第5章一次函数全章11大综合题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建一次函数压轴题突破体系，通过11大题型的“题型特征-解题方法-典例变式”链条，系统培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|聚焦k/b几何意义、待定系数法、图象信息提取（起点/交点/斜率）、分类讨论|从一次函数核心概念到综合应用，形成“性质-图象-应用”递进逻辑| |题型归纳|11大题型，每题型含1典例+3变式|针对图象信息、动点、临界点等题型，提炼分段分析、几何量坐标化、模型建立等通法|题型覆盖从基础性质到实际应用（行程/营销/方案）再到几何综合，层层深入| |压轴挑战|15道综合题|融合跨知识模块（如光的反射、新定义“芙蓉点”），强化复杂问题转化能力|衔接中考命题趋势，突出知识迁移与创新意识培养|

第5章 一次函数压轴综合题型（11大题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、从函数的图象获取信息 题型2、动点问题的函数图象 题型3、一次函数的性质的应用 题型4、一次函数图象和性质的综合应用 题型5、一次函数的规律探究问题 题型6、一次函数的临界点问题 题型7、一次函数行程问题 题型8、一次函数营销问题 题型9、一次函数方案问题 题型10、一次函数其他应用问题 题型11、一次函数与几何的综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一次函数压轴题涵盖图象信息、动点图象、性质应用、综合应用、规律探究、临界点、行程、营销、方案、其他应用及与几何综合。解题核心在于理解k、b的几何意义，会用待定系数法求解析式，能从图象中提取关键信息（起点、终点、交点、转折点、斜率）；实际问题要建立函数模型，注意自变量取值范围；规律探究要找出递推或周期；临界点要结合边界位置分类讨论；与几何综合时，要把线段长、面积、角度等几何量用坐标和函数解析式表示。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、从函数的图象获取信息 题型模版 题型特征：根据实际问题或几何背景的函数图象，读取关键信息并回答。 解题方法：明确横、纵轴含义；抓住起点、终点、交点、转折点；利用斜率判断变化快慢；分段列式求解。 典例1（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，则下列结论：①乙车前6秒行驶的路程为48米；②在0到6秒内甲车的速度每秒增加米；③当两车速度相等时，乙车行驶的路程为19.2米；④在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，其中正确的个数有（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式1-1（25-26八年级上·浙江宁波·期末），两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则下列结论： ①乙比甲提前出发； ②甲行驶的速度为； ③当时，甲、乙两人相距； ④在内，当甲、乙两人相距时，乙行驶了或． 其中正确的个数为（   ）. A．个 B．个 C．个 D．个 变式1-2一天放学后，小明和小亮同时从学校以各自速度匀速步行回家，小明的家在学校的正西方向，小亮的家在学校的正东方向，小明准备一回家就开始做作业，打开书包时发现错拿了小亮的练习册，于是立即跑步去追小亮，终于在途中追上了小亮并交还了练习册，然后再以先前的速度步行回家（小明在家中耽搁和交还作业的时间忽略不计），结果小明比小亮晚回到家中．如图是两人之间的距离y米与他们从学校出发的时间x分钟的函数关系图．则小明的家和学校相距 _____米． 变式1-3（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，点G是的中点，点H在上，动点P沿图1的边线匀速运动，运动路径为：，相应的的面积y（）关于运动时间x（s）的函数图象如图2，则下列选项中正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则函数过点 题型2、动点问题的函数图象 题型模版 题型特征：动点在图形上运动，给出路程、线段长或面积等随时间变化的函数图象。 解题方法：分段分析动点所在位置；用几何关系把目标量表示为时间的函数；结合图象关键点建立方程。 典例2（25-26九年级上·山东淄博·期末）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项不正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为250 D．点在该函数图象上 变式2-1（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图1，点是边上一定点，点是一动点，点从点出发，依次沿路线匀速运动，运动到点停止．设点运动路程为，线段的长为，且关于的函数图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点，则点的纵坐标的值为（     ） A． B． C． D． 变式2-2（25-26七年级下·四川成都·期末）如图1，在中，，，过点作于点，点为中点，连接．点沿从点运动到点，连接，，设，．图2表示出了和之间的关系，则图2中图象最低点对应的的值是________． 变式2-3（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图（1），点从的顶点出发，沿匀速运动到点．图（2）是点运动时线段的长度随时间变化的关系图像，其中为曲线部分的最低点，且曲线部分成轴对称图形． (1)图（2）中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是___________，因变量是___________； (2)请求出边的长； (3)①当点在边上运动时，线段的最短长度为___________，此时线段与边的位置关系是___________； ②点在运动过程中，当的面积为时，请求出点的运动时间． 题型3、一次函数的性质的应用 题型模版 题型特征：利用一次函数的增减性、象限分布、与坐标轴交点等性质解题。 解题方法：根据k的符号判断增减性；根据k、b符号判断图象经过的象限；求与坐标轴交点可令x=0或y=0。 典例3已知点在直线：上，点在直线：上．下列结论正确的是（    ） A．若时，，则 B．若时，，则 C．若时，，则 D．若时，，则 变式3-1（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式3-2（25-26八年级上·浙江杭州·期末）我们规定：a、b两个数中最小的数记作，例如，则函数的最大值是_________． 变式3-3（25-26八年级上·浙江湖州·期末）定义：已知是自变量的一次函数，函数与的图象关于轴对称，当（，为常数，）时，函数的最大值与最小值之差恰好为，则我们称函数是在上的“优雅差函数”已知一次函数，若是在上的“优雅差函数”，则的值为_____． 题型4、一次函数图象和性质的综合应用 题型模版 题型特征：综合考查一次函数图象、性质、解析式及与方程、不等式的联系。 解题方法：求解析式用待定系数法；图象交点即方程组的解；图象上方/下方对应不等式解集。 典例4（25-26七年级下·山东烟台·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，直线经过原点，且直线，并与直线交于点，点为轴上任意一点，连接，．则下列结论：①方程组的解为；②；③为直角三角形；④当的值最小时，点的坐标为．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式4-1（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）在直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)若，求a的值； (2)函数的图象恒过定点，请直接写出该定点坐标； (3)若，设函数，当，时，求x的取值范围． 变式4-2（25-26七年级下·山东泰安·期末）【活动回顾】七年级下册教材中，我们曾探究过函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________； (2)如图，观察图象，两条直线的交点坐标为________，方程的解是________；不等式的解是________． 【拓展延伸】 (3)如图，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点C． ①求点，的坐标； ②若点是直线上点右侧一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若，请求出的取值范围． 变式4-3（24-25八年级上·浙江杭州·期末）【了解概念】已知函数是自变量的函数，当，称函数为函数的“倍差函数”． 在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点关于函数的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． 【理解运用】例如：函数．当时，称函数是函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点关于的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． （1）求函数的“倍差函数”的表达式； （2）点在函数的图象上，点关于函数的“倍差点”为点，若点与点的纵坐标的和为，求点的坐标； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，的“倍差函数”，直线交轴于点，已知点，，．若直线与有交点，求的取值范围． 题型5、一次函数的规律探究问题 题型模版 题型特征：结合一次函数图象，通过计算点的坐标、线段长或面积寻找规律。 解题方法：求出初始若干项，观察变化规律；注意周期性、递推关系及特殊位置。 典例5（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，点，，在轴上，点，，在函数图象上，若分别以，，为边构建正方形，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式5-1（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：和直线：相交于原点．点是直线上一点，过点作轴的平行线交直线于点；过点作轴的平行线交直线于点．按照这个规律继续操作，依次得到，，．则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式5-2（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，，…，按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，，…，则的坐标是_______． 变式5-3（25-26八年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，则的长度为____________ 题型6、一次函数的临界点问题 题型模版 题型特征：动直线或动点运动过程中，研究直线与线段有交点、围成区域整点等临界状态。 解题方法：找到边界位置（经过端点、平行特殊直线等）；结合图象分析临界范围；注意分类讨论。 典例6（25-26八年级下·河北石家庄·期末）我们称横、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，从点处发出光线照射到线段上， （1）若光线经过线段上的点时，_______． （2）若光线将线段分成两部分，且这两部分上的整点个数相同，则k的取值范围是_______． 变式6-1（25-26八年级下·河北邯郸·期末）新定义：对于两个实数，，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时，_______； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是_______． 变式6-2在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线经过点A，且与轴交于点． (1)点A的坐标为_______，直线的解析式为_______； (2)直线与直线关于直线对称，若直线与直线围成的区域内（不包含边界）恰有1个整点，则的取值范围为_______．（注：横、纵坐标都是整数的点叫作整点） 变式6-3（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，正方形在平面直角坐标系中，其中，． (1)点的坐标为_______，求直线的函数解析式； (2)点在直线l上． ①当时，判断点是否在直线上； ②若点在的边上，求的值； ③将直线向上平移个单位长度（为整数）．若直线在第二象限内恰有个整点（横、纵坐标都为整数的点），直接写出的值． 题型7、一次函数行程问题 题型模版 题型特征：以运动、追及、相遇为背景，用一次函数图象或解析式描述路程、时间关系。 解题方法：明确横纵轴含义；抓住起点、交点、转折点；利用斜率比较速度；分段写出函数关系式。 典例7（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警官安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距450米的处（，在同一直线上）巡逻，安安警官比全全警官先出发，且速度保持不变，全全警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．已知安安警官、全全警官行走的路程（米），（米）与安安警官行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)求全全警官提速后的速度，并求，的值； (2)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (3)全全警官加速后经过________秒两人相距20m． 变式7-1（25-26八年级下·吉林延边·期末）珲春防川景区，地处珲春市敬信镇，是一眼望三国的特色综合景区，包含观景台、湖泊、动植物观赏区等多处打卡点．小辰和小宇来防川景区游玩，两人同时从珲春防川游客服务中心出发，沿相同路线徒步游览到终点龙虎阁，路程-时间关系如图．记录得到以下信息： ．小辰、小宇从游客中心出发行走的路程、（单位：）与游览时间（单位：）的对应关系如图: ．二人游览路线沿途依次有4个景点，从游客中心到各景点路程如下表： 景点 莲花湖栈道 土字碑广场 张鼓峰观景台 沙丘公园 路程（） 1 2 2.5 3 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这条游览路线上，珲春防川游客服务中心到龙虎阁的路程为 ； (2)小辰和小宇在游览过程中，除游客中心出发地和龙虎阁以外，在 相遇（填写景点名称），此时距出发经过了 ； (3)下面有三个推断： ①小宇从莲花湖栈道到龙虎阁游览的过程中，平均速度是 / ②小宇比小辰晚到达龙虎阁30 ③60时，小辰比小宇多走了 所有合理推断的序号是 ； (4)求小宇离开土字碑广场到龙虎阁时对应的函数解析式，写出自变量的取值范围； (5)当小辰和小宇相距800时，直接写出游览时间的值． 变式7-2（25-26八年级下·天津南开·期末）已知取餐地、小区A，小区B依次在同一条直线上．小区A离取餐地，小区B离取餐地．外卖员甲从取餐地出发，匀速骑行到达小区A；用完成送餐后，匀速骑行到达小区B；用完成送餐后，匀速骑行返回取餐地．给出的图象反映了这个过程中外卖员甲离取餐地的距离y（单位：）与他离开取餐地的时间x（单位：）之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题． (1)填表： 外卖员甲离开取餐地的时间（单位：） 1 10 15 45 外卖员甲离取餐地的距离（单位：） 3 9 (2)当时，请直接写出y关于x的函数解析式； (3)当外卖员甲离开取餐地前往小区A时，外卖员乙也从取餐地出发以的速度匀速骑行直接去小区B送餐，到达小区B后，外卖员乙用完成送餐后，以新的速度匀速骑行直接回到取餐地，结果外卖员乙比外卖员甲还提前到达取餐地，并在取餐地等待新任务，直至外卖员甲返回取餐地．在整个过程中（即），对于同一个x的值，外卖员甲离取餐地的距离为，外卖员乙离取餐地的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 变式7-3（25-26八年级下·广东中山·期末）综合与应用 某生态保护区内，A点为保护区入口，B点为区内一处观测站，A，B两点直线距离为50公里．甲是一名护林员，于某日下午1点驾驶低速电动巡逻车从A点出发前往B点，沿区内主路行驶，该主路为A点和B点间一条直线道路．乙是另一名护林员，同日下午2点驾驶高性能越野摩托车从A点出发，沿相同路线前往B点．如图，图中的折线和线段分别表示甲、乙离A点的距离s（单位：千米）与该日下午时间t（单位：时）之间的关系．请根据图象回答下列问题： (1)求图中线段所在直线的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)求甲出发几小时后两人在途中相遇； (3)两人均佩戴应急通讯设备，最大通讯距离为10千米．乙到达B点后停留半小时（处理观测站事务），然后立即按原路以原速度返回A点．求乙从A点出发到最终回到A点的整个过程中，两人能够保持通讯的总时长． 题型8、一次函数营销问题 题型模版 题型特征：以商品销售为背景，建立利润、销量、单价之间的一次函数关系。 解题方法：明确利润=收入-成本=单件利润×销量；建立函数关系式；根据增减性和范围求最值。 典例8（25-26八年级下·湖北武汉·期末）某快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买A，B两种型号的机器人来代替人工分拣．收集信息如下： 信息1：A型机器人购买数量不超过20台时，每台价格为5万元，购买数量超过20台时，超过的部分每台价格在原价的基础上打9折；B型机器人每台价格固定为3.5万元． 信息2：A型机器人每台每小时可分拣快递1000件，B型机器人每台每小时可分拣快递800件． 信息3：该快递公司每小时待分拣的快递总数不少于86000件，计划购买A，B两种型号的机器人共100台． 问题解决：设购买A型机器人台，购买这100台机器人所花的总费用为万元． (1)当时，购买A型机器人的费用为__________万元，购买B型机器人的费用为__________万元，购买这100台机器人所花的总费用__________万元； (2)①请直接写出自变量的取值范围，并求与之间的函数解析式； ②帮该快递公司设计一种购买方案，使购买总费用最低，并说明理由； (3)由于B型机器人生产成本增加，导致B型机器人每台价格增加了万元，若购买总费用最低为432万元，请直接写出值． 变式8-1综合与实践 数学兴趣小组到面包房了解面包定型工艺，他们发现定型面包的张师傅头一天将面团发酵，第二天分两步完成定型：第一步是定型；第二步是烘烤．现有甲、乙、丙三种面包需要定型，其定型要求如下： （i）定型时每次只能定型一个面包； （ⅱ）烘烤时可以多个面包同时进行； （ⅲ）定型时可以同时烘烤其他面包； （ⅳ）每个面包定型和烘烤所需时间如下表所示： 类型 甲 乙 丙 定型时间/分钟 2 7 6 烘烤时间/分钟 2 10 3 任务1：已知甲、乙、丙三种面包各定型1个． (1)若按照“甲—乙—丙”的顺序定型，那么至少需要______分钟； (2)若使定型甲、乙、丙三种面包的总时间最短，则应按照______的顺序定型． 任务2： (3)若甲、乙、丙三种面包每个的利润分别为6元、10元、8元．某日，张师傅需要定型这三种面包共40个，且甲面包的定型数量是乙面包的2倍，三种面包的定型数量均为正整数．请帮张师傅安排三种面包的定型数量，使当天的总利润最大，并求出最大总利润． 变式8-2（25-26八年级下·河南洛阳·期末）洛阳依托文旅特色打造夜间文旅消费市场，鼓励商户拓展线下外摆经营．商户小王借此售卖牡丹手工皂与牡丹瓷书签两款特色文创产品，两款文创的进价、售价如下表： 类型 牡丹手工皂 牡丹瓷书签 进价/（元/件） 售价/（元/件） 小王计划购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件进行销售，设小王购进牡丹手工皂件，两种商品全部销售完后获得的总利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍，当购进两种商品各多少件时，可使得两种商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润． 变式8-3（25-26八年级下·湖北孝感·期末）某商店销售台型和台型电脑的利润为元，销售台A型和台型电脑的利润为元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润； (2)该商店计划再次购进两种型号的电脑共台（两种型号都要有），其中型电脑的进货量不超过型电脑的倍，设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数解析式； ②该商店本次购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ ③实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调了元，且要求商店销售型电脑的总利润不低于元，若商店保持两种电脑的售价不变，合理安排进货方案，这台电脑销售总利润最大可为元，求的值． 题型9、一次函数方案问题 题型模版 题型特征：给出两种或多种收费、租赁、运输方案，选择最优方案。 解题方法：分别写出各方案费用关于自变量的函数；求交点划分区间；结合实际意义比较各区间最优方案。 典例9（25-26八年级下·广东广州·期末）综合与实践：荔枝是广东特产水果之一，以其甜美的口感和独特的风味而闻名．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：广州市内某批发市场计划运输40吨荔枝到距离本地500千米的甲地出售，为保证荔枝新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，已知A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为80千米/小时． 材料二：计划两种车型都租用，并要求把所有荔枝全部运完，B型车辆最多不超过5辆，且A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨． 材料三：冷柜车运输的相关收费如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 2元/千米·辆 A型冷柜车 B型冷柜车 84元/（小时·辆） 96元/（小时·辆） 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目； 总费用路费冷柜使用费 (1)求该市场需要租用 辆冷柜车进行运输； (2)设租用A型冷柜车x辆，总费用为y元，请写出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (3)请帮助该市场设计总费用最低的租车方案，并求出最低费用． 变式9-1（25-26八年级下·湖北武汉·期末）随着全球电商市场的不断扩大和互联网购物的普及，快递行业将继续保持增长态势．某快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表： 型号 甲 乙 每台每小时分拣快递件数（件） 1000 800 每台价格（万元） 5 3 该公司计划购买这两种型号的机器人共10台，总费用不超过42万元，并且使这10台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8600件． (1)【建立模型】设购买甲种型号的机器人x台，购买这10台机器人所花的费用为y万元，求y关于x的解析式，并求出x的取值范围； (2)【解决问题】请设计购买方案，使总费用最少，并求出最少费用； (3)【拓展应用】实际付款时，每台甲型机器人降价m万元（），乙型机器人售价不变，最终该快递公司以33万元的最低价格完成采购，求m的值． 变式9-2（25-26八年级下·广东广州·期末）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校计划用客车送八年级师生去参加课外实践活动． 素材1 八年级有293名学生和7名教师需要乘车，每辆车至少安排1名教师跟车管理． 素材2 现有A，B两种类型的客车可供选择，它们的载客量和租金如下： 客车类型 载客量／人 租金／元 A 45 400 B 30 280 问题解决： (1)任务1：根据以上素材，共需租_____辆客车． (2)任务2：设租用A种类型的客车辆，当租用A，B两种类型的客车的总费用为元时，求关于的函数解析式． (3)任务3：根据学校预算，租车总费用不超过2860元，请给出总费用最少的租车方案，并求出最少总费用是多少． 变式9-3（2025·浙江金华·三模）某工厂员工生产一款零件，员工的日工资结算方案如下： 方案一：基本工资每天20元，每生产一个零件加计2元． 方案二：当生产数量不超过100个时，发基本工资每天100元，每超过一个加计4元．如图所示是日工资(元)关于生产数量(个)的函数图象， (1)求时，方案二的日工资(元)关于生产数量(个)的函数表达式； (2)甲员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，求甲员工生产的零件个数的范围； (3)乙员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资少20元，则乙员工生产了多少个零件？ 题型10、一次函数其他应用问题 题型模版 题型特征：以工程、温度、高度、容积等为背景，用一次函数描述变化过程。 解题方法：提取关键数据，确定两个变量的线性关系；用待定系数法求解析式；注意自变量范围。 典例10（25-26八年级下·广西玉林·期末）综合与实践 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量（%）与时间（分钟）的关系数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 0 10 15 40 增加的电量（%） 0 20 30 80 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米）                     0 160 200 280 显示电量（%） 100 60 50 30 【建立模型】 (1)观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． 【解决问题】 (2)某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 变式10-1（25-26八年级下·四川巴中·期末）【问题背景】 某城市规划团队研究新建购物中心吸引力问题时，发现可以用数学模型来量化，其中F表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万）；d表示购物中心到居民区的距离（单位：km）；k为常数且． 【模型应用】 (1)已知当万，时，次，则_________； (2)甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万和4.5万，它们到同一居民区的距离之比为，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离； 【模型修正】 实际调研发现，当距离时，居民的购物意愿下降速度明显加快．因此，团队对模型进行优化，提出分段模型（k与基础模型一致）： 【模型分析】 (3)有人提出：“分段模型下，距离从增至的购物中心吸引力的降低率大于从增至的购物中心吸引力的降低率．”请通过计算判断该说法是否正确； (4)现规划在某居民区附近新建一个占地面积约35万的购物中心，且到居民区距离d限定在，建成后居民每季度平均购物次数的期望值不少于70次．求整数d的值． 变式10-2（25-26八年级上·广东深圳·期中）【综合实践】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量（）与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 0 10 30 60 增加的电量（%） 0 10 30 60 实验Ⅱ：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示剩余电量e（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 0 160 200 280 显示剩余电量（%） 100 60 50 30 【建立模型】（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）：关于的函数表达式为________；关于的函数表达式为________； 【解决问题】（2）某电动汽车在充满电量的状态下，从A地出发前往距出发点千米的B地，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，其已行驶里程数（）和显示剩余电量（）函数关系如图所示； ①该车进入服务区充电前显示剩余电量的值为________； ②该车中途充电用了________分钟； ③当汽车显示剩余电量的值为时，该车距出发点地多少千米？ 变式10-3（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示___________槽中水的深度与注水时间的关系，线段表示___________槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点的纵坐标表示的实际意义是___________； (2)求所在直线的解析式，并直接写出所在直线的解析式； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相差2厘米？ (4)若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，直接写出甲槽底面积和乙槽底的面积（壁厚不计，圆柱的体积=底面积×高）． 题型11、一次函数与几何的综合问题 题型模版 题型特征：以一次函数图象为载体，结合三角形、四边形、全等、等腰、直角等几何知识。 解题方法：求出相关直线解析式和关键点坐标；把几何条件转化为坐标关系；存在性问题注意分类讨论。 典例11（25-26八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点为直线上一点，直线过点． (1)求和的值； (2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒个单位长度的速度向轴负方向运动（点不与点、重合）．设点的运动时间为秒． ①若点在线段上，且的面积为，求的值； ②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 变式11-1（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，直线：分别与轴，轴交于，两点，直线：分别与轴，轴交于，两点，直线与交于点． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)在直线上确定一点，使，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式11-2（25-26八年级下·广东汕头·期末）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． 【解决问题】 (1)求直线的解析式． (2)如图①，点关于轴的对称点为，点在直线上，且，求直线的解析式． (3)如图②，点为直线上一点，以为斜边作等腰，点在第一象限，为线段上一动点，连结，以为直角边，点为直角顶点，作等腰，轴，为垂足，以下结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值． 变式11-3（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，线段的垂直平分线分别交、x轴于点E、C，轴于点D． (1)求点A、B的坐标和线段的长； (2)证明； (3)把直线绕着点B旋转后，与直线交于点P，求点P的坐标． 变式11-4如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标． (2)点Q是线段CA上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线AB于M点，交CP于点N，设点Q的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）． ②当点Q，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出m的值． (3)过点P作轴于点H，点E在射线上且不与点P重合，点F在射线上，，连接是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 变式11-5在数学课“合作学习”环节，沈老师要求同学们通过观察如图1所示的坐标系中一次函数的图象，从而来发现某些规律．    同学们通过讨论，积极发言，主要把进行分类，得出一次函数的部分性质： 对于一次函数（，为常数，且）， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小． 【跟进练习】对于函数，当时，则的取值范围是________． 爱思考的小敏同学提出了看法，我还发现：与这两条直线是互相垂直的． 这是一种巧合还是存在着某种联系？ 沈老师说：这两者确实存在着某种联系，同学们不妨再举几个类似的例子，看看能否提出你们的猜想．通过讨论，同学们最终形成共识，得到下列结论： “若两条直线函数表达式为与（，均不为0），当时，两条直线互相垂直；反之亦成立”这个结论． 【结论理解】若直线与直线互相垂直，则________． 【灵活运用】如图2，的斜边在轴上，且，，延长交轴于点，求点的坐标．   【延伸拓展】在平面直角坐标系中，已知直线经过点，与轴的交点为，点在坐标轴上，若以为顶点的三角形是直角三角形．请直接写出点的坐标． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1.（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形由块边长为的小正方形拼成，图中阴影矩形记为区域（包含边界）对于正方形边上的一点，若点在正方形内部且线段与区域有公共点，则称点是点的“盲点”．点的所有“盲点”组成的区域称为点的“盲区”，其面积记为．若点在线段上，且，则点的“盲区”的面积________（用含的代数式表示）． 2.（24-25八年级上·浙江湖州·期末）当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速． （1）如图1，一束激光从点出发，射向轴上的点，经过反射后射向点，已知光线的反射满足反射定律（即反射角入射角）．若点，点，则直线与轴的交点的坐标为_____ （2）如图2，线段是一根激光感应器，其函数表达式为，从点射出的激光射向位于轴上的镜面，经过反射后恰好覆盖线段上的4个整数点（横纵坐标都为整数的点），则的最小值为__________． 3.（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒有成立，则k的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 4.（24-25八年级下·四川成都·期末）小亮在学习了《光的反射定律》后，知道入射光线经过反射后形成反射光线．如图1，是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角．同时，他还发现可以用一次函数的图象来刻画光线的反射．如图2，一次函数与构成的图象，可看作从轴上点发出的一束光经轴上的点反射后得到的图象．小亮把这样的能刻画光线反射的函数图象称为一组“反射函数线”．如图3，从轴上点发出一束光线，经过轴上一点反射后形成的“反射函数线”．若反射光线过点，则点的坐标为_________；若，，均为“反射函数线”上的点，且，则的取值范围是_________． 5.如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中．若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为_________． 6.（25-26八年级下·河南焦作·期末）在测浮力的实验中，将一长方体金属块由烧杯的上方缓慢浸入水中，弹簧测力计的示数与金属块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（     ）（温馨提示：当金属块位于水面上方时，；当金属块入水后，） A．当金属块下降时已浸入水中 B．金属块完全浸入水中后所受到的浮力为 C．当时，拉力与之间的函数表达式为 D．弹簧测力计的示数是时，金属块距离烧杯底部为 7.（25-26八年级下·湖南长沙·期末）定义：当，，，满足，且时，称点与点为一对“芙蓉点”．若某函数图象上至少存在一对“芙蓉点”，就称该函数为“芙蓉函数”．请你根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ①点与点___________是一对“芙蓉点”； ②判断：点的“芙蓉点”___________（选填“在”或“不在”）函数的图象上． (2)当点A在直线上运动时，求点A的“芙蓉点”B的横、纵坐标满足的数量关系． (3)若一次函数与（，都是常数，且）均是“芙蓉函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和． 8.（25-26八年级下·福建莆田·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线和直线，直线与x轴，y轴分别交于点A，B． (1)求出的面积； (2)若，x轴上有一点，且，过点M作直线垂直于x轴，分别交直线和直线于点C，D，当时，求m的值； (3)若直线与直线和y轴所围成的区域（不含边界）恰好有3个整点（横纵坐标均为整数），请直接写出b的取值范围． 9.（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，一次函数与一次函数 组成新函数y (1)如图（1），当，一次函数与x轴交于A、C，与y轴交于点B， ①求证：； ②点P在线段上，纵坐标为，若点P到直线的距离为，则点P坐标 ． (2)如图（2），当，一次函数，且，过B作轴，，过E作y轴平行线交直线于F，以、为邻边构造矩形，若一次函数y与矩形只有2个交点时，求a的取值范围？ (3)若时，点，都在一次函数上，当，时，都有，求k的取值范围？ 10.（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 12.（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，对任意三点，，给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差称为“横距”，纵坐标的最大值与最小值的差称为“纵距”，若三点的“横距”与“纵距”相等，我们称这三点为“等距点”． 【提出问题】如果点，点，动点是“等距点”，请探索动点在x轴上方平面的轨迹． 【解决问题】（1）列表、描点、连线：先将下表补充完整，然后在图中描出动点在x轴上方平面的轨迹． … … ________ ________ ________ ________ （2）根据动点在x轴上方平面的轨迹，求出该轨迹的函数解析式． 【拓展应用】在x轴上方平面中，若函数的图像上存在点，使得，，是“等距点”，求出的取值范围． … … 4 13.（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： 甲地 乙地 厂 x ② 厂 ① ③ ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． 14.（24-25七年级上·山东济宁·期末）综合与实践 【模型呈现】如图1，在中，，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：． 【模型应用】如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D． ①求A，B两点的坐标； ②求点C的坐标与直线的函数关系式； 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点C是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 15.（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图（1），直线：分别与轴、轴交于，两点，点沿轴向右平移3个单位得到点，连接，作直线． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)若点在线段上，且使的面积为，请求出点的坐标； (3)如图（2），为轴上点右侧的一动点，以点为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接并延长交轴于点，当点运动时，点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一次函数压轴综合题型（11大题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、从函数的图象获取信息 题型2、动点问题的函数图象 题型3、一次函数的性质的应用 题型4、一次函数图象和性质的综合应用 题型5、一次函数的规律探究问题 题型6、一次函数的临界点问题 题型7、一次函数行程问题 题型8、一次函数营销问题 题型9、一次函数方案问题 题型10、一次函数其他应用问题 题型11、一次函数与几何的综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一次函数压轴题涵盖图象信息、动点图象、性质应用、综合应用、规律探究、临界点、行程、营销、方案、其他应用及与几何综合。解题核心在于理解k、b的几何意义，会用待定系数法求解析式，能从图象中提取关键信息（起点、终点、交点、转折点、斜率）；实际问题要建立函数模型，注意自变量取值范围；规律探究要找出递推或周期；临界点要结合边界位置分类讨论；与几何综合时，要把线段长、面积、角度等几何量用坐标和函数解析式表示。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、从函数的图象获取信息 题型模版 题型特征：根据实际问题或几何背景的函数图象，读取关键信息并回答。 解题方法：明确横、纵轴含义；抓住起点、终点、交点、转折点；利用斜率判断变化快慢；分段列式求解。 典例1（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，则下列结论：①乙车前6秒行驶的路程为48米；②在0到6秒内甲车的速度每秒增加米；③当两车速度相等时，乙车行驶的路程为19.2米；④在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，其中正确的个数有（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查从函数图象获取信息， ①根据路程=速度×时间计算即可；②根据速度的增加量÷所用时间列式计算即可；③求出两车速度相等时所用时间，再由路程=速度×时间求出乙车行驶的路程即可；④根据两车速度相等时所用时间和图象判断即可． 【详解】解：∵乙车前6秒行驶的路程为米，∴①正确； ∵在0到6秒内甲车的速度每秒增加米，∴②正确； ∵当两车速度相等时所用时间为秒，此时乙车行驶的路程为米，∴③正确； 由③知，第秒时两车速度相等，根据图象，在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，∴④正确； 综上可知，正确的有4个， 故选：A． 变式1-1（25-26八年级上·浙江宁波·期末），两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则下列结论： ①乙比甲提前出发； ②甲行驶的速度为； ③当时，甲、乙两人相距； ④在内，当甲、乙两人相距时，乙行驶了或． 其中正确的个数为（   ）. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．从一次函数的图象中获取信息，并解得一次函数的解析式，继而根据时间、距离的关系得到相应问题的答案，是解题的关键． 根据图象获得信息后，利用待定系数法求解一次函数解析式，根据路程=速度×时间的等量关系来判断即可． 【详解】解：根据甲行驶的函数图象可知， 直线与轴的交点为，即时间过了甲的路程为，即乙比甲提前出发， 故①正确，符合题意； 根据函数图象知甲个小时行驶了， 则甲的速度为， 故②正确，符合题意； 设甲的解析式为，代入、， 得， 解得， 则， 设乙的解析式为，代入， 得， 解得， 则， 当时，，， ∴， ∴时，甲、乙两人相距， 故③错误，不符合题意； 当甲运动前，乙比甲多行驶时， 根据题意得， 解得， 当甲运动后，乙比甲多行驶时， 根据题意得， 解得， 当甲运动后，甲比乙多行驶时， 根据题意得， 解得， 综上，， 或时，甲、乙两人相距， 故④错误，不符合题意； ∴正确的个数为个， 故选：． 变式1-2一天放学后，小明和小亮同时从学校以各自速度匀速步行回家，小明的家在学校的正西方向，小亮的家在学校的正东方向，小明准备一回家就开始做作业，打开书包时发现错拿了小亮的练习册，于是立即跑步去追小亮，终于在途中追上了小亮并交还了练习册，然后再以先前的速度步行回家（小明在家中耽搁和交还作业的时间忽略不计），结果小明比小亮晚回到家中．如图是两人之间的距离y米与他们从学校出发的时间x分钟的函数关系图．则小明的家和学校相距 _____米． 【答案】875 【分析】本题考查行程问题与函数图象综合，解题关键是理解图象中每一段折线所代表的运动过程，并从图象中提取关键信息．先根据，两段两人速度不变，设段两人之间的距离为a米，则有，得出，再由图易知两人速度比为，即可求出小明的家和学校间的距离． 【详解】解：由图象可知，设段两人之间的距离为a米，则有， 解得， ∵小明回到家的时间比小亮到达学校的时间多用了10分钟，由段可知10分钟小明正好从家步行到学校， ∴段两人之间的距离正好是小亮家到学校的距离， ∴小亮家与学校相距2100米， 因为十分钟内两人走的距离之和是1400米，G点代表小明正好到达学校，小亮正好同时到家．从追上之后到学校这段路程，小明用了15分钟，小亮用了25分钟，得出速度比为，小明家到学校距离为（米）． 变式1-3（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，点G是的中点，点H在上，动点P沿图1的边线匀速运动，运动路径为：，相应的的面积y（）关于运动时间x（s）的函数图象如图2，则下列选项中正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则函数过点 【答案】B 【分析】由E到F时间未知，所以无法表示，所以不能确定与的大小关系，即可判断A错误； 先确定点的纵坐标，再根据，求出点的横坐标，由此得出到需要的时间，从而可求得与比较，即可判断B； 由于不知道到需要的时间，所以不能确定到需要的时间，也就不能确定的位置，所以不一定成立，可判断C错误； 根据，可求得点的坐标，再根据面积关系求得点的坐标，就可判断D． 【详解】解：设动点P沿图1的边线运动速度为， 因为段面积增大，段面积不变，段又增大，到P时最大，段面积又不变，段面积减小， 所以J对应点G，K对应点C，M对应点D，P对应点E，Q对应点F，N对应点H， 由函数图象可知：经历了，经历了，经历了，经历时间未知，经历时间未知，但经历了， 所以函数图象可知，G到C需要，C到D要，D到E要，E到H要， 所以（），（），（），（）， 因为点G是的中点， 所以（）， 因为时间为时，相应的的面积y（）为， 所以，解得：， 所以（）， 当时，， 所以， 当时，， 所以， 所以， 设直线的表达式为， 所以， 解得：， 所以直线的表达式为， 因为速度不变， 所以可用平移得到， 设的解析式为， 所以， 解得：， 所以的解析式为， 当时，， 所以， 作点关于轴的对称点， 则， 连接， 设的解析式为， 由于，， 所以， 解得：， 所以的解析式为， 因为速度不变， 所以直线可以由直线平移得到， 设直线的解析式为， 当时， ， 此时， 所以， 解得：， 所以直线的解析式为， 当时，， 解得：， 所以此时， 所以到需（）， 所以， 又， 所以此时， 故B正确； 由于不知道到需要的时间， 所以不能确定到需要的时间， 也就不能确定的位置， 所以不一定成立， 故C错误； 若，则， 所以经历了（）， 所以， 所以， 所以H处，， 所以， 故D错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了从函数的图象获取信息，动点问题的函数图象，一次函数图象平移问题，求一次函数解析式，其他问题(一次函数的实际应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 题型2、动点问题的函数图象 题型模版 题型特征：动点在图形上运动，给出路程、线段长或面积等随时间变化的函数图象。 解题方法：分段分析动点所在位置；用几何关系把目标量表示为时间的函数；结合图象关键点建立方程。 典例2（25-26九年级上·山东淄博·期末）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项不正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为250 D．点在该函数图象上 【答案】B 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，勾股定理，解题的关键是正确理解题意，读懂函数图象． 过点作于点，当点运动到点时，最小，即为，则由图象可得，，由图象可得，当时，，设此时点运动到点H的位置，则，，求出，再由勾股定理求解，即可判断A；当，设此时点Q运动到点，即，由勾股定理求解，即可求解，即可判断B；当点与点重合时，此时点C的纵坐标即为，再由勾股定理求解，即可判断C；设点Q运动到点K时，此时，可求，再由勾股定理求解，即可判断D． 【详解】解：过点作于点，当点运动到点时，最小，即为，则由图象可得，， 由图象可得，当时，，设此时点运动到点H的位置，则，， ∴， ∴，故A正确； 当，设此时点Q运动到点，即， ∴， ∴，故B错误； 当点与点重合时，此时点C的纵坐标即为，故C正确； 设点Q运动到点K时，此时 ∴， ∴此时， ∴点在该函数图象上，故D正确， 故选：B． 变式2-1（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图1，点是边上一定点，点是一动点，点从点出发，依次沿路线匀速运动，运动到点停止．设点运动路程为，线段的长为，且关于的函数图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点，则点的纵坐标的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点D分别作于E，于F，根据图2得：，，，点D到的距离为，点N的纵坐标表示点D到的距离，在和中，利用勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理逆定理可得，在中，利用勾股定理可得，然后根据，求出的长，即可． 【详解】解：如图1，连接，过点D分别作于E，于F， 根据图2得：，，，点D到的距离为，点N的纵坐标a表示点D到的距离的长度， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， 即点N的纵坐标a为． 变式2-2（25-26七年级下·四川成都·期末）如图1，在中，，，过点作于点，点为中点，连接．点沿从点运动到点，连接，，设，．图2表示出了和之间的关系，则图2中图象最低点对应的的值是________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可知是的垂直平分线，从而得到，将转化为，根据两点之间线段最短可知当三点共线时取得最小值，最小值为的长，利用等面积法求出的长即可． 【详解】解：连接， ，为中点， ，， 是线段的垂直平分线， ， ， 根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 即， 在中，， ， ， ， ． 变式2-3（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图（1），点从的顶点出发，沿匀速运动到点．图（2）是点运动时线段的长度随时间变化的关系图像，其中为曲线部分的最低点，且曲线部分成轴对称图形． (1)图（2）中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是___________，因变量是___________； (2)请求出边的长； (3)①当点在边上运动时，线段的最短长度为___________，此时线段与边的位置关系是___________； ②点在运动过程中，当的面积为时，请求出点的运动时间． 【答案】(1)时间；线段的长度 (2) (3)①6，；②或 【分析】（1）根据题意可得线段的长度随时间的变化而变化，据此可得答案； （2）根据函数图象可得，据此可求出点P的运动速度，再根据路程速度时间可得答案； （3）①由垂线段最短可知，当时，最短，由三线合一定理可得，结合图（2）中点M处的长度可得的最短长度；②分两种情况：点P在上和点P在上，讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是时间，因变量是线段的长度 （2）解：由图（2）可知，点P运动到点C的时间为5秒，运动到点A的时间为13秒， ∴， ∴点P的运动速度为， ∴； （3）解：①由垂线段最短可知，当时，最短，即此时点P为线段的中点，故， 由图（2）可知，为曲线部分的最低点，此时， ∴线段最短长度为； ②由（3）①和（2）可得， 设点A到的距离为， ∴， ∴， 当点P在上时，则， ∴， ∴， ∴此时的运动时间为； 当点P在上时，则， ∴， ∴此时的运动时间为； 综上所述，点P的运动时间为或． 题型3、一次函数的性质的应用 题型模版 题型特征：利用一次函数的增减性、象限分布、与坐标轴交点等性质解题。 解题方法：根据k的符号判断增减性；根据k、b符号判断图象经过的象限；求与坐标轴交点可令x=0或y=0。 典例3已知点在直线：上，点在直线：上．下列结论正确的是（    ） A．若时，，则 B．若时，，则 C．若时，，则 D．若时，，则 【答案】C 【分析】先根据点在直线上求出和的化简表达式，再分和两种情况，根据给出的不等关系解不等式组，得到的取值范围，进而判断正确选项． 【详解】解：∵点在直线上，点在直线上 ∴， 若，，可得不等式组： ∵，不等式两边同除以，不等号方向不变 ∴化简得，即 选项A，B均不完整，因此A，B错误． 若，，可得不等式组： ∵，不等式两边同除以，不等号方向改变 ∴化简得： 解得： ∴，符合选项C，因此C正确，D错误． 变式3-1（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据所给一次函数解析式，结合一次函数的性质得出y随x的增大而减小，据此多所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：因为一次函数解析式为，， 所以y随x的增大而减小． 因为，，在直线上，且， 所以． 当时， 则，， 所以， 则． 故A选项符合题意，B选项不符合题意； 当时， 则，或，． 当，时无法得出的正负， 所以无法得出的正负， 所以CD选项不符合题意． 故选：A． 变式3-2（25-26八年级上·浙江杭州·期末）我们规定：a、b两个数中最小的数记作，例如，则函数的最大值是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分段函数的最值问题．通过解方程求两个一次函数的交点，利用数形结合思想确定函数的最大值，涉及一次函数的图象和性质． 【详解】解：令，解得． 当时，； 当时，，故，随着增大而增大； 当时，，故 ，随着增大而减小． 因此函数在处取得最大值． 故答案为：． 变式3-3（25-26八年级上·浙江湖州·期末）定义：已知是自变量的一次函数，函数与的图象关于轴对称，当（，为常数，）时，函数的最大值与最小值之差恰好为，则我们称函数是在上的“优雅差函数”已知一次函数，若是在上的“优雅差函数”，则的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义，一次函数的图象与性质，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质，正确理解新定义． 由题意得，，根据关于y轴对称的性质，纵坐标不变，横坐标互为相反数求解，即可写出，再分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵一次函数，函数与的图象关于轴对称， ∴， ∴， ①当时，随着的增大而增大， ∴时，；时，， ， 解得； ②当时，随着的增大而减小， ∴时，；时，， ， 解得； 综上：的值为或， 故答案为：或． 题型4、一次函数图象和性质的综合应用 题型模版 题型特征：综合考查一次函数图象、性质、解析式及与方程、不等式的联系。 解题方法：求解析式用待定系数法；图象交点即方程组的解；图象上方/下方对应不等式解集。 典例4（25-26七年级下·山东烟台·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，直线经过原点，且直线，并与直线交于点，点为轴上任意一点，连接，．则下列结论：①方程组的解为；②；③为直角三角形；④当的值最小时，点的坐标为．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据直线交点得到方程组的解为；②求出三条直线的解析式，得到， 得到，根据三角形的面积公式得到；③直接根据点的坐标求出三边长度，利用勾股定理逆定理判断即可；④作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小，得出直线的解析式为， 当时，，得到，符合题意． 【详解】解：①直线：与直线：都经过点， 方程组的解为，故①正确； ②把，点代入得， ， 直线：， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故②正确； ③令，解得：， ， ，， ∴，，， ∵， ∴， 不是直角三角形，故③错误； ④直线交y轴于点C， ， 作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，故④正确； 结论中正确的个数有3个， 故选：C． 变式4-1（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）在直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)若，求a的值； (2)函数的图象恒过定点，请直接写出该定点坐标； (3)若，设函数，当，时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)该定点坐标为 (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 代入点A的坐标即可求得； 分别求得和时的a的值，结合图象即可求得； 证得两直线都经过点，结合一次函数的增减性即可判断． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， ， ， ， ； （2）解：由题意得，， 又函数的图象恒过定点， 当时，即时， 该定点坐标为； （3）解：由题意，结合可得，直线过点，如图， ， 当时，y随x的增大而减小， 直线也经过点，且y随x的增大而增大， 当时，x的取值范围是 变式4-2（25-26七年级下·山东泰安·期末）【活动回顾】七年级下册教材中，我们曾探究过函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________； (2)如图，观察图象，两条直线的交点坐标为________，方程的解是________；不等式的解是________． 【拓展延伸】 (3)如图，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点C． ①求点，的坐标； ②若点是直线上点右侧一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若，请求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)；；； (3)①，；② 【分析】（1）利用数形结合思想，不等式对应直线纵坐标大于2的部分，结合交点横坐标与一次函数增减性确定取值范围． （2）两条直线交点横坐标为对应方程的解；不等式对应直线在直线上方部分，结合交点横坐标用数形结合求出解集． （3）①联立两条直线解析式组成二元一次方程组求解交点；令，解方程求出与轴交点．②设点、横坐标均为，分别写出两点纵坐标，用纵坐标差值表示线段长度，列不等式求解的取值范围． 【详解】（1）解：∵直线过点，，函数随增大而减小， ∵即，对应图象在点左侧， ∴． （2）解：∵两直线交点横坐标为方程的解， 联立， ， ， 将代入， ， ∴交点坐标为； ∵即，图象上在上方部分在交点右侧， ∴． （3）解：①联立方程组， 解得， ∴， 当时，， ， ； ②当点在点右侧，即时，如图所示： 此时， ， ，解得， ； 变式4-3（24-25八年级上·浙江杭州·期末）【了解概念】已知函数是自变量的函数，当，称函数为函数的“倍差函数”． 在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点关于函数的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． 【理解运用】例如：函数．当时，称函数是函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点关于的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． （1）求函数的“倍差函数”的表达式； （2）点在函数的图象上，点关于函数的“倍差点”为点，若点与点的纵坐标的和为，求点的坐标； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，的“倍差函数”，直线交轴于点，已知点，，．若直线与有交点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）点的坐标为（2，0）；（3） 【分析】本题主要考查了新定义、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴交点问题等内容，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“倍差函数”的定义解答即可； （2）先确定点、的坐标，再根据互为相反数的定义解答即可； （3）先确定、的坐标，进而画出，结合函数图象求出临界值，即可得出答案． 【详解】解：（1）， ； （2）点在函数的图象上， 点的坐标为， 点的坐标为， 与点的纵坐标的和为， ， 解得：， 点的坐标为； （3）由（2）可得：点的坐标为， 直线的表达式为：， 当时，， 点的坐标为：， ，， 设直线的表达式为， ， 解得：， 直线的表达式为：， 直线与有交点，结合图形可得直线与线段有交点即可， ， 解得， 即的取值范围为． 题型5、一次函数的规律探究问题 题型模版 题型特征：结合一次函数图象，通过计算点的坐标、线段长或面积寻找规律。 解题方法：求出初始若干项，观察变化规律；注意周期性、递推关系及特殊位置。 典例5（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，点，，在轴上，点，，在函数图象上，若分别以，，为边构建正方形，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、点的坐标规律探究．先求出、、的横坐标，找到规律后，即可根据规律解决问题． 【详解】解：由直线得， ∴的横坐标为，， 当时，， ∴， ∴， ∴的横坐标为，， 当时，， ∴， ∴， ∴的横坐标为，， ， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为， ∴的坐标为， 故选：D． 变式5-1（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：和直线：相交于原点．点是直线上一点，过点作轴的平行线交直线于点；过点作轴的平行线交直线于点．按照这个规律继续操作，依次得到，，．则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得、、，，，然后归纳规律，最后运用规律求解即可． 【详解】解：∵点是直线上一点，过点作轴的平行线交直线于点， ∴设，则，解得：，即； 设，则， 即； 设，则，解得：，即； 设，则，即； 设，则，解得：，即； …… ∴，， ∵， ∴，即． 变式5-2（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，，…，按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，，…，则的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据已知先求出，，的长，再代入直线中，分别求出，，，，然后分别计算出，，，，推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， ， ∴， ∴． 变式5-3（25-26八年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，则的长度为____________ 【答案】 【分析】求直线与轴交点的坐标，得到的长度，即第一个等边三角形的边长．利用等边三角形的性质，结合其与x轴的夹角为，求出点的坐标．因为平行于轴，所以的纵坐标与相同，代入直线的方程求出的横坐标，进而得到的长度．同理求出坐标、的长度，归纳长度的递推规律，确定其为公式，代入得到结果． 【详解】直线， 令，解得， 因此，． 是等边三角形， 过点作轴于点C，则， ∴， ∴坐标为． ∵轴， ∴纵坐标与相同，为， 代入直线方程： ， 解得， 因此． 同理可得，是边长为的等边三角形， 得纵坐标为， 代入直线方程求得横坐标，可得． 由此可得规律：， 因此． 题型6、一次函数的临界点问题 题型模版 题型特征：动直线或动点运动过程中，研究直线与线段有交点、围成区域整点等临界状态。 解题方法：找到边界位置（经过端点、平行特殊直线等）；结合图象分析临界范围；注意分类讨论。 典例6（25-26八年级下·河北石家庄·期末）我们称横、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，从点处发出光线照射到线段上， （1）若光线经过线段上的点时，_______． （2）若光线将线段分成两部分，且这两部分上的整点个数相同，则k的取值范围是_______． 【答案】 【分析】（1）把代入可得答案； （2）确定线段解析式，且，确定整点有，，，，，，，，共有8个，由这两部分上的整点个数相同，故一边各有4个整点，其中点，是临界点，当直线经过点时，得，解得，符合题意的直线在此时直线的右侧，故；当直线经过点时，得，解得，此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故；进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵光线经过线段上的点， ∴， 解得：； （2）解：设的解析式为，由点A，B的坐标分别为， 得， 解得， ∴解析式为，且， 故整点有，，，，，，，，共有8个， 由这两部分上的整点个数相同， 故一边各有4个整点，其中点，是临界点， 当直线经过点时，得，解得， 符合题意的直线在此时直线的右侧，故； 当直线经过点时，得，解得， 此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故； 综上所述，符合题意的k的取值范围是． 变式6-1（25-26八年级下·河北邯郸·期末）新定义：对于两个实数，，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时，_______； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是_______． 【答案】 3 【分析】（1）先求出当时，和的值，比较即可得出结果； （2）先求出直线过定点，令，解得，求出当时，，当时，，画出函数图象，结合图象分析即可得出结果． 【详解】解：（1）当时，，， ∵， ∴当时，； （2）∵， ∴直线过定点， 令， 解得， 当时，，此时， 当时，，此时， ∵过定点的直线与函数的图象有两个交点， ∴结合图形可得， 当经过时，，解得，此时直线与函数的图象只有个交点， ∴的取值范围是． 变式6-2在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线经过点A，且与轴交于点． (1)点A的坐标为_______，直线的解析式为_______； (2)直线与直线关于直线对称，若直线与直线围成的区域内（不包含边界）恰有1个整点，则的取值范围为_______．（注：横、纵坐标都是整数的点叫作整点） 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与轴对称变换．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，轴对称性质，是解题的关键． （1）先求出点A的坐标，进而利用待定系数法求出直线的解析式，即可； （2）先根据对称性求出直线的解析式，再结合函数图象对求解即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点A， ， 把点代入直线中， 得，， 解得，， 直线的解析式为； 故答案为：， （2）解直线与直线关于直线对称， 直线为， 画出函数图象如解图， 结合图象， 可得，或时，区域内恰有1个整点． 故答案为：或． 变式6-3（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，正方形在平面直角坐标系中，其中，． (1)点的坐标为_______，求直线的函数解析式； (2)点在直线l上． ①当时，判断点是否在直线上； ②若点在的边上，求的值； ③将直线向上平移个单位长度（为整数）．若直线在第二象限内恰有个整点（横、纵坐标都为整数的点），直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①点不在直线上；②或；③ 【分析】（1）根据正方形的性质结合坐标系写出点的坐标，进而根据待定系数法求得直线的解析式； （2）①代入，得出，将代入解析式，即可求解； ②分别考虑点在边上时，求得对应的的值以及的横纵坐标的范围，即可求解； ③先求得平移后的解析式，根据直线在第二象限内恰有个整点，得出为负奇数，则与轴的交点横坐标满足：，解不等式组，求得整数解，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，． ∴轴，，， 则轴， ∴，， 设直线的函数解析式为， 代入，，得， 解得， ∴直线的函数解析式； （2）解：①当时，， 在中， 当时，， 即点不在直线上； ②∵，， ∴， 当在上时，令，则，即， 当在上时，，且， 当，解得，不在上，（舍去） 当在上时，，， ∴ 解得，符合题意， 综上所述，或； ③点在直线l上． ∴直线的解析式为， 将直线向上平移个单位长度后的解析式为， 当时， ∴； 直线在第二象限内恰有个整点（横、纵坐标都为整数的点）， ∴为负奇数， 取，，，，，（共6个奇数），对应值均为正整数， ，即与轴的交点横坐标满足：， 解得， ∵为整数， ∴ 题型7、一次函数行程问题 题型模版 题型特征：以运动、追及、相遇为背景，用一次函数图象或解析式描述路程、时间关系。 解题方法：明确横纵轴含义；抓住起点、交点、转折点；利用斜率比较速度；分段写出函数关系式。 典例7（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警官安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距450米的处（，在同一直线上）巡逻，安安警官比全全警官先出发，且速度保持不变，全全警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．已知安安警官、全全警官行走的路程（米），（米）与安安警官行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)求全全警官提速后的速度，并求，的值； (2)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (3)全全警官加速后经过________秒两人相距20m． 