《第1章 二次函数》单元基础练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 浙教版九年级上册《第1章 二次函数》单元基础练习，覆盖定义、性质、图像变换及实际应用，注重运算能力与模型意识培养，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、对称轴、平移|基础概念辨析，结合表格数据推理（如第6题函数性质判断）| |填空题|6/18|方程根与函数关系、拱桥/喷水池模型|突出几何直观，如第11题喷水池水柱落点计算| |解答题|8/72|顶点式转化、销售利润/矩形面积建模|综合考查运算与模型意识，如第22题电商销售利润最值求解|

《第1章 二次函数》单元基础练习 2026-2027学年浙教版新教材数学九年级上册 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列函数中，y是x的二次函数是（　　） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x+3）2+1 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+1）2+4 4．下列关于抛物线的说法，正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．向右平移3个单位得到 D．抛物线的顶点坐标为 5．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（　　） A．它的开口向上，且关于轴对称 B．它与的图象关于x轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与轴只有一个交点 6．已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … … … … 以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于的方程的根为和；④当时，的取值范围是或．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（　　） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 8．已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．已知二次函数y=ax2-2ax+a-4的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），则关于x的一元二次方程ax2-2ax+a-4=0的两个实数根是（　　） A．x1=-1，x2=3 B．x1=1，x2=3 C．x1=-5，x2=3 D．x1=-7，x2=3 10．二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（　　） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为　 　． 12．已知抛物线与轴的交点坐标分别是，则关于的一元二次方程的根是　 　． 13．关于x的函数图象经过原点，则m的值为　 　． 14．已知二次函数，则当时，的最大值与最小值的差为　 　． 15．已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为　 　． 16．某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则　 　，主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为　 　米． 三、解答题（共8题，共72分） 17．已知点A(a，7)在抛物线y=x2+4x+10上． （1）求点A的坐标； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 18．已知：二次函数 （1）把这个二次函数表示成的形式； （2）求出抛物线的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如的抛物线经过怎样的变换得到的； （3）试求出抛物线与x轴的交点坐标；并直接写出：当x为何值时，代数式的值是负数． 19．已知二次函数． （1）求该二次函数的图象与轴交点的坐标； （2）求该函数图象的对称轴，并写出在什么范围内，随的增大而增大． 20．已知矩形周长为，设这个矩形的一边长为，面积为 （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当时，求的值． 21．丁丁推铅球的出手高度为，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动轨迹是抛物线，求铅球的落点与丁丁的距离． 22．电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少20件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）． （1）求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当销售单价为多少时，每天销售利润最大？每天最大利润是多少？ 23．如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面． （1）请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （2）若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？ 24． 2025年全运会期间，吉祥物“喜洋洋”、“乐融融”深受人们喜爱，商家推出“喜洋洋”、“乐融融”纪念品．已知购进“喜洋洋”200个，“乐融融”300个，需花费14000元；购进“喜洋洋”100个，“乐融融”200个，需花费8000元． （1）求每个“喜洋洋”、“乐融融”纪念品的进价分别为多少元？ （2）在销售中，该商家发现每个“喜洋洋”纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个“喜洋洋”纪念品售价元，该商家销售“喜洋洋”纪念品的利润为W元，求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A、不是二次函数，故不符合题意； B、当时，不是二次函数，故不符合题意； C、，是二次函数，故符合题意； D、不是二次函数，故不符合题意； 故答案为：C． 【分析】 根据二次函数的定义（形如y=ax2+bx+c，a≠0），逐一分析各选项是否符合. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵抛物线方程为， ∴对称轴为直线． 故答案为：A 【分析】根据二次函数的性质结合顶点式（）的顶点坐标是，对称轴是直线，进而即可求解。 3．【答案】D 【解析】【解答】解：根据“左加右减”，“上加下减”原则可知将y＝x2+1 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位得y＝（x+1）2+4． 故答案为：D． 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 4．【答案】B 【解析】【解答】解：A、∵抛物线，，即开口向下，故A不正确，不符合题意； B、，对称轴是直线，故B正确，符合题意； C、向右平移3个单位得到，故C不正确，不符合题意； D、抛物线的顶点坐标为，故D不正确，不符合题意． 故答案为：B． 【分析】 根据二次函数的性质，逐一对选项进行分析即可解答． 5．【答案】C 【解析】【解答】解：、由，，则它的开口向上，且关于轴对称，原选项说法正确，不符合题意； 、它与的图象关于x轴对称，原选项说法正确，不符合题意； 、由，，则它的开口向上，它的顶点是抛物线的最低点，原选项说法错误，符合题意； 、它与轴只有一个交点，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线，故②正确； 设抛物线解析式为，将代入解得， ∵， 故抛物线的开口向下，故①错误； 由抛物线关于直线对称知， 当时，或， 故方程的根为和，故③正确； 当时，的取值范围是或，故④正确 ． 故选：C． 【分析】利用表格数据确定抛物线的对称轴、开口方向及x轴的交点坐标，进而判断相关结论即可. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是， ∴当时，水流喷出的最大高度是2.75m， 故答案为：B. 【分析】将函数解析式化为顶点式，然后由二次函数最值知识进行求解. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：二次函数开口向上，即；而二次函数与y轴交于负半轴，即；二次函数对称轴在y轴右侧，即，因此， 综上得出，，c＜0， ∴点在第三象限． 故答案为：C。 【分析】本题结合二次函数的性质，可以首先得出、，然后结合二次函数的对称轴，分析得出b＜0，此时综合得出，c＜0，最后根据象限坐标的特点即可得出答案。 9．【答案】A 【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为： 根据抛物线的对称性得：抛物线与x轴的另一个交点是(-1，0)， ∴关于x的一元二次方程ax2-2ax+a-4=0的两个实数根是：x1=-1，x2=3， 故选：A. 【分析】先求出抛物线的对称轴，在求出抛物线与x轴的另一个交点，最后根据抛物线与一元二次方程的关系求解. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：由表格可得： 当时，； 当时，， 又∵一元二次方程的根为，，且， ∴，， 故选：A． 【分析】本题考查图象法求一元二次方程的近似根.观察表格的函数值可得：当时，；当时，，再结合，据此可求出方程的根x的值的取值范围． 11．【答案】22 【解析】【解答】解：当时， 解得：或（舍去）， ∴， 由对称性可知，， ∴， 故答案为：22． 【分析】令，求出得到，由对称性可知，，再根据两点之间的距离公式，可得出答案． 12．【答案】 【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为（﹣3，0），（2，0）， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣3，x2＝2， 故答案为：x1＝﹣3，x2＝2． 【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，两交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0的解． 13．【答案】或 【解析】【解答】解：∵关于x的函数图象经过原点， ∴， ∴， 解得或， 当时，原函数为，符合题意， 当时，原函数为，符合题意， 综上所述，m的值为或， 故答案为：或． 【分析】根据函数图象上点的坐标特点，将点(0，0)代入y=(m-3)x2+5x+m2-m-6可得关于字母m的一元二次方程，然后利用因式分解法解该方程即可求出m的值. 14．【答案】 【解析】【解答】解：∵二次函数， ∵， ∴开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时， ∴当时，y取得最小值，即， ∵当时，即， 当时，即， ∴当时，y取得最大值4， ∴， ∴的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 【分析】 根据得到抛物的开口向上，由对称轴直线方程得到对称轴为，然后判定出当时，y取得最小值；当时，y取得最大值，由此即可解答． 15．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：把代入， 得：， ∴ 【分析】将点代入抛物线可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案. 16．【答案】； 【解析】【解答】解：主桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为米，则， ∴， 解得，， ∴， ∴倒影点的坐标为， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为， 故答案为：；． 【分析】根据桥拱在水面的跨度约为米，则，且主桥拱所在抛物线可以表示为，再根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得，再根据关于x轴对称的点的坐标特征可得，再根据两点间距离即可求出答案. 17．【答案】解：（1）∵点A（a，7）在抛物线y=x2+4x+10上， ∴a2+4a+10=7， 解得，a=-1或-3， ∴点A的坐标为（-1，7）或（-3，7）； （2）∵y=x2+4x+10=（x+2）2+6， ∴抛物线的对称轴是直线x=-2，顶点坐标为（-2，6）． 【解析】【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特点，把点 A(a，7) 代入解析式，可得出关于字母a的二元一次方程，求解得出a的值，从而可得点A的坐标； （2）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答. 18．【答案】（1）解：， ， ； （2）解：结合（1）所化顶点式可知，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 抛物线是由形如抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位得到的． （3）与x轴的交点坐标为与；当时，的值是负数． 【解析】【解答】解：当时，即， 整理得， 解得或， 抛物线与x轴的交点坐标为与， ，二次函数开口向上， 当时，代数式的值是负数． 【分析】（1）根据配方法，首先提取二次项系数，使二次项系数化为1，然后再进行和配方，即可得出y=即可； （2）根据顶点式，可直接得出 抛物线的顶点坐标为（1，-2）和对称轴为x=1；并根据平移规律可得出平移方式即可； （3）令即可求出抛物线与x轴的交点坐标，再结合二次函数性质，即可得出x的取值． （1）解：， ， ； （2）解：结合（1）所化顶点式可知，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 抛物线是由形如抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位得到的． （3）解：当时，即， 整理得， 解得或， 抛物线与x轴的交点坐标为与， ，二次函数开口向上， 当时，代数式的值是负数． 19．【答案】（1）解：令， 解得：， ∴二次函数的图象与轴交点的坐标为； ​​​​​​​ （2）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 【解析】【分析】（1）令，进行求解即可； （2）利用对称轴公式求出对称轴，利用增减性进行判断即可． （1）解：令， 解得：， ∴二次函数的图象与轴交点的坐标为； （2）∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 20．【答案】（1）解：∵矩形周长为，一边长为，则另一边长为， ∴， ∵， ∴； （2）解：当时，解得； 故的值为或． 【解析】【分析】（1）根据矩形面积建立函数关系式即可. （2）将s=8代入解析式，解方程即可求出答案. （1）解：∵矩形周长为，一边长为，则另一边长为， ∴， ∵， ∴； （2）当时，解得； 故的值为或． 21．【答案】解：由题意知，点在抛物线上， 所以， 解这个方程，得或舍去， 所以该抛物线的解析式为， 当时，有， 解得，舍去， 所以铅球的落点与丁丁的距离为 【解析】【分析】通过已知的抛物线过出手点的坐标代入抛物线的解析式，求出k的值，再令抛物线的纵坐标为 0，求出横坐标，横坐标的值即为铅球落点与丁丁的距离（横坐标为正）. 22．【答案】（1）解：由题意得：，整理得：． ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， ； （2）解：设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得：． ， ∴当时，利润最大，， 答：销售单价为30元时，每天销售最大利润为8000元． 【解析】【分析】（1）根据 当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少20件， 可得出，整理即可得出．再根据销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，可得出；（2）设销售该商品每天的总利润为w元，根据总利润=（售价-进价）×销量，可得出，根据二次函数的最值即可求解。 （1）解：由题意得：， 整理得：． ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， ； （2）解：设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得： ． ， ∴当时，利润最大，， 答：销售单价为30元时，每天销售最大利润为8000元． 23．【答案】（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一）， 设抛物线解析式为：， 把代入，得， 解得：， ． （2）解：能通过，理由如下： 当时，， 能通过． 【解析】【分析】（1）以抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，然后用待定系数法（利用顶点式）求出抛物线解析式即可； （2）把代入（1）所求抛物线解析式，算出对应的函数值，然后作出判断即可． （1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一）， 设抛物线解析式为：， 把代入，得， 解得：， ． （2）解：当时，， 能通过． 24．【答案】（1）解：设“喜洋洋”、“乐融融”纪念品每个进价分别为x元、y元 由题意得： 解得： 答：“喜洋洋”、“乐融融”纪念品每个进价分别为40元、20元. （2）解：由题意得： w=(a-40)[200-5(a-60)] =(a-40)(500-5a) ∵-5<0，60≤a≤100 ∴当a-70=0， 即a=70时， w最大， 最大值为4500. 【解析】【分析】（1）设“喜洋洋”、“乐融融”纪念品每个进价分别为x元、y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案. （2）根据总利润=单件利润×数量建立函数关系式，结合二次函数的性质即可求出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $