第31章 相似 小专题18 二次函数与相似三角形&小专题19 儿何变换与相似三角形（分层作业本）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

小专题18二次函数与相似三角形 1.(2022贵港节选)如图，已知抛物线y=-x2+:2.如图，以D为顶点的抛物线y=-x2+bx+c交 6r经过A(0,3)和B(了-子两点，自线6 x轴于A,B两点，交y轴于点C,直线BC的解 析式为y=-x+3 与x轴相交于点C,P是直线AB上方的抛物线： (1)抛物线的解析式为 上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D. (2)在x轴上是否存在一点Q,使得以A,C,Q (1)求该抛物线的解析式； 为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求 (2)若以A,P,D为顶点的三角形与△AOC相 出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 似，请直接写出所有满足条件的点P,点D的 坐标 149 小专题19 几何变换与相似三角形 类型1折叠与相似三角形 4.易错将三角形纸片ABC按如图所示的方式 1.如图，将△ABC沿DE翻折，DE∥BC,若D 折叠，使点B落在边AC上，记为点B',折痕为 BD EF,已知AB=AC=3,BC=4.若以B',F,C为顶 3,BC=8,则DE的长为 点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是 ( A.2 B.2.4 C.3 D.4 A 第4题图 第5题图 第1题图 第2题图 5.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10,点 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分别 E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落 在AB,AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落 在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG 在点A'处，若A'为CE的中点，则折痕DE的长 沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的点H 为 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②2 SA BEG= 5 SA FCH;③△DEF∽△ABG;④4CE=5ED.其中 B.2 C.3 D.4 正确的是 (填写所有正确结论的序 3.学科内综合如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC= 号) 5,P是BC边上的一个动点（点P与点B,C都 类型2旋转与相似三角形 不重合)，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,将 △ABC绕着AC边上的点G旋转得到△DEF, 落到点F处，过点P作∠BPF的平分线交AB CG:AG=1:2,EF,ED分别交AB于点Q,P,若 于点E.设BP=x,BE=y,则下列图象中，能表 ABDF,则PQ= () 示y与x的函数关系的大致图象是 24 25 28 9 A B 12 C. 15 D 13 5 E D 第6题图 第7题图 7.如图，∠C=∠E=90°，AC=EF=8,AB=DF= 10,将△DEF的顶点D与AB边的中点重合， 并将△DEF绕着点D旋转.在旋转过程中， ∠EDF的边DF,DE与BC边的交点分别为M, N.当CN=BM时，MN的长是 1502.(1)证明：∠A=∠D,∠C=∠B,.△PAC△PDB. 小专题19几何变换与相似三角形 (2)解：由(1)知，△PAC∽△PDB, -(，即(产=40 AC 1A2B3B4号或25①②06.C74 =2(负值已舍)， DB DB 第三十一章整合复习与对接中考 SAPAC=4. -2时Spa 一阶关联知识整合练 DB ①重合②相等③成比例④相等⑤夹角⑥夹边 3.(1)∠ACE(答案不唯一)△BCD ⑦对边⑧相等⑨平行⑩相似①成比例②成比例 (2)证明：△ABC为等边三角形， 3夹④两⑤成比例6相同⑦不同⑧相等 ∴.AC=BC,∴.∠AED=∠CEB 四相等②0相等①相等②相等3相等四相似比 又∠DAE=∠BCE,∴.△AED∽△CEB. 雪相似比西相似比⑦相似比的平方 4.(1)证明：如解图，连接0C,则 OC=OA,∴.∠BAC=∠OCA. 1.D变式A PC与⊙0相切于点C, 2.(1)解：△APD≌△CPD .PC⊥OC. 理由如下：：四边形ABCD为菱形， AD⊥PC,∴.AD∥OC ..∠CDP=∠ADP,DA=DC. ..∠DAC=∠OCA, DA=DC. .∠BAC=∠DAC.AC平分∠DAB. 在△APD和△CPD中，∠ADP=∠CDP (2)解：：AB是⊙0的直径，.∠ACB=90 DP=DP. AD⊥PC,∴.∠D=90°，.∠ACB=∠D. ∴.△APD≌△CPD(SAS). ∠BAC=∠CAD,.△ABC△ACD, (2)证明：.·△APD≌△CPD BA CA CADA,·∴.BA=4 ∴.∠DAP=∠DCP,PA=PC. :DC∥AB,.∠DCP=∠AFP, ·∠D=90°，DA=9,CD=3 ∴.∠DAP=∠AFP. .CA2=DA2+CD2=92+32=90, 又∠APE=∠FPA,△EPA△APF, =10,0A=6M=5,00的半径是5 BA=90 PA_PE,即PA=PE·PF 小PFPA 小专题18二次函数与相似三角形 8(x,y±n）29(x,-y)0(-x,y）①(-x,-y） 1.(1)该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. 2(±kx,±y) 435 (2)点P(2,3),点D(2,0)或点P(3),点D(31), 4 3.(1)(2,4)8(2)(3,-4)(-3,4)(3)(-3,-4) (4)(-6,-8)32 2.(1)y=-x2+2x+3. 二阶广西中考抢先练 (2)解：存在.y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,.D(1,4), 易得C(0,3),B(3,0), 1.A2.√5-13.(1)略. a .CD2=(4-3)2+12=2,BC2=32+(-3)2=18, 4.(1)略.(2)△ADN的面积为6. BD2=42+(1-3)2=20. 5.D6.D7.B8.D .·2+18=20,∴.CD+BC2=BD2 9.(1)略.(2)画图略.点B,的坐标为(-4，-6). ∴.△BCD是直角三角形，∠BCD=90° 如解图，连接AC,把y= 综合与实践 0代人y=-x2+2x+3, 320 1.(1)y= (2)1.2 解得x=-1或x=3, ∴.A(-1,0),0A=1, (3)解：由题意知，CF=BF+BC=2.4m,EF=FD+DE=4m. 0A1 设OA=xm,0D=am. 0c3 .·OA⊥0E,CF⊥OE CD_√2_1.OA_CD .CF∥OA,.△DOA△DFB BC323心0CBC 又：∠A0C=∠DCB=90°，.△AOC∽△DCB,.当点Q的 小份即。8解得a08 OA OD 坐标为(0,0)时，△AQC一△DCB.过点C作CQ⊥AC,交x 同理可得，△EAO∽△ECF, 轴于点Q,则△ACQ为直角三角形，C01AQ, ∴.△ACQ∽△AOC. 0A-E,即2x=083 又.·△AOC∽△DCB,∴.△DCB∽△ACQ, 244,解得x=7.2, :”4C即2 .路灯的高度0A为7.2m. BDAQ25A视 ,解得AQ=10,.Q(9,0) 2.解：(1)由题意知BC⊥AB,DF⊥AD, 综上所述，当点Q的坐标为(0,0)或(9,0)时，以A,C,Q为 ∴.∠CBA=∠FDA=90°. 顶点的三角形与△BCD相似， 叉：∠CAB=∠FMD:△CMB△FAD4DDF AB BC 参考答案 由题意知AD=3m,AB=5m,BC=0.035m, 第3课时特殊角的三角函数值 .ξ=05解得DF=0.021m 12厚5巨上51万 12222223 即小视力表中相应“E”的高是0.021m (2)由题意知，AB∥MN∥A'B', 2原式13原式-行4原式；万 1 MN∥A'B',CD⊥MN, 5.B6.B7.10°8.A9.0.89790.96420.3492 MN CD CE⊥A'B',△MNC∽△A'BC,ABCE 10.78.9°11.B12.D13.30° 由题意知，CE=5m,DE=3m,A'B'=AB=1.6m, 14.2 sin'@+cosa-/3tan(a+15)=-3 2 MN 2 CD=CE-DE=2 m1.65 15.a=30°，B=45°. 16.3 17解：(1)：sina= c,lana=a b ∴.MW=0.64m,平面镜MN的长为0.64m. c,cosa= 第三十二章锐角三角函数 32.1正弦、余弦与正切 、sina-C=a,则tana=sina cosa bb cosa 第1课时锐角的正弦 C 1B2号3号4i- 1 sina 1 (2).'tana= 2cos==cosa, 5.BC=3.sinB=2/ 6D7.A8.A9.B10.12 sina-2cosa sina-4sina 3 4 2sncos2sin+2sina 12.sin∠EDc=2 小专题20求锐角三角函数值的五种常用方法 3 13.sinB= 3 14.111(1)1 1.A 2.sinC= 3.D42YE5.am∠ABG=2 3 13 (2)证明：在Rt△ABC中，∠C=90°. :sinA=a,simB=么，sin2A+sinB=a+6 7.解：由折叠的性质，得A'E=AE,A'B=AB=6,∠BA'E= ∠C=90°，.a2+b2=c2,.sin2A+sin2B=1. ∠BAE=90°， (3)解：sm4=sn+n8=1. .∠BA'C=90°，A'C=WBC2-A'B2=8. 设AE=x,则A'E=x,DE=10-x,CE=A'C+A'E=8+x. 在Rt△CDE中，由勾股定理，得(10-x)2+62=(8+x)2, 解得x=2,∴AE=2. 第2课时锐角的余弦、正切 在Rt△ABE中，BE=√AB+AE=2√I0 1(1) (2号342D3号 4A5.A os∠ABB=EI0 BE 10 ,c04s2 6.sinA=5 12,sinB=1 ,tand=5 3,cosB=5 13 AD/BC,∠CBE=LAEB,.cos∠CBE=I0 tanB=12 10 7.D8.C9B10.A11.D1222 29 33 14.5 2 9.解：如解图，过点C作CH⊥AB于 点H. 15.sind=5 25 1 5,tan4= 2 在Rt△ACH中，CH=AC·sinA= 16.解：如解图，在等腰直角三角形 25, ABC中，∠C=90°，延长CB至 AH=AC·c0sA=6. 点D,使BD=AB,连接AD,则 .AB=10, ∠BAD=∠D. 4522.50 _CH 3 B D ∴.BH=AB-AH=4,.tanB .:∠ABC=45°=∠BAD+∠D= BH 2' 2∠D, ∴.∠D=22.5°. 污渍部分的内容是3 设AC=1,则BC=1,AB=√2AC=√2， 32.2解直角三角形及其应用 ∴.CD=BC+BD=BC+AB=I+√2， 32.2.1解直角三角形 六tan2.5°=tanD=4C-1 √2-1 √2-1. 1.C2.603.∠A=30°，∠B=60°，AB=8. CD1+√2(2+1)(2-1) 4.C5.C6.∠A=65°.AB≈23.8.BC≈21.3. 参考答案