【答案】(1)， (2) (3)全全加速后经过 6秒或 8秒时，两人相距20米 【分析】考查知识点分段函数的应用、一次函数解析式求解、行程问题中的追及与相距、绝对值方程的解法． （1）从图象中提取全全的出发时间（15秒）、提速时间（17秒），计算原速与提速后速度．由安安的路程与时间，计算其恒定速度，进而求出 m、n． （2）确定、两点坐标，用待定系数法求段的一次函数解析式． （3）设全全加速后经过 t秒，分别表示两人的总路程．用绝对值表示距离为20米，解方程得到或，对应总时间为秒、秒． 【详解】（1）解：全全提速前速度为： （米/秒） 全全提速后速度为：（米/秒） 全全走完全程（450米），提速后用时：（秒） 当时，安安路程为310米，故安安速度为： 米/秒 （2）解：设所在直线的解析式为 将，代入，得： 解得： 所在直线的解析式为 （3）解：设全全加速后经过 t秒，此时总时间为秒 安安的路程： 全全的路程： 两人相距20米，列方程： 则或， 解得：或， 全全加速后经过 6秒或 8秒时，两人相距20米． 变式7-1（25-26八年级下·吉林延边·期末）珲春防川景区，地处珲春市敬信镇，是一眼望三国的特色综合景区，包含观景台、湖泊、动植物观赏区等多处打卡点．小辰和小宇来防川景区游玩，两人同时从珲春防川游客服务中心出发，沿相同路线徒步游览到终点龙虎阁，路程-时间关系如图．记录得到以下信息： ．小辰、小宇从游客中心出发行走的路程、（单位：）与游览时间（单位：）的对应关系如图: ．二人游览路线沿途依次有4个景点，从游客中心到各景点路程如下表： 景点 莲花湖栈道 土字碑广场 张鼓峰观景台 沙丘公园 路程（） 1 2 2.5 3 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这条游览路线上，珲春防川游客服务中心到龙虎阁的路程为 ； (2)小辰和小宇在游览过程中，除游客中心出发地和龙虎阁以外，在 相遇（填写景点名称），此时距出发经过了 ； (3)下面有三个推断： ①小宇从莲花湖栈道到龙虎阁游览的过程中，平均速度是 / ②小宇比小辰晚到达龙虎阁30 ③60时，小辰比小宇多走了 所有合理推断的序号是 ； (4)求小宇离开土字碑广场到龙虎阁时对应的函数解析式，写出自变量的取值范围； (5)当小辰和小宇相距800时，直接写出游览时间的值． 【答案】(1)4 (2)土字碑广场    45 (3)②③ (4)． (5)72或96 【分析】（1）观察路程-时间图像的终点纵坐标，直接得到游客中心到龙虎阁的总路程． （2）先分别求出小辰的关于的函数解析式，再从图像上直接观察出相遇点的路程，代入求出时间． （3）①确定小宇从莲花湖栈道到龙虎阁的实际行走路程与对应行走时间，用平均速度公式计算判断；②读取两人到达路程4km处的横坐标，作差判断；③将分别代入和的解析式，计算路程差判断． （4）求小宇离开土字碑广场后的函数解析式，先确定该段函数的两个端点坐标，用待定系数法求解，同时结合图像写出自变量的取值范围． （５）分不同的的范围，根据列方程求解，注意排除不符合范围的解． 【详解】（1）解：由图像可知，终点龙虎阁对应的路程为，因此游客中心到龙虎阁的路程为． （2）解：小辰的路程函数为， 两人相遇时， 代入得， 解得， 路程对应景点为土字碑广场． （3）解：① 由图像得小宇到达土字碑广场路程为，小宇到达土字碑广场的时间为，∴莲花湖路程为，小宇到达莲花湖的时间为，总路程差，总时间，平均速度，①错误； ② 小辰到达，小宇到达，，②正确； ③ 时，，，差为，③正确． ∴合理推断的序号是②③． （4）解：小宇离开土字碑广场后，图像过点和， 设解析式为， 代入得： ， 解得， ∴解析式为，自变量范围． （5）解：相距，分情况讨论： 当时，，，舍去； 当时，，或，均舍去； 当时，，； 当时，，或，舍去； 综上，的值为或． 变式7-2（25-26八年级下·天津南开·期末）已知取餐地、小区A，小区B依次在同一条直线上．小区A离取餐地，小区B离取餐地．外卖员甲从取餐地出发，匀速骑行到达小区A；用完成送餐后，匀速骑行到达小区B；用完成送餐后，匀速骑行返回取餐地．给出的图象反映了这个过程中外卖员甲离取餐地的距离y（单位：）与他离开取餐地的时间x（单位：）之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题． (1)填表： 外卖员甲离开取餐地的时间（单位：） 1 10 15 45 外卖员甲离取餐地的距离（单位：） 3 9 (2)当时，请直接写出y关于x的函数解析式； (3)当外卖员甲离开取餐地前往小区A时，外卖员乙也从取餐地出发以的速度匀速骑行直接去小区B送餐，到达小区B后，外卖员乙用完成送餐后，以新的速度匀速骑行直接回到取餐地，结果外卖员乙比外卖员甲还提前到达取餐地，并在取餐地等待新任务，直至外卖员甲返回取餐地．在整个过程中（即），对于同一个x的值，外卖员甲离取餐地的距离为，外卖员乙离取餐地的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）由图象信息即可解答； （2）分三种情况讨论，利用待定系数法求解即可； （3）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：由图象得外卖员的速度为， 则外卖员甲离开取餐地时，离取餐地的距离为； 由图象得外卖员时，离取餐地的距离为； （2）解：当时， 设，则， 解得，则； 当时，则； 当时， 设，则，解得，则； 综上，y关于x的函数解析式为； （3）解：外卖员乙离取餐地的距离为时，则外卖员乙离开取餐地的时间为， 外卖员乙离取餐地的距离为，即到达小区B时，则外卖员乙离开取餐地的时间为， 当时，外卖员乙离取餐地的距离为， 由题意，得外卖员乙用完成送餐，则外卖员乙离开小区B的时间为， ∴时，外卖员乙离取餐地的距离为， 外卖员乙比外卖员甲还提前到达取餐地， 外卖员乙回到取餐地时，时间为， 当时，令，则，解得， 设外卖员乙送餐后回取餐地的解析式为，则，解得 ∴， 同理，当时，得， 令，解得， ∴与x之间的函数图象，与x之间的函数图象如下： 当时，或． 变式7-3（25-26八年级下·广东中山·期末）综合与应用 某生态保护区内，A点为保护区入口，B点为区内一处观测站，A，B两点直线距离为50公里．甲是一名护林员，于某日下午1点驾驶低速电动巡逻车从A点出发前往B点，沿区内主路行驶，该主路为A点和B点间一条直线道路．乙是另一名护林员，同日下午2点驾驶高性能越野摩托车从A点出发，沿相同路线前往B点．如图，图中的折线和线段分别表示甲、乙离A点的距离s（单位：千米）与该日下午时间t（单位：时）之间的关系．请根据图象回答下列问题： (1)求图中线段所在直线的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)求甲出发几小时后两人在途中相遇； (3)两人均佩戴应急通讯设备，最大通讯距离为10千米．乙到达B点后停留半小时（处理观测站事务），然后立即按原路以原速度返回A点．求乙从A点出发到最终回到A点的整个过程中，两人能够保持通讯的总时长． 【答案】(1) (2)小时 (3)小时 【分析】（1）待定系数法求解析式，结合函数图象和题意求得的范围； （2）求得直线的解析式，联立直线的解析式求得的值，结合题意，即可求解． （3）求得乙返回时的函数解析式，根据两人距离为，分别列出方程，解方程，得出的值，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：根据图可知， 设直线的解析式为，将代入得 解得． 直线的解析式为． （2）根据图可知， 设直线的解析式为， 将代入得解得 直线的解析式为． 由两人在途中相遇可得 ，解得， 答：甲出发小时后两人在途中相遇． （3）根据题意，补充乙的函数图象如图： 其中 设直线的解析式为，将代入得 解得 直线的解析式为． 当时，即，解得． 当时，即，解得． ． 两人能够保持通讯的总时长为小时． 题型8、一次函数营销问题 题型模版 题型特征：以商品销售为背景，建立利润、销量、单价之间的一次函数关系。 解题方法：明确利润=收入-成本=单件利润×销量；建立函数关系式；根据增减性和范围求最值。 典例8（25-26八年级下·湖北武汉·期末）某快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买A，B两种型号的机器人来代替人工分拣．收集信息如下： 信息1：A型机器人购买数量不超过20台时，每台价格为5万元，购买数量超过20台时，超过的部分每台价格在原价的基础上打9折；B型机器人每台价格固定为3.5万元． 信息2：A型机器人每台每小时可分拣快递1000件，B型机器人每台每小时可分拣快递800件． 信息3：该快递公司每小时待分拣的快递总数不少于86000件，计划购买A，B两种型号的机器人共100台． 问题解决：设购买A型机器人台，购买这100台机器人所花的总费用为万元． (1)当时，购买A型机器人的费用为__________万元，购买B型机器人的费用为__________万元，购买这100台机器人所花的总费用__________万元； (2)①请直接写出自变量的取值范围，并求与之间的函数解析式； ②帮该快递公司设计一种购买方案，使购买总费用最低，并说明理由； (3)由于B型机器人生产成本增加，导致B型机器人每台价格增加了万元，若购买总费用最低为432万元，请直接写出值． 【答案】(1)；； (2)①的取值范围是且为整数，函数解析式为； ②解：购买A型机器人30台，B型机器人70台时总费用最低；理由如下： 随的增大而增大 当取最小值时，取得最小值， 此时， 因此购买A型机器人30台，B型机器人70台时总费用最低； (3)． 【分析】（1）根据信息1计算即可； （2）①根据分拣快递数量要求列不等式求出自变量的取值范围，再结合A型机器人的价格规则写出总费用的函数解析式， ②利用一次函数的性质求解最低费用的购买方案即可； （3）求出价格调整后的总费用的函数解析式，根据最低费用列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，购买A型机器人费用：（万元）， 购买B型机器人数量：（台），费用：（万元）， 总费用（万元）； （2）①解：根据题意，每小时分拣总数不少于件， ∴， 解得， 又总购买量为台， 因此，且为正整数， 即，且为整数， ∵， ∴A型机器人总费用为：万元， B型机器人总费用为万元， 因此总费用万元； ②略； （3）解：B型价格调整后，每台价格为万元， ∴（且为整数）， ∵ ∴， 随的增大而增大， 当取最小值时，取得最小值， 此时， ∵购买总费用最低为432万元， ∴， 解得：． 变式8-1综合与实践 数学兴趣小组到面包房了解面包定型工艺，他们发现定型面包的张师傅头一天将面团发酵，第二天分两步完成定型：第一步是定型；第二步是烘烤．现有甲、乙、丙三种面包需要定型，其定型要求如下： （i）定型时每次只能定型一个面包； （ⅱ）烘烤时可以多个面包同时进行； （ⅲ）定型时可以同时烘烤其他面包； （ⅳ）每个面包定型和烘烤所需时间如下表所示： 类型 甲 乙 丙 定型时间/分钟 2 7 6 烘烤时间/分钟 2 10 3 任务1：已知甲、乙、丙三种面包各定型1个． (1)若按照“甲—乙—丙”的顺序定型，那么至少需要______分钟； (2)若使定型甲、乙、丙三种面包的总时间最短，则应按照______的顺序定型． 任务2： (3)若甲、乙、丙三种面包每个的利润分别为6元、10元、8元．某日，张师傅需要定型这三种面包共40个，且甲面包的定型数量是乙面包的2倍，三种面包的定型数量均为正整数．请帮张师傅安排三种面包的定型数量，使当天的总利润最大，并求出最大总利润． 【答案】(1)19 (2)乙—丙—甲 (3)定型甲种面包2个，定型乙种面包1个，定型丙种面包37个，当天总利润最大，最大总利润为318元 【分析】（1）根据定型和烘烤要求以及完成各道工序所需时间如列式解答即可； （2）根据甲、乙、丙定型和烘烤的时间，结合加工要求分情况解答即可； （3）设定型乙种面包个，则定型甲种面包个，定型丙种面包个．设总利润为w元，根据题意列出一次函数解析式，再由一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：定型的同时可以烘烤其他多个产品， ∵定型甲需要2分钟，定型乙需要7分钟，可在定型乙的同时烘烤甲产品， ∴定型1个甲1个乙并烘烤1个甲产品共需要9分钟，即分钟； ∵定型丙的同时烘烤乙，烘烤乙需要10分钟，定型丙需要6分钟， ∴定型丙后还需烘烤乙1分钟， ∵烘烤丙需要3分钟， ∴按照“甲—乙—丙”的顺序定型，那么至少需要分钟， （2）由（1）知按照“甲—乙—丙”的顺序定型，并完成烘烤，那么至少需要分钟； 同理：按照“甲—丙—乙”的顺序定型，并完成烘烤，那么至少需要分钟； 按照“乙—甲—丙”的顺序定型，并完成烘烤，那么至少需要分钟； 按照“乙—丙—甲”的顺序定型，并完成烘烤，那么至少需要分钟； 按照“丙—甲—乙”的顺序定型，并完成烘烤，那么至少需要分钟； 按照“丙—乙—甲”的顺序定型，并完成烘烤，那么至少需要分钟； 若使定型甲、乙、丙三种面包的总时间最短，则应按照“乙—丙—甲”的顺序定型 （3）设定型乙种面包个，则定型甲种面包2x个，定型丙种面包个． 设总利润为w元，则，    ∵， ∴w随x的减小而增大， ∴当时，w最大，w的最大值为， 此时，． 答：定型甲种面包2个，定型乙种面包1个，定型丙种面包37个，当天总利润最大，最大总利润为318元． 变式8-2（25-26八年级下·河南洛阳·期末）洛阳依托文旅特色打造夜间文旅消费市场，鼓励商户拓展线下外摆经营．商户小王借此售卖牡丹手工皂与牡丹瓷书签两款特色文创产品，两款文创的进价、售价如下表： 类型 牡丹手工皂 牡丹瓷书签 进价/（元/件） 售价/（元/件） 小王计划购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件进行销售，设小王购进牡丹手工皂件，两种商品全部销售完后获得的总利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍，当购进两种商品各多少件时，可使得两种商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润． 【答案】(1)（，且为整数） (2)当购进牡丹手工皂件，牡丹瓷书签件时，总利润最大，最大总利润为元． 【分析】（1）先求出小王购进牡丹瓷书签件，再根据总利润手工皂总利润书签总利润即可求解； （2）先根据题意求出的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）∵小王购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件，购进牡丹手工皂件， ∴小王购进牡丹瓷书签件， ∴由题意可得， 整理得：（，且为整数）； （2）∵牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍， ∴，解得， ∴ ∵，， ∴当时，有最大值，即的最大值为， ∴， ∴当购进牡丹手工皂件，牡丹瓷书签件时，总利润最大，最大总利润为元． 变式8-3（25-26八年级下·湖北孝感·期末）某商店销售台型和台型电脑的利润为元，销售台A型和台型电脑的利润为元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润； (2)该商店计划再次购进两种型号的电脑共台（两种型号都要有），其中型电脑的进货量不超过型电脑的倍，设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数解析式； ②该商店本次购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ ③实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调了元，且要求商店销售型电脑的总利润不低于元，若商店保持两种电脑的售价不变，合理安排进货方案，这台电脑销售总利润最大可为元，求的值． 【答案】(1)每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元 (2)①②商店购进台型电脑和台型电脑的销售利润最大③ 【分析】（）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元，依据题干利润条件列二元一次方程组，消元求解得到单台利润； （）先用型进货量表示型数量，列出总利润一次函数；结合数量约束确定自变量范围，根据函数增减性求利润最大值对应的进货方案；再结合型利润调价、型利润下限缩小取值区间，由最大利润列方程算出． 【详解】（1）解：设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元； 根据题意得， 解得， 答：每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元； （2）解：①设购进型电脑台，则购进型电脑台， 据题意得，， 即，（写不写的范围均可） ②据题意得，，解得， ，， 随的增大而减小， 为正整数， ∴当时，取最大值，则， 即商店购进台型电脑和台型电脑的销售利润最大； ③厂家对型电脑出厂价下调了元，则每台型利润变为元， 据题意得，，即， ，解得， ，且为正整数， ∵总利润最大为元， ，随的增大而增大， 当时，取得最大值． ， 解得． 题型9、一次函数方案问题 题型模版 题型特征：给出两种或多种收费、租赁、运输方案，选择最优方案。 解题方法：分别写出各方案费用关于自变量的函数；求交点划分区间；结合实际意义比较各区间最优方案。 典例9（25-26八年级下·广东广州·期末）综合与实践：荔枝是广东特产水果之一，以其甜美的口感和独特的风味而闻名．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：广州市内某批发市场计划运输40吨荔枝到距离本地500千米的甲地出售，为保证荔枝新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，已知A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为80千米/小时． 材料二：计划两种车型都租用，并要求把所有荔枝全部运完，B型车辆最多不超过5辆，且A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨． 材料三：冷柜车运输的相关收费如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 2元/千米·辆 A型冷柜车 B型冷柜车 84元/（小时·辆） 96元/（小时·辆） 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目； 总费用路费冷柜使用费 (1)求该市场需要租用 辆冷柜车进行运输； (2)设租用A型冷柜车x辆，总费用为y元，请写出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (3)请帮助该市场设计总费用最低的租车方案，并求出最低费用． 【答案】(1) (2)（，且x为整数） (3)总费用最低的租车方案为租用A型冷柜车4辆，B型冷柜车5辆，最低费用是14800元． 【分析】（1）由题意可知，B型车辆可以为1辆，2辆，3辆，4辆，5辆，依次算出型冷柜车的数量，判断是否满足题意即可； （2）根据（1）所求结合总费用的计算公式列式求解即可； （3）根据（2）所求利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵两种车型都租用，B型车辆最多不超过5辆， ∴B型车辆可以为1辆，2辆，3辆，4辆，5辆， ∵要求把40吨荔枝全部运完，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨， ∴当B型车辆为5辆时，，那么型冷柜车需要4辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为4辆时，，那么型冷柜车需要5辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为3辆时，，那么型冷柜车需要6辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为2辆时，，那么型冷柜车需要7辆，不符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍； 当B型车辆为1辆时，，那么型冷柜车需要8辆，不符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍； 综上，共需9辆货柜车； （2）解：由题意得， （，且x为整数）； （3）解：∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为，此时， 答：总费用最低的租车方案为租用A型冷柜车4辆，B型冷柜车5辆，最低费用是14800元． 变式9-1（25-26八年级下·湖北武汉·期末）随着全球电商市场的不断扩大和互联网购物的普及，快递行业将继续保持增长态势．某快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表： 型号 甲 乙 每台每小时分拣快递件数（件） 1000 800 每台价格（万元） 5 3 该公司计划购买这两种型号的机器人共10台，总费用不超过42万元，并且使这10台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8600件． (1)【建立模型】设购买甲种型号的机器人x台，购买这10台机器人所花的费用为y万元，求y关于x的解析式，并求出x的取值范围； (2)【解决问题】请设计购买方案，使总费用最少，并求出最少费用； (3)【拓展应用】实际付款时，每台甲型机器人降价m万元（），乙型机器人售价不变，最终该快递公司以33万元的最低价格完成采购，求m的值． 【答案】(1)（且x为整数） (2)购买甲型机器人3台，乙型机器人7台，最低费用为36万元 (3) 【分析】（1）根据总费用等于购买两种机器人的费用之和，列出函数关系式，根据题意，列出不等式组求出的取值范围即可； （2）根据一次函数的增减性进行求解即可； （3）列出新的函数解析式，根据一次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，， 解得：， （且x为整数） （2）解：对于一次函数，， 当时，y随x的增大而增大 当时，费用最低，最低费用为：万元， 购买甲型机器人3台，乙型机器人7台，最低费用为36万元． （3）解：由题意， ∴， ， ， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y有最小值为， ， 解得. 变式9-2（25-26八年级下·广东广州·期末）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校计划用客车送八年级师生去参加课外实践活动． 素材1 八年级有293名学生和7名教师需要乘车，每辆车至少安排1名教师跟车管理． 素材2 现有A，B两种类型的客车可供选择，它们的载客量和租金如下： 客车类型 载客量／人 租金／元 A 45 400 B 30 280 问题解决： (1)任务1：根据以上素材，共需租_____辆客车． (2)任务2：设租用A种类型的客车辆，当租用A，B两种类型的客车的总费用为元时，求关于的函数解析式． (3)任务3：根据学校预算，租车总费用不超过2860元，请给出总费用最少的租车方案，并求出最少总费用是多少． 【答案】(1) (2)（，且为整数） (3)总费用最少的租车方案为租用A型客车6辆，B型客车1辆，最少总费用是2680元 【分析】（1）通过总人数与单辆车最大载客量确定最少租车数，结合教师数量确定最多租车数，两者相等即为总租车数； （2）利用总租车数为7，用含x的式子表示B型车数量，根据总费用公式列函数关系式，结合载客量要求确定自变量取值范围； （3）根据费用限制列不等式，结合一次函数的增减性求最小费用及对应租车方案． 【详解】（1）解：师生总人数为（人）， 若租用6辆客车，最大载客量为（人）， ∵ ， ∴ 至少需要租用7辆客车， ∵ 每辆车至少安排1名教师，共有7名教师， ∴ 最多租用7辆客车， ∴ 共需租7辆客车； （2）解：∵ 共租用7辆客车，其中A型客车辆， ∴ B型客车为辆. 总费用， 整理得， ∵ 载客总量需不少于总人数， ∴ ， 解得， 又∵ ，，且为整数， ∴ ，且为整数， 即关于的函数解析式为（，且为整数）； （3）解：由题意得， 解得， 结合，且为整数， 得或， ∵ ， ∴ 随的增大而增大， ∴ 当时，取得最小值，最小值为（元），此时（辆）， 答：总费用最少的租车方案是租用A型客车6辆，B型客车1辆，最少总费用是2680元． 变式9-3（2025·浙江金华·三模）某工厂员工生产一款零件，员工的日工资结算方案如下： 方案一：基本工资每天20元，每生产一个零件加计2元． 方案二：当生产数量不超过100个时，发基本工资每天100元，每超过一个加计4元．如图所示是日工资(元)关于生产数量(个)的函数图象， (1)求时，方案二的日工资(元)关于生产数量(个)的函数表达式； (2)甲员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，求甲员工生产的零件个数的范围； (3)乙员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资少20元，则乙员工生产了多少个零件？ 【答案】(1) (2) (3)这位员工生产了30或170个零件 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用等知识，根据题意求出函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据图象先求出工资一致的两个生产数量的值，再根据图象可知当生产数量介于这两个数值之间时，方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，从而得解； （3）分当时，当时两种情况，列出方程求解即可． 【详解】（1）设函数表达式为 每超过一个加计4元， 把(100，100)代入 解得 函数表达式为 （2）方案一的日工资(元)关于生产数量(个)的函数表达式为 令，解得 又令，解得 由图象可得时，方案一的工资比选择方案二的工资多 （3）当时，依题意得：， 解得 当时，依题意得：， 解得 综上所述：这位员工生产了30或170个零件 题型10、一次函数其他应用问题 题型模版 题型特征：以工程、温度、高度、容积等为背景，用一次函数描述变化过程。 解题方法：提取关键数据，确定两个变量的线性关系；用待定系数法求解析式；注意自变量范围。 典例10（25-26八年级下·广西玉林·期末）综合与实践 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量（%）与时间（分钟）的关系数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 0 10 15 40 增加的电量（%） 0 20 30 80 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米）                     0 160 200 280 显示电量（%） 100 60 50 30 【建立模型】 (1)观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． 【解决问题】 (2)某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】(1)关于的函数表达式为，关于的函数表达式为 (2)电动汽车在服务区充电30分钟 【分析】（1）根据表格的数据，使用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先计算出行驶全程需要消耗的电量，结合剩余电量与初始电量，求出服务区充电的电量，根据y关于t的函数表达式求出充电时间． 【详解】（1）解：设y关于t的函数表达式为（为常数，且）， 将，代入， 得，解得， ∴y关于t的函数表达式为． 设e关于s的函数表达式为（、为常数，且）， 将，和，分别代入， 得，解得， ∴e关于s的函数表达式为． （2）解：当时，， ∴行驶300千米后，电动汽车仪表盘显示电量为， 充电t分钟后，增加的电量为， ∴充电t分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为， ∴行驶完剩余的路程消耗的电量为， ∴，∴． 答：电动汽车在服务区充电30分钟． 变式10-1（25-26八年级下·四川巴中·期末）【问题背景】 某城市规划团队研究新建购物中心吸引力问题时，发现可以用数学模型来量化，其中F表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万）；d表示购物中心到居民区的距离（单位：km）；k为常数且． 【模型应用】 (1)已知当万，时，次，则_________； (2)甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万和4.5万，它们到同一居民区的距离之比为，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离； 【模型修正】 实际调研发现，当距离时，居民的购物意愿下降速度明显加快．因此，团队对模型进行优化，提出分段模型（k与基础模型一致）： 【模型分析】 (3)有人提出：“分段模型下，距离从增至的购物中心吸引力的降低率大于从增至的购物中心吸引力的降低率．”请通过计算判断该说法是否正确； (4)现规划在某居民区附近新建一个占地面积约35万的购物中心，且到居民区距离d限定在，建成后居民每季度平均购物次数的期望值不少于70次．求整数d的值． 【答案】(1) (2) 甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为 (3) 该说法正确 (4) 整数的值为 【分析】（1）代入已知条件求解常数； （2）根据距离比设参数，结合的数量关系列分式方程求解； （3）分别计算两段距离变化的降低率，比较大小判断说法是否正确； （4）分段根据的范围列不等式，找出符合条件的整数． 【详解】（1）解：将，，代入，得 解得 （2）解：设甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为， 已知， 则居民到甲的平均购物次数， 居民到乙的平均购物次数， 由题意得， 解得， 经检验是原分式方程的解， 因此， 答：甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为。 （3）解：设购物中心占地面积为， 已知， 当时，， 因此， 当时，， 因此， 则增至的降低率， 当时，， 因此， 则增至的降低率， 因为，即， 所以该说法正确； （4）解：已知，，，要求， 分两种情况讨论： 当时，， 解得， 结合， 得整数都满足条件； 当时， ， 解得， 即， 结合， 得满足条件的整数，不满足条件； 综上，满足条件的整数为． 变式10-2（25-26八年级上·广东深圳·期中）【综合实践】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量（）与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 0 10 30 60 增加的电量（%） 0 10 30 60 实验Ⅱ：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示剩余电量e（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 0 160 200 280 显示剩余电量（%） 100 60 50 30 【建立模型】（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）：关于的函数表达式为________；关于的函数表达式为________； 【解决问题】（2）某电动汽车在充满电量的状态下，从A地出发前往距出发点千米的B地，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，其已行驶里程数（）和显示剩余电量（）函数关系如图所示； ①该车进入服务区充电前显示剩余电量的值为________； ②该车中途充电用了________分钟； ③当汽车显示剩余电量的值为时，该车距出发点地多少千米？ 【答案】（1）；；（2）①；②③千米或者千米 【分析】本题考查了一次函数： （1）用待定系数法求解； （2）①直接代入即可； ②通过算出增加的电量即可得出充电时间； ③分情况讨论：当进服务区前的电量为时，直接代入函数即可；当出服务区再行驶后电量为时，先算出这段时间的耗电量，再算出行驶路程，最后加上到达服务区的距离即为距出发点地的距离． 【详解】解：（1）根据题意，两个函数都为一次函数，设， 将代入得： 解得：， 函数解析式为：； 将代入得： ， ， 函数解析式为：； 故答案为：；． （2）①由图可知，， 将代入，得：． 故答案为：． ②由表2可知，行驶千米时，耗电为， ， 故每行驶千米，需要消耗的电量为， 所以离开服务区走完剩余路程千米时，耗电量为， 该车到达时，显示剩余电量为， 所以增加的电量为：， 即， 所以． 故答案为． ③当汽车显示剩余电量的值为时， 即：， 解得：； 当汽车离开服务区时，剩余电量为时， 进入服务区充电前显示剩余电量的值为，增加的电量为， 离开服务区时剩余电量为， 汽车剩余电量为的时候，耗电量为， 每行驶千米，需要消耗的电量为， 耗电行驶的路程为：（千米）， 故此时该车距离出发点地：（千米）． 答：当汽车显示剩余电量的值为时，该车距出发点地千米或者千米． 变式10-3（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示___________槽中水的深度与注水时间的关系，线段表示___________槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点的纵坐标表示的实际意义是___________； (2)求所在直线的解析式，并直接写出所在直线的解析式； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相差2厘米？ (4)若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，直接写出甲槽底面积和乙槽底的面积（壁厚不计，圆柱的体积=底面积×高）． 【答案】(1)乙，甲，铁块高（合理即可） (2) (3)或 (4)60平方厘米，48平方厘米 【分析】本题为一次函数的实际应用问题，综合性强，难度较大，理解题意与图象蕴含信息是解题关键． （1）根据图象和图形提供信息可得甲槽中水面是下降的，乙槽水面是上升的，即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）分甲水槽水面高于乙水槽水面2厘米和乙水槽水面高于甲水槽水面2厘米两种情况分类讨论，构造方程，解方程即可求解； （4）设甲水槽的面积为平方厘米，乙水槽的面积为平方厘米，由题意得圆柱形铁块底面积为．甲水槽排水速度为立方厘米/分钟，乙水槽段注水速度为立方厘米/分钟，乙水槽段注水速度为立方厘米/分钟，根据甲水槽排水速度等于乙水槽注水速度列方程组，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，甲槽中水面是下降的，乙槽水面是上升的， ∴图2中折线表示乙槽中水的深度与注水时间的关系，线段表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系，点的纵坐标表示的实际意义是铁块高． 故答案为：乙，甲，铁块高； （2）解：设所在直线的解析式为， 由图象得点， ∴， ∴， ∴所在直线的解析式为； 设所在直线的解析式为， 由图象得点， ∴， ∴， ∴所在直线的解析式为； （3）解：当甲水槽水面高于乙水槽水面2厘米时，， 解得； 当乙水槽水面高于甲水槽水面2厘米时，， 解得； 答：注水时间为或分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相差2厘米 （4）解：设甲水槽的面积为平方厘米，乙水槽的面积为平方厘米， 由题意得圆柱形铁块底面积为． 由题意得，甲水槽排水速度为（立方厘米/分钟）， 乙水槽段注水速度为（立方厘米/分钟）， 乙水槽段注水速度为（立方厘米/分钟）， 由题意得 解得 ∴甲槽底面积和乙槽底的面积分别是60平方厘米，48平方厘米． 题型11、一次函数与几何的综合问题 题型模版 题型特征：以一次函数图象为载体，结合三角形、四边形、全等、等腰、直角等几何知识。 解题方法：求出相关直线解析式和关键点坐标；把几何条件转化为坐标关系；存在性问题注意分类讨论。 典例11（25-26八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点为直线上一点，直线过点． (1)求和的值； (2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒个单位长度的速度向轴负方向运动（点不与点、重合）．设点的运动时间为秒． ①若点在线段上，且的面积为，求的值； ②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，5 (2)①7，②存在，的值为4或8或或 【分析】（1）把点代入即得的值，再把点代入即得的值； （2）①根据题意，用表示出的长，根据点C坐标可知边上的高为4，由三角形面积公式列方程解答； ②过点C作轴于点E，求出，用含有的代数式分别表示，再根据等腰三角形进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：点为直线上一点， ， ． 代入得，， ． （2）解：①对于直线，当时，，即， 直线，当时，，即， ， 点在线段上，则， ． ， 中边上的高为4， ， ， 解得． ②过点C作轴于点E，则， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可知， ， ， ，． 当时，， 即或， 解得或； 当时， 轴， ， ， 即或， 解得或（此时P与点A重合，故舍去）； 当时， 在中，由勾股定理可知， ， 解得； 综上可得，的值为4或8或或 变式11-1（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，直线：分别与轴，轴交于，两点，直线：分别与轴，轴交于，两点，直线与交于点． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)在直线上确定一点，使，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点M的坐标为或 (3)存在，点的坐标为和 【分析】（1）先求出点E的纵坐标，再把点E的坐标代入解析式即可求出．即可得到一次函数解析式； （2）分点在线段上和点位于线段的延长线上两种情况进行解答即可； （3）设的坐标为，分点位于直线右侧和点位于直线左侧两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：将点代入，得． 将点代入，得， 解得． ∴直线的解析式为：． （2）解：对于，当时，，解得． 对于，当时，；当时，，解得． ，，． ， ． ． 分情况讨论如下： ①如图，当点在线段上时， ， 即，解得． 将代入，得，解得． 的坐标为． ②如图，当点位于线段的延长线上时， ， 即，解得． 将代入，得，解得． 的坐标为． 综上，点M的坐标为或． （3）设的坐标为，分情况讨论如下： ①如图，当点位于直线右侧时， 过点作轴交于点，过点作于点． ，， ， 又，， ． ，， ，解得． 的坐标为． ②如图，当点位于直线左侧时， 过点作轴交于点，过点作于点． ，， ， 又，， ． ，， ，解得． 的坐标为． 综上，点的坐标为和． 变式11-2（25-26八年级下·广东汕头·期末）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． 【解决问题】 (1)求直线的解析式． (2)如图①，点关于轴的对称点为，点在直线上，且，求直线的解析式． (3)如图②，点为直线上一点，以为斜边作等腰，点在第一象限，为线段上一动点，连结，以为直角边，点为直角顶点，作等腰，轴，为垂足，以下结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值． 【答案】(1)； (2)； (3)②的值不变，为． 【分析】（1）根据非负数的性质列式求出a、p的值，从而得到点A、P的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）根据关于y轴的点的对称求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，设出点S的坐标，然后利用两点间的距离公式列式进行计算即可求出点S的坐标，再利用待定系数法求解直线的解析式； （3）根据点B的横坐标为-2，可知点P为的中点，然后求出点B的坐标，连接，过点C作轴于点G，利用角角边证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再根据是等腰直角三角形，利用角角边证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后用表示出的长度，然后代入两个结论进行计算即可找出正确的结论并得到定值． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 解得，， ∴点A、P的坐标分别为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线AP的解析式为； （2）解：根据题意，点Q的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线AQ的解析式为， 设点S的坐标为， 则， ， ∵， ∴=， 解得x=， ∴， ∴点S的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为； （3）解：∵点， ∴点P为的中点， 连接，过点C作轴于点G， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵轴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， ∴， ①， ∴的值随点D的变化而变化，不是定值， ②， 的值与点D的变化无关，是定值． 变式11-3（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，线段的垂直平分线分别交、x轴于点E、C，轴于点D． (1)求点A、B的坐标和线段的长； (2)证明； (3)把直线绕着点B旋转后，与直线交于点P，求点P的坐标． 【答案】(1)，， (2) 证明：∵垂直平分 ∴点E是的中点， ∵， ∴点E的坐标为； ∵轴于点D． ∴，， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴； (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，利用平方根的性质解方程，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）分别令求解直线与x轴、y轴的交点坐标，再由勾股定理求解即可； （2）先求出点E的坐标为，则可得，再由互余关系求证，即可证明； （3）可得为等腰直角三角形，则，然后求出直线，设，由建立方程，再由平方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴当时， ∴ ∴当时， ∴ ∴ ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图， 由题意得， ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ 由（2）知， ∴， 而， ∴， ∴， 设直线， ∴ 解得， ∴直线 设， 由得，， 整理得， 即 ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或． 变式11-4如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标． (2)点Q是线段CA上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线AB于M点，交CP于点N，设点Q的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）． ②当点Q，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出m的值． (3)过点P作轴于点H，点E在射线上且不与点P重合，点F在射线上，，连接是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)①；②或8 (3)存在最小值，最小值 【分析】（1）联立方程组：，即可求解； （2）①点Q的横坐标为m，由，得点Q，M，N三点横坐标都为m，即可求解； ②先表示出Q，M，N三点坐标，分两种情况，第一种情形：点N是QM的中点时，第二种情形：点M是QN的中点时，根据中点坐标公式即可求解； （3）在CA上取G，使得，连接，先证，当最小，即B、F、G三点共线时，最小，即可求解. 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点P， ∴联立方程组：，解得：， ∴点P的坐标为； （2）解：①点Q的横坐标为m， ∵， ∴点Q，M，N三点横坐标都为m， ∴点M坐标为，点N坐标为， ∴； ②当时， ∴点M坐标为，点N坐标为， ∴，， 由①知， 第一种情形：点N是QM的中点时，， ， 解得：或16（舍去）； 第二种情形：点M是QN的中点时，， ， 解得：或﹣8（舍去）； 综上，或8； （3）解：存在最小值， 在CA上取点G，使得，连接FG ∵直线与x轴交于点A，与y轴交于B点，点C为直线与轴的交点， ∴ ， ，， ∵点P的坐标为， ∴点H坐标为， ∴PH垂直平分BD， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ 当最小，即B、F、G三点共线时，最小， 此时最小值． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，中点坐标公式的运用，全等三角形的性质与判定，最值问题，解题关键是利用全等三角形的性质把的值转化为的值. 变式11-5在数学课“合作学习”环节，沈老师要求同学们通过观察如图1所示的坐标系中一次函数的图象，从而来发现某些规律．    同学们通过讨论，积极发言，主要把进行分类，得出一次函数的部分性质： 对于一次函数（，为常数，且）， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小． 【跟进练习】对于函数，当时，则的取值范围是________． 爱思考的小敏同学提出了看法，我还发现：与这两条直线是互相垂直的． 这是一种巧合还是存在着某种联系？ 沈老师说：这两者确实存在着某种联系，同学们不妨再举几个类似的例子，看看能否提出你们的猜想．通过讨论，同学们最终形成共识，得到下列结论： “若两条直线函数表达式为与（，均不为0），当时，两条直线互相垂直；反之亦成立”这个结论． 【结论理解】若直线与直线互相垂直，则________． 【灵活运用】如图2，的斜边在轴上，且，，延长交轴于点，求点的坐标．   【延伸拓展】在平面直角坐标系中，已知直线经过点，与轴的交点为，点在坐标轴上，若以为顶点的三角形是直角三角形．请直接写出点的坐标． 【答案】【跟进练习】；【结论理解】；【灵活运用】；【延伸拓展】，，， 【分析】本题考查一次函数的图象与性质． 【跟进练习】根据的取值即可求出的取值；【结论理解】直接利用结论求出即可；【灵活运用】先求出直线的解析式，再设直线的解析式并求出，最后联立两个解析式即可；【延伸拓展】先求出直线解析式，再得出点坐标，最后由的坐标结合以为顶点的三角形是直角三角形即可． 【详解】解：【跟进练习】 ， 当时，；当时， 故答案为：； 【结论理解】直线与直线互相垂直 故答案为：； 【灵活运用】， 直线的解析式为： 设直线的解析式为： 将代入得， 由得 ； 【延伸拓展】直线经过点 得 与轴的交点 ，，为顶点的三角形是直角三角形 如图，    当，点C在y轴上时，点坐标是， 当时，直线，直线与坐标轴交点即可所求点C， 点C在y轴上时，点坐标是， 点C在x轴上时，点坐标是， 当时，直线，直线与坐标轴交点即可所求点C， 点C在x轴上时，点坐标是， 综上所述：点坐标可以是以下各点： ，，，． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1.（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形由块边长为的小正方形拼成，图中阴影矩形记为区域（包含边界）对于正方形边上的一点，若点在正方形内部且线段与区域有公共点，则称点是点的“盲点”．点的所有“盲点”组成的区域称为点的“盲区”，其面积记为．若点在线段上，且，则点的“盲区”的面积________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】连接点与点并延长，交轴于点，即可得到点的“盲区”．利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到点的坐标，最后使用割补法求出点的“盲区”的面积． 【详解】解：如图，阴影部分即为点的“盲区”， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴． 2.（24-25八年级上·浙江湖州·期末）当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速． （1）如图1，一束激光从点出发，射向轴上的点，经过反射后射向点，已知光线的反射满足反射定律（即反射角入射角）．若点，点，则直线与轴的交点的坐标为_____ （2）如图2，线段是一根激光感应器，其函数表达式为，从点射出的激光射向位于轴上的镜面，经过反射后恰好覆盖线段上的4个整数点（横纵坐标都为整数的点），则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、三角形全等的判定与性质等知识，较难的是题（2），正确找出临界位置是解题关键． （1）先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （2）先求出线段上共有5个整数点：，，，，，再找出两个临界位置：①当点的坐标为，点的坐标为时，②当点的坐标为，点的坐标为时，分别求出点的坐标，由此即可得． 【详解】解：（1）如图，由题意得：， 由对顶角相等得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点位于轴的负半轴上， ∴直线与轴的交点的坐标为， 故答案为：． （2）对于函数， 要使得y为整数，则x为偶数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴线段上共有5个整数点：，，，，， ∵， ∴由（1）可知，直线与轴的交点坐标均为， 则有以下两个临界位置： ①当点的坐标为，点的坐标为时， 设直线的解析式为， 将点和代入得：，解得， 则直线的解析式为， 当时，，解得，即， 同理可得：直线的解析式为， 当时，，解得，即， ∴此时的最小值为； ②当点的坐标为，点的坐标为时， 同理可得：直线的解析式为，直线的解析式为， 当时，，解得，即， 当时，，解得，即， ∴此时的最小值为； ∵， ∴当镜面的端点放在点、端点放在点的位置上时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 3.（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒有成立，则k的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】先根据平行于y轴的直线性质求出点B、C的坐标，得到的长度表达式，再结合绝对值不等式恒成立的条件，通过分类讨论转化为关于k的不等式，进而求出k的取值范围． 【详解】解：过点作平行于y轴的直线为， 将代入，得， 将代入，得， 两点横坐标相同，为纵坐标差的绝对值， ， 由题意，在时，恒成立， 即，化简得， 情况1：当时，，不等式恒成立 情况2：当时， ， 不等式两边同除以（，不等号方向不变），得， 对于恒成立： ，越大越大，当时取最大值为：， ，解得， 对于恒成立，解得， ， 的取值范围为且． 4.（24-25八年级下·四川成都·期末）小亮在学习了《光的反射定律》后，知道入射光线经过反射后形成反射光线．如图1，是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角．同时，他还发现可以用一次函数的图象来刻画光线的反射．如图2，一次函数与构成的图象，可看作从轴上点发出的一束光经轴上的点反射后得到的图象．小亮把这样的能刻画光线反射的函数图象称为一组“反射函数线”．如图3，从轴上点发出一束光线，经过轴上一点反射后形成的“反射函数线”．若反射光线过点，则点的坐标为_________；若，，均为“反射函数线”上的点，且，则的取值范围是_________． 【答案】 ， 【分析】①作轴，再反向延长射线交轴于点，证明，则可得，进而可得，设直线的表达式为 ，利用待定系数法求得直线的表达式为，进而可求得点的坐标为． ②由题意，根据图像可得，“反射函数线”关于直线对称，且图像上的点离对称轴 越近函数值越小，由，，均为“反射函数线”上的点，且，可得，然后分，，， 四种情况解不等式即可． 本题主要考查用待定系数法求一次函数的表达式，一次函数的对称性，以及解不等式组，熟练掌握数形结合法是解题的关键． 【详解】解：如图，作轴， 由题知， ∴， 反向延长射线交轴于点， 则， ∴，　 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的表达式为 ， 则， 解得， ∴直线的表达式为． 当时，， ∴点的坐标为． 故空１答案为：． 由题意，根据图像可得，“反射函数线”关于直线对称，且图像上的点离对称轴越近函数值越小． ∵，，均为“反射函数线”上的点，且， ∴， ∴①当时，， ∴此时无解； ②当时，， ∴， ∴此时； ③当时，， ∴， 此时； ④当时，， ∴此时无解； 综上，的范围为：． 故空2答案为： ． 5.如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中．若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为_________． 【答案】 【分析】此题考查了面积相等问题，用待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是利用三角形的面积公式求出的长． 【详解】如图，过作于，易知， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ， 而， ， ， ∴A点坐标为， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线l解析式为． 故答案为： 6.（25-26八年级下·河南焦作·期末）在测浮力的实验中，将一长方体金属块由烧杯的上方缓慢浸入水中，弹簧测力计的示数与金属块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（     ）（温馨提示：当金属块位于水面上方时，；当金属块入水后，） A．当金属块下降时已浸入水中 B．金属块完全浸入水中后所受到的浮力为 C．当时，拉力与之间的函数表达式为 D．弹簧测力计的示数是时，金属块距离烧杯底部为 【答案】C 【分析】先分析图象的三个阶段：0到阶段，金属块未接触水面，则弹簧测力计示数等于金属块重力，可直接读取重力值，阶段，金属块逐渐浸入水中，排开液体体积逐渐变大，浮力逐渐变大，则拉力逐渐减小，结合两点坐标用待定系数法求该段的一次函数表达式；之后阶段，金属块完全浸没在水中，排开液体体积不变，浮力不变，则拉力保持不变，用计算完全浸没时的浮力,针对每个选项，结合上述阶段的物理意义、对应的公式或函数表达式，逐一判断正误． 【详解】解：由图象可知：时，弹簧测力计示数保持不变，等于金属块重力，说明此时金属块还在水面上方，没有浸入水中， 因此，下降时，金属块未浸入水， 故选项A错误； 由图象可知，金属块重力，完全浸没后拉力， 金属块完全浸入水中后所受到的浮力为， 故选项B错误； 当时，设此时的函数关系式为， 将点和代入得： ， 解得：， 拉力与之间的函数表达式为； 故选项C正确； 当时，代入函数得 解得： 烧杯水深，当时，金属块底部刚好接触水面， 因此，时，金属块浸入深度为， 金属块底部距离烧杯底部的距离为， 故选项D错误． 7.（25-26八年级下·湖南长沙·期末）定义：当，，，满足，且时，称点与点为一对“芙蓉点”．若某函数图象上至少存在一对“芙蓉点”，就称该函数为“芙蓉函数”．请你根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ①点与点___________是一对“芙蓉点”； ②判断：点的“芙蓉点”___________（选填“在”或“不在”）函数的图象上． (2)当点A在直线上运动时，求点A的“芙蓉点”B的横、纵坐标满足的数量关系． (3)若一次函数与（，都是常数，且）均是“芙蓉函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和． 【答案】(1)①；②不在 (2) (3) 【分析】（1）①根据“芙蓉点”的定义，设出所求点的坐标，列出方程求解； ②先求出点的“芙蓉点”，再代入函数判断是否在其图象上； （2）设出点A和点B的坐标，根据“芙蓉点”的定义列出方程，进而得到点B的横、纵坐标满足的数量关系； （3）先根据“芙蓉函数”的定义求出两个一次函数的表达式，再分别求出它们与两坐标轴围成的平面图形的面积，最后求和． 【详解】（1）解：①根据题意可知，，， ∵点为， ∴，解得：；，解得：， ∴点与点是一对“芙蓉点”； ②设“芙蓉点”为，则，， ∴，， ∴点的“芙蓉点”为， 代入函数验证：当时，， ∴点的“芙蓉点”不在函数的图象上． （2）解：设点，点， ∵点A在直线上， ∴， 又∵点A与点B是一对“芙蓉点”， ∴，且， ∴， 将代入， 可得， ∴， 由可得， 将代入， 得， 即， ∴点A的“芙蓉点”B的横、纵坐标满足的数量关系为． （3）解：设一次函数上的一对“芙蓉点”为，， 则， ∴，即， ∵，在上， ∴， 将代入可得， 两式相减， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 对于，令，则；令，则， ∴它与两坐标轴围成的三角形面积为， 对于，令，则；令，则， ∴它与两坐标轴围成的三角形面积为， ∴， ∴这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和为． 8.（25-26八年级下·福建莆田·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线和直线，直线与x轴，y轴分别交于点A，B． (1)求出的面积； (2)若，x轴上有一点，且，过点M作直线垂直于x轴，分别交直线和直线于点C，D，当时，求m的值； (3)若直线与直线和y轴所围成的区域（不含边界）恰好有3个整点（横纵坐标均为整数），请直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据直线与x轴，y轴分别交于点A，B，求出点A，B的坐标，即可求解； （2）根据题意得，点C，D的横坐标为，点C，D分别在直线和直线上，则，，表示出，即可得关于m的方程，解方程取合适的值即可； （3）由题意得整点为，，或，，，利用待定系数法求得b的值，结合图象即可求得． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴的面积为：； （2）解：∵， ∴， 根据题意得，点C，D的横坐标为，点C，D分别在直线和直线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴； （3）解：∵直线直线和y轴所围成的区域（不含边界）恰好有3个整点（横纵坐标均为整数）， ∴整点为，，或，，， 当整点为，，时， 把代入得，， 把代入得，， ∴； 当整点为，，时， 把代入得，， 把代入得，， ∴． 综上所述：当或时，直线直线和y轴所围成的区域（不含边界）恰好有3个整点（横纵坐标均为整数）． 9.（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，一次函数与一次函数 组成新函数y (1)如图（1），当，一次函数与x轴交于A、C，与y轴交于点B， ①求证：； ②点P在线段上，纵坐标为，若点P到直线的距离为，则点P坐标 ． (2)如图（2），当，一次函数，且，过B作轴，，过E作y轴平行线交直线于F，以、为邻边构造矩形，若一次函数y与矩形只有2个交点时，求a的取值范围？ (3)若时，点，都在一次函数上，当，时，都有，求k的取值范围？ 【答案】(1)①证明：∵一次函数与x轴交于A、C，与y轴交于点B， 令，则；令，则， 解得：或， ∴，，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； ② (2) (3)或 【分析】（1）①根据已知条件通过一次函数与坐标轴的交点求出点A和点B的坐标，从而得出是等腰直角三角形，进而推出结论； ②在线段上取点P，过点P作交于点D，过点P作交y轴于点K，连接，根据已知条件利用平行线的性质，待定系数法求一次函数解析式求出点K的坐标表达式，再利用等面积法列出方程求得的值，从而求出点P的坐标； （2）根据已知条件结合图象，利用矩形的性质分析讨论矩形与一次函数y的临界点，从而得出一元一次不等式组求解出a的取值范围； （3）根据已知条件结合图象分析讨论点M的位置，从而求出k的取值范围． 【详解】（1）①略； ②解：如图，在线段上取点P，过点P作交于点D，过点P作交y轴于点K，连接， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∵点P的纵坐标为，且在线段上， 又∵， 将代入得：， ∴， 将点P代入直线的解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴，即， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为， 则点P的横坐标为， ∴． （2）解：如图，设与的交点为Q， ∵轴，，， ∴，， ∵以、为邻边构造矩形，且一次函数y与矩形只有2个交点， ∴点必为矩形边上的交点， 又∵， ∴x的取值关于y轴对称， 此时分情况讨论矩形与一次函数y的临界点情况： ①当矩形与线段有交点时，即点F在线段上， 令，代入得， ∴； ②当矩形与线段有交点时，即点Q在线段上， 令，代入得，则， ∴， 要使一次函数y与矩形只有2个交点， 则需满足线段与矩形无交点，矩形与线段有两个交点， ∴，解得：， ∴a的取值范围是． （3）解：由一次函数y可知，与恒过点， ∵时，点，都在一次函数y上，且， ∴点固定在直线上， 要使恒成立，此时分情况讨论： ①当点在图象上时，如图： 由图象可知，要满足恒成立，则左边最小值大于右边最大值， ∴当时，， 当时，， ∴，解得：， 即； ②当点在图象上时，如图： 由图象可知，要满足恒成立，则点M在点N的右侧， ∴，解得：， 综上所述，k的取值范围是或． 10.（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【分析】（1）根据题意列函数解析式即可； （2）设商场能获得的利润为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； （3）设利润为W元，根据题意，列出函数关系式，分三种情况，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式为； （2）解：设商场能获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 即商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：设利润为W元，根据题意得： ， 当，即时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时，，不符合题意，舍去； 当，即时，W随x的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为． 11.“五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下： 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折 方案二 “满送”（如：购买元服装，赠元购物券；购买元服装，赠元购物券） 方案三 “满减”（如：购买元服装，只需付元；购买元服装，只需付元） （注：一人只能选择一种方案） (1)小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同． 求裤子的标价； 请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由； (2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______； (3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元的服装，当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ 【答案】(1)元； 选择方案三，理由如下： 方案一的花费为：元， 方案二的花费为：元， 方案三的花费为：元， ∵， ∴应选择方案三； (2)，，； (3)当时，用方案三购买更合算． 【分析】（）设裤子的标价为元，根据题意列出方程解答即可求解；分别算出每一种方案的花费即可判断求解； （）根据题意列出函数解析式即可； （）分和两种情况讨论即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，求一次函数的解析式，根据题意，正确列出一元一次方程和一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设裤子的标价为元， 根据题意得，， 解得， 答：裤子的标价为元； 略 （2）解：当时，关于的函数表达式为，当时，关于的函数表达式为，当时，关于的函数表达式为； 故答案为：，，； （3）解：当时，方案一购买需花费元，方案三需花费元， ∵， ∴ 用方案一购买更合算； 当时，方案一购买需花费元，方案三需花费元， 当时，解得， ∴当时，用方案三购买更合算； 当时，两种方案购买花费一样多； 当时，用方案一购买更合算； 综上，当时，用方案三购买更合算． 12.（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，对任意三点，，给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差称为“横距”，纵坐标的最大值与最小值的差称为“纵距”，若三点的“横距”与“纵距”相等，我们称这三点为“等距点”． 【提出问题】如果点，点，动点是“等距点”，请探索动点在x轴上方平面的轨迹． 【解决问题】（1）列表、描点、连线：先将下表补充完整，然后在图中描出动点在x轴上方平面的轨迹． … … ________ ________ ________ ________ （2）根据动点在x轴上方平面的轨迹，求出该轨迹的函数解析式． 【拓展应用】在x轴上方平面中，若函数的图像上存在点，使得，，是“等距点”，求出的取值范围． 【答案】[解决问题]（1）补全表格． … … 4 如图， ； （2）； [拓展应用] 【分析】（1）根据“等距点”的定义分别求得时的横距，进而确定纵距，确定点的坐标，完成填表，画图； （2）根据图形待定系数法求解析式，即可求解； （3）分别代入点和点，得出的值，观察图形，即可求解． 【详解】解：（1）根据定义，当时，横距纵距，， 当时，横距纵距,则， 当时，横距纵距，， 当时，横距纵距,则． （2）∵当时，经过点， 设直线解析为，代入， 得解得： ∴ 同理可得当时， ∴点P轨迹的函数解析式为 [拓展应用]如图， 当经过点时， 解得：， 当经过点时， ， 解得： ∴ 13.（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： 甲地 乙地 厂 x ② 厂 ① ③ ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． 【答案】(1)①，②，③ (2)； (3)甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：180吨；乙地运往厂：240）吨，乙地运往厂：160吨， 【分析】本题考查了一次函数的应用，列代数式，难度较大，解题的关键是正确理解题意． （1）设从甲地运吨木材到厂，根据“甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨”列代数式即可； （2）根据运费等于单价乘以数量建立起函数关系式即可； （3）根据总运费得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由题意得，①，②，③， 故答案为：①，②，③； （2）解：由题意得，； ； （3）解：因为，即， 可得， 得， 又， 得． ∵， 一次函数中，， 故随增大而减小， ∴内，取最大值120时，总最小． 故调运方案为：甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：吨；乙地运往厂：吨，乙地运往厂：吨， 所以（元）． 14.（24-25七年级上·山东济宁·期末）综合与实践 【模型呈现】如图1，在中，，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：． 【模型应用】如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D． ①求A，B两点的坐标； ②求点C的坐标与直线的函数关系式； 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点C是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】 （模型呈现）：证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （模型应用）：①点的坐标为，点的坐标为；②点的坐标为，；（模型迁移）：或 【分析】（模型呈现）根据证明即可； （模型应用）①令和令即可求出点A和点的坐标． ②过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质即可求出点的坐标为，根据待定系数法即可求出直线的解析式； （模型迁移）：根据题意可得，设，画出图象，当时，证明，根据全等三角形的性质列出等式即可求解． 【详解】（模型呈现）：略 （模型应用）：①解：把代入中，得， 点的坐标为． 把代入，得，解得：， 点的坐标为． ②如图中，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为； （模型迁移）：根据题意可得， 设， 则当时， 如图，过点作直线轴交于点E，过点P作， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：或， ∴或． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，一次函数的解析式求解，一次函数的图象和性质，点的对称，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，数形结合． 15.（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图（1），直线：分别与轴、轴交于，两点，点沿轴向右平移3个单位得到点，连接，作直线． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)若点在线段上，且使的面积为，请求出点的坐标； (3)如图（2），为轴上点右侧的一动点，以点为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接并延长交轴于点，当点运动时，点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) (3)点的位置不发生变化， 【分析】（1）把代入，求出，可得直线的解析式为，令，求出，即可得出，根据平移方式得出，利用待定系数法求出直线解析式即可； （2）设，根据列出方程，解方程求出的值即可得出答案； （3）过点作轴于，根据角的和差关系得出，即可证明，得出，，根据点、坐标得出，根据线段的和差关系得出是等腰直角三角形，，进而得出是等腰直角三角形，即可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵分别与轴、轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵点沿轴向右平移3个单位得到点， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设， ∵，，， ∴，， ∵的面积为，， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作轴于， ∵以点为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴点的位置不发生变化，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $