26.2.2 课时2 二次函数y＝a(x－h)²的图象和性质 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册同步练，聚焦二次函数y=a(x-h)²图象与性质，以“基础巩固-综合应用-拓展提升”分层设计，通过概念理解到问题解决的递进路径，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点（平移规律、开口方向等）|选择/填空题为主，如直接判断平移方向、对称轴，强化概念理解| |综合应用|跨知识点结合（增减性与对称轴等）|中档解答题，如根据性质写解析式，培养推理能力| |拓展提升|含参数与平移综合|复杂解答题，如动态平移后顶点坐标计算，发展数形结合与模型意识|

2026－2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质 课时2 二次函数y＝a(x－h)²的图象和性质 ▌课时目标 1. 理解二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象关系，掌握“左加右减”的平移规律，能准确描述其开口方向、对称轴和顶点坐标。 2. 能根据解析式y＝a(x－h)2确定函数的最值和增减性，并会运用这些性质解决简单的函数值比较与求最值问题。 3. 理解h的正负对图象位置的影响，能根据图象特征判断h的符号，初步形成数形结合思想。 ▌课时目录 知识点01：y＝a(x－h)²的图象与y＝ax²的关系 知识点02：开口方向 知识点03：对称轴 知识点04：顶点 知识点05：最值 知识点06：增减性 知识点07：h的正负对平移方向的影响 ▌知识点01：y＝a(x－h)²的图象与y＝ax²的关系 二次函数的图象是一条抛物线，它可由抛物线沿x轴平移∣h∣个单位得到： 1. 当h＞0时，向右平移h个单位； 2. 当h＜0时，向左平移∣h∣个单位。 平移过程中，抛物线的形状和开口方向保持不变，仅位置发生改变。 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）函数是向右平移2个单位后的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握“左加右减”的平移法则． 根据二次函数图象“右移减”的平移规律，将中替换为，得到平移后的解析式． 【详解】解：原函数为，向右平移2个单位， 新函数为． 故选C 2．（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）顶点为，开口向上，形状与函数的图像相同的抛物线对应的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 根据形状相同，开口方向以及顶点坐标即可得出解析式． 【详解】解：根据形状相同，所以两个函数的相等， 根据开口向上，得出， 又∵顶点为， ∴解析式为， 故选：A． 3．（25-26九年级上·北京·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．可以由的图象向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数顶点式的性质，分析开口方向、对称轴、平移规律及增减性即可． 【详解】解：函数中，二次项系数，因此开口向下，选项A错误； 顶点式为，对称轴为直线，选项B错误； 原函数向右平移2个单位得到，而非向左平移，选项C错误； 开口向下时，对称轴左侧（）函数值随增大而增大，选项D正确； 故选：D ． 4．（25-26九年级上·吉林·阶段检测）若抛物线与抛物线的形状相同，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，核心是理解抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定；当两个抛物线形状相同时，它们二次项系数的绝对值相等． 【详解】∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴二次项系数的绝对值相等， ∴, ∴． 故答案为：． ▌知识点02：开口方向 抛物线的开口方向与相同，由a的符号决定： 1. 当a＞0时，开口向上； 2. 当a＜0时，开口向下。 h的改变不影响二次项系数a，因此开口方向不变。 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在x轴上 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图像性质特点是解题的关键． 比较两个抛物线的开口方向、对称轴、形状大小及顶点位置，逐一判断选项． 【详解】解：先分别对这两个抛物线进行分析，再进行选项判断： 抛物线 开口方向：二次项系数，开口向上. 对称轴：由顶点式可知对称轴为直线. 顶点：顶点坐标为，位于轴上. 形状大小：由决定. 抛物线 开口方向：二次项系数，开口向下. 对称轴：由顶点式可知对称轴为直线. 顶点：顶点坐标为，位于轴上. 形状大小：由决定. 分别对选项进行判断. A：开口方向相反，不同. B：对称轴分别为和，不同. C：分别为和，形状大小不同. D：两顶点和均在轴上，相同. 故答案为：D. 6．（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在轴上 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关键．根据二次函数中a的作用得出形状相同、开口方向相反，再利用图象的顶点形式确定顶点坐标，对称轴． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点为，有最低点， 抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点是，有最高点， ∴抛物线与抛物线的相同点是顶点都在x轴上． 故选：D． 7．（23-24九年级上·河北张家口·期末）抛物线的开口向（    ） A．左 B．右 C．上 D．下 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图像和性质，根据二次函数的图像当时开口向上即可得答案． 【详解】∵中，， ∴抛物线的开口向上， 故选：C． 8．（25-26九年级上·河南南阳·期末）写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质，对称轴可由顶点式中的确定，开口方向由系数的符号决定；当时，开口向下．据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，二次函数满足对称轴是直线且开口向下， 故答案为： ▌知识点03：对称轴 抛物线的对称轴为直线。 