26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第3课时（分层作业本）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

第3课时 二次函数y=( 阶 基础巩固对点练 知识点1二次函数y=a(x-h)2+k的图象和 性质 1.在下列二次函数中，其图象的对称轴在y轴左 侧的是 A.y=(x+2)2-3 B.y=x2-2 C.y=-2x2 D.y=(x-2)2+3 2已知抛物线y=-(x-3)+行，下列说法正确的 是 ( A.开口向上 B.对称轴是x=-3 C.顶点坐标为(3,4) D.当x<-3时，y随x的增大而减小 3.将抛物线y=x2先向右平移2个单位长度，再 向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解 析式是 A.y=(x-3)2+2B.y=(x-2)2-3 C.y=(x+2)2+3 D.y=(x+3)2+2 变式将某二次函数的图象先向右平移2个单 位长度，再向上平移3个单位长度后得到二次 函数y=(x-1)2+1的图象，则原二次函数的表 达式是 A.y=(x-1)2+2B.y=(x+1)2+2 C.y=(x-1)2-2 D.y=(x+1)2-2 4.若A(-6,y1),B(2,y2),C(3,y3)是抛物线y= -(x+1)2+3上的三点，则y1,y2,y3的大小关系 为 A.y2>y3>Y1 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2 5.二次函数y=-3(x+1)2-7的图象的顶点坐标 是 6.已知点A在抛物线y=(x-1)2+2上，点A'与点 A关于此抛物线的对称轴对称，如果点A的横 坐标是-1，那么点A'的坐标是 (x-h)2+k的图象和性质 7.已知抛物线y=2（x+h)'+k的顶点坐标为(2， 8),求该抛物线与y轴的交点坐标 知识点2抛物线y=a(x-h)2+k的应用 8.(2025南宁月考)南宁会展中心“朱槿花厅”顶 部花瓣轮廓近似抛物线y=-(x-2)2+9(y为高 度，x为水平距离)，该抛物线的对称轴是 ( A.x=2 B.x=-2 C.x=9 D.x=-9 9.应用意识如图，花坛水池中央有 一喷泉，水管OP=3m,水从喷头 P喷出后呈抛物线状先向上至最 高点后落下，若最高点距水面4m,P距抛物线 对称轴1m,则为使水不落到池外，水池半径最 小为 A.1m B.1.5mC.2m D.3m 10.跨学科“卢沟晓月”是著名的北京八景之 一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明 媚皎洁.古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋 诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此， 并题“卢沟晓月”，立碑于桥头.卢沟桥主桥拱 可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA 约为22米，若按如图所示方式建立平面直角 坐标系，则主桥拱所在抛物线的解析式为y= 21（x-11)+,那么主桥拱最高点P与其 1 在水中倒影P'之间的距离为 米 y/米 22/米 35 二阶能力提升强化练 11.若抛物线y=(x+m)2+n的顶点在第二象限， 则直线y=mx-n不经过 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.如图，二次函数y=a(x+1)2-2的图象过点 (1,0),当-2≤x<3时，函数值y的取值范围 是 13.模型观念跳绳是大家喜爱的一项体育运动， 当绳子甩到最高处时，其形状可视为一条抛 物线.如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处 时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的 高度都为1米，并且相距4米，现以两人的站 立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平 面直角坐标系，其中小冬拿绳子的手的坐标 是(0,1)，身高1.60米的小丽站在绳子的正 下方，且距y轴1米时，绳子刚好经过她的头 顶.若身高1.75米的小伟站在这条绳子的正 下方，他距y轴m米，为确保绳子超过他的头 顶，求m的取值范围. 米 123 x/米 36 三阶新情境·新思维 4.现实情境足球训练中球员从球门正前方8米 的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当 球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点， 此时球离地面3米.现以O为原点建立如图 所示的平面直角坐标系. (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高OB为2.44米，通过计算判断 球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)已知点C为0B上一点，0C=2.25米，若 射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球 员带球向正后方移动米再射门时，足球恰好 经过OC区域（含点O和C),求n的取值范围， y/米 64x/米13.(1)30 (2)小道的宽度为1m. 2)方程阳的擦为((2)方程矩的都为， （y=-1 14.(1)这两个正方形的边长分别是3cm,5cm. 3.(1)x=-1.(2)原分式方程无解. (2)正确.理由略. 4.（1)x1=2,x2=-2. 第2课时传播、平均变化率问题 3+√53-√5 (2)x1= 1.A2.每人每次能教会5名同学. 2 3.B4.B5.该品牌头盔销售量的月平均增长率为30% (3)x1=-3-√10，x2=-3+√10. 6.D7.D8.10 (4)x1=1,x,=6. 9.（1)x(x+1) 5.（1)当m=1时，此方程是一元一次方程. (2)经过两轮传染后会有81人患病的情况发生.理由略。 (2)当m≠1时，此方程是一元二次方程. 二阶广西中老抢先练 2 10.(1)每天彩电的销量为(8 25t)台. 1.A2.C3.B4.B5.x=06.07.C8.A9.A (2)每台彩电应降价150元. 10.B11.C12.B13.B14.D 11.解：(1)设年平均增长率为r,则根据题意，得600(1+r)2= 15.(1)2(2)(5-t) 726,解得r1=-2.1(不符合题意，舍去)，2=0.1=10%， 解：(2)由题意，得(5-t)2+(2)2=52,解得t1=0,2=2. 由已知易得0≤1≤3， 答：桂林2023年至2025年国庆长假期间接待游客人次的 ∴.当t=0或2时，PQ的长度等于5cm 年平均增长率为10%. (3)存在.由已知易得0≤≤3. (2)设降价x元，则售价为(20-x)元，销量为(200+25x) 长方形ABCD的面积是5×6=30(cm2), 杯，单杯利润为(20-x)-5=(15-x)元， 要使得五边形APQCD的面积等于26cm',则△PBQ的面 根据题意，得(15-x)(200+25x)=3250,解得x1=2,x2=5. 积为30-26=4(cm2), 当x=2时，售价18元； 当x=5时，售价15元， 令(5-)×21x2 4,解得1=4（不合题意，舍去），2=1. 综上所述，当每杯售价定为15元时，既能让顾客获得最大 .即当t=1时，五边形APOCD的面积等于26cm2 优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天3250元的 综合与实践 利润额. 1.解：(1)先将图形平移，如解图， 第3课时循环、比赛问题 40米 1.C2.103.C4.D5.10 停 位 6.(1)914 (2)解：可以 22 设此多边形的边数为n, 由题意，得0(n-3》=20,整理，得n2-3n-40=0 由题意，得(40-x)(22-x)=544, 2 .x=6或x=56(x=56不符合实际，舍去)， 解得n,=8,n2=-5(不符合题意，舍去). 5.5<6<6.5,.车道宽度符合标准. 答：八边形的对角线可以共有20条. (2)设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数 A8 量为(50号)个， 9.(1)36 n(n+1) 2 (20+y)(50-号)=10125.1=%=25， (2)解：前n行的点数和不能是100.理由如下：假设前n行 .每个车位月租金上涨25元 的点数和是100，则（n+1=10,即n2+n-200=0, 2.解：(1)设AE=CG=xm, 2 根据题意，得(25+x)(45+x)=1500, 解得n=1±VP-4x1x(-200-1±3V89 解得x1=5,x2=-75(不合题意，舍去)， 2 2 .25+x=25+5=30,45+x=45+5=50. :n为整数，∴.前n行的点数和不能是100. 答：BG的长为50m,BE的长为30m. (2)不可以. 第二十五章整合复习与对接中考 理由如下：设AE=am,则CG=3am, 一阶关联知识整合练 由题意，得(25+a)(45+3a)=1800, ①二元一次方程②分母③a=0或b=0④0 解得a,=5,a2=-45(不合题意，舍去)， 10)x=4.(2)x=-3 当a=5时，45+3a=60>58,不合题意，舍去， .当CG=3AE时，新劳动基地的面积不可以为1800m2. 参考答案 第二十六章 二次函数 8.y3<y2<y1 9D10y1 26.1二次函数的概念 1.C2.B3.3 1山能将二次两数y=了的图象向下平移6个单位长度， 4.解：(1)根据二次函数的定义可知y=3-2x2是二次函数，其 得到的新图象经过点(3，-3). 中a=-2,b=0,c=3. (2)y=x(x-1)+1=x2-x+1, 12.(1)a=)k=2.(2)略。 根据二次函数的定义可知y=x2-x+1是二次函数，其中a= 13.A14.D15.-7 1,b=-1,c=1. 16.(1)平移前的抛物线的解析式为y=-2x2+2. (3)·y=2x(1-x）+2x2=2x-2x2+2x2=2x没有二次项， (2)当x=0时，函数y=a2+c取得最大值，最大值为2. .y=2x(1-x)+2x2不是二次函数 (3)当x>0时，y随x的增大而减小， 5A6y-子75=4anr+20m+25m 17.B 第2课时二次函数y=a(x-h)的图象和性质 变式y=-Tx2+16m0<x<4 1.B2.A3.C4.D5.B6.> 8.y与x之间的关系式为y=x2+7x. 7.(1)x=-1(2)-4-10-1-4 9.B10.D11.C (3)略.(4)x<-1x>-1 12.（1)当m=±22时，此函数是正比例函数 8.C9.D10.左211.C12.B13.B14.B (2)当m=3时，此函数是二次函数. 15.解：(1)抛物线y=(x-a)2的对称轴为x=a=1,.a=1. 13.(1)圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的关系式为 (2)由(1)可知，a=1,.y=(x-1)2. Ss 1 +10m -1<x,<0,1<x,<2,∴.1<1-x<2,0<x,-1<1, :当抛物线开口向上时，抛物线上的点距离对称轴越远， 函数S= 2T+10πx是二次函数. 函数值越大，.y>y2 16.解：(1)h=3, (2)圆柱的表面积增加了102πcm2. .二次函数的解析式为y=-(x-3)2. 14.解：乙的说法正确.理由如下： .当x=3时，函数有最大值0. a2+2a+3=(a+1)2+2,无论a取何值，都有(a+1)2≥0， (2).二次函数y=-(x-h)2(h是常数)，当自变量x满足 .(a+1)2+2≥2≠0， 2≤x≤5时，其对应函数y的最大值为-1， ∴.无论α取何值，该函数一定是二次函数，乙的说法正确. ∴.若h>5,则当x=5时，y最大，即-(5-h)2=-1, 26.2二次函数的图象和性质 解得h=4(舍去)，h2=6; 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 若h<2,则当x=2时，y最大，即-(2-h)2=-1, 1.A2.A3.B4.B5.k>-16.-1 解得h=1,h4=3(舍去)； 7.(1)略. 若2<h<5,则函数的最大值为0，与题意不符. (2)①抛物线y轴(0,0)②①②③④越小 综上所述，h的值是6或1. 越大③y=-4x2x轴④高x<0x>0 第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 8.(1)a=3. 1.A2.C3.B变式D4.A5.(-1,-7)6.(3,6) (2)y=27. (3)抛物线的开口向上； 7.该抛物线与y轴的交点坐标为(0,10). 抛物线的顶点是坐标原点： 8.A9.D10.2611.B12.-2≤y<6 当>0时，y随x的增大而增大. 13.1.5<m<2.5. (答案不唯一，也可以是：抛物线有最低点；当x=0时，y有 14.解：(1)8-6=2， 最小值，最小值是0等) .抛物线的顶点坐标为(2,3). 9.D10.a>b>d>c11.2π12.2 设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)2+3, 13.(1)k=-3. 把A(8,0)代人，得36a+3=0,解得a=- (2)n的取值范围是-4≤n≤0. 1 14.(1)A(3,1),C(-3,1). 抛物线的函数表达式为y=2x-2)°+3。 (2)菱形OABC的面积为25. 1 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+h的图象和性质 2)当x=0时y=-12×4+3=2>244 3 第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 .球不能射进球门. 1.D2.B3.C4.B5.D6.y轴 (3)球员带球向正后方移动米，则移动后的抛物线的函 7.(1)(1,0)或(-1,0)(2)(0，-3)(3)增大减小 (4)小小-3 数表达式为y=- 2(x-2-n)2+3. 参考答案 把0225)代人，得225=0-2nm)产+3 (1,0) .二次函数图象上的点(-3,0)向右平移3个单位长度后 解得n=-5(舍去)或n=1. 经过坐标原点， 把(0,0)代人，得0=- 0-2o48. .将该二次函数图象向右平移3个单位长度，可使平移后 所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个 解得n=-8(舍去)或n=4. 交点的坐标为(4,0). 综上所述，n的取值范围为1≤n≤4. 9.解：(1)y=ax2+2ax-4, 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 .抛物线的对称轴为x= 1.B2.A 2-1, 2a 3.解：(1)y=2x2-4x-1=2(x-1)2-3, 设点A的坐标为(L,0), .二次函数的图象开口向上，对称轴为x=1,顶点坐标为 0B=20A,点B的坐标为(-2,0)， (1,-3) .t-(-1)=-1-(-2),解得t=2, 2)y=(*1(-2)=2-2-(-7-。 .点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(-4,0) (2)将(2,0)代人y=aax2+2ax-4, ·二次函数的图象开口向上，对称轴为x=2,顶点坐标为 得0=4a+4a-4,解得a=2 1 六抛物线的解折式为)=子权4 4.C5.(1)1小3(2)2大7(3)145 6.(1)y=2(x-1)2-8. (3)港物线)=了+4+1-的顶点C的坐标 (2)略. (3)当x<1时，y随x的增大而减小. 为(-1，-2 (4)当x=-1或3时，y=0;当x<-1或x>3时，y>0;当-1<x :将点A(2,0)向左平移3个单位长度，再向下平移9个单 <3时，y<0. (5)当0<x<4时，y的取值范围是-8≤y<10. 位长度后得到点c(-1,号 (6)以函数图象与两坐标轴的交点为顶点的三角形的面积 1 为12. 平移后抛物线的解析式为y三)(x+1+3)2一99 22 7.C8.C9.B10.C11.C12.D 13.y2<y1<y314.-415.2 2(x+4)2-9 16.解：晨晨同学的解答过程不正确.理由如下： y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 小专题4二次函数与线段问题 .该二次函数的图象开口向上，顶点坐标是(1，-4)， 1.解：(1)·抛物线的解析式为y=-x2+4x+5, .当x=1时，函数有最小值-4 .C(0,5),B(5,0),BC=√5+5=52 当x=-2时，y=5;当x=5时，y=12 (2)如解图，连接PB. .当-2≤x≤5时，y的取值范围为-4≤y≤12. :点A与点B关于直线l对称， 小专题3二次函数解析式的求法 .PA+PC=PB+PC. 当点C,P,B共线时，PB+PC=BC 1.y=x2+2变式y=x2-4x+5 为最小值，即为PA+PC的最小值. 2 2x+1)-33y=5x2+20x+15变式B 由(1)可知，C(0,5),B(5,0), 易得直线BC的解析式为y=-x+5, 4()三次函数的解析式为y=-T+3+12 :对称轴1为x=2,且当x=2时，y=-2+5=3, (2)二次函数的解析式为y=5x2+20x+15. .当PA+PC的值最小时，点P的坐标为(2,3). (3)二次函数的解析式为y=-x2+4x-3. 之解：(1)由题意，得{6，。解得0=-2， (9+3b+c=0. (c=-3, 5.y=(x+2)2+1变式y=2(x-2)2+16.y=-x2+4x-3 .抛物线的解析式为y=x2-2x-3, -1 (2)设直线AB的解析式为y=kx+n(k≠0)， 将B(0,-3),A(3,0)分别代入， 3 8.(1)y=-2-+2 丹n2。年号2 (3k+n=0, 12 3 (2)解：令y=0,得-2-x+之=0，解得x=-3,,=1, .直线AB的解析式为y=x-3, .二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(-3,0)和 设P(m,m2-2m-3),则D(m,m-3), 参考答案 n为CP的三等分点①CP或C0-子c, .n-6n+13+1+n=10,解得n=1或n=2, 点N的坐标为(2,1)或(2,2). (m-2m-3）3或m-3)2 即-(m-3)。1 3.解：如解图，PQ1x轴于点Q, -(m2-2m-3)3’ .∠PQA=90°， 解得m,=2,m,=3(不符合题意，舍去)或m,= 2,m=3(不 :△APQ是等腰直角三角形， .AQ=PO. 符合题意，舍去) 点P在抛物线y=x2-x-2上， 当a=2时m-2m-3=-3.当m=时m-2-3=- 15 .设Q(m,0),则P(m,m2-m-2）, 4 由题意，得A(-1,0), 点P的坐标为2.-3)或（分孕。 ∴.AQ=1m-(-1)1=1m+11,PQ=|m2-m-21, .1m+11=1m2-m-21, 小专题5二次函数与面积问题 .m+1=m2-m-2或m+1=-(m2-m-2), 1.4 即m2-2m-3=0或m2=1. 2.解：设Q(m,-m2+3m+4),△QAB的面积为S. 当m2-2m-3=0时，解得m=3或m=-1(舍去)， 如解图，连接00，则S=S△0m+S△oa0 Y 此时P(3,4); 5au=20Bm+0i(-m+3n+ B 当m2=1时，解得m=1或m=-1(舍去)，此时P(1,-2). 综上所述，点P的坐标为(3,4)或(1，-2). 4-0A.0B, 小专题7二次函数与特殊四边形问题 1.(1)y=x2-2x-3 易得A(4,0),C(-1,0),B(0,4), (2)解：存在.由(1)得y=x2-2x-3, .∴.0A=0B=4. .S=-2m2+8m=-2(m-2)2+8, 由题意，设N(1,n),M(m,m2-2m-3), .当m=2时，S大=8，此时-m2+3m+4=6, C(0,-3),对称轴为x=1,.F(2,-3), 当以AF为对角线时，如解图1， .Q(2,6). 3.解：(1)抛物线的解析式为y=(x-1)2-4. -1+2=1+m, .m=0,.M(0,-3); (2)令y=0,得(x-1)2-4=0,解得x1=-1,x2=3, (0+(-3)=n+(m2-2m-3), .A(-1,0),B(3,0). 当以AN为对角线时，如解图2， 1 -1+1=2+m, (3)存在.由(2)知，AB=4.Sa=2×4x4=8, 0+n=-3+(m2-2m-3),六m=-2,M(-2,5): 5 1 当以AM为对角线时，如解图3， 则Sapw=4Sau=10,2×41y,=10,则ll=5. -1+m=2+1, m=4,.M(4,5) 点P在抛物线y=(x-1)2-4上，.yp≥-4，.yp=5, (0+(m2-2m-3)=-3+n, 由(x-1)2-4=5,解得x1=-2,x2=4, 综上所述，点M的坐标为(0，-3)或(-2,5)或(4,5). .存在满足条件的点P,其坐标为(-2,5)或(4,5). Y= 小专题6二次函数与特殊三角形问题 1.(1)y=-x2+2x+3 (2)解：由题意，得0A=3,0B=3, 由勾股定理，得AB=√3+32=32 当△ABM为等腰三角形时， ①若MA=MB,则此时点O即为所求的点M, C(M 故点M的坐标为(0,0)： 解图1 解图2 解图3 ②若AB=MB,则M(0,3-32)或M(0,3+3√2)； ③若AB=AM,则M(0,-3). 2.解：(1)把A(0,-2),B(4,0)分别代人y= 综上所述，当△ABM为等腰三角形时，点M的坐标为(0， c=-2, 1c=-2, 0)或(0,3-32)或(0,3+3√2)或(0，-3). 得 2×16+46+c=0, 解得 3 2.解：存在.由条件可设点N的坐标为(2，n), b=-2' 由题意，得A(1,0),B(0,3), 则NB2=2+(n-3)2=n2-6n+13,NA2=(2-1)2+n2=1+n2, ∴.抛物线的解析式为y= 22 AB2=10, (2)存在. 当△ABN是以AB为斜边的直角三角形时，由勾股定理，得 在y=-2x+8中，令x=0,则y=8,.C(0,8) NB'+NA2=AB, A(0,-2),B(4,0), 参考答案