25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时（分层作业本）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

(3)x1=2,x2=-1. 参考答案·广西数学 (4)原方程无实数根. 分层作业本 7.A8.1或-3 9.(1)B(2)②等号右边没有加9 (3)解：x2+6x-4=0. 九年级上册 移项，得x2+6x=4, 配方，得x2+6x+9=4+9,即(x+3)2=13, 第二十五章 一元二次方程 .x+3=±3， 25.1一元二次方程的概念 x+3=√13或x+3=-√3， 1.D2.B .x1=-3+√13，x2=-3-√13 变式解：(1)4x2-81=0. 10.(1)3 (2)x2+10x+32的最小值为7. 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81. (2)3x2-7x+1=0. (3)代数式子+2x+5有最大值，最大值为8 二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1. 25.2.2公式法 3.A 4.原式=2032. 第1课时一元二次方程根的判别式 5.(1)x2+7x-300=0(2)x2+7x-44=0 1.C2.D3.A4.A5.64 6.B 6.(1)此方程无实数根. (2)方程有两个相等的实数根. 7.当m≠)时，关于x的方程2-mx(2x-m+1)=x是一元三 (3)方程有两个不相等的实数根 次方程： (4)此方程无实数根. 7.C8.C9.D10.k<-111.3变式112.A13.C 当m=2时，关于x的方程-mx(2x-m+1)=x不是一元 14.证明：当m=0时，方程为-2x+2=0, 二次方程. 此时方程有解，解为x=1: 25.2降次—解一元二次方程 当m≠0时，△=(-2)2-4m(2-m)=4-8m+4m2=4(m2-2m 25.2.1配方法 +1)=4(m-1)2≥0，此时方程有实数根. 第1课时直接开平方法 综上所述，不论m为何值时，方程总有实数根 1.D2.4(答案不唯一，只要a≥3即可) 15.(1)①③ 3.(1)y1=52,y2=-52. （2)证明：：一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)为“和谐方 (2)方程无实数根. 程”，.b=a+c, .b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0， (3)x1=10,x2=-10. .“和谐方程”总有实数根. 4.C5.x+6=-4 (3)解：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)为“和谐方 6=-4=手(2)=11=-05 4 程”，.b=a+c. “和谐方程”ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根， -2 .b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2=0,.a=c. 5 第2课时公式法 8.(1)x1=1+5,x2=1-5.(2)x1=-7,x2=- 7 1A2c35-141-43 9.m=1,方程的另一个根为-3. 2 10.△ABC的周长为10. 11.x1=3,x2=-7. 5024626 2 12.(1)532-12(2)x1=-2+25,x2=-2-25 (2)x,=7+5丽7-V53 第2课时配方法 2 ,2= 2 1c204分(2) 93 11 ￥3(3)11(4)25 (3)方程无实数根. 5 6.（1)一把常数项写错 3.14.B5.D (2)解：将方程整理，得x2-5x-1=0. 6(1)x,=2*02-10 a=1,b=-5,c=-1, 3,2= 3 .62-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29>0, (2)x,=1+71-7 6, 6■ 22”高=5+四529 2,x2= 2 参考答案 7.C8.A9.1或210.121.1-7 14.(1)证明：x2-ax+a-2=0, 2 .△=(-a)2-4×1×(a-2)=a2-4a+8=(a-2)2+4>0, 12.解：根据题意，得x2-13x+12+4x2-18=0, .无论a为何值，该方程总有两个不相等的实数根. 整理，得5x2-13x-6=0. (2)解：不存在.