第32章 锐角三角函数 小专题23 解直角三角形实际应用的三大常见模型（分层作业本）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

9 小专题23解直角三角形实际应用的三大常见模型 模型1背对背型 模型2 母子型 模型特点 图形演变 模型特点 图形演变 通过在三角形内作高CD,构造 通过在三角形外作高 出两个直角三角形求解，其中公 共边CD是解题的关键 BC,构造出两个直角三 角形求解，其中公共边 BC是解题的关键， 1.为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地 和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原 来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改造 3.数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告 成可以直线通行的公路AB.如图，经勘测， AC=6千米，∠CAB=60°， 牌的高度，已知CD=2m.经测量，得到其他数 ∠CBA=37°，则改造后公路 据如图所示，其中∠CAH=37°，∠DBH=67°， AB的长约是 千米 (结果精确到0.1千米，参考 AB=10m,请你根据以上数据计算GH的长 数据：sin37°≈0.60，cos37°≈ (参考数据：sin67°≈1 3,c0s670 5 0.80,tan37°≈0.75，√3≈1.73) 13,ian67°≈ 2.如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图（图中 5,sin373 ,c0s370≈4 3 i=1:√3是指坡面的铅直高度D与水平宽度 ,tan370≈ 4 CE的比)，∠B=60°，AB=6米，AD=4米，求拦 C G 水坝的横断面ABCD的面积（结果保留整数， 2m广告 参考数据：√3≈1.732,2≈1.414) D D 37° 67° i=1:w3 A 10m B 173 模型3拥抱型 5.如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学 模型特点 图形演变 的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测 分别解两个直角三角 量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为 形，其中公共边BC是 35m,后站在M点处测得居民楼CD的顶端D 解题的关键 的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为 55°.已知居民楼CD的高度为16.6m,小莹的 观测点N距地面1.6m.求居民楼AB的高度 C(F) B (结果精确到1m,参考数据：sin55°≈0.82， 4.如图，C处有一艘测绘船在灯塔A的正南方 cos55°≈0.57，tan55°≈1.43). 向，此时灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船 向正东方向航行20海里后到达D处，恰好在 灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船 北偏西63.5°的方向上，则灯塔A,B间的距离 为多少海里？（结果保留整数，参考数据： sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈ 2.01,5≈2.24) 北 东 1747.A8AB=20,4C=16,c0sB=3 5 乙AD=∠BADA0=DA0=Ef-5. 9.A10.C11.C12.C13.2或314.BC=10. .AB是⊙O的直径，.∠ADB=90° 15.解：(1)在Rt△ACD中，∠C=90°，CD=6, :∠AED=∠EAD,∴.cos∠EAD=cos∠AEF= .cLADC=GD-2.即 63 AD5,即AD5AD=10, AD 3 25 .AC=W√AD2-CD2=√102-6=8. 六AB5AB 3,心⊙0的半径是 6 :anB=?4C-2,即8-2 2.(1)证明：如解图，连接0F. F3·BC3 BC3BC=12, OA=0F,∴.∠OAF=∠0FA. .AB=√AC+BC=√82+12=43 F是EB的中点，.EF=FB」 (2)如解图，过点D作DE⊥AB于A ∴.∠CAF=∠FAB 点E. ∴.∠CAF=∠OFA 由(1)易知，BD=BC-CD=6. ·.OF∥AC .AC⊥CD,∴.OF⊥CD .tanB=- 2,DE2 3·BE3 又.·0F是⊙0的半径 D .CD是⊙O的切线 (2)解：.AB是⊙O的直径，.∠AFB=90° .OF⊥CD,.∠OFD=∠AFB=90°，.∠OFA=∠DFB 在Rt△BED中，由勾股定理，得6？=DE°+（号DE卫 :∠OAF=∠OFA,∴.∠DFB=∠OAF 解得DE=12 .DG平分∠ADF,.∠ADG=∠FDG 13 (负值已舍)， ·.∠FGH=∠OAF+∠ADG,∠FHG=∠DFB+∠FDG ·sin∠BAD=DE6vI3 AD 65 ∠FGH=∠FHG=45,.sin∠FHG=E 2 小专题21“化斜为直”构造直角三角形的 32.2.2应用举例 三种常用方法 第1课时解直角三角形的简单应用 1.sind=3 AB=32+V82 1.A2.A3.2 2.BC=16-25.3. 6 4.解：如解图，过点B作BT⊥ON 101 2 5 4.解：如解图，过点B作BE⊥ 于点T,过点A作AK1ON于 50 CD交CD的延长线于点E. 点K, D是AB的中点， 在Rt△OBT中，OT=OB 26 c0s26°≈3×0.90=2.7(m). ∴.AD=DB. .'∠M=∠MWT=∠BTN=90°， 又：∠ACD=∠BED=90°， .四边形BMNT是矩形， M ∠ADC=∠BDE, .'TN=BM=0.9 m, ..△ACD≌△BED(AAS), .ON=0T+TN≈3.6(m). .∴.CD=DE,AC=BE. 在Rt△AOK中， 在Rt△CBE中，sinL BCE=BE-J BC 3' 0K=0A·c0s50°≈3×0.64=1.92(m), .KN=0N-0K≈3.6-1.92≈1.7(m), .BC=3BE,.'.CE=VBC2-BE =22BE, .座板距地面的最大高度约为1.7m. CD=CE=BE=AG. 5.解：(1)如解图，过点D作 DQ1PE,垂足为Q. MAD-C 由题意，得DH=QE, AC AC AD∥PQ, 小专题22圆与锐角三角函数 .∠DPQ=∠ADP=45°，在 1.(1)证明：AF与⊙0相切于点A,.AB⊥AF, Rt△DPQ中，PD=2米， ∴.∠F+∠AED=∠FAD+∠EAD=90°. .PQ=PD·cos45°=√2× .∠AED=∠EAD,∴.∠F=∠FAD,∴.AD=FD. (2)解：∠EAF=90°，sin∠AFE=3=45 21(米). 5 EF 6●6 co∠AEF=AE3 PE=1.2米， EF 5 .DH=QE=PE-PQ=1.2-1=0.2(米)， .AE=6,.EF=10. .点D到地面的距离DH的长为0.2米。 参考答案 (2)轿车能驶入小区. .CN=MB=AB-AM=100米， 理由如下：由题意，得∠ADC=36°，PE=1.6米 .CD=CN+DN=100+2003≈446（米）. AD∥PQ,.∠ADP=∠DPQ=36°. (2)在Rt△BCM中，由勾股定理，得BC=√MC+MB= QE=0.2米，.PQ=PE-QE=1.6-0.2=1.4(米) 在Rt△DPQ中，DQ=PQ·tan36°≈1.4×0.73=1.022（米）， 1005(米)， .PF≈3-1.022=1.978（米） .BC+BD=100√5+400≈623.6（米）， 1.978>1.8,轿车能驶人小区 .乘坐观光车的时间是623.6÷320≈1.95（分）， 6.(1)a·tana 乘坐空中缆车的时间是446÷200=2.23（分）. (2)解：设塔高AB为x米. .1.95<2.23 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，a=45°， .应选择乘坐观光车。 小专题23 解直角三角形实际应用的 ana=tan45=月C=L,BC=AB=x米】 三大常见模型 .BD=BC-CD=(x-22)米. 1.9.92.拦水坝的横断面ABCD的面积约为52平方米. 在Rt△ABD中，∠ABD=90, 3.GH的长约为10m.4.灯塔A,B间的距离约为22海里。 人86a品及 =3, 5.居民楼AB的高度约为30m. 第三十二章整合复习与对接中考 解得x≈52，即AB≈52米. 答：塔高AB约为52米. 一阶关联知识整合练 第2课时利用仰角、俯角，方位角，坡度、坡角解直角三角形 151 1.(1)56030(2)25(3)22 1.172.铁塔CD的高度约为95.6m.3.C 4.解：(1)如解图，过点P作PC1AB于点C, 北 B (4)、73 (5)⑤ 则∠PCA=∠PCB=90°. 4 东 由题意，得PA=80海里，∠A=30°，∠CBP= 2.摄像机机位P到小车行驶轴线AB的竖直距离约为1.6米. 45°， 二阶广西中考抢先练 C=P=40(海里).△CP是等腰直 1D2G3原武子4原式分 3 角三角形， 5.原式=3.6.B7.C8.A .BC=PC=40海里， 9.(1)90 .PB=√402+40=402（海里）. (2)教学楼CD的高度约为21m. .收到求救讯息时，事故渔船P与救助船B之间的距离为 10.解：(1)根据题意，得∠CBE=90°-60°=30°，∠BAC=90°- 75°=15°，AB=16×2=32(海里)， 402海里. ∴.∠C=30°-15°=15°，∴.∠C=∠BAC, (2).PA=80海里，PB=40√2海里，救助船A,B分别以 .BC=AB=32(海里)， 40海里/时、30√2海里/时的速度同时出发， 答：B处到灯塔C的距离为32海里。 &救助船4所用的时间为802（时）.救助船B所用的围 (2)有触礁的危险.理由如下： 如解图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D. 间为40,5=4（时). 3023 北 北 4 2>3救助船B先到达 1 B DE东 5.B6.127.10.5 8.解：(1)如解图，过点C作 BC=32(海里)，∠CBD=30°.CD=2BC=16(海里)， CM⊥AB于点M,过点B作 北 459 60° .16<18, BN⊥CD于点N,则四边形 MBNC是矩形， 若这条船继续由西向东航行，会有触礁的危险。 11.解：(1)如解图，过点E作EG⊥CD .∴.CM=BN,CN=MB. 于点G,则∠EGC=90°. .:∠DBN=60°，BD=400米 BC=60 cm,BE=10 cm, BN=2BD=200米，DN=BD·sin∠DBV=200w3米. 1 .'CE=70 cm. .∠ABC=64°，AB∥CD .:∠CAM=45°， ∴.△AMC是等腰直角三角形， ∴.∠ECD=64°. ∴.EG=EC·sin64°≈70×0.90=63(cm) .∴.AM=CM=BN=200米， 车轮半径为32cm, 参考答案