第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次函数、方程和不等式单元核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配高中数学单元复习，培养数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|不等式性质、基本不等式、充要条件、解集求解|基础与能力结合，第7题逻辑推理考查数学思维| |填空题|3题15分|不等式解集、比较大小、最值问题|第14题含参最值体现数学抽象| |解答题|5题77分|解不等式、实际应用（物流费用）、含参恒成立、类比探究|第16题模型应用，第19题类比迁移培养创新意识，贴合高考命题趋势|

第二章 一元二次函数、方程和不等式 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，，那么下列不等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 对于选项A：因为，所以，故A正确； 对于选项B：因为，，则，所以，故B正确； 对于选项C：因为，则，所以，故C正确； 对于选项D：可得，故D错误. 2．设，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【分析】由基本不等式求解最小值. 【详解】，当且仅当，即（因为）时取等号， 所以的最小值为. 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解一元二次不等式得到对应解集，通过判断两个解集的集合包含关系，结合充分必要条件的定义得出结论. 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 4．不等式的解集为（    ） A． B． C．{或} D． 【答案】A 【详解】不等式，可化为，整理得， 即，解得. 所以解集为. 5．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 6．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由“，使得”是假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足, 综上，，则实数m的取值范围是. 7．已知，，都是正数，则三数，，（   ） A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 【答案】D 【分析】将，，三数相加，借助于基本不等式即可说明. 【详解】因都是正数， 由， 当且仅当时，等号成立， 所以，，至少有一个不小于2. 8．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，取，此时，但，故A错误； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C，因为，故，而，故，故C正确； 对于D，， 若，则， 故即，故D错误. 10．已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】由题得，利用换元法结合基本不等式即可判断ACD，利用二次函数即可判断B. 【详解】由，可得， 对于A，令，，则，且，可得， 则， 当且仅当，即，，即，时，等号成立，所以A错误； 对于B，由，可得，则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，当且仅当时， 即，，即，时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，可得，当且仅当时， 即，时，等号成立，所以的最小值为，所以D错误． 11．对任意，不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分析可知，关于的方程有一个根1，另外一个根小于等于0，进而计算可得结论. 【详解】当时，，由，可得， 当时，，由，可得， 所以时，，即1是方程的一个根， 则题意可得还有一个根小于等于0， 所以，解得，故A正确；B错误； 又开口向下，所以， 所以，故C正确，D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知的解集为，则的解集是_______________. 【答案】 【详解】由题意可知是方程的两根， ∴，， ∴， ∴. 13．，，，则，，，由大到小的顺序是________． 【答案】 【分析】根据题意，利用作差法判断即可. 【详解】已知，，，则，，，， 由于，所以， 由于，所以， 所以， 综上，. 14．若，，则的最大值是____.(其中表示中的较小值) 【答案】/ 【分析】利用不等式，结合基本不等式求解． 【详解】因 ≤， 当时，， 的最大值是． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解下列不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）移项通分，再按有理数乘除法的符号法则列式求解. （2）按一元一次不等式解法求解. 【详解】（1）由，得，则， 则，解得， 所以原不等式的解为. （2）不等式化为， 即，则，解得， 所以原不等式的解为. 16．现有一家物流公司计划租地建造仓储物流中心，设仓储物流中心到车站的距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：仓储物流中心每月土地占地费（单位：万元）与成反比；每月储存货物费（单位：万元）与成正比.已知在距离车站1千米处建造仓储物流中心时，和分别为16万元和2万元. (1)分别求，关于的函数表达式； (2)当这家公司把仓储物流中心建在距离车站多少千米处时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 【答案】(1)，；，. (2)建在距离车站千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是万元 【分析】（1）设，，其中，根据所给数据得到方程，求出、，即可得解； （2）设两项费用之和为（单位：万元），利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）依题意设，，其中， 当时，，， 解得，， 所以，， （2）设两项费用之和为（单位：万元）， 则， 当且仅当，即时“”成立， 所以这家公司把仓储物流中心建在距离车站千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是万元． 17．（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）分别按照和讨论求出实数的取值范围； （2）原不等式可化为，利用基本不等式求解，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）①当，即时， 不等式转化为， 此不等式无解，解集为，满足题设； ②当，即时， ， 解得； 综上：实数的取值范围为. （2）因为，所以， 解得，即， 因为，所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以，故实数的取值范围为. 18．已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 (3) 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 19．已知正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时即时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值： (2)若实数满足，求证：； (3)求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)最大值为，此时的值为. 【分析】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式求解； （2）利用“1”的代换，结合基本不等式求解； （3）通过均值不等式求的最大值，即可求出的值. 【详解】（1）正实数满足，，， 当且仅当且时取等号，解得， 的最小值为. （2），， ，当且仅当时等号成立， ， . （3），，解得， ， 根据均值不等式可得， 当且仅当时等号成立，解得， ， ，， 最大值为，此时的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，，那么下列不等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．设，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．不等式的解集为（    ） A．B． C．{或} D． 5．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 6．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，都是正数，则三数，，（   ） A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 8．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 11．对任意，不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知的解集为，则的解集是_______________. 13．，，，则，，，由大到小的顺序是________． 14．若，，则的最大值是____.(其中表示中的较小值) 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解下列不等式 (1) (2) 16．现有一家物流公司计划租地建造仓储物流中心，设仓储物流中心到车站的距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：仓储物流中心每月土地占地费（单位：万元）与成反比；每月储存货物费（单位：万元）与成正比.已知在距离车站1千米处建造仓储物流中心时，和分别为16万元和2万元. (1)分别求，关于的函数表达式； (2)当这家公司把仓储物流中心建在距离车站多少千米处时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 17．（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 18．已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 19．已知正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时即时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值： (2)若实数满足，求证：； (3)求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 学科网（北京）股份有限公司 $