.（结果保留两位小数） 课时训练 一、选择题 1.(25-26九年级上·甘肃武威期末)一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离4m处起跳投篮，篮球沿抛 物线运动.当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m,随后准确落入篮球框.已知篮球框中 心距地面3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（) 14119 珠 (0,3.5) 3.05m -2.5m>0 —4m→ y=0.2x2+3.5 (4,3.05) A.抛物线表达式 B.篮球框中心坐标是 C.抛物线顶点坐标是(3.5,0) D.篮球出手时离地面高度是2m 22S26九年级上浙江杭州阶段检测如图所示拱桥的形状是抛物线。其函致关系式为>专 16 当水面离桥顶的高度为3m时，水面的宽度为(）米. A.7 B.8 C.9 D.10 3.(25-26九年级上·河南驻马店·期中)如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷.在抛物线上取四点A、 B、C、D,且线段AB,CD都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m,AB=2m, CD=4m,则点B到CD的距离为() A.Im B.1.2m C.1.8m D.2.4m 4.(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)如图，足球训练中，小辉从球门正前方A处射门，球射向球门 的路线呈抛物线，对应的函数解析式武为'（米)=(x-2+3,已知球门高0B为2.44米，忽略其他 因素，能满足球能射进球门的可能a的值是() 15119 B A.a=0.01B.a=-0.1 C.a=0.12 D.a=-0.15 二、填空题 5.(25-26九年级上·辽宁大连阶段检测)某游乐场的圆形喷水池中心0有一雕塑OA,从A点向四周喷水， 喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A 在y轴上，x轴上的点C,D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为 =x-4+5,则cD的长为 -m y(m)4 D x(m) 6.(25-26九年级上·内蒙古呼和浩特阶段检测)为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物 线的形状（如图所示）·对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB=4cm,最低点C在x轴上， 高CH=lcm,BD=2cm.则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为 A HB D 7.(25-26九年级上·浙江温州阶段检测)苍南队在浙BA训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线 35 y-x2+。x+),篮球出手至入筐过程中的水平距离04长为 米 16119 3 m 8.(25-26九年级上·甘肃张掖期末)如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线 y=+8表不，能T队计划在大相正中搭建一个矩形手架DErG,点n.G在指物线上，若 DE:EF=3:2,则脚手架DE的高度为， 米。 D A EO F B 三、解答题 9.(2026山西太原·模拟预测)综合与实践 问题情境：如图1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一 根立柱，侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形，主门顶部 造型设计为抛物线形 工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题. 方案分析：在图1中，具体结构与数据如下： ①抛物线造型w两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点A,B处，其跨度AB(即主门宽度)为16m, 抛物线造型最高点C到水平线AB的距离为4m, ②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为4m,立柱宽AD-BE=lm,侧门宽DP=EQ=3m. 建立模型：以点A,B所在水平直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系. 17119 M P BE DA BE、O 立生 图1 图2 (1)求主门顶部抛物线造型w对应的函数表达式： 问题解决： (2)如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型w外侧增加一条抛物线造型8，它的两端落在门 卫室项部的点P，Q处，它的项点为F.为稳定结构，内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋 20 支架AM,BN连接.为节约建材，将现有的一根长为3m的钢筋全部用来制做支架AM,BN(损 耗与接口忽略不计) ①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以C℉为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径： ②若要在抛物线造型8上安装两个监控摄像头，为保证监控范围与效果，要求摄像头离地面的高度不 超过4.24m,请直接写出两个摄像头之间水平距离的最小值（结果保留根号）. 10.(25-26八年级下·湖南长沙期末)喷泉是城市中一道美丽的风景.如图1，水花从垂直地面的水管 OA的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线.以水管与地面的交点O为坐标 2 原点，建立如图2所示的平面直角坐标系.。经测量，水管的高度是3米，喷出最远的水花的运动轨迹 为抛物线片（如图2所示），水花在与水管04的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿 抛物线下落，最终落到地面上的B点. 图1 图2 图3 (1)求该抛物线的函数表达式： 18119 ②若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且片，片，“，”这些抛物线的顶 点在同一条直线上，共中一条秘物线为=2+骨 2 +3与水平直线y=3相交于点E,请求出为，的顶 点坐标和的表达式： 泉水花瀑布中所有抛物线均▣表示为，=+bx+a<0且与直线y=了相交于点 算，当EF 3时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线yn中a的取值范围. 19119 2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 课时3 抛物线形问题 ▌课时目标 1. 了解抛物线形实物（如拱桥、隧道、喷泉）的数学建模过程，能根据实际问题建立适当的平面直角坐标系，将实物形状转化为二次函数图象。 2. 能根据已知条件（顶点、交点、普通点）选择合适的解析式形式（顶点式、一般式、交点式），利用待定系数法求出函数解析式。 3. 能运用求得的二次函数解析式解决抛物线形问题中的高度、宽度计算及物体通过性判断等实际问题，体会数形结合与数学建模思想。 ▌课时目录 知识点01：建立平面直角坐标系表示抛物线形实物 知识点02：根据已知条件选解析式形式 知识点03：利用已知点求解析式中的待定系数 知识点04：求抛物线形问题中的高度、宽度、距离 知识点05：判断物体能否通过 知识点06：抛物线形问题与实际测量的综合 ▌知识点01：建立平面直角坐标系表示抛物线形实物 实际中的抛物线形物体（如拱桥洞、隧道顶、喷泉水流）可以看作二次函数的图象。建立坐标系的原则是简化计算，通常使抛物线关于y轴对称且顶点在坐标轴上。 常见建系方法： 1. 以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴； 2. 以水面（或地面）为x轴，对称轴为y轴且过顶点。 建系后，将实物的尺寸（跨度、高度）转化为点的坐标。 1．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升3m时，， 把代入得：，解得：， 此时水面宽米． 故选：C． 2．（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，由题意得，抛物线顶点坐标为，设抛物线对应的函数表达式为，且过，然后代入求出的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 设抛物线对应的函数表达式为，且过， ∴，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·山东临沂·期中）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶O到水面的距离为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：水面宽为， 的横坐标为， 把代入， 得：， ， 此时拱顶到水面的距离为， 故答案为：4． 4．（25-26九年级上·江苏·课后作业）某学生推铅球，铅球出手点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线弧（如图）运行，当运行到最高时，水平距离是． (1)试求铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式； (2)如果将轴平移至直线，轴平移至直线，原抛物线不动，在新的坐标系下，求原抛物线弧的函数表达式． 【答案】(1)（） (2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据函数图象设出函数关系式，再将A点坐标代入求解即可求解； （2）设抛物线的表达式，将A点坐标代入即可求解． 【详解】（1）解：由已知可设抛物线的函数表达式是（其中． 抛物线经过了点 解之，得． 故所求的函数表达式为， 令，得或．不合题意，舍去）． 自变量的取值范围是． （2）解：原抛物线的顶点在坐标原点，开口向下，且过点， 所以设抛物线的表达式为， 则解得：， 故所求抛物线弧的函数表达式是． ▌知识点02：根据已知条件选解析式形式 1. 若已知抛物线的顶点坐标，优先设顶点式，只需再找一个点的坐标即可求出a，计算简便； 2. 若已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0)，可设交点式； 3. 若已知抛物线上三个普通点的坐标，设一般式。 抛物线形问题通常利用顶点和另一点求解析式，顶点式最为常用。 5．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 6．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将，代入解析式，求出的值，得到抛物线解析式即可； （2）当水面下降，即时，列方程为，求出的值，从而求出此时水面宽度即可． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将，代入，， 得， 解得， 因此，该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知：， 当水面下降，即时， ， 解得或， 此时水面宽度为， 答：此时水面宽度为． 7．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． (1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； (2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 【答案】(1) (2)这辆汽车能够通过大门 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数图象的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键． （1）先过的中点作的垂直平分线建立直角坐标系，得出点、、的坐标，用待定系数法即可求出过此三点的抛物线解析式 （2）根据题意，判断点或点与抛物线的关系即可． 【详解】（1）解：如图，过的中点作的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点，，的坐标分别为 ，，． 设抛物线的表达式为． 将点代入得 ，解得， 故此抛物线的表达式为； （2）货物顶点距地面，装货宽度为， 只要判断点或点与抛物线的位置关系即可． 将代入抛物线，得， 点和点都在抛物线内． 这辆汽车能够通过大门． 8．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）某校足球队在一次训练中，一球员从高2．4米的球门正前方米处将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．建立如图所示的平面直角坐标系， (1)求出抛物线的函数解析式； (2)当时，试判断足球能否射入球门，并说明理由； 【答案】(1) (2) 足球能射入球门，理由如下： 当时， ∵ ∴足球能射入球门． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）把解析式设为顶点式，再把原点坐标代入解析式中进行求解即可； （2）求出时y的值，判断即可． 【详解】（1）解：∵当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米． ∴设抛物线的函数解析式 将代入中，得 ，解得 ∴抛物线解析式为； （2）略 ▌知识点03：利用已知点求解析式中的待定系数 将已知点坐标代入所选的解析式中，解关于待定系数的方程（组）。 例如：以拱桥顶点为原点建系，设，已知水面宽20米时对应点坐标为(10,－4)（水面低于顶点4米），代入得－4a×102，解得a－0.04，故解析式为y－0.04x2。 9．（25-26九年级上·陕西安康·期末）某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 【答案】(1) (2)保温墙到点O的水平距离为8米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确审题和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设抛物线的函数解析式为，代入求解即可； （2）将代入解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题可得，顶点， 设抛物线的函数解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）当时，， 解得，， ∵保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧， ， 答：保温墙到点O的水平距离为8米． 10．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）垂榆的枝条柔软细长，因其对有害气体具有较强的抗性，被广泛用于城市街道、小区等场所，某小区空地处的一棵垂榆中某一枝的形状呈如图所示的抛物线形，已知这支垂榆在距离树干的水平距离为时，达到最高点，枝条的末端B到树干底部的水平距离，以地面所在直线为x轴，树干所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．（注：树干近似看作直线，且与地面垂直，无风，枝条不动） (1)求这支垂榆所在抛物线的函数表达式； (2)身高的小明站在距离树干多少米时，头顶刚好碰到这支垂榆？ 【答案】(1)（或） (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出自变量的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，这支垂榆所在抛物线的顶点坐标为，点B的坐标为， 设这支垂榆所在抛物线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴这支垂榆所在抛物线的函数表达式为（或）． （2）在中， 令，得， ∴（不符合题意，舍去），． ∴身高的小明站在距离树干为时，头顶刚好碰到这支垂榆． 11．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱呈抛物线形．如图是某家庭喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为（即），喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，以喷灌器（与地面垂直）所在直线为y轴、地面所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求喷出的水柱所在抛物线的解析式； (2)若水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处，求喷灌器到围墙的距离． 【答案】(1) (2)5m 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，求出点B的坐标，据此解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点坐标为， ∴设该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的解析式为； （2）解：令得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点B的坐标为， ∴， ∴喷灌器到围墙的距离为． 12．（25-26九年级上·浙江台州·期末）经观察，白鲸的喷水形状近似看作一条二次项系数为的抛物线，如图，当白鲸在水池边缘O处表演喷水时，以O为原点建立平面直角坐标系，观众席段解析式为：，测得抛物线水柱在观众席的落点处C的横坐标为2，试求白鲸在O点处喷水产生的抛物线解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意求出点的坐标，进而求解． 【详解】解：将代入， 则， ∴， 设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴该抛物线解析式为． ▌知识点04：求抛物线形问题中的高度、宽度、距离 1. 求宽度：给定高度（即给定y值），解方程求x，所得两解之差的绝对值即为水平宽度； 2. 求高度：给定水平位置（即给定x值），代入解析式求y值，即为该位置相对基准面的高度； 3. 求距离：结合几何图形，计算点到点、点到线的垂直距离，常用于比较实际物体的空间位置。 13．（2026·陕西榆林·二模）校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等．如图是某数学兴趣小组设计的一款抛物线形状的校门正面示意图，该校门由抛物线和左右对称的矩形门房、及中间的电动推拉门（完全拉开时，为图中阴影部分，即矩形）构成，点与点都在抛物线上，且两点关于抛物线的对称轴对称．已知，抛物线的最高点到地面的距离为．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点在轴上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知电动推拉门的高度为（即），求点到抛物线的竖直距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知抛物线的顶点坐标为，则设抛物线的函数表达式为，代入点O坐标即可解答； （2）根据题意可知点的坐标为，代入（1）中所求抛物线的函数表达式，即可得此时抛物线到的距离，进而求得答案． 【详解】（1）解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为（或）． （2）解：， 点的坐标为． 当时，， 答：点到抛物线的竖直距离为． 14．（2026·陕西西安·二模）儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心．当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为时，发射软弹后软弹最终落在距发射口水平距离的水平地面上的点处，软弹（大小忽略不计）的飞行路线可近似看作抛物线，发射口可随玩具枪竖直上下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点（抛物线的顶点为点）．过点作水平地面的垂线与地面交于点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)发射口在点正上方处，发射软弹后软弹的飞行路线可近似看作抛物线，抛物线与抛物线的形状相同，软弹最终落在地面上的点处，求的长． 【答案】(1) (2)的长为 【分析】（1）依题意，点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的函数表达式为，待定系数法求解析式，即可 （2）根据平移可得抛物线的函数表达式为，将代入，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入中，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：发射口在点正上方处，且抛物线与抛物线的形状相同， 抛物线可以看作由抛物线沿轴向上平移得到， 抛物线的函数表达式为， 令，则， 解得，（不符合题意，舍去）， 的长为． 15．（2026·陕西商洛·一模）在一次烟花大赛中，两个不同位置的发射台同时发射了特制的烟花弹，烟花弹的轨迹高度与水平距离之间的关系图象可近似看作抛物线，如图所示，以水平地面为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知如下信息： 烟花弹的发射点位于坐标原点，其爆炸最高点坐标为，落地点为； 烟花弹的发射点位于轴上点，其爆炸最高点坐标为． 设所有烟花弹轨迹的对称轴均垂直于水平地面，且均沿抛物线轨迹运动直至落地． (1)求烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式； (2)若将烟花弹的轨迹关于轴对称后，得到一条新的抛物线，点在抛物线上，轴，求点到点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法解题即可； （2）根据待定系数法和轴对称的性质求出抛物线的表达式，求出点的坐标，将点的横坐标代入抛物线的表达式，进而解题． 【详解】（1）解：烟花弹的发射点位于坐标原点，其爆炸最高点坐标为， 设烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 ， 将代入表达式，得 ， 解得， 烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 ； （2）解：烟花弹的爆炸最高点坐标为， 设烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 将代入表达式，得 ， 解得， 烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 ， 烟花弹的轨迹对应的抛物线与的轨迹对应的抛物线关于轴对称， 抛物线的表达式为 ， 如图， 为烟花弹的落地点，烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为 ， 令， 解得（不符合题意，舍去），， ， 轴，点在抛物线上， 设，则， 点到点的距离为． 16．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）在一次篮球比赛中，小华传出了一个球，球从小华的手中飞出，在空中形成了一条优美的抛物线，落地点为.球落地后弹起，向小源所在位置方向飞去，球飞行的轨迹为抛物线，篮球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示．小华传出球时球的起点处高度为2米，当球飞出的水平距离为米时，球行进至最高点，此时高度为米． (1)求小华传球的抛物线的函数解析式． (2)抛物线的函数解析式为，求篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离． (3)在（1）的条件下，小源的身高为1.7米，小源的最佳接球高度大于或等于0.75米，小于或等于1.8米.假设小华、小源、点，均在轴上，小源要想更好地接住球，请直接写出小源在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是____________． 【答案】(1) (2)篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离为6米 (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，准确求出函数解析式是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，由抛物线过点，进一步即可求出抛物线的函数解析式； （2）求出点的坐标为，求出抛物线的解析式为，得到点的坐标为，即可求出答案； （3）当时，，解得或，即可求出答案． 【详解】（1）解：由条件可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 小华传出球时球的起点处高度为2米， 抛物线过点， ， 解得， 抛物线的解析式为. （2）对于抛物线：令，则， 解得，， 点的坐标为， 抛物线过点， ， 解得， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， 点的坐标为， ， 篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离为6米． （3）对于抛物线顶点坐标为， 篮球反弹后的最大高度为米，小于1.8米. 当时，， 解得或， 当时，， 小源在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是． ▌知识点05：判断物体能否通过 典型问题：卡车（或船只）通过抛物线形隧道。 解题步骤： 1. 建立坐标系，求出抛物线解析式； 2. 根据车高，计算对应位置的y值（若顶点在上方，车高为h，则y顶点纵坐标－h）； 3. 求该y值对应的x值，得到水平方向的许可宽度； 比较许可宽度与车体宽度：若许可宽度大于车体宽度，则能通过；否则不能通过。 通常以对称轴为中线，比较单侧宽度与半车宽。 17．（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：4． 18．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，有一座抛物线型拱桥．在正常水位时，水面宽；当水位上升时，水面宽． (1)请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为8米？ (3)在正常水位情况下，一艘宽为，高的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：由题意得，正常水位下，船宽，即船的左右边缘在处， ∴当时，， ∴桥在处的高度为：， ∵， ∴船不能安全通过此桥． 【分析】（1）设抛物线解析式为，由正常水位得、，代入得；水位上升后，得、，，由且，解得，进而得到解析式； （2）正常水位时，得；水面宽时，代入得，进而即可求出水位上升的高度； （3）船宽时，代入得，桥在处高度为，再进行比较即可得到解答． 【详解】（1）解：由题意得，设抛物线的解析式为， ∵正常水位时，水面宽， ∴、， 代入得：， ∵水位上升后，水面宽， ∴、，， 代入得：， ∴ 解得， ∵， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，，即正常水位在处， ∵水面宽8米， ∴当时，， ∴水位上升高度为； （3）略 【点睛】本题以抛物线型拱桥为实际载体，通过建立平面直角坐标系将几何问题转化为二次函数问题，结合解析式求解高度与宽度，体现了数形结合与数学建模的核心思想． 19．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，抛物线可用表示． (1)求抛物线的表达式和拱顶D到地面的距离． 解：（1）根据题意，将B________，C________分别代入， 得，解得， 抛物线的表达式为________． ________________，（将一般式转化为顶点式） 拱顶D到地面的距离为________． (2)一辆货运汽车装载集装箱后高为，宽为．若隧道内设双向行车道，则这辆货运汽车是否可以通过？ 解：（2）当时，________________， 这辆货运汽车________通过． 【答案】(1)，，，，，，， ，，． (2)，，可以． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题关键是利用矩形性质确定抛物线上点的坐标，代入解析式求参数，再通过顶点式或代入求值分析隧道通行情况． （1）运用待定系数法求抛物线表达式，通过将抛物线上两点坐标代入表达式求解系数，再根据抛物线顶点坐标确定拱顶到地面的距离． （2）通过计算特定位置的函数值判断汽车能否通过． 【详解】（1）根据题意，将，，分别代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为． ∵， ∴拱顶到地面的距离为． （2）∴当时， ， ∴这辆货运汽车可以通过． 20．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽米，矩形部分高米，抛物线的最高点离地面米，按如图建立以所在直线为轴，所在直线为轴的直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高米、宽米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说明理由． (3)在（）的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，为弧的中点，其余条件均不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2) 解：这辆货运卡车能顺利通过隧道，理由如下： 当时，， ∴这辆货运卡车能顺利通过隧道； (3) 解：这辆货运卡车能顺利通过隧道，理由如下： 如图，设圆弧所在圆的圆心为点，则点在上，连接，在圆上取点，作于点，使得，设与相交于点，圆弧所在圆的半径为，连接， ∵为弧的中点， ∴，， 又由题意可得，， ∴， ∵， ， 解得， ∴， ，， ， ∴这辆货运卡车能顺利通过隧道． 【分析】（）设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解； （）把代入（）所得函数解析式求出，与卡车高比较即可判断求解； （）设圆弧所在圆的圆心为点，则点在上，连接，在圆上取点，作于点，使得，设与相交于点，圆弧所在圆的半径为，利用勾股定理求得r的长，进而求出和的长度，得到的长度，再与卡车高比较即可判断求解； 本题考查了二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，根据题意正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题意得，点坐标为，点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）略 （3）略 ▌知识点06：抛物线形问题与实际测量的综合 将实际测量数据（如跨度、拱高、水位变化）转化为数学模型中的线段长度，再对应为坐标。 例如：测量某拱桥跨度24m，拱高8m，以拱顶为原点建系，则跨度为x从－12到12，拱底坐标为(12,－8)或(－12,－8)。 综合问题常要求先建系、求解析式，再回答“水位下降2m后水面宽多少”等。 解题关键是准确将文字描述转化为坐标运算，并注意单位统一。 21．（2026·河南平顶山·三模）如图1，将一钢球从斜槽的点A处静止释放，钢球在点O处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2所示，并以点O为原点，钢球运动的水平方向为x轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为（为钢球在水平方向上的速度，g为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下： 0.1 0.2 0.3 0.8 1.6 2.4 (1)根据测量数据，钢球在水平方向上的速度 ______，重力加速度 _____ (2)求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式 (3)若点O距离地面的高度为，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为的无盖的正方体箱子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O的水平距离最远是多少？ 【答案】(1)8，1000 (2) (3) 【分析】（1）取，代入可求；取，代入，可求； （2）由（1）知，求出，消去即可； （3）把代入二次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得； 把，代入，得：， 解得：； （2）解：由（1）知，． ． ． 钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式为． （3）解：当钢球恰好落到箱子里，且从箱子左侧进入，此时箱子左侧到点O的水平距离最远． ． 当，即，解得（负值已舍去）． 箱子左侧到点O的水平距离最远是． 22．（2026·河南商丘·一模）【问题引入】 如图1是某学校的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂一个灯笼，为此学校综合与实践小组的同学们展开了测量活动． 【问题情境】 学校大门的拱形部分可近似看作抛物线，图2是该拱门的示意图，以的中点为原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．经测量，拱门的宽，拱门最高点到地面的距离为，和垂直于地面，高度均为． 【问题解决】 (1)求该大门拱形部分所在抛物线的函数表达式． (2)如图2，线段和分别表示大门两侧悬挂的灯笼．已知每个灯笼的长为（含挂线），灯笼悬挂点，到最高点的水平距离均为． ①求灯笼底端到地面的距离． ②学校每天需要用货车运输物品进校，已知货车通常从拱形大门的正中间位置进校．若货车的高为，宽为，请通过计算说明悬挂的灯笼是否影响进车，若影响进车，求需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离；若不影响进车，请说明理由（参考数据：）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由题意，得点的坐标为，点的坐标为，设大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为，根据求出，即可求出函数解析式； （2）①根据题意可知点的横坐标为，将代入函数解析式求出点的纵坐标，减去灯笼的长即可； ②先判断出悬挂灯笼影响进车，令，求出此时x的值，再用原灯笼悬挂点到最高点的水平距离减去x的值即可． 【详解】（1）解：∵，为的中点， ∴ 由题意，得点的坐标为，点的坐标为． 设大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为， 将点代入，得，解得． 大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为． （2）解：①灯笼悬挂点到最高点的水平距离为， 点的横坐标为． 当时，． ． 灯笼底端到地面的距离约为． ②由①得灯笼底端到地面的距离为，且， 悬挂灯笼影响进车． 令，得，解得（负值已舍去）． ． 需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离约为． 23．（2026·江苏淮安·二模）【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（7）班分三个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心有一喷水管，从点向外喷水，喷出的水柱形状为拋物线，这些抛物线的开口方向和大小都与相同．以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点（喷水口）在轴上，轴上的点为水流的最外落水点． 素材二：乙小组了解到需要给蔬菜大棚里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 素材三：丙小组了解到，农户大棚内分区域种植不同的蔬菜，需要利用喷灌机喷洒药剂．截面如图4，与区域种植不同蔬菜，测得米． 【项目任务】 (1)任务一：甲小组测量得喷头的高米，喷水口中心点到水柱的最外落水点水平距离为5.5米．求出水柱所在抛物线的函数解析式． (2)任务二：乙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（结果精确到0.1米，参考数据：） (3)任务三：现需要对区域的蔬菜喷洒药剂，但不能洒落到区域的蔬菜上，丙小组准备在处设立挡板，为了挡板使用材料最少，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离约7.6米 (3)的最小值约米 【分析】任务一：因为抛物线开口方向和大小与相同，所以可设抛物线解析式为，再将点和点的坐标代入，求解未知系数即可得到解析式． 任务二：先设薄膜所在直线的解析式，根据薄膜与地面夹角为确定直线斜率；再根据“水与薄膜距离至少10厘米”的条件，结合点到直线的距离公式，建立抛物线点到直线的距离不等式，求解对应横坐标即可得到水平距离． 任务三：因为要使挡板材料最少即长度最小，所以是点到抛物线的最短距离，设抛物线上点的坐标，用两点距离公式表示的长度，结合抛物线解析式求表达式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线开口大小和方向与相同， ∴设解析式为． 由题意得喷水口， 代入，得​； 再将落水点代入，得， 解得． ∴抛物线解析式为：． （2）解：设薄膜与x轴交点为， ∵薄膜与地面夹角为， ∴薄膜所在直线与y轴交点为， 设薄膜所在直线解析式为， 则， 解得， ∴薄膜所在直线解析式为． 设抛物线上一点到直线的距离为，要求水到薄膜的垂直距离至少为，即， 过点E作轴，过点F作轴， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简得， ∵x值唯一， ∴， 解得．​ 即薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离约为7.6米时满足要求． （3）解：设抛物线上点， ∵， ∴， ∵抛物线解析式， ∴整理得， 代入得：， ∵抛物线的范围为， ∴当时，最小为， 得（米）． ∴最小值约米． 24．（25-26九年级上·山西朔州·期末）综合与实践 问题情境： 为了提升交通安全，某市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯，现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计． 数学建模： 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似地看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合函数解析式．最高点距离地面，点的坐标为，照明灯安装在轴右侧的点处． （1）请直接写出抛物线的函数解析式（不需要写出的取值范围）． 问题解决： （2）为测量点到地面的距离的长度，小敏参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．点，，在同一条直线上，点、、在同一条直线上，请计算出的长度． （3）为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2，灯架，，，均平行于轴，指示灯，，，在同一条直线上，该条直线平行轴，，点的坐标为．求灯架的长．（结果保留两位小数） 【答案】（1）抛物线的函数解析式为 （2）的长度为6m （3）灯架的长为m 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用、相似三角形的实际应用，通过实际问题找到二次函数上的点是解题的关键． （1）首先根据最高点距离地面得到k的值，再将代入解析式即可求得抛物线的函数解析式； （2）首先设为x步的距离，根据已知线段的长度表示出，，利用相似三角形求解x的值，进而可以计算出的长度； （3）首先根据指示灯需距离地面，计算出此高度下x的坐标再结合判断灯架是否存在此范围内，进而根据点的坐标求解点的坐标，进而即可求解灯架的长． 【详解】（1）解：∵的最高点距离地面， ∴， ∵将代入中，得，解得：， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：设为x步的距离，则，， ∵标杆垂直于地面， ∴，， ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴，解得：， 将代入，解得：， ∴的长度为6m； （3）解：∵指示灯需距离地面， ∴，，，在直线上， 将代入，解得：， ∵，∴， ∵，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴满足题意，存在灯架， 将代入，解得：， ∴， ∴灯架的长为m． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，对于A，设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的点的坐标，由此可得a的值，据此将得到的解析式与A选项对照，即可得到其正误；对于B、C，根据函数图象判断，即可得到其正误；对于D，设这次跳投时，球出手处离地面，将代入计算即可求得结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数关系式为． ∵， ∴篮球框中心在抛物线上，故选项B错误； ∴，解得， ∴此抛物线的解析式是，故选项A正确， ∴抛物线的顶点坐标是．故选项C错误； 设篮球出手时离地面的高度是， 当时，， 所以，篮球出手时离地面的高度是，故选项D错误． 故选：A． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（        ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，求出抛物线当时的值即可得解． 【详解】解：根据题意，当时，得：， 解得：或． ∴水面宽度为：（米）． 故选：B． 3．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取四点、、、，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线形的实际问题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键； 如图建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入的横坐标即可． 【详解】解：如图建立坐标系： ∵抛物线最高点到的距离为，，， ∴， 设 将代入得， ∴ 即： 当时， 即点到的距离为：． 故选：C ． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质和解析式求解，准确计算是解题的关键． 根据球门高为米，可得当时，，即可得解． 【详解】球门高为米， 当时，， ， 可能是． 故选． 二、填空题 5．