理由如下： b2-4ac=(-13)2-4×5×(-6)=289>0, (x1-1)(x2-1)=a2, 10,解得x=3,- 13±√28913±17 2 x1x2-x1-x2+1=a2,即xx2-(x1+x2)+1=d2. ..x= 2×5 5 x1+x2=a,x1x2=a-2,a-2-a+1=a2,即a2=-1, 13.解：(1)当m=0时，方程为x2+x-1=0. .不存在实数a,使得(x-1)(x2-1)=a2. 4=1-4x1x(-1)=5>0x=-1±5 15.(1)31-56 2×1 (2)解：a,b满足a2-5a+3=0,62-5b+3=0, 55 .a,b是方程x2-5x+3=0的根. 2 当a≠b时，a+b=5,ab=3, (2):方程有两个不相等的实数根，.4>0， ab_a2+b(a+b)2-2ab52-2×319 即12-4x1x(m-1)=1-4m+4=5-4m>0,.m<4 5 ab 33 当a=b时，原式=2. 14.解：D∠ACB=90°，BC=2,AC=b,4B=√/6+2 4 综上所述，？的值为9发2 .AD=/62+ a2a_√462+a2-a 小专题1配方法的应用 42 2 1.x,=1+W6,x2=1-√6. (2)用求根公式解得x,= -√/462+a2-a √462+a2-a 2.25变式±203.C4.D5.A 2 2 6.(1)21> 正确性：AD的长就是方程的正根， (2)解：M<V理由如下： 遗憾之处：图解法不能表示方程的负根. 25.2.3因式分解法 M=2 1,N= 1.A2.C变式x1=0,x2=23.A4.A N-W---(g-0=1-aa+1=a 2 11 1 7 5.(1)x1=4x=-5 (2)x1=-2,x,=3. 31 1 (3)x1=-2,=2 (a-宁Ps0(a-宁+子0，即-w0, (4)x1=3,x2=9. .M<V. 6.D 7.(1)-1-5(2)1-5 变式直接开平方法配方法公式法因式分解法 (3)解：-x2-4x-8=-(x2+4x+4-4+8)=-(x+2)2-4. (x+2)2≥0，.-(x+2)2-4≤4， 7.(1)x1=6,x2=-8. .当x=-2时，-x2-4x-8有最大值，最大值为-4. 4,3m (2)x,=3+7 4 小专题2方程的拓展解法 (3)x1=4,x2=-2 1 1(1x=2=3(2)x=5=-5 (4)x1=-1,x2=1. 2.（1)x1=-1,x2=-2.(2)x1=2,x2=3. 8.A9.1710.x1=1,x2=-1.11.x7-2=-8. (3)x1=6,x2=-1.（4)x1=-2,x2=9. 12.小花坛的边长为(5+5√2)m. 25.3实际问题与一元二次方程 3.()-61(2)方程组的解为4，=一 第1课时数字、面积问题 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.A2.B3.赛义德得到的钱数为12.4.C5.A 1.C2.C3.D 6.87.这根铁丝的总长为216cm.8.B变式C 9.若花圃的面积刚好为45m2,则此时花圃的AB段长为5m. 4.解：(1)3x2--1=0.x+,=3x=-3 10.C (2)2x2+6x-2=0.x1+x2=-3,x1x2=-1 1L.经过2s或4s,△PBQ的面积等于8cm2. 5.B6.b=10.方程的另一个根是-9. 12.(1)它们的平方之和是25. 21 7.A8.D9.D10.B11.A12.B13.4 (2)这两个正整数分别是4和5. 参考答案 13.(1)30 (2)小道的宽度为1m. 2)方程阳的擦为((2)方程矩的都为， （y=-1 14.(1)这两个正方形的边长分别是3cm,5cm. 3.(1)x=-1.(2)原分式方程无解. (2)正确.理由略. 4.（1)x1=2,x2=-2. 第2课时传播、平均变化率问题 3+√53-√5 (2)x1= 1.A2.每人每次能教会5名同学. 2 3.B4.B5.该品牌头盔销售量的月平均增长率为30% (3)x1=-3-√10，x2=-3+√10. 6.D7.D8.10 (4)x1=1,x,=6. 9.（1)x(x+1) 5.（1)当m=1时，此方程是一元一次方程. (2)经过两轮传染后会有81人患病的情况发生.理由略。 (2)当m≠1时，此方程是一元二次方程. 二阶广西中老抢先练 2 10.(1)每天彩电的销量为(8 25t)台. 1.A2.C3.B4.B5.x=06.07.C8.A9.A (2)每台彩电应降价150元. 10.B11.C12.B13.B14.D 11.解：(1)设年平均增长率为r,则根据题意，得600(1+r)2= 15.(1)2(2)(5-t) 726,解得r1=-2.1(不符合题意，舍去)，2=0.1=10%， 解：(2)由题意，得(5-t)2+(2)2=52,解得t1=0,2=2. 由已知易得0≤1≤3， 答：桂林2023年至2025年国庆长假期间接待游客人次的 ∴.当t=0或2时，PQ的长度等于5cm 年平均增长率为10%. (3)存在.由已知易得0≤≤3. (2)设降价x元，则售价为(20-x)元，销量为(200+25x) 长方形ABCD的面积是5×6=30(cm2), 杯，单杯利润为(20-x)-5=(15-x)元， 要使得五边形APQCD的面积等于26cm',则△PBQ的面 根据题意，得(15-x)(200+25x)=3250,解得x1=2,x2=5. 积为30-26=4(cm2), 当x=2时，售价18元； 当x=5时，售价15元， 令(5-)×21x2 4,解得1=4（不合题意，舍去），2=1. 综上所述，当每杯售价定为15元时，既能让顾客获得最大 .即当t=1时，五边形APOCD的面积等于26cm2 优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天3250元的 综合与实践 利润额. 1.解：(1)先将图形平移，如解图， 第3课时循环、比赛问题 40米 1.C2.103.C4.D5.10 停 位 6.(1)914 (2)解：可以 22 设此多边形的边数为n, 由题意，得0(n-3》=20,整理，得n2-3n-40=0 由题意，得(40-x)(22-x)=544, 2 .x=6或x=56(x=56不符合实际，舍去)， 解得n,=8,n2=-5(不符合题意，舍去). 5.5<6<6.5,.车道宽度符合标准. 答：八边形的对角线可以共有20条. (2)设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数 A8 量为(50号)个， 9.(1)36 n(n+1) 2 (20+y)(50-号)=10125.1=%=25， (2)解：前n行的点数和不能是100.理由如下：假设前n行 .每个车位月租金上涨25元 的点数和是100，则（n+1=10,即n2+n-200=0, 2.解：(1)设AE=CG=xm, 2 根据题意，得(25+x)(45+x)=1500, 解得n=1±VP-4x1x(-200-1±3V89 解得x1=5,x2=-75(不合题意，舍去)， 2 2 .25+x=25+5=30,45+x=45+5=50. :n为整数，∴.前n行的点数和不能是100. 答：BG的长为50m,BE的长为30m. (2)不可以. 第二十五章整合复习与对接中考 理由如下：设AE=am,则CG=3am, 一阶关联知识整合练 由题意，得(25+a)(45+3a)=1800, ①二元一次方程②分母③a=0或b=0④0 解得a,=5,a2=-45(不合题意，舍去)， 10)x=4.(2)x=-3 当a=5时，45+3a=60>58,不合题意，舍去， .当CG=3AE时，新劳动基地的面积不可以为1800m2. 参考答案 第二十六章 二次函数 8.y3<y2<y1 9D10y1 26.1二次函数的概念 1.C2.B3.3 1山能将二次两数y=了的图象向下平移6个单位长度， 4.解：(1)根据二次函数的定义可知y=3-2x2是二次函数，其 得到的新图象经过点(3，-3). 中a=-2,b=0,c=3. (2)y=x(x-1)+1=x2-x+1, 12.(1)a=)k=2.(2)略。 根据二次函数的定义可知y=x2-x+1是二次函数，其中a= 13.A14.D15.-7 1,b=-1,c=1. 16.(1)平移前的抛物线的解析式为y=-2x2+2. (3)·y=2x(1-x）+2x2=2x-2x2+2x2=2x没有二次项， (2)当x=0时，函数y=a2+c取得最大值，最大值为2. .y=2x(1-x)+2x2不是二次函数 (3)当x>0时，y随x的增大而减小， 5A6y-子75=4anr+20m+25m 17.B 第2课时二次函数y=a(x-h)的图象和性质 变式y=-Tx2+16m0<x<4 1.B2.A3.C4.D5.B6.> 8.y与x之间的关系式为y=x2+7x. 7.(1)x=-1(2)-4-10-1-4 9.B10.D11.C (3)略.(4)x<-1x>-1 12.（1)当m=±22时，此函数是正比例函数 8.C9.D10.左211.C12.B13.B14.B (2)当m=3时，此函数是二次函数. 15.解：(1)抛物线y=(x-a)2的对称轴为x=a=1,.a=1. 13.(1)圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的关系式为 (2)由(1)可知，a=1,.y=(x-1)2. Ss 1 +10m -1<x,<0,1<x,<2,∴.1<1-x<2,0<x,-1<1, :当抛物线开口向上时，抛物线上的点距离对称轴越远， 函数S= 2T+10πx是二次函数. 函数值越大，.y>y2 16.解：(1)h=3, (2)圆柱的表面积增加了102πcm2. .二次函数的解析式为y=-(x-3)2. 14.解：乙的说法正确.理由如下： .当x=3时，函数有最大值0. a2+2a+3=(a+1)2+2,无论a取何值，都有(a+1)2≥0， (2).二次函数y=-(x-h)2(h是常数)，当自变量x满足 .(a+1)2+2≥2≠0， 2≤x≤5时，其对应函数y的最大值为-1， ∴.无论α取何值，该函数一定是二次函数，乙的说法正确. ∴.若h>5,则当x=5时，y最大，即-(5-h)2=-1, 26.2二次函数的图象和性质 解得h=4(舍去)，h2=6; 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 若h<2,则当x=2时，y最大，即-(2-h)2=-1, 1.A2.A3.B4.B5.k>-16.-1 解得h=1,h4=3(舍去)； 7.(1)略. 若2<h<5,则函数的最大值为0，与题意不符. (2)①抛物线y轴(0,0)②①②③④越小 综上所述，h的值是6或1. 越大③y=-4x2x轴④高x<0x>0 第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 8.(1)a=3. 1.A2.C3.B变式D4.A5.(-1,-7)6.(3,6) (2)y=27. (3)抛物线的开口向上； 7.该抛物线与y轴的交点坐标为(0,10). 抛物线的顶点是坐标原点： 8.A9.D10.2611.B12.-2≤y<6 当>0时，y随x的增大而增大. 13.1.5<m<2.5. (答案不唯一，也可以是：抛物线有最低点；当x=0时，y有 14.解：(1)8-6=2， 最小值，最小值是0等) .抛物线的顶点坐标为(2,3). 9.D10.a>b>d>c11.2π12.2 设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)2+3, 13.(1)k=-3. 把A(8,0)代人，得36a+3=0,解得a=- (2)n的取值范围是-4≤n≤0. 1 14.(1)A(3,1),C(-3,1). 抛物线的函数表达式为y=2x-2)°+3。 (2)菱形OABC的面积为25. 1 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+h的图象和性质 2)当x=0时y=-12×4+3=2>244 3 第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 .球不能射进球门. 1.D2.B3.C4.B5.D6.y轴 (3)球员带球向正后方移动米，则移动后的抛物线的函 7.(1)(1,0)或(-1,0)(2)(0，-3)(3)增大减小 (4)小小-3 数表达式为y=- 2(x-2-n)2+3. 参考答案25.3实际问题与一元二次方程 第1课时数字、面积问题 :5.(教材P28T6改编)等腰梯形的面积为160cm2, 阶 基础巩固对点练 上底比高多4cm,下底比高多20cm,这个梯形 知识点1数字问题 的高为 1.如图是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在 A.8 cm B.10 cm C.16 cm D.20 cm 深度思考后，给出的正确答案是 6.若一个矩形的两边长相差2cm,且面积为 新对话 80cm2,则较短边的长是 cm 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去 7.如图，将一根铁丝分成两段后可以分别围成两 这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同. 个正六边形，已知它们的边长比是1：2，其中小 深度思考中… 正六边形的边长为(x2-4)cm,大正六边形的 开启新对话 边长为(x2+2x)cm(其中x>0).求这根铁丝的 给DeepSeek发送消息 深度思考(R1)智能搜索 总长 A.1 C.-1 D.1或-1 2.（教材P24T1改编)若两个连续负偶数的积为 (x2-4)cm (x+2x)cm 528,则这两个负偶数的和为 ( A.-50 B.-46 C.-48 D.-44 3.有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多 少，其和等于20，积等于96，多的一笔被许诺 赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？ 知识点3边框与甬道问题 知识点2规则图形问题 8.如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形 4.如图1，有一张长32cm,宽16cm的长方形硬 (长30米，宽20米)场地，被3条宽度相等的 纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形 绿化带分为总面积为480平方米的活动场所. (图中阴影部分)之后，恰好折成如图2所示的 如果设绿化带的宽度为x米，由题意，可列方 有盖纸盒.若纸盒的底面积是130cm2,则纸盒 程为 ( 的高为 单位：cm 32 A.(30-x)(20-x)=480 B.(30-2x)(20-x)=480 图1 图2 C.(30-2x)(20-x)=600 A.2 cm B.2.5 cm C.3 cm D.4 cm D.(30-x)(20-2x)=480 17 变式如图，在宽为10米、长为22米的矩形地 二阶 能力提升强化练 面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下 部分种植草坪，要使草坪的面积为180平方米，设 :10.数学活动课上，王老师带领同学们探究月历 道路的宽为x米，根据题意，可列方程为() 中的奥秘.老师将如图1所示的2026年7月 的月历复印给同学们，同学们设计了如图2 所示的Z形框，乙形框框住的五个数中，最小 数与最大数的乘积能是下列哪个数？() A.22×10-10x-20x=180 B.22×10-10x-20x-x2=180 C.(22-x)(10-x)=180 16 8 m D.22×10-10x-20x+2x2=180 19 20 21222324 25 知识点4围墙问题 262728293031 9.如图，用长为22m的篱笆，一面利用墙（墙的 图1 图2 最大可用长度为14m),围成中间隔有一道篱 A.260 B.80 C.192 D.81 笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆 11.如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开 花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的 始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点 两扇小门.若花圃的面积刚好为45m2,则此时 Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速 花圃的AB段长为多少？ 度移动.如果点P,Q分别从点A,B同时出 墙14m 发，经过几秒，△PB0的面积等于8cm2? D 6cm 18 X 12.已知整数a与b的平方之和可以表示为a2+ 三阶新情境·新思维 b2,现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是 14.小明准备进行如下实验操作：把一根长为 3,求它们的平方之和是多少？ 32cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长 (2)若这两个连续正整数的平方之和是41， 度为周长各做成一个正方形 求这两个正整数分别是多少？ (1)要使这两个正方形的面积之和等于 34cm2,则这两个正方形的边长各是多少？ (2)小明认为，这两个正方形的面积之和不可 能等于30cm2.你认为他的说法正确吗？请 说明理由。 13.如图1，某校进行校园改造，准备将一块正方 形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边 减少了4m,另一边减少了5m,剩余部分的 面积为650m2. (1)原正方形空地的边长为 m; (2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度 考虑，按图2的方式进行改造，先在正方形空 地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建 成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜 花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2,求小 道的宽度 +5m} 650m 4 m 画廊 图1 图2 19