对比的对称轴x＝0，对称轴由y轴平移到了直线x＝h。 1. 当h＞0时，对称轴在y轴右侧； 2. 当h＜0时，对称轴在y轴左侧。 9．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）抛物线的对称轴是（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查抛物线的对称轴问题，核心是熟练掌握顶点式的性质． 由已知结合抛物线顶点式的对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：抛物线， 对称轴为直线． 故选：B． 10．（25-26九年级上·陕西安康·期末）抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，的对称轴是直线． 根据顶点式二次函数的解析式，可得二次函数的对称轴，可得答案． 【详解】解：∵抛物线为的形式， 其中，，， ∴对称轴为直线， 故选C． 11．（25-26九年级上·河北承德·阶段检测）下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称轴，算出每个选项中函数的对称轴逐一进行判断即可． 【详解】A、对称轴为直线，本选项不合题意； B、对称轴为直线，本选项不合题意； C、对称轴为直线，本选项不合题意； D、对称轴为直线，本选项符合题意； 故选：D． 12．（25-26九年级上·广西玉林·期中）请写出一个对称轴为直线的二次函数解析式_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质，根据“对称轴为直线的二次函数”这个条件进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，是对称轴为直线的二次函数， 故答案为：（答案不唯一）． ▌知识点04：顶点 抛物线的顶点坐标为(h,0)。 对比的顶点(0,0)，顶点由原点沿x轴移动到了(h,0)。 顶点始终在x轴上。 13．（25-26九年级上·吉林·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是关键；抛物线方程为顶点形式，直接根据顶点式公式写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选 C． 14．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点公式，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是； 故选C． 15．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性逐一排除即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 、开口向下，原选项错误，不符合题意； 、由于，则当时，的值随值的增大而减小，原选项正确，符合题意； 、对称轴为，原选项错误，不符合题意； 、顶点坐标为，原选项错误，不符合题意； 故选 ：． 16．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，根据的顶点坐标是，进行作答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：B． ▌知识点05：最值 函数的最值在顶点处取得。 1. 当a＞0时，抛物线开口向上，顶点(h,0)是最低点，函数有最小值y最小值＝0（当x＝h时取得）； 2. 当a＜0时，抛物线开口向下，顶点(h,0)是最高点，函数有最大值y最大值＝0（当x＝h时取得）。 17．（25-26九年级上·全国·课后作业）对于函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．最大值为0 D．图象与y轴不相交 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，直接按照性质进行判断即可 【详解】解：∵ ∴图象开口向下，A选项正确，不符合题意 由题意，该二次函数的顶点坐标为 ∴图象的对称轴是直线，最大值=0，B选项和C选项正确，不符合题意 ∵当时， ∴函数图象与y轴相交，交点坐标为，D选项不正确，符合题意 故选：D ． 18．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）对于二次函数，下列结论错误的是（   ） A．开口向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数图象与x轴没有公共点 D．函数有最小值 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：由二次函数，得 ，对称轴为， ∴二次函数的开口向上，当时，y随x的增大而增大， 故A，B正确， 当时，函数取得最小值为，D正确, 当时，， ， 即函数图象与x轴只有一个公共点， 故C错误． 故选C． 19．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点是 D．函数有最小值0 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点和二次函数的性质，根据抛物线的性质由得到图像开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线． 【详解】解：二次函数中的，则其图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，二次函数的最大值为0， 故选项A、B、D说法不正确，选项C说法正确． 故选：C． 20．（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）已知二次函数，请直接写出该二次函数图像对应的顶点坐标，对称轴以及最值． 顶点坐标：______，对称轴：______，当______时，y有最______值，最值为______． 【答案】，直线，，小，． 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为直线． 根据二次函数的性质作答即可． 【详解】解：已知二次函数， 顶点坐标：，对称轴：直线，当时，y有最小值，最值为． 故答案为：，直线，，小，． ▌知识点06：增减性 增减性以对称轴为界。 1. 当a＞0时，在对称轴左侧（x＜h），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x＞h），y随x的增大而增大。 2. 当a＜0时，在对称轴左侧（x＜h），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x＞h），y随x的增大而减小。 21．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握顶点解析式的性质． 根据二次函数的增减性，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，可知函数在处取得最小值，因此抛物线开口向上且对称轴为直线． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ∴ 二次函数在处有最小值，抛物线开口向上，且对称轴为直线． ∵ 二次函数的标准形式为，其中对称轴为， ∴，且． 选项B中，，对称轴为，，满足条件． 其他选项：A和C对称轴为，不符合；D对称轴为但，开口向下，不满足增减性要求． ∴ 该二次函数的解析式可以是； 故选：B． 22．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，可知抛物线开口向上，且对称轴为，对此一一分析选项即可得出答案． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小；当时，y随x增大而增大， ∴抛物线开口向上，且对称轴为． 对于选项A：， ∵，抛物线开口向上，对称轴， ∴符合题意． 选项B：对称轴，不符合题意； 选项C和D：，开口向下，不符合题意． 故选A． 23．（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为__________． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．，时，对称轴为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，可知对称轴为，进而可得的值． 【详解】解：∵二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴抛物线的对称轴为直线， 故， 故答案是：3． 24．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）已知二次函数，当时，随的增大而__________（填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：对于二次函数，，对称轴为直线， ∴当时，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 故答案为：增大． ▌知识点07：h的正负对平移方向的影响 h的正负决定图象在x轴上的左右位置： 1. 当h＞0时，图象整体位于的右侧； 2. 当h＜0时，图象整体位于的左侧。 反之，若已知抛物线的对称轴在y轴右侧，则h＞0；对称轴在y轴左侧，则h＜0；对称轴为y轴，则h＝0（此时退化为）。 注意：解析式中括号内是“x－h”，当h＞0时图象右移，即“左加右减”，这是平移的核心规律。 25．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数值最小 D．将抛物线向左平移1个单位长度得到 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 抛物线的二次项系数为正，开口向上，顶点为是最小值点；向左平移1个单位得；当时，随增大而增大． 【详解】解：∵中， ∴开口向上，A正确； ∵ ∴顶点坐标为， ∴当时，取最小值，C正确； 将抛物线向左平移1个单位，替换为， 得，D正确； 当时，，且随增大而增大，随增大而增大，故B错误． 故选：B． 26．（24-25九年级下·上海·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．先求出平移后的解析式，再求顶点坐标即可． 【详解】解：函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数解析式为， ∴顶点为：， 故答案为：． 27．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）已知一条抛物线开口方向和大小与抛物线的都相同，顶点与抛物线的相同． (1)求这条抛物线的解析式； (2)求出将上面的抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移问题，求二次函数解析式： （1）根据二次函数的性质即可解答； （2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，满足题意的抛物线解析式为； （2）解：将抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式为． 28．（24-25九年级下·四川巴中·阶段检测）把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线的顶点为M，求 (1)a，h的值； (2)的值． 【答案】(1) (2)144 【分析】本题考查抛物线的平移，与轴的交点，求顶点坐标，熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减是解题的关键． （1）根据抛物线的平移规则，求出a,h的值，即可； （2）由（1）求出两条抛物线的顶点坐标和点B的坐标，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线， ∴平移后的解析式为， ∴； （2）解：由（1）得：平移前的解析式为，平移后的解析式为 ∴点A的坐标为，点M的坐标为， 对于， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·福建厦门·三模）已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 2．（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小； 综上，只有选项C错误. 4．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）已知抛物线，下列说法不正确的是（      ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线顶点式，当时，开口向上；当时，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为；当时，在对称轴左侧()，随的增大而减小；在对称轴右侧()，随的增大而增大，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：由题意，根据抛物线顶点式， ∴， ∴抛物线开口向上，选项A正确； 对称轴是直线，选项B错误； 顶点为，选项C正确； ∵，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，选项D正确； 故A、C、D均不符合题意，B符合题意． 二、填空题 5．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先求出二次函数抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∵， ∴． 6．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）抛物线的开口_________，对称轴是_________，顶点坐标是_________，对称轴左侧，随的增大而_________． 【答案】 向下 直线 增大 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，通过比较标准形式可直接得出开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性．抛物线的顶点式为需注意的符号对开口方向和增减性的影响．根据二次函数的性质，由解析式可直接判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性． 【详解】解：， ， 开口方向向下； 对称轴是直线， 顶点坐标为， 当时，抛物线开口向下， 在对称轴左侧（即时），函数值随的增大而增大． 故答案为：①向下；②直线；③；④增大． 7．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 【答案】/0.5 【分析】求出抛物线的顶点坐标及与y轴的交点坐标，再根据列式求解． 【详解】解：的顶点坐标为， 将代入，得：， 结合图象可得，， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得． 8．（25-26九年级上·北京·期中）写出一个开口向上，并且对称轴是的抛物线的解析式________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数顶点式，由对称轴是 可得 ，由开口向上可知 ，所以取后代入解析式即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为 （）． ∵ 开口向上， ∴ ． ∵ 对称轴是 ， ∴ ． 取 ， ， 得 ． 故答案为： （答案不唯一） 三、解答题 9．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）已知抛物线经过点，解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； (2)填空： ①此抛物线的开口 _；顶点坐标是 _；对称轴是_； ②当x_时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x_ 时，函数有最_值为_； 【答案】(1)此抛物线的解析式为 (2)①向上；；；②；③，小， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数图像和性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图像和性质即可得出． 【详解】（1）解：把代入解析式得： ， 解得， ∴此抛物线的解析式为：； （2）①∵， ∴所以此抛物线开口向上； ∵顶点为，对称轴为， ∴此抛物线顶点坐标是；对称轴是； ②∵此抛物线开口向上，对称轴是， ∴当时，y 随 x 的增大而减小； ③∵，顶点坐标是， ∴当 时，函数有最小值为； 故答案为：①向上；；；②；③，小，． 10．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1) 描点，连线 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质 课时2 二次函数y＝a(x－h)²的图象和性质 ▌课时目标 1. 理解二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象关系，掌握“左加右减”的平移规律，能准确描述其开口方向、对称轴和顶点坐标。 2. 能根据解析式y＝a(x－h)2确定函数的最值和增减性，并会运用这些性质解决简单的函数值比较与求最值问题。 3. 理解h的正负对图象位置的影响，能根据图象特征判断h的符号，初步形成数形结合思想。 ▌课时目录 知识点01：y＝a(x－h)²的图象与y＝ax²的关系 知识点02：开口方向 知识点03：对称轴 知识点04：顶点 知识点05：最值 知识点06：增减性 知识点07：h的正负对平移方向的影响 ▌知识点01：y＝a(x－h)²的图象与y＝ax²的关系 二次函数的图象是一条抛物线，它可由抛物线沿x轴平移∣h∣个单位得到： 1. 当h＞0时，向右平移h个单位； 2. 当h＜0时，向左平移∣h∣个单位。 平移过程中，抛物线的形状和开口方向保持不变，仅位置发生改变。 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）函数是向右平移2个单位后的解析式是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）顶点为，开口向上，形状与函数的图像相同的抛物线对应的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．可以由的图象向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 4．（25-26九年级上·吉林·阶段检测）若抛物线与抛物线的形状相同，则的值为___________． ▌知识点02：开口方向 抛物线的开口方向与相同，由a的符号决定： 1. 当a＞0时，开口向上； 2. 当a＜0时，开口向下。 h的改变不影响二次项系数a，因此开口方向不变。 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在x轴上 6．（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在轴上 7．（23-24九年级上·河北张家口·期末）抛物线的开口向（    ） A．左 B．右 C．上 D．下 8．（25-26九年级上·河南南阳·期末）写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． ▌知识点03：对称轴 抛物线的对称轴为直线。 对比的对称轴x＝0，对称轴由y轴平移到了直线x＝h。 1. 当h＞0时，对称轴在y轴右侧； 2. 当h＜0时，对称轴在y轴左侧。 9．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）抛物线的对称轴是（    ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 10．（25-26九年级上·陕西安康·期末）抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·河北承德·阶段检测）下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·广西玉林·期中）请写出一个对称轴为直线的二次函数解析式_____． ▌知识点04：顶点 抛物线的顶点坐标为(h,0)。 对比的顶点(0,0)，顶点由原点沿x轴移动到了(h,0)。 顶点始终在x轴上。 13．（25-26九年级上·吉林·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 16．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． ▌知识点05：最值 函数的最值在顶点处取得。 1. 当a＞0时，抛物线开口向上，顶点(h,0)是最低点，函数有最小值y最小值＝0（当x＝h时取得）； 2. 当a＜0时，抛物线开口向下，顶点(h,0)是最高点，函数有最大值y最大值＝0（当x＝h时取得）。 17．（25-26九年级上·全国·课后作业）对于函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．最大值为0 D．图象与y轴不相交 18．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）对于二次函数，下列结论错误的是（   ） A．开口向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数图象与x轴没有公共点 D．函数有最小值 19．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点是 D．函数有最小值0 20．（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）已知二次函数，请直接写出该二次函数图像对应的顶点坐标，对称轴以及最值． 顶点坐标：______，对称轴：______，当______时，y有最______值，最值为______． ▌知识点06：增减性 增减性以对称轴为界。 1. 当a＞0时，在对称轴左侧（x＜h），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x＞h），y随x的增大而增大。 2. 当a＜0时，在对称轴左侧（x＜h），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x＞h），y随x的增大而减小。 21．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为__________． 24．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）已知二次函数，当时，随的增大而__________（填“增大”或“减小”）． ▌知识点07：h的正负对平移方向的影响 h的正负决定图象在x轴上的左右位置： 1. 当h＞0时，图象整体位于的右侧； 2. 当h＜0时，图象整体位于的左侧。 反之，若已知抛物线的对称轴在y轴右侧，则h＞0；对称轴在y轴左侧，则h＜0；对称轴为y轴，则h＝0（此时退化为）。 注意：解析式中括号内是“x－h”，当h＞0时图象右移，即“左加右减”，这是平移的核心规律。 25．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数值最小 D．将抛物线向左平移1个单位长度得到 26．（24-25九年级下·上海·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为_______． 27．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）已知一条抛物线开口方向和大小与抛物线的都相同，顶点与抛物线的相同． (1)求这条抛物线的解析式； (2)求出将上面的抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式． 28．（24-25九年级下·四川巴中·阶段检测）把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线的顶点为M，求 (1)a，h的值； (2)的值． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·福建厦门·三模）已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 4．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）已知抛物线，下列说法不正确的是（      ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 二、填空题 5．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 6．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）抛物线的开口_________，对称轴是_________，顶点坐标是_________，对称轴左侧，随的增大而_________． 7．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 8．（25-26九年级上·北京·期中）写出一个开口向上，并且对称轴是的抛物线的解析式________． 三、解答题 9．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）已知抛物线经过点，解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； (2)填空： ①此抛物线的开口 _；顶点坐标是 _；对称轴是_； ②当x_时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x_ 时，函数有最_值为_； 10．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $