26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第1课时（吃透教材）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

X 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 教材知识梳理 1.二次函数y=ax2+k的图象和性质 解析式 y=ax2+k(a≠0) a,k的符号 a>0,k>0 a>0,k=0 a>0,k<0 a<0,k>0 a<0,k=0 a<0,k<0 大致图象 ,g本：不 开口方向 ① ② 对称轴 ③ (x=0) 顶点坐标 ④ 当x<0时，y随x的增大而⑤ 当x<0时，y随x的增大而⑦ 增减性 当x>0时，y随x的增大而⑥ 当>0时，y随x的增大而⑧ 当x=0时，y取得最小值，最小值为 当x=0时，y取得最大值，最大值为 最值 ⑨ ⑦ 2.抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax的关系（以k>0为例） 向上平移k个单位长度→抛物线y=a2+) 抛物线y=ax 上加下减，且只变常数项 向下平移k个单位长度 抛物线y=a2-) ·教材母题变式。 教材母题1二次函数y=x2+k的图象和性质 例1（教材P36探究改编）在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1的 图象，观察三条抛物线的位置关系并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标. 解：列表： -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1.5 2 y=2x2 y=2x2+1 y=2x2-1 25 描点、连线： 2 9 5 2 -3-2-1,0123x 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x2 y=2x2+1 y=2x2-1 【思考1】抛物线y=ax2+h中的a决定什么？怎么决定？ 【思考2】抛物线y=ax2+k中的k决定什么？ 教材母题2抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系 例2（教材P37改编) （1)把抛物线y=2x2向 平移 个单位长度，就得到抛物线y=2x2+1; (2)把抛物线y=2x2+1向 平移 个单位长度，就得到抛物线y=2x2 (3)把抛物线y=2x2向 平移 个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1: (4)把抛物线y=2x2-1向 平移 个单位长度，就得到抛物线y=2x2; (5)把抛物线y=2x2+1向 平移 个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1; (6)把抛物线y=2x2-1向 平移 个单位长度，就得到抛物线y=2x2+1. 【思考】抛物线y=ax2+k(a≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)之间有什么关系？ 答：抛物线y=ax2+h相当于把抛物线y=ax2向 (k>0)或向 (k<0)平移 个单位 长度 、课堂10分钟 1.抛物线y=-8x2+5可以看作是由抛物线y=-8x2按下列何种变换得到的 () A.向上平移5个单位长度 B.向下平移5个单位长度 C.向左平移5个单位长度 D.向右平移5个单位长度 2地物线y子-3的顶点坐标是 3.写出一个图象开口向上，且过点(0,3)的二次函数的解析式： 26(2).(x-1)(x+2)=3(x+2), :4=(-20)2-4×120=-80<0,.该方程无实数根， .(x-1)(x+2)-3(x+2)=0 .不能围成面积为120cm2的矩形. ∴.(x+2)[(x-1)-3]=0,即(x+2)(x-4)=0, 例3解：封面的长、宽之比为4：3，则中央的矩形的长、宽之 .x+2=0或x-4=0,∴.方程的解为x1=-2,x2=4 比也应为4：3，设中央的矩形的长和宽分别是4xcm和 课堂10分钟 1.(1)x(x+b)=0x=0x+b=00-b 3m要使因周的边村所占面积是封面面积的行·喝中失 (2)(x+a)(x-a)=0x+a=0x-a=0-aa 矩形的面积是封面面积的手于是可列方程4：·3x= 4 (3)(x±a)2=0-aa 5 2.x1=2,2=√53.x1= 262 40×30,整理，得x2=80,解得x=4√5或x=-45(不符合题 4(1)x,=0,=-3.(2)x=1,=-5 意，合去)，则上，下边衬的宽分别为0165=(20-8w5)m. 2 (3)x1=1,x2=-3. 左，右边衬的宽分别为30-】25-(15-651m 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 2 教材知识梳理 变式B ①-b②c ③≥ 例4解：(1)设BC=xm,则AB=(33-3x)m, 依题意，得x(33-3x)=90,解得x1=6,x2=5. 教材母题变式 当x=6时，33-3x=15,符合题意； 1 例1(1)x1+x2=-3,x1x2=1.（2)x1+x2=- 35=-1. 当x=5时，33-3x=18,18>15,不符合题意，舍去。 例2解：设方程的另一根为x1, 答：养鸡场的长(AB)为15m,宽(BC)为6m. x1+3=1,.x1=-2. (2)不能，理由如下：设BC=ym,则AB=(33-3y)m, x1×3=-2×3=c,.c=-6. 依题意，得y(33-3y)=100,整理，得3y2-33y+100=0. 变式12变式21 .·△=(-33)2-4×3×100=-111<0， ∴.该方程无实数根，即该扶贫单位不能建成一个100m2的 例3（1)x+,-=2.(2)+好-2 11 (3)—+=5. 1 矩形养鸡场. 例4-3 课堂10分钟 课堂10分钟 1.312.23.108 1.D2.C3.C4.4-7 第2课时传播、平均变化率问题 5.解：(1)由题意，得x2-4x-2×5+5=0, 教材知识梳理 整理，得x2-4x-5=0,解得x1=5,x2=-1. ①a(1+x)2②a(1+x)2=b③a(1-x)2=b (2)x2-4x-2m+5=0有两个不相等的实数根x1,x2, 教材母题变式 .∴.x1x2=-2m+5. 例1每轮传染中平均一个人传染了6个人. x,x,>0,-2m+5>0,解得m<2 5 变式这种植物每个支干长出6个小分支. 例2每月生产成本的下降率为15%. :4=(-4)2-4(-2m+5)>0,解得m>2 变式解：(1)设该公司投递快递总件数的月平均增长率 m的取值范围为}<m<号 5 为x, 依题意，得20(1+x)2=33.8, 25.3实际问题与一元二次方程 解得，=0.3=30%，x2=-2.3(不符合题意，舍去). 第1课时数字、面积问题 答：该公司投递快递总件数的月平均增长率为30% 教材知识梳理 (2)33.8×(1+30%)=43.94(万件). ①x+1②x+2③x2+(x+1)2=(x+2)2④(a-2x)(b-2x) 43.94<45,.5月份投递快递总件数不能达到45万件。 ⑤(a-x)(b-x) ⑥(a-x)(b-x) 课堂10分钟 教材母题变式 例1(1)98(2)8.9,10 1.B2.D3.D4.10% 例2解：(1)设矩形的长为xcm,则宽为(20-x)cm, 5.每轮传播中平均一个人会传染给4个人，若病毒得不到有 依题意，得x(20-x)=75,解得x,=5,x2=15, 效控制，三轮传播后将有250人被感染. ∴.矩形的长为15cm,宽为5cm. 第3课时循环、比赛问题 (2)不能围成面积为120cm2的矩形，理由如下： 教材知识梳理 设矩形的长为ycm,则宽为(20-y)cm. ①n(n-1) 依题意，得y(20-y)=120,整理，得y2-20y+120=0. 2 ②n(n-1) 参考答案 教材母题变式 教材母题变式 例1(1)应该邀请6支球队参加比赛. 例1解：列表： (2)有11支球队参加比赛. -2 -1 0 例2A例35 0 1 例4解：设这个多边形是n边形，则(m-3》=20. 2 描点、连线： .n2-3n-40=0,解得n1=8,n2=-5(舍去)， 这个多边形是八边形. 不存在有15条对角线的多边形. 令n(n-3) =15,.n2-3n-30=0, 2 .b2-4ac=9+120=129. .·129不能开方为整数 6543210由23456x .不存在有15条对角线的多边形 课堂10分钟 1.C2.B3.B 第二十六章 二次函数 26.1二次函数的概念 (1)开口向上(2)对称轴是y轴(3)当x<0时，y随x的 增大而减小：当x>0时，y随x的增大而增大（答案不唯一） 教材知识梳理 例2解：画图如解图所示 ①y=ax2+bx+c②常数项③2④二次项 y 教材母题变式 y=2x2 例1解：(1)y=2x2-3是二次函数， 二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是-3. 6 (2)y=3x-1不是二次函数. (3)y=(2x-1)(1-x)=-2x2+3x-1是二次函数， 1 二次项系数是-2，一次项系数是3，常数项是-1. 1 (4y=+1不是二次函数 543-2 N2345 变式D 例2m=2n(n-1)是 2 Y= 例3y=50(1+x)2 例4解：(1)S=22+4×6x=2x2+24x,V=6x2. (2)S和V都是关于x的二次函数 -8y=-2x1 课堂10分钟 这些抛物线的特点：当a>0时，开口向上，有最小值，在对 是121是302是3-20是2 称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增 大而增大； -1-1否否 当a<0时，开口向下，有最大值，在对称轴左侧，y随x的增 2.解：(1)由题意，得m-2≠0，解得m≠2， 大而增大：在对称轴右侧，y随x的增大而减小 故当m≠2时，该函数是二次函数. (2)由题意，得m-2=0且m≠0，解得m=2, 变式①③② 故当m=2时，该函数是一次函数. 课堂10分钟 (3)该函数的常数项是-3，不可能为0。 1.D2.m<03.y=x2(答案不唯一) .该函数不可能是正比例函数 4.(1)②③⑤(2)①(3)①④5.4 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+h的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 教材知识梳理 教材知识梳理 ①抛物线②抛物线③向上④向下⑤越小⑥y轴 ①向上②向下③y轴④(0，k)⑤减小⑥增大 ⑦低⑧高⑨减小⑩增大①增大2减小 ⑦增大⑧减小⑨k0k 参考答案 教材母题变式 描点、连线： 例1解：列表： -2-1.5 -4-3-2-10 1234 y=2x2 + y=2x2+1 3 y=2x2-1 描点、连线： 0y=-(x+1) 2x2+110 1y-2x2 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 8 7 y=- 向下 (0,0) 6 y轴 5 y=2x2-1 4 y=- 2(x+1)2 向下 x=-1 (-1,0) y=- 2(-1)3 向下 x=1 (1,0) -3-2-19123 【归纳】向上低向下高x=h(h,0) 抛物线 开口方向 对称轴 例2(1)左1(2)右1【思考】右左 顶点坐标 课堂10分钟 y=2x2 向上 y轴 (0,0) 1.D2.右3.-4 y=2x2+1 向上 y轴 (0,1) 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 y=2x2-1 向上 y轴 (0,-1) 教材知识梳理 ①向上②向下③h④(h,k)⑤减小⑥增大 【思考1】答：a决定开口方向和开口大小：当a>0时，开口 ⑦增大⑧减小⑨kOk①左加右减 向上：当a<0时，开口向下：Ia越大，开口越小 教材母题变式 【思考2】答：k决定顶点的纵坐标.（答案不唯一，合理即可） 例1向上(1，-1)x=1>1<11小-1 例2(1)上1(2)下1(3)下1(4)上1(5)下 【思考】1下1 2(6)上2 例2(1)该抛物线对应的函数解析式为y=- 4(x-1)2+ 【思考】上下k 3(0≤x≤3) 课堂10分钟 9 1.A2.(0,-3)3.y=x2+3(答案不唯一) (2)柱形喷水装置的高度为子m, 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 课堂10分钟 教材知识梳理 1.A2.D3.y=-(x-2)2+10 ①向上②向下③x=h④(h,0)⑤减小⑥增大 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 ⑦增大⑧减小⑨0①0 教材知识梳理 教材母题变式 ①向上②向下③- ④- 54ac-6 2a ⑥减小 2a Aa 例1解：列表： ⑦增大⑧增大⑨减小⑩小①大2- B4uc-b2 2a 4a -3 -2 -1 0 1 2 3 教材母题变式 y=- 23 4.5 -2 -0.5 0 -0.5 2 4.5 例1解：y=2x2-4x+6=2(x2-2x+1)-2+6=2(x-1)2+4, 故该二次函数图象的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,4) 2(x+1)2 2 -0.5 0 -0.5 2 -4.5 -8 例2解：(1)y=x2-4x+3=x2-4x+22-22+3=(x-2)2-1, ∴.抛物线y=x2-4x+3的对称轴为x=2,顶点坐标为(2，-1). (2)由(1)得y=x2-4x+3=(x-2)2-1, (x-1) 8 4.5 -2 -0.5 0 0.5 -2 .抛物线y=x2-4x+3可以看作是由抛物线y=x2先向右平 移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的. 参考答案 (3)画出该抛物线如解图」 (1)方程x2-3x-2=0的近似根为x1≈-0.6，x2≈3.6. (2)方程x2-3x-2=2的实数根为x1=-1,x2=4. (3)方程x2-3x-2=-3的近似根为x1≈0.4，x2≈2.6. 课堂10分钟 1.B2.C3.D4.x1=-1,x2=3-1<x<3 26.4实际问题与二次函数 -2-,木245x 第1课时运动类问题、面积问题 教材母题变式 -2 例1解：由题意可得h=-2+26t+1=-(t2-26t)+1=-(t 例3解：(1)最小值为-7.(2)最大值为6. 13)2+170, 例4B 故火箭点火后13s降落伞将打开，这时火箭的高度是 课堂10分钟 170m. 1.B2.C3.> 例2解：(1)根据题意，得AB=xm,则BC=(40-2x)m, 4.解：(1)y=-2x2+4x+3=-2(x-1)2+5, .y=x(40-2x),即y与x之间的函数关系式为y=-2x2+ .抛物线的开口向下，对称轴为x=1,顶点坐标为(1,5). 40x(0<x<20). (2)由(1)知，抛物线的开口向下，对称轴为x=1, (2)y=-2x2+40x=-2(x-10)2+200,-2<0, .当x>1时，y随x的增大而减小；当x<1时，y随x的增大 ∴.当x=10时，y取得最大值200. 而增大 答：当AB边的长为10m时，才能使菜园的面积最大，最大 26.3 二次函数与一元二次方程 面积为200m2. 教材知识梳理 变式解：设BC的长为xm,则AB的长为30-m m, 2 ①有两个不相等的实数根②有两个相等的实数根 ③无实数根④x<x1或>x,⑤x,<x<x 案园的面积s=,09-}15s=-15) 教材母题变式 例1解：(1)画出函数图象如解图 2(0<x≤12)， 22 所示. 一2<0当<15时，S随x的增大而增大， 1 (2)图象与x轴的交点坐标为(-1， 10112/3x 0),(3,0). 1 当x=12时，S=)×9+2=108(m),此时30x 2 2 (3)当x=-1或x=3时，y=0, 这里x的取值是方程x2-2x-3=0 30-12=9. 2 的根. 答：BC的长为12m,AB的长为9m时，菜园的面积最大，最 例2(1)49 、100 大面积为108m2. 例3A (2)解：由题意，得h=10x-4.92=0.4,即4.9x2-10x+04=0, 课堂10分钟 .4=b2-4ac=(-10)2-4×4.9×0.4=92.16>0, 1.A2.33.30 2 x=-b±√B-4ac_10±√92.16解得x1=2,x,=A0 4.解：(1)由题意，得AP=xcm,BQ=2xcm,则BP=(8-x)cm, 2a 2×4.9 4y=】B0·BP=x2x(8-)=+8x(0<x≤5 当h=0.4时，x的值为或2 2 (2)2 例3(1)x1=-4,x2=1 (3)y=-x2+8x=-(x2-8x+16)+16=-(x-4)2+16 (2)当x<-4或x>1时，y>0. .当x=4,即运动时间为4s时，△PBQ的面积有最大值， (3)当-4<x<1时，y<0. 最大值是16cm2. 例4解：画出函数y=x-3x-2的图象如解图所示 第2课时最大利润问题 教材母题变式 例1解：(1)由题意，得单个利润为25-14=11（元）， 当x=25时，销售量y=-4×25+200=100(个)， .此时总利润为11×100=1100（元）， 答：当销售单价定为25元时，该店每周销售冰箱贴的总利 润为1100元. (2)设总利润为W元.由题意，得 参考答案