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则的长为___________． 【答案】18 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，熟练掌握该知识点并准确计算是解题的关键．将代入，求得点的坐标，然后根据对称性，得到的长度，最后求得的长度即可． 【详解】解：将代入，得到， 解得，或（舍） ， ， 从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ， ， 故答案为：18． 6．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示）．对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，高，．则右轮廓线所在抛物线的函数解析式为__________· 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用：关键是确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题． 先根据、关于轴对称，得出点坐标为，再求出左边抛物线的顶点的坐标为，则右边抛物线的顶点的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵高，B、D关于轴对称， ∴点坐标为， ∵轴，，最低点在轴上， ∴点A、B关于点H对称，则， ∴左边抛物线的顶点的坐标为， ∴右边抛物线的顶点的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得． 故右边抛物线的解析式为， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）苍南队在浙训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离长为_________米． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．将代入二次函数的解析式可得或，再根据二次函数的对称轴为直线，然后根据篮球框在抛物线的对称轴的右侧即可得． 【详解】解：由题意，将代入抛物线得：， 解得或， 抛物线的对称轴为直线， ∵篮球框在抛物线的对称轴的右侧，且， ∴篮球出手至入筐过程中的水平距离长为4米， 故答案为：4． 8．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 三、解答题 9．（2026·山西太原·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一根立柱，侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形，主门顶部造型设计为抛物线形． 工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题． 方案分析：在图1中，具体结构与数据如下： ①抛物线造型两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点，处，其跨度（即主门宽度）为，抛物线造型最高点到水平线的距离为． ②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为，立柱宽，侧门宽． 建立模型：以点，所在水平直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系． (1)求主门顶部抛物线造型对应的函数表达式； 问题解决： (2)如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型外侧增加一条抛物线造型，它的两端落在门卫室顶部的点，处，它的顶点为．为稳定结构，内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋支架，连接．为节约建材，将现有的一根长为的钢筋全部用来制做支架，（损耗与接口忽略不计）． ①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径； ②若要在抛物线造型上安装两个监控摄像头，为保证监控范围与效果，要求摄像头离地面的高度不超过，请直接写出两个摄像头之间水平距离的最小值（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)①圆形校徽的直径为；② 【分析】（1）根据题意，先得出各点得坐标，结合抛物线的性质，假设对应的函数表达式为，将点、代入求解即可； （2）①令对应的函数表达式为，由，可得方程，由点坐标可得，结合求解出对应的、，即可得出这个校徽的直径；②结合题意，判断出当时，对应的值之间的距离即为两个摄像头之间水平距离的最小值，故求解值即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知抛物线顶点恰好在轴上， 且点、、、、， 故假设对应的函数表达式为， 将点、代入 ， 得，解得， 故对应的函数表达式为． （2）解：①令对应的函数表达式为， 当时，对应的函数值为． ∴， 结合点，得， 故可得方程组，解得， ∴对应的函数表达式为， 故点， ∴． ②根据题意，要求摄像头离地面的高度不超过， 即， 当时，得， 解得， ∴两个摄像头之间水平距离的最小值为． 10．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知，，顶点坐标为，再利用待定系数法求解； （2）利用配方法求出的顶点坐标，再设直线的表达式，利用待定系数法求解； （3）先求出点、的坐标，再将抛物线顶点坐标代入直线，得出，则，再列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：, 的顶点坐标为， 设直线的表达式为， ，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，且，的顶点坐标分别为，， ，解得：， 的表达式为； （3）解：令，则， 解得：（舍），， ， 令，则， 解得：（舍），， ， ， 抛物线顶点坐标为 由（2）可知，顶点所在的直线的表达式为， ， ， 解得：或， 当时，抛物线开口向下，顶点在，不符合题意， ， ， ， ， 解得：， 即当喷泉的观赏效果最佳时，抛物线中的取值范围为． / 学科网（北京）股份有限公司 $