2.2 基本不等式 题型专练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2基本不等式（题型专练）答案版 1．（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）设为非零实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由不等式的性质证明不等式、由基本不等式比较大小 【分析】利用重要不等式，可判断A，C；利用特值法，可判断B，D. 【详解】对于A：该式可变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立，故A正确； 对于B：取，则显然成立，故该不等式不一定成立，故B错误； 对于C：该式可变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立，故C正确； 对于D：可取，得，故该不等式不一定成立，故D错误. 故选：AC. 2．（25-26高三上·天津·开学考试）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由基本不等式比较大小 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即得. 【详解】由，，得， 反之，满足，而，此时不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（25-26高二下·北京朝阳·期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由基本不等式比较大小 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， 于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 4．（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则下列不等关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、由基本不等式比较大小 【分析】根据不等式的性质，基本不等式以及作差法，即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A,由于，则，故，进而，A错误， 对于B,由于，则，故，B正确， 对于C, 由于，则，故，C错误， 对于D, ，由于，则，故 ，故，D 错误， 5．（2026高三·全国·专题练习）已知且为正数，求证：. 【答案】， ， ，当且仅当，即时取等号， 但，因此不能取等号， . 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【详解】略 6．（25-26高二下·辽宁鞍山·期末）（多选）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、由基本不等式证明不等关系 【详解】已知， 分子相同为1，正数分母越大，分数越小，，故A错误； ，已知， 则，故，即，故B正确； 指数函数，当时，函数单调递增，由得； 当时，函数单调递减，由得， 故无法确定大小关系，故C错误； ，已知， 由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，故D正确． 7．（24-25高二上·湖南株洲·期末）（多选）已知，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先化简成同底数幂，再利用基本不等式（积定和最小）可判断A；先利用消元法，再利用基本不等式可判断B；利用基本不等式（和定积最大）、柯西不等式、二次函数单调性均可判断C；利用常数代换法、函数单调性均可判断D. 【详解】A.由基本不等式得 =，当且仅当，即时等号成立，A正确； B.由得， =，当且仅当， 即时等号成立，B错误； C.法一：（基本不等式）由得，即， ，所以， 当且仅当，即时等号成立， 法二：（柯西不等式）， 同理时等号成立， 法三：（二次函数单调性）由得， ， 当时，函数有最小值，C正确； D. 法一：（常数代换法）由得， ==1， 当且仅当，即时取等号， 法二：（函数单调性）由得, =，令， 二次函数开口向下，对称轴，当时， 所以，当且仅当时取等号，D正确. 8．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】由基本不等式证明不等关系、条件等式求最值 【详解】对于A，因为，所以，即， 所以，所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，因为， 故C正确； 对于D，由，得，所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号，故D正确. 9．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试），且x，y都是正数，则的最大值是_______． 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】直接利用基本不等式即可求解． 【详解】由x，y都是正数， 则，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最大值是． 10．（25-26高二下·福建福州·期末）设，为正数，且，则的最大值为__________． 【答案】/0.25 【知识点】基本不等式求积的最大值 【详解】（当且仅当时，取等号），所以的最大值为 11．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，都是正数， 所以， 当且仅当时取等号， 所以当时，有最大值. 12．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值 【详解】，所以， 所以， 若，其值必然小于正数，因此仅需考虑， 根据基本不等式，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 13．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用“1的代换”构造符合基本不等式的结构，进而求解的最小值. 【详解】已知为正实数，且，则， 因此, 当且仅当即时取等号， 故的最小值为9. 14．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、基本不等式求和的最小值 【分析】结合已知的条件，利用基本不等式的等号成立条件，分别验证充分性和必要性即可判断. 【详解】 由可得，，满足基本不等式的使用前提： 充分性验证： 若，根据基本不等式，对任意正数有，当且仅当时等号成立. 令，则，等号成立当且仅当，整理得，结合得. 因，故等号取不到，因此，充分性成立. 必要性验证： 若，说明上述基本不等式的等号不成立，因此等号成立的条件不满足，即，必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 15．（25-26高一上·四川成都·期末）设，则的最小值为__________． 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 得， 当且仅当，即时取等号． 16．（25-26高二下·广东深圳·期末）（多选）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对于A：利用基本不等式求最值即可；对于B：消元整理可得，进而分析最值；对于C：平方整理可得，进而分析最值；对于D：整理可得，利用“”的妙用结合基本不等式运算求解. 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 17．（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【答案】 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 18．（25-26高二下·北京·阶段检测）函数(）的最大值为______． 【答案】/ 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【详解】 ，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 19．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知且，则的最大值为____． 【答案】 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 20．（25-26高二下·北京·期末）已知，，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】应用基本不等式计算判断A；举反例判断B，结合常值代换结合基本不等式计算判断C，D. 【详解】因为，，当且仅当取等号，故A错误； 当时，满足，但是，B选项错误； 利用乘1法，，当且仅当取等号，故C错误，D正确 21．（2026高三·全国·专题练习）已知，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】通过双换元法将目标函数转化为求新变量乘积的形式，并结合已知条件利用基本不等式求出该乘积的最大值，最终代回原式求得最小值. 【详解】令，，，， 则，整理得， ， 所以原问题转化为求的最大值， ，当且仅当即时等号成立， 即，设，因为，，所以， 所以有，解得或（舍去）， 即， 所以. 22．（25-26高二下·安徽六安·期末）（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为9 【答案】AC 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先消元限定定义域，然后利用二次函数性质、常数代换法、取特值求解即可. 【详解】由及正实数，得，且. 对选项A：，这是关于的二次函数，开口向下， 对称轴为，且，故的最大值为. 该项正确. 对选项B：，对称轴为， 代入得最小值为，不等于. 该项错误. 对选项C：， 当且仅当时等号成立，故最小值为. 该项正确. 对选项D：令，则，所以最大值不是9. 该项错误. 23．（25-26高二下·广西贺州·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】∵ 正实数满足,∴ . ∴ . ∵ ，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，符合为正实数的约束条件. ∴ 的最小值为. 24．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【知识点】基本不等式的恒成立问题 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 25．（25-26高二下·天津河西·期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】化简，，结合基本不等式求其最小值，结合条件求的范围可得结论. 【详解】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 26．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解. 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 27．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】9 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 28．（2026高一·全国·专题练习）当时，则的最小值是______. 【答案】 【知识点】对勾函数求最值 【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 29．（25-26高一下·河南信阳·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 30．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值、对勾函数求最值 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 31．（25-26高一上·广东·期中）（多选）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【答案】ACD 【知识点】基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD 32．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1），求的最小值； （2），求的最小值； （3）已知求最大值. 【答案】（1）4；（2）4；（3）. 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值 【分析】（1）（2）应用基本不等式求函数的最小值，注意取值条件； （3）由基本不等式及凑配法求乘积的最大值，注意取值条件. 【详解】（1）由题设，当且仅当时取等号，故的最小值为4； （2）由，， 当且仅当时取等号，则的最小值为4； （3）当时，,当，则， 当且仅当时取等号，则的最大值为. 33．（2026高三·全国·专题练习）某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为（），这两年的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值 【分析】由题意建立等式，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意得，因为， 所以， 易知，所以， 因为， 则有， 即，即， 因为，所以， 即，所以， 所以. 34．（25-26高二下·北京延庆·期末）现有一块边长为1.5米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值 【详解】设截去的小正方形边长为米， 则长方体形的无盖容器的容积， 当且仅当，即时取等号，所以截去的小正方形边长应为米. 35．（25-26高二下·天津静海·期末）设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积是________． 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意设，用表示，以及的面积，结合基本不等式即可求得的最大面积. 【详解】由题意可知，矩形（）的周长为， 设，则，， 设，则，,故， 而为直角三角形，所以， 所以，所以 所以 ， .当且仅当，即时，此时，满足， 即时，的面积取最大值，最大面积为.    36．（2026高三·全国·专题练习）若是正实数，，求的最大值． 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用、条件等式求最值 【分析】先将变形为，再根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，，所以，当且仅当时取等号， 又，即当，时，有最大值． 37．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 38．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 39．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知，，，则的最小值是________. 【答案】4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由基本不等式乘“1”法即可求解. 【详解】所以， 当且仅当时取等号. 则的最小值是4. 40．（25-26高二下·安徽合肥·期末）（多选）已知，且，下列结论正确的是（   ） A．xy的最大值为2 B．最小值为 C．最小值为 D．最小值为8 【答案】ABC 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】对于A：由基本不等式，代入得，化简得， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B:（法一）：因为， 所以，且． 所以，当时，． （法二）由柯西不等式，则，所以， 当且仅当，即时取等号，所以B正确． 对于C: ， 当且仅当，即时取等号，所以C正确； D.，当且仅当，由A选项可知， 所以最小值为，D错误． 41．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式的内容及辨析 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 42．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、基本不等式的内容及辨析 【分析】利用基本不等式即可判断选项. 【详解】若，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以由可得成立， 若，取，满足，但不满足，所以由推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 43．（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式的内容及辨析 【分析】根据基本不等式的性质进行逐项判断即可. 【详解】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确. 故选：D. 44．（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、基本不等式的内容及辨析 【分析】本题考查充分条件和必要条件的判断.此题判断充分性时，需结合均值不等式；判断必要性时，用特殊值即可. 【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立； 当时，满足，但此时，必要性不成立． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2基本不等式（题型专练）原卷版 基本不等式比较大小知识点01 1．（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）设为非零实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·天津·开学考试）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二下·北京朝阳·期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则下列不等关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 基本不等式证明不等关系知识点02 5．（2026高三·全国·专题练习）已知且为正数，求证：. 6．（25-26高二下·辽宁鞍山·期末）（多选）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·湖南株洲·期末）（多选）已知，，且，则（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 基本不等式求积最大知识点03 9．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试），且x，y都是正数，则的最大值是_______． 10．（25-26高二下·福建福州·期末）设，为正数，且，则的最大值为__________． 11．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 基本不等式和最小知识点04 13．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 14．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（25-26高一上·四川成都·期末）设，则的最小值为__________． 16．（25-26高二下·广东深圳·期末）（多选）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 二次商的最值知识点05 17．（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 18．（25-26高二下·北京·阶段检测）函数(）的最大值为______． 19．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知且，则的最大值为____． 20．（25-26高二下·北京·期末）已知，，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 条件等式求最值知识点06 21．（2026高三·全国·专题练习）已知，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·安徽六安·期末）（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为9 23．（25-26高二下·广西贺州·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 24．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 不等式恒成立问题知识点07 25．（25-26高二下·天津河西·期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 26．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 27．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 28．（2026高一·全国·专题练习）当时，则的最小值是______. 对勾型求最值知识点08 29．（25-26高一下·河南信阳·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 30．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 31．（25-26高一上·广东·期中）（多选）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 32．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1），求的最小值； （2），求的最小值； （3）已知求最大值. 基本不等式应用知识点09 33．（2026高三·全国·专题练习）某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为（），这两年的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高二下·北京延庆·期末）现有一块边长为1.5米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 35．（25-26高二下·天津静海·期末）设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积是________． 36．（2026高三·全国·专题练习）若是正实数，，求的最大值． “1”的代换知识点10 37．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 38．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 39．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知，，，则的最小值是________. 40．（25-26高二下·安徽合肥·期末）（多选）已知，且，下列结论正确的是（   ） A．xy的最大值为2 B．最小值为 C．最小值为 D．最小值为8 不等式辨析知识点11 41．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 42．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 43．（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $