专题02 一次函数的应用（题型专练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“概念-应用-拓展”为主线，构建一次函数与方程、实际问题、几何综合的系统化训练体系，突出数学建模与逻辑推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数与方程|1典例+11变式|交点横坐标与方程解的转化|从代数关系到图像表征的双向互化| |方案选择|1典例+7变式|函数建模→关系式比较→最优决策|实际问题抽象为函数关系的应用过程| |最大利润|1典例+9变式|成本控制下的函数增减性分析|经济问题中变量关系的数学表达| |行程问题|1典例+12变式|v-t/s-t图像信息提取与转换|运动过程的数学化描述与量化分析| |面积问题|1典例+9变式|坐标割补法与图形转化策略|几何图形与函数图像的综合计算| |三角形存在性|1典例+6变式|分类讨论与方程思想结合|动态几何中存在性问题的推理方法|

专题02 一次函数的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 一次函数与一元一次方程的关系 题型02 一次函数与方案选择问题 题型03 一次函数与最大利润问题 题型04 一次函数与行程问题 题型05 一次函数中的面积问题 题型06 一次函数中的三角形存在性问题 ▌题型01 一次函数与一元一次方程的关系 【典例1】 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系，勾股定理，先根据勾股定理求出，根据直线与x轴的交点的横坐标，即为关于x的方程的解，然后数形结合求解作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴方程的解是一次函数与x轴的交点的横坐标， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：． 【变式1-1】 【答案】 【分析】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，根据图象解出方程，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，∵直线与直线交于点， ∴根据图象可得关于x的方程的解是：， 故答案为：． 【变式1-2】 【答案】B 【分析】直接根据函数图象与y轴的交点进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的交点为， ∴方程的解是． 故选：B． 【变式1-3】 【答案】A 【分析】根据一次函数与x轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解，结合图象即可解答． 【详解】解：∵直线与x轴交点的横坐标为1， ∴关于x的方程的解为． 故选A． 【变式1-4】 【答案】D 【分析】关于的一元一次方程的根是 ，即 时，函数值为，所以直线过点 ，于是得到一次函数的图象与轴交点的坐标． 【详解】解：方程的解为 ，则一次函数的图象与轴交点的坐标为 ， 故选：D． 【变式1-5】 【答案】C 【分析】一次函数y＝kx+b的图象上纵坐标为1的点的横坐标即为方程ax+b＝1的解，据此求解即可． 【详解】解：∵点（4，1）在一次函数y＝ax+b的图象上， ∴关于x的方程kx+b＝1的解是x＝4． 故选C． 【变式1-6】 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系．根据，可求，根据一次函数与方程的关系可知当时，，即可得到定点坐标． 【详解】解：， ． ∴在中，当时，， 一次函数经过点， 故选：D． 【变式1-7】 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的知识，理解两者的关系是解题的关键． 观察图象可得出点在函数的图象上满足函数关系式，结合一次函数与一元一次方程之间的关系可得到方程的解． 【详解】根据图象知，当时， 即时， 方程的解时 故选：C 【变式1-8】 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，先求解，再解方程即可． 【详解】解：由图知：直线经过点， 即； ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-9】 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，方程的解为时函数的x的值，根据图表即可得出此方程的解． 【详解】解：根据图表可得：当时，，即时，， 因而方程的解是． 故答案为：． 【变式1-10】 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键． 【详解】解：把代入得，解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 【变式1-11】 【答案】A 【分析】本题考查了用一次函数与方程的关系，掌握一次函数与方程的关系是关键．根据当时，，从而可得答案． 【详解】解：由表格信息可得：当时，， ∴的解为， 故选A ▌题型02 一次函数与方案选择问题 【典例2】 【答案】(1)小明用方案一购书更划算；计算见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）当时，根据方案一和方案二计算出实际花费，然后比较即可； （2）根据题意给出的等量关系即可求出答案； （3）根据y关于x的函数解析式，求出两种方案所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱． 【详解】（1）解：当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴小明用方案一购书更划算； （2）解：由题意得：方案一：； 方案二：； ∴与x的函数关系式为；与x的函数关系式为； （3）解：当时，即， 解得； 当时，即， 解得； 当时，即， 解得． ∴当时，方案一更划算，当时，方案二更划算，当时，方案一和方案二一样划算． 【变式2-1】 【答案】(1) (2)总运费最小为9280元，此时A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨 【分析】（1）根据调运总费用等于四种调运单价乘以对应的吨数的积的和，得w与x的函数关系； （2）根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）设从B基地运往C城市的蔬菜为x吨，则从B基地运往D城市的蔬菜为吨，从A基地运往C城市的蔬菜为吨，从A基地运往D城市的蔬菜为吨， 由题意可得， ∵ 解得； （2）∵随x增大而增大，且 ∴当时，总运费最小为9280元，此时A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨． 【变式2-2】 【答案】(1)k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元．b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元 (2)打折前的每次健身费用为25（元）， (3)选择方案一所需费用更少．理由见解析 【分析】(1)直接根据函数的图象结合实际意义进行解答； (2)根据方案一打折后每次健身费用是15元，因为是打六折，故可求打折前的费用；然后根据方案二再打八折即可求得k2 ； (3)根据（1）（2）即可得到，当时，解得：．即可得到答案． 【详解】（1）解：的图象过点和点， ∴∴． k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元． b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元． （2）打折前的每次健身费用为（元） ． （3）选择方案一所需费用更少．理由如下： 由（1）知， ∴． 由（2）知， ∴． 当时，，解得：． 结合函数图象可知，小华暑期前往该俱乐部健身7次，选择方案一所需费用更少． 【变式2-3】 【答案】(1)（）； (2)3种方案，具体见解析； (3)派往A地乙车30台；派往B地甲车20台．租金最高为80000元． 【分析】（1）利用甲车共有20台，A地共有30台车，得出甲乙发往A、B两地的车辆数量，再根据价格算出一天租金即可； （2）利用租金限制列出不等式得到发往A地的甲车数量范围，得到发车方案； （3）根据函数y随x增大的变化情况及x的范围求出最多租金和其方案即可． 【详解】（1）甲车发A地x台， 甲车发B地，乙车发A地台，乙车发B地x台， ， （）； （2）由题意得：， 解得， 或1或2， 故有如下三种方案， 第一种：派往A地的甲车0台，乙车30台；派往B地的甲车20台，乙车0台； 第二种：派往A地的甲车1台，乙车29台；派往B地的甲车19台，乙车1台； 第三种：派往A地的甲车2台，乙车28台；派往B地的甲车18台，乙车2台． （3）（）， y随x的增大而减小， x取最小值0时，租金最多为80000元， 此时方案为：派往A地乙车30台；派往B地甲车20台． 【变式2-4】 【答案】(1)， (2)①该厨具店选择方案二更省钱；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶．该方案所需费用为21760元 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶最省钱，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ． （2）解：①当时，，． ∵， ∴该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 【变式2-5】 【答案】(1)， (2)方案一 【分析】本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键． （1）根据两种销售方案表示出销售总价即可； （2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案． 【详解】（1）解： 与之间的函数关系式为， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， ， 该班选择方案一购买的肥料较多． 【变式2-6】 【答案】(1)见解析 (2)采取第①种方式可早日结清余款，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确理解题意列出关系式是关键． （1）先根据题意表示出第①种，第②种应实付款，再分类讨论即可； （2）分别表示出所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的函数关系式，相减即可求解． 【详解】（1）解：第①种应实付款， 第②种应实付款，        ， 令，解得 当智能机器人的总价万元时，采取第①种方式较省钱； 当智能机器人的总价万元时，两种方式一样； 当智能机器人的总价万元时，采取第②种方式较省钱． （2）该企业采取第①种优惠方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的关系为：，即 该企业采取第②种优惠方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的关系为：，即 因为，所以 ∴采取第①种方式可早日结清余款． 【变式2-7】 【答案】(1)，； (2)选择方案一更省钱． 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （）根据题意分别列出两种方案的函数关系式即可； （）将分别代入（）中两种方案的函数关系式，计算比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 当时，， 当时，， ∴，； （2）解：当时，（元），（元）， ∴， ∴选择方案一更省钱． ▌题型03 一次函数与最大利润问题 【典例3】 【答案】(1) (2)应生产羊公仔350 ，狼公仔100只 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系， （1）设每天生产羊公仔x只，则每天生产狼公仔只，根据总利润=羊公仔利润+狼公仔利润，即可得出函数关系式； （2）根据题意，列出不等式，求出x的取值范围，再结合一次函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：设每天生产羊公仔x只，则每天生产狼公仔只， 根据题意可得：， 即y与x之间的函数关系式为：； （2）解：根据题意可得：， 解得：， ∵，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， ∴（只）， 答：应生产羊公仔350 ，狼公仔100只． 【变式3-1】 【答案】(1)甲种水果的进价为5元/，乙种水果进价为8元/ (2)水果店应购进甲水果，购进乙水果才能获得最大利润，最大利润是450元 【分析】（1）设甲种水果的进价为x元/，则乙种水果进价为元/，列方程 解答即可． （2）设购进甲水果m，则乙水果，利润为y元.，利用一次函数的性质解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的性质的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）设甲种水果的进价为x元/，则乙种水果进价为元/ （元） 答：甲种水果的进价为5元/，乙种水果进价为8元/. （2）设购进甲水果m，则乙水果，利润为y元. ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴y随m的增大而减小. ∴当时，y最大，最大值为450元. 【变式3-2】 【答案】(1) (2)租用甲种客车12辆，乙种客车1辆，费用最省 【分析】本题考查了一次函数的应用，综合性强，解决问题的关键在于找到的取值范围，才能确定方案．本题较为灵活，计算量略微有些大，考查了学生的推理能力、计算能力． （1）设租用甲种客车辆，则乙种客车是辆，利用公式：总租金甲的总租金乙的总租金，即可列出与之间的函数关系式； （2）求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）依题意得：（为整数） （2）依题意得： ， 解之，得， 为整数，且为整数， 中，，y随x的增大而减小， 的值为12时，y有最小值，为，此时， 租用甲种客车12辆，乙种客车1辆，费用最省． 【变式3-3】 【答案】(1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5元，6元 (2)；购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，登大利润为4200元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为元，根据购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元列出方程求解即可； （2）根据题意可得购买水晶梨的数量为斤，则可求出，据此利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为元， 依题意，得， 解得，则（元）， 答：水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5元，6元； （2）解：∵商场购买鹰嘴桃的数量为n斤， 购买水晶梨的数量为斤， 依题意，得， ∵， ∴w随着n的增大而增大， 经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤， ， ∴当时．w有最大值，最大值为， 购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，登大利润为4200元． 【变式3-4】 【答案】(1) (2)当时，分配给甲店型产品40件，则分配给甲店的型产品为30件，分配给乙店的型产品0件，型产品为30件，有最大利润；当时，分配给甲店型产品10件，则分配给甲店的型产品为60件，分配给乙店的型产品30件，型产品为0件，有最大利润；当时，总利润与分配方案无关，总利润是16800元 【分析】（1）表示出分配给甲店的B型产品为件，分配给乙店的A型产品件，B型产品为件，然后根据图表数据表示出利润W整理即可得解，再根据分配给各店的产品数量是非负数列出不等式组求解即可得到x的取值范围； （2）根据只有分配给甲店的A型产品让利，列出利润的关系式，再分a的取值范围，根据一次函数的增减性确定总利润最大值时的情况． 【详解】（1）解：设分配给甲店型产品件，则分配给甲店的型产品为件， 分配给乙店的型产品件，型产品为件， 根据题意得， ，　　 根据运送数量都是非负数得，，解得，　　 所以，关于的函数关系式为，； （2） ，　　 ∵让利后型产品每件的利润仍高于甲店型产品每件的利润，∴，　　 解得，　　　　 ①时，，随的增大而增大，时，有最大值， 此时，分配给甲店型产品40件，则分配给甲店的型产品为30件， 分配给乙店的型产品0件，型产品为30件；　　 ②时，，随的增大而减小，时，有最大值， 此时，分配给甲店型产品10件，则分配给甲店的型产品为60件， 分配给乙店的型产品30件，型产品为0件． ③时，总利润与分配方案无关，总利润是16800元． 【变式3-5】 【答案】(1)A、B两种模型每件分别需要25元，150元 (2)，购进A模型226件，B模型29件利润最大为5390元 【分析】（1）设购进A，B两种模型每件分别需要x元，y元，列方程组求解即可． （2）设购买A种模型a件，购买B种模型b件，由题意列出方程组，求出b的范围，再列出W与b的函数关系式，求最值即可． 【详解】（1）设购进A、B两种模型每件分别需要x元，y元，由题意得： 解得 答：A、B两种模型每件分别需要25元，150元． （2）设购买A种模型a件，B种模型b件， ， 解得 则购买A种模型为件，即件， 则，即 ∵， ∴当b取最小值时总利润最大，由（2）得，b为整数， ∴当时，， ∴购进A模型226件，B模型29件利润最大为5390元 【变式3-6】 【答案】(1) (2)，元 【分析】（1）设第一季度销售A产品x袋，则销售B产品袋，根据获利元列出方程，解方程即可； （2）小林家第二季度A种产品的销售量为a袋，则B种产品销售量为袋，根据利润列出一次函数解析式，再根据一次函数的性质求出最小值即可得到答案． 【详解】（1）解：设第一季度销售A产品x袋，则销售B产品袋， 由题意得：， 解得：， ∴小林家第一季度销售A产品袋； （2）小林家第二季度A种产品的销售量为a袋，则B种产品销售量为袋， 由题意得， ∴w与a之间的函数关系式， ∵， ∴w随a的增大而减小， 由题意知，， ∴当时，， ∴小林家销售这两种产品至少获得总利润元． 【变式3-7】 【答案】(1) (2)①当时，调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调机0台，电冰箱30台；最大利润为元；当 时，内的所有方法利润相同，最大利润为元；当时，调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调机30台，电冰箱0台，最大利润为元 【分析】（1）根据总利润=甲连锁店空调机利润+甲连锁店电冰箱利润+乙连锁店空调机利润+乙连锁店电冰箱利润即可求解； （2）根据题意可重新列出总利润与的关系，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意知：调配给甲连锁店电冰箱台，调配给乙连锁店空调机台，电冰箱台，                     则 即                                                  ∴，                                 ∴ ； （2）解：按题意知：，     即， ∵， ∴．                                 ①当时，，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调机0台，电冰箱30台；最大利润为元． ②当 时，的取值在10≤≤40内的所有方法利润相同；最大利润为16800元． ③当时，，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调机30台，电冰箱0台；最大利润为元． 【变式3-8】 【答案】(1)每个A品牌足球的销售利润为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元 (2)①②应购进A品牌足球个，B品牌足球个，销售利润最大，为元 【分析】（1）设每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别为m元、n元，根据题“销售5个A品牌和个B品牌足球的利润和为元，销售个A品牌和5个B品牌足球的利润和为元”得方程组，解方程组即得； （2）①由题意、根据“总利润等于销售A品牌和B品牌所得利润之和”可得函数关系式；②由已知条件可得关于x的不等式，从而得出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最大利润． 【详解】（1）解：设每个A品牌足球的销售利润为m元、每个B品牌足球的销售利润为n元，根据题意，得：， 解得：， 答：每个A品牌足球的销售利润为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元； （2）解：①由题意知，， ∴y与x之间的函数关系式为； ②∵购进A品牌足球的个数不超过B品牌足球个数的4倍， ∴， 解得：， 在中， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值，最大值为， 即最大利润为元． ∴应购进A品牌足球个，B品牌足球个，销售利润最大，为元． 【变式3-9】 【答案】(1)甲、乙两种奖品的单价分别为10和20元； (2)当时，有最小值元． 【分析】（1）设甲、乙两种奖品的单价分别为、元，根据“3件甲种奖品和2件乙种奖品共需70元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需80元”列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买甲件，根据“甲种奖品的数量不超过乙的3倍”求得的范围，再根据题意得到关于的一次函数，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种奖品的单价分别为、元， 则，， 答：甲、乙两种奖品的单价分别为10和20元； （2）解：设购买甲件，则， 解得：， 由题意得， ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，有最小值：（元）． ▌题型04 一次函数与行程问题 【典例4】 【答案】C 【分析】从图表中提取有用信息逐一判断即可解题． 【详解】解：根据图象可知龟兔再次赛跑的路程为米， 故①正确； 兔子在乌龟跑了分钟之后开始跑， 故②错误； 乌龟在分钟时的路程为，故这分钟乌龟没有跑在休息， 故③正确. 兔子先到达终点，所有本次比赛兔子赢了， 故④正确. 正确的有个， 故选C． 【变式4-1】 【答案】C 【分析】据题意可以写出各段过程中，所剩路程与时间的关系，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 依依放学后以一定速度匀速步行回家这一过程中，所剩路程随着时间的增加而减小； 依依在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，这一过程中，所剩路程随着时间的增加不变； 然后依依提高了速度继续匀速步行回家，所剩路程随着时间的增加而减小，且减小的速度比遇到了同学前的速度快． 故选：C． 【变式4-2】 【答案】A 【分析】火车进入隧道时，长度逐渐增加，直至完全进入，然后长度一直不变，一直到开始离开隧道，长度减小，直至完全离开隧道． 【详解】解：根据题意可知货车进入隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为： 当货车开始进入隧道时y逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时y不变且最大， 当货车开始离开隧道时y逐渐变小．另外货车是匀速运动，货车进入隧道或离开隧道y随x的均匀变化而均匀增大或减小，故图象呈直线型，排除选项B、C、D． 故选：A． 【变式4-3】 【答案】B 【分析】对整个过程分段：小明出发至妈妈出门追，妈妈出门追至追上，停留，两人分开至同时到达，分别分析讨论． 【详解】由题意可得，小明从家出发到妈妈出门追这段时间，y随x的增大而增大，妈妈出门追至追上小明这段时间，y随x的增大而减小，停留阶段，y随x的增大不变，小明和妈妈分别去学校、回家的这段时间，y随x的增大而增大； 故选：B． 【变式4-4】 【答案】C 【分析】根据函数的图象和已知条件分别分析探讨其正确性，进一步判定得出答案即可． 【详解】解：①由图可知打电话时，小刚和妈妈的距离为1250米是正确的； ②打完电话后5分钟两人相遇后，妈妈的速度是米分，走的路程为米，回家的速度是米分，所以回家的速度为15米分是错误的； ③因为打完电话后5分钟两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，经过分钟小刚到达学校，所以是正确的； ④小刚家与学校的距离为米，所以是正确的． ∴正确的有①③④共3个． 故选：C． 【变式4-5】 【答案】(1) (2)1分钟3分钟 【分析】（1）先设出乙减慢速度后的函数解析式，再用待定系数法求解即可； （2）根据题意，乙在甲前方50米有两种情况，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：设乙减慢速度后函数关系式为， 把和代入得， ， 解得：， 乙减慢速度后函数关系式为； （2）解：由图象可得， 甲的速度为：（米分）； ①乙改变速度之前速度为：（米分）， ， 解得：； 乙改变速度之后，，， ②乙在甲前方50米，即，即， 解得：． 综上所述，乙行驶1分钟3分钟时，乙在甲前方50米． 【变式4-6】 【答案】(1)880 (2)； (3)． 【分析】（1）根据图象直接得出结论即可； （2）根据图象，利用待定系数法求解函数表达式即可； （3）分别求出余油量为10升和0升时行驶的路程，根据函数表达式求出此时的t值，即可求得t的范围． 【详解】（1）解：由图象，得时，， 故答案为：880； （2）解：设，将和分别代入表达式， 得，解得， ∴s关于t的函数表达式为； （3）解：当油箱中剩余油量为10升时，（千米）， ， 解得（小时）． 当油箱中剩余油量为0升时，（千米）， ，解得（小时）． 随t的增大而减小， 的取值范围是． 【变式4-7】 【答案】(1)300 (2)60，100 (3)或或或 【分析】（1）根据函数图象中的数据，写出，两地的距离； （2）根据函数图象中的数据，可以求出甲车和乙车的速度； （3）根据题意，可知分四种情况，然后求出相应的时间即可． 【详解】（1）由图象可得，，两地相距千米， 故答案：． （2）由图象可得， 甲车的速度为：， 乙地的速度为：， 故答案：，． （3）设甲出发小时后，甲，乙两车相距千米， 当乙没有出发，甲，乙两车相距千米，此时，； 乙出发后，甲乙相遇前：， 解得：； 甲乙相遇后且乙未达到终点：， 解得：； 甲乙相遇后且乙到达终点： 由上可得，甲出发或或或小时后，甲，乙两车相距千米， 故答案：或或或． 【变式4-8】 【答案】(1)0.5 (2) (3)补全图象见解析 【分析】（1）根据速度=路程÷时间解答即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）分别求出快车追上慢车时的时间，快车到达乙地的时间和两车距离，慢车到达乙地的时间即可补全图象． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.5； （2）解：设线段表示的与之间的函数表达式为， 则， 解得：， ∴线段表示的与之间的函数表达式为； （3）解：， 设快车在tmin追上慢车， 则 解得：， ∴； 设快车在amin到达乙地， 则， ∴此时， ∴； 设慢车在bmin到达乙地， 则， ∴； 故补全图象如图，   ． 【变式4-9】 【答案】(1)， (2)； (3)出发0.4小时后在距离A地处两人相遇 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）结合图形和图象获取信息即可； （2）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）从图象获取信息作答即可． 【详解】（1）解：由图形可知，小张离点的距离远，故表示小张运动过程的线段是，表示小丽运动过程的线段是； 故答案为：，； （2）设， 将代入，得，解得：k=10， 所以与t的函数关系式； 设， 将代入，得，解得：， 所以与t的函数关系式； （3）从图象可知，点N的实际意义是：出发0.4小时后在距离A地处两人相遇． 【变式4-10】 【答案】(1)；分钟/米 (2)小阳离家的路程y与x的函数解析式为 (3)小明和小阳之间的路程为米 【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是能从函数的图象中获取相关信息； （1）认真分析图象得到路程与速度数据； （2）采用待定系数法列出小阳离家路程y与时间x之间的函数关系式； （3）分别求出小明和小阳的路程即可． 【详解】（1）解：由图中可以看出，家与科技馆之间的路程为米； 由图中可以看出，小明步行时间为分钟，步行路程为米 ∴小明步行的速度为分钟/米 （2）解：∵小阳骑自行车以每分钟250米的速度直接回家， 设小阳离家的路程y与x的函数解析式为 把代入得： ∴小阳离家的路程y与x的函数解析式为 当时， ∴自变量x的取值范围 （3）解：当离开出发地的时间为6分钟时，小阳距家米 由图中可以看出，小明跑步速度为分钟/米 ∴当离开出发地的时间为6分钟时，小明走了米 ∴小明和小阳之间的路程为米 【变式4-11】 【答案】(1)6，4 (2)15 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式． （1）根据图象利用速度路程时间求解即可； （2）首先根据题意得到，，然后联立求出点P的横坐标为，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）1号无人机飞行的速度是米/秒， 2号无人机飞行的速度是米/秒； （2）根据题意得，， ∴联立得， 解得 ∴点P的横坐标为 ∴由图象可得， 两架无人机飞行15秒后，1号无人机的高度高于2号无人机． 【变式4-12】 【答案】(1)； (2)6；2 (3)300 【分析】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． (1)利用函数的定义求解； (2)根据函数图象，得到李老师在70秒跑了420米，小明110秒跑了220米，然后根据速度公式分别计算他们的速度； (3)先求出的表达式，设t秒时，小明第一次追上朱老师，利用路程相等得到，解方程求出t，然后计算即可 【详解】（1）解：在上述变化过程中，自变量是t；因变量是s． （2）李老师的速度：（米/秒）； 小明的速度（米/秒）． （3）设：的表达式为：，将点代入得：， 解得， ， 设的表达式为，将代入得：， 解得：， 设t秒时，李老师第一次追上小明， 根据题意得，解得（秒） 则（米）， 当李老师第一次追上小明时，小明距起点的距离是300（米） ▌题型05 一次函数中的面积问题 【典例5】 【答案】（1）A（0，3），B（0，-1）；（2）C（-1，1）；（3）2 【分析】（1）分别令x=0，求出y值即可得到A点和B点坐标； （2）联立两直线表达式，解方程组即可得到点C坐标； （3）根据三角形面积公式求解． 【详解】解：（1）当x=0时，y=2x+3=3，则A（0，3）； 当x=0时，y=-2x-1=-1，则B（0，-1）； （2）解方程组， 解得：， 则C点坐标为（-1，1）； （3）△ABC的面积==2． 【变式5-1】 【答案】（1）m=-2，；（2）；（3）或3≤a≤6 【分析】（1）根据点E在一次函数图象上，求出m的值，利用待定系数法即可求出直线l1的函数解析式； （2）由（1）求出点B、C的坐标，利用S四边形OBEC=S△OBE+S△OCE即可得解； （3）分别求出矩形MNPQ在平移过程中，当点Q在l1上、点N在l1上、点Q在l2上、点N在l2上时a的值，即可得解． 【详解】解：（1）点在一次函数图象上， ， ； 设直线的表达式为， 直线过点和， ，解得． 直线的表达式为． （2）由（1）可知：点坐标为，点坐标为， ． （3）或． 当矩形的顶点在上时，的值为， 矩形向右平移，当点在上时， ，解得，即点，， 的值为， 矩形继续向右平移，当点在上时，的值为3， 矩形继续向右平移，当点在上时， ，解得，即点， 的值， 综上所述，当或时，矩形与直线或有交点． 【变式5-2】 【答案】（1）5； （2）点C（﹣8，0），点D（0，﹣6）； （3）存在，点P的坐标为：（0，）或（0，）． 【分析】（1）对于yx+4，当x＝0时，y＝4，令yx+4＝0，则x＝﹣3，即可求解； （2）由图象的折叠知，AC＝AB＝5且CD＝BD，即可求解； （3）由则S△PAB＝8|yB﹣yP||8﹣yP|，即可求解． 【详解】解：（1）对于yx+4，当x＝0时，y＝4， 令yx+4＝0，则x＝﹣3， 即点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，4）， 由点A、B的坐标得，AB＝5； （2）存在，理由： 设点D（0，m）， 由图象的折叠知，AC＝AB＝5且CD＝BD， 则点C（﹣8，0）， 由CD＝BD得：（4﹣m）2＝82+m2， 解得：m＝﹣6， 即点D（0，﹣6）； （3）∵S△CODCO•OD24， 则S△PAB＝8|yB﹣yP||8﹣yP|， 解得：yP或， 综上，点P的坐标为：（0，）或（0，）． 【变式5-3】 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）分别令一次函数中的、等于零即可求解； （2）根据题意找到点位置，再由直线将的面积分成两部分，列出式子，解方程即可求解． 【详解】（1）在中，令，得． ∴点的坐标为．       在中，令，得，解得． ∴点的坐标为． （2）设． ①当时．      即，解得． ∴点的坐标为． ②当时． 即，解得． ∴点的坐标为． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【变式5-4】 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2) (3)或． 【分析】（1）分别求出当时，y的值，当时，x的值即可得到答案； （2）如图所示，过点作轴，先求出，，再根据三角形面积公式进行求解即可； （3）先求出出点坐标为，再分当、 时两种情况，利用一线三垂直模型证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 解得：， ∴点坐标为，点坐标为； （2）解：如图所示，过点作轴， ∵点是线段上的一个动点（不与，重合）， ∴，， ∴的面积， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得：， ∴点坐标为， 当时，过点作轴于，过点作于， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时，如图所示，过点作轴于M， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，点的坐标为或． 【变式5-5】 【答案】(1)C（4，7）； (2)①（0，）；②点E到AC的距离为4． 【分析】（1）先求出OA，OB，进而判断出△ACM≌△BAO（AAS），求出OM，CM即可得出点C坐标，最后用面积的差即可得出△ABC的面积； （2）①同（1）的方法求出点E的坐标，进而求出直线CE的解析式即可得出结论； ②利用等面积即可得出结论． 【详解】（1）如图1， ∵A（0，4），B（3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， 过点C作CM⊥OA于M， ∴∠CAM+∠ACM＝90°， ∵△ABC是等腰三角形， ∴AC＝AB，∠BAC＝90° ∴∠OAB+∠CAM＝90°， ∴∠ACM＝∠OAB， 在△ACM和△BAO中，， ∴△ACM≌△BAO（AAS）， ∴AM＝OB＝3，CM＝OA＝4， ∴OM＝OA+AM＝7， ∴C（4，7）， ； （2）①如图2，过点C作CM⊥OA于M，过点E作EN⊥AO于N， 同（1）的方法得出，E（﹣4，6）， 由（1）知，C（4，7）， 设直线CE的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴F（0，）； ②如图3，过点E作EG⊥AC于G， 由（1）知，C（4，7）， ∵A（0，4）， ∴AC， ∵， ∵AF＝2.5，AC＝5，C、E横坐标距离为8， ∴2.5×8＝5EG， ∴EG＝4． 【变式5-6】 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点代入 即可求出的函数解析式；根据“”可求出点的坐标，即可求出的函数解析式； （2）过点Q作的垂线，垂足为点M，过点P作的垂线，垂足为点N．根据可求点的纵坐标，代入即可求解． 【详解】（1）解：解：由图象可知y1经过点， 则 ， ， 直线交x轴和y轴分别于点C和点D 令，则 ∵ ∴， 把代入，则 ∴ （2）解：过点Q作的垂线，垂足为点M，过点P作的垂线，垂足为点N．    ∵直线和直线交于点P， ∴解得， 即， ∵交x轴于点B， ∴令， 即 ∴ 令，解得 ∴ 【变式5-7】 【答案】(1) (2)25 (3)点C的坐标为 【分析】（1）利用勾股定理求出， （2）正方形面积； （2）过点作轴于点，证明，即可得答案． 【详解】（1）设直线的函数解析式为， ，， 解得： ∴直线的函数解析式为； （2），， ，， 在中，， 正方形面积， 故答案为：25； （3）如图，过点作轴于点，    正方形中，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 【变式5-8】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点的坐标代入求解即可； （2）过点作轴于点，利用割补法求四边形的面积即可； （3）图象法解不等式即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， ∴； （2）∵，当时，， ∴； 由（1）知：，当时，，解得：， ∴， ∴， 过点作轴于点，    ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积 ； （3）由图象可知：时，． 【变式5-9】 【答案】(1) (2) (3)存在， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先求出点A坐标，由可求函数关系式， （2）将代入函数解析式可求得点； （3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M． 【详解】（1）解：点在第二象限，则因为 当时，x，则 （) （2）由（1）可知 当 则 此时： 所以 （3）存在点M满足条件， I．当M点在y轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为， II．当M点在y轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为； III．当M点在y轴时，若，即，      ， ∴， ∴当点M在点B上方时，点M坐标为， ∴当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；； IV．当M点在x轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点右侧时，点M坐标为， ∴当点M在原点左侧时，点M坐标为，与点A重合，不合题意舍去； V．当M点在x轴时，若，即， ∴， ∴， ∵点A坐标为， ∴当点M在点A左侧时，点M坐标为， ∴当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去； 综上所述：点M坐标为， ， ， ， ， ． ▌题型06 一次函数中的三角形存在性问题 【典例6】 【答案】(1)，， (2)或或 【分析】（1）根据平移的规律得出直线l的解析式，由函数解析式令求A点坐标，求B点坐标； （2）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将直线向下平移2个单位长度得到直线l， ∴直线l的解析式为， 当时，，解得， 当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， 当时，， 解得或， ∴M的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴M的坐标为； 综上，M的坐标为或或． 【变式6-1】 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．根据题意解方程得到，则，令，则，求得，，根据勾股定理得到，①当时，如图1，②当时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 在中， 令，则，令，则， ，，由勾股定理得， ①当时，如图1，   ， ， ； ②当时，如图2，   ， ， ， 综上所述：的长为或4． 故选：D． 【变式6-2】 【答案】(1)点E的坐标为，直线的解析式为 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、以及勾股定理，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先根据正方形的性质求出点E和C的坐标，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点P的坐标为，利用列方程解题； （3）设点P的坐标为，分为，和三种情况，利用勾股定理计算即可解题． 【详解】（1）解：∵点是正方形的一个顶点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， （2）解：设点P的坐标为， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； ∴点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 当时，，解得：，， ∴点P的坐标为或（舍去）； 当时，，即，解得， ∴点P的坐标为； 当时，解得：（舍去）或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【变式6-3】 【答案】(1) (2) (3)与全等时，点M的坐标为或 【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）过点D作于H，证明，分和两种情况，列分段函数； （3）点M可能在x轴上，也可能在y轴上，因此需要分两种情况分别计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图①，过点D作于H， ， ， 在和中， ， ， 当时， 由题意得：则， ； 当时，， ， 则 （3）解：如图②， ， ， ， ， 当时，， ， ∴点M在x轴上． ， ， 当时，， ∵点在轴上， ， ， ， 综上所述：与全等时，点M的坐标为或． 【变式6-4】 【答案】D 【分析】先证明△MCP≌△NPD，再根据勾股定理和待定系数法求函数解析式，最后求解即可。 【详解】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H， ∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°， ∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°， ∴∠MCP＝∠DPN， ∵P（1，1）， ∴OM＝BN＝1，PM＝1， 在△MCP和△NPD中， ∴△MCP≌△NPD（AAS）， ∴DN＝PM，PN＝CM， ∵BD＝2AD， ∴设AD＝a，BD＝2a， ∵P（1，1）， ∴BN＝2a﹣1， 则2a﹣1＝1， a＝1，即BD＝2． ∵直线y＝x， ∴AB＝OB＝3， 在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝ ， 在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝ ＝2， 则C的坐标是（0，3）， 设直线CD的解析式是y＝kx+3， 把D（3，2）代入得：k＝﹣ ， 即直线CD的解析式是y＝﹣ x+3， 即方程组 得： ， 即Q的坐标是（ ， ）． 故答案为：D． 【变式6-5】 【答案】或 【分析】先分别求出点A、B的坐标，再根据B，C两点的坐标求了直线的解析式，进而可分、两种情况，分别求了D点的坐标． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ，当时，，解得：， 当时，， ∴点A坐标为，点B坐标为， ∴，， 设过点、的直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的表达式； 当时，此时D与B重合， ∴D点坐标为， 当时，如图，D点在的垂直平分线上， 此时D点的横坐标为：， ，当时，， 解得， ∴D点坐标为， ∴D点坐标为或； 故答案为或． 【变式6-6】 【答案】（5，4） 【分析】求出OB、OC的长，易得△AOB为等腰直角三角形，从而得出AC=5，由AB为公共边，当BD∥AC且BD=AC=5时，△ABC≌△ABD，由△AOB为等腰直角三角形，可得直线y=x垂直平分AB，求出点D（5，4）关于直线y=x的对称点为D'（4，5），则△ABD'≌△ABD≌△ABC，继而得解. 【详解】解：把A（4，0）代入y＝-x+b中，得b=4， ∴y=-x+4， ∴B（0，4），即OB=4， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∵OB：OC＝4：1 ， ∴OC=1，即C（-1，0）， ∴AC=5， 由AB为公共边，当BD∥AC且BD=AC=5时，△ABC≌△ABD， ∴D（5，4）， ∵△AOB为等腰直角三角形， ∴直线y=x垂直平分AB， 则点D（5，4）关于直线y=x的对称点为D'（4，5）， ∴△ABD'≌△ABD， ∴△ABC≌△ABD'， ∴ 以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为（5，4）或（4，5）； 故答案为：（5，4）或（4，5）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 一次函数与一元一次方程的关系 题型02 一次函数与方案选择问题 题型03 一次函数与最大利润问题 题型04 一次函数与行程问题 题型05 一次函数中的面积问题 题型06 一次函数中的三角形存在性问题 ▌题型01 一次函数与一元一次方程的关系 （1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 （2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解； y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解. 【典例1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若，，则关于x的方程的解为 ．    【变式1-1】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，直线与直线交于点，则根据图象可得关于x的方程的解是 ． 【变式1-2】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）一次函（a，b是常数）的图象如图所示，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【变式1-4】（25-26八年级上·天津·期中）已知方程的解为 ，则一次函数的图象与轴交点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【变式1-5】如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的方程ax+b＝1的解为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式1-6】一次函数（，是常数，且），若，则这个一次函数的图象必经过的点是（　　） A． B． C． D． 【变式1-7】如图，已知直线，则方程的解（    ） A．2 B． C．4 D．0 【变式1-8】直线经过点，则一次方程一个解为 ． 【变式1-9】已知一次函数（是常数），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 y 0 2 4 6 则关于x的方程的解为 ． 【变式1-10】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【变式1-11】下表是一次函数中与的几组对应值，则方程的解为（    ） … 0 1 2 … … 1 7 13 19 … A． B． C． D． ▌题型02 一次函数与方案选择问题 1、选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经 过分析、猜想、判断筛选出最佳方案的过程，此类问题往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、不等式、几何知识联系在一起. 2、在实际问题中，运用一次函数选择最佳方案的一般步骤为： ①从数学的角度分析实际问题，建立函数模型(往往有两个及两个以上模型); ②列出关系式，在自变量取不同值时比较对应函数值的大小关系； ③结合实际需求，选择最佳方案. 3、一次函数可以解决生产实践、日常生活中的很多实际问题： ①应用一次函数和一元一次方程可以解决行程、面积等实际问题； ②应用一次函数和一元一次不等式(组)可以解决生产安排、分工、运输等实际问题 ③应用一次函数和二元一次方程组可以解决实际问题中评估、方案选择、决策等问题. 【典例2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择： 方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠； 方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打折的优惠． 设小明当天购书标价总额为x元，方案一应付元，方案二应付元． (1)当时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算； (2)直接写出与x的函数关系式； (3)小明如何选择购书方案才更划算？ 【变式2-1】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）A、B两个蔬菜基地要向C、D两城市运送蔬菜，已知A基地有蔬菜200吨，B基地有蔬菜300吨，C城市需要蔬菜240吨，D城市需要蔬菜260吨．从A基地运往C、D两城市的费用分别为每吨20元和每吨25元，从B基地运往C、D两城市的费用分别为每吨15元和每吨18元，设从B基地运往C城市的蔬菜为x吨，A、B两个蔬菜基地的总运费为w元． (1)求w与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围； (2)写出总运费最小时的运送方案，并求出此时的总运费． 【变式2-2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且．其函数图象如图所示．    (1)求k1和b的值，并说明它们的实际意义； (2)求打折前的每次健身费用和的值； (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由． 【变式2-3】（25-26八年级上·江苏南通·期末）长沙某城建公司共有50台渣土运输车，其中甲型20台，乙型30台．现将这些渣土运输车全部配往长株潭城际轻轨建设的两工地，其中30台派往A地，20台派往B地．两工地与城建公司商定的每天的租赁价格如下： 甲型渣土车租金 乙型渣土车租金 A地 1800元/台 1600元/台 B地 1600元/台 1200元/台 (1)设派往A地x台甲型渣土运输车，该城建公司这50台渣土车一天获得的租金为y（元），请求出y与x的函数解析式． (2)若该城建公司这50台渣土运输车一天的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案写出． (3)在（2）条件下，选择哪种方案该城建公司一天获得租金最多？最多租金是多少？请说明理由． 【变式2-4】（25-26八年级上·河南周口·期末）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和x个电热水壶．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于x的函数表达式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【变式2-5】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 【变式2-6】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）某企业计划购进一批智能机器人，总价在20万元以上，商家推出两种分期付款购买机器人的活动：①首付款满20万元，减2万元；②首付款满15万元，分期交付的余款可享受八折优惠． (1)该企业选中的智能机器人的总价为x万元，采取哪种付款方式比较省钱？请说明理由； (2)已知购买智能机器人的总价低于50万元，除首付款之外，该企业分期付款的能力是每月2万元．若不考虑其他因素，为早日结清余款，该企业该怎样选择？请说明理由． 【变式2-7】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）古人常说：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”，读书不但可以让人增长智慧，开拓视野，而且还能让人明事理，知荣辱．某校为营造书香校园，计划购进个某品牌书架，已知该品牌书架的单价为元个，经过与厂家协商，厂家给出两种优惠方案： 方案一：所有书架均按原价的八折销售； 方案二：若一次购买不超过个，则每个书架按原价的九折销售；若一次购买超过个，则前个打九折，超过的部分每个书架的价格在九折的基础上再降低元． (1)分别求方案一实际付款金额（元）和方案二实际付款金额（元）与之间的函数关系式； (2)当时，请分别求出两种方案的实际付款金额，并判断选择哪种方案对学校来说更省钱． ▌题型03 一次函数与最大利润问题 对于一些实际问题，根据题目背景，可以得到自变量的取之范围，再结合一次函数的增减性，可以得到在限定范围内的最大值。 【典例3】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）动画片《喜羊羊与灰太狼》正在热播中．某企业获得了生产羊公仔和狼公仔的专利．为了满足市场需求，该企业现在开始生产羊和狼两种类别的公仔，每天共生产450只；两种公仔成本和售价如下表所示，设每天生产羊公仔x只，共获利y元． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)如果该企业每天投入成本不超过10000元，那么每天要获利最多，应生产羊公仔和狼公仔各多少只？ 类别 成本（元/只） 售价（元/只） 羊公仔 20 23 狼公仔 30 35 【变式3-1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进6千克甲种水果和10千克乙种水果共需110元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多3元． (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ (2)已知甲、乙两种水果的售价分别为7元/千克和11元/千克，若水果店购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的3倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式3-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）“读万卷书，行万里路”，最美的风景在路上．为了让同学们在实践中增长见识、提高学习兴趣、陶冶情操，某中学组织八年级师生共600人开展研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 45 60 租金（元/辆） 800 1200 倘若甲、乙两种客车都需要租用，每位师生都有座位且座位没有剩余，设租x辆甲型客车，租车总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请你设计一种租车方案，要求费用最省． 【变式3-3】（25-26八年级上·河南南阳·期末）为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作+基地+农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． (1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？ (2)若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 【变式3-4】（25-26八年级上·福建泉州·期末）某公司有型产品40件，型产品60件，分配给甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且全部售出，两种产品的利润如表所示： 型产品利润 型产品利润 甲店 200元/件 170元/件 乙店 160元/件 150元/件 (1)设分配给甲店型产品件，这家公司卖出这100件产品的总利润为（元），求关于的函数关系式，并直接写出的取值范围． (2)为了促销，公司决定仅对甲店型产品让利销售，每件让利元，但让利后型产品每件的利润仍高于甲店型产品每件的利润，其它利润不变，问该公司如何设计分配方案，可使得总利润最大？ 【变式3-5】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）俄乌战争仍在继续，人们对各种军用装备倍感兴趣，某商家购进坦克模型（记作A）和导弹（记作B）两种模型，若购进A种模型10件，B种模型5件，需要1000元；若购进A种模型4件，B种模型3件，需要550元． (1)求购进A，B两种模型每件分别需多少元？ (2)若销售每件A种模型可获利润20元．每件B种模型可获利润30元．商店用1万元购进模型，且购进A种模型的数量不超过B种模型数量的8倍，设总盈利为W元，购买B种模型b件，请求出W关于b的函数关系式，并求出当b为何值时，销售利润最大，并求出最大值． 【变式3-6】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为稳步推进乡村建设，某地推广魔芋种植并邀请相关农业技术人员来指导当地居民种植．小林家种植魔芋，并利用魔芋开发出A，B两种产品，其售价和成本如表所示： 商品 A产品 B产品 成本（元／袋） 8 15 售价（元／袋） 12 20 (1)已知第一季度A，B两种产品共销售袋，获利元．求小林家第一季度销售A产品多少袋； (2)根据之前的销售情况，估计第二季度还能由上表中的价格销售两种产品共袋，其中A产品的销售量不高于袋．假设第二季度，销售A产品为a袋，销售这两种产品获得总利润为w元，求出w与a之间的函数关系式，并求出第二季度，小林家销售这两种产品至少获得总利润多少元． 【变式3-7】（25-26八年级上·重庆·期末）某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表： 空调机 电冰箱 甲连锁店 200 170 乙连锁店 160 150 设集团调配给甲连锁店台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为（元）． (1)求关于的函数关系式，并求出的取值范围； (2)为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利元销售，其它的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配的方法，使总利润达到最大？最大利润为多少？ 【变式3-8】（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）2022年世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元． (1)每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别是多少元？ (2)商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种品牌的足球全部销售完共获利y元． ①求y与x之间的函数关系式； ②若购进A品牌足球的个数不超过B品牌足球个数的4倍，应怎样进货销售利润最大，最大利润为多少？ 【变式3-9】（25-26八年级上·福建厦门·期末）厦门一中数学组为校园“科技节”筹备“数学知识竞赛”活动，计划对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知3件甲种奖品和2件乙种奖品共需70元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需80元． (1)求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元？ (2)根据颁奖计划，学校需甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品的数量不超过乙的3倍，求购买两种奖品的总费用的最小值． ▌题型04 一次函数与行程问题 行程问题中，主要有两种图象：v-t图和s-t图，s-t图又包括路程-时间图象和距离-时间图象 v-t s-t图(路程-时间) s-t图(距离-时间) OA段 加速运动 匀速运动 距离增加，不一定匀速 AB段 匀速运动 静止 距离不变，不一定静止 BC段 减速运动 不存在 距离减少，不一定匀速 【典例4】（25-26八年级上·河北沧州·期末）“龟兔首次赛跑”的故事家喻户晓．输掉比赛的兔子与乌龟进行了第二次赛跑．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的情形（x表示乌龟从起点出发所行的时间，表示乌龟所行的路程，表示兔子所行的路程）．有下列说法： ①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米； ②兔子和乌龟同时从起点出发； ③乌龟在途中休息了10分钟； ④本次比赛兔子赢了． 其中正确的说法有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】依依放学后以一定速度匀速步行回家，他在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，然后依依提高了速度继续匀速步行回家，下列图象能表示依依放学回家的行程中，所剩路程与依依步行时间之间的关系的是（    ） A．  B．  C．   D．   【变式4-2】如图所示，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，货车从进入隧道至离开隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式4-3】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途中的时间为x，两人之间的距离为y,则下列选项中的图象能大致反映y与x之间关系的是（　　） A．B．C． D． 【变式4-4】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路（直线）上学，途中发现忘带盒饭，停下来往家里打电话，妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，小刚始终以100米分的速度步行，小刚和妈妈的距离（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间（单位：分）之间的函数关系如图，下列四种说法： ①打电话时，小刚和妈妈的距离为米； ②小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的度为米分； ③打完电话后，经分钟小刚到达学校； ④小刚家与学校的距离为米．其中正确的个数是（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【变式4-5】（25-26八年级上·广东广州·期末）已知，两地相距600米，甲、乙两人同时从地出发前往地，出发2分钟后，乙减慢了速度，最终比甲晚到，两人所走路程（米）与行驶时间（分）之间的关系如图所示，请回答下列问题： (1)求乙的路程与行驶时间之间的函数关系式？ (2)求乙行驶多长时间时，乙在甲前方50米？ 【变式4-6】（25-26八年级上·江苏南通·期末）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题：    (1)工厂离目的地的路程为______km； (2)求s关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围； (3)当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？ 【变式4-7】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙两车从A地出发，沿相同的路线匀速前往B地在整个行驶过程中，甲、乙两车离A地的距离y（km）与甲车行驶的时间：（h）之间的关系如图所示，根据图象解答下列问题：    (1)A，B两地相距______千米； (2)甲车的速度为______，乙车的速度为______； (3)甲出发______小时后，甲、乙两车相距50千米． 【变式4-8】（25-26八年级上·江苏南京·期末）甲、乙两地相距，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地，快车比慢车晚出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地，两车之间的距离（单位：）与慢车的行驶时间（单位：）之间的部分函数图象如图所示，请结合图象解决下面问题：      (1)慢车的速度为________； (2)求线段表示的与之间的函数表达式； (3)请根据题意补全图象． 【变式4-9】（25-26八年级上·广东普宁·期末）如图1，公路上依次有A，B，C三点，间的距离为，间的距离为，小张和小丽分别从A，B两地同时出发匀速去往C地，图2是小张和小丽出发t（h）后分别与A地相距和的函数图像． (1)图2中，表示小张运动过程的线段是______，表示小丽运动过程的线段是______； (2)分别求出，与t的函数关系式； (3)说出图2中点N的实际意义． 【变式4-10】小明和弟弟小阳分别从家和科技馆同时出发，沿同一条路相向而行．小明开始以一定的速度跑步前往，10分钟后改为步行，到达科技馆恰好用了30分钟．小阳骑自行车以每分钟250米的速度直接回家，两人离家的路程y（单位：米）与各自离开出发地的时间x（单位：分）之间的函数图像如图所示． (1)家与科技馆之间的路程为______米；小明步行的速度为每分钟______米； (2)求小阳离家的路程y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当离开出发地的时间为6分钟时，求小明和小阳之间的路程． 【变式4-11】随着无人机产业的快速发展，无人机航拍逐渐成为摄影创作的重要方式．某日，学校摄影社团组织灞河景色无人机航拍活动．如图，在平面直角坐标系中，、分别表示拍摄某镜头时1号、2号无人机的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的函数关系． (1)1号无人机飞行的速度是______米/秒，2号无人机飞行的速度是______米/秒； (2)两架无人机飞行多少秒后，1号无人机的高度高于2号无人机？ 【变式4-12】唐徕中学的小明和李老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后李老师做了一会准备活动，小明先跑．当李老师出发时，小明已经距起点200米了．他们距起点的距离s（米）与李老师出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．据图中给出的信息，解答下列问题：    (1)在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)李老师的速度为 米/秒，小明的速度为 米/秒； (3)当李老师第一次追上小明时，求小明距起点的距离是多少米？ ▌题型05 一次函数中的面积问题 在坐标系中，要求三角形的面积，首先要根据三角形的不同情况进行分类 1.有一边平行于坐标轴，以这条边为底，此时，底和高都比较容易求得，从而得到三角形的面积； 2.三边都不平行于坐标轴，可以利用割补法，过一个顶点作与坐标轴平行的直线，将三角形转化为两个易求面积的三角形，从而解决问题。 对于多边形，可以采取上面第2种方法，通过割补，将图形转化，从而求解。 【典例5】如图，已知直线，与y轴分别交于A，B两点，且两直线交于C点． （1）求点A，B的坐标； （2）求交点C的坐标； （3）求的面积． 【变式5-1】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在直角坐标系中，一次函数的图像l1与y轴交于点A（0，2），与一次函数y＝x﹣3的图像l2交于点E（m，﹣5）． （1）求m的值及l1的表达式． （2）直线l1与x轴交于点B，直线l2与y轴交于点C，求四边形OBEC的面积． （3）如图，已知矩形MNPQ，PQ＝2，NP＝1，M（a，1），矩形MNPQ的边PQ在x轴上平移，若矩形MNPQ与直线l1或l2有交点，直接写出a的取值范围． 【变式5-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴y轴分别交于点A，B，点D在y轴的负半轴上．若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点C处． （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）在y轴上是否存在一点P，使得S△PAB？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】已知一次函数的图象分别与轴相交于，两点． (1)分别求，两点的坐标； (2)点在线段上，连接，若直线将的面积分成两部分，求点的坐标． 【变式5-4】（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接． (1)求，两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时，第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式5-5】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，0），D（，2，0），以A为旋转中心将线段AB逆时针旋转90°形成线段AC． (1)求出点C坐标及△ABC的面积； (2)如图2，以AD为腰，在直线AD左侧作等腰直角△ADE，且∠DAE为直角．连接CE交y轴于点F． ①求出F点坐标； ②直接写出点E到直线AC的距离． 【变式5-6】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线x经过点，交x轴于点B，直线交x轴和y轴分别于点C和点D，和直线交于点P，．    (1)如图1，分别求y1，y2关于x的函数解析式； (2)如图2，点Q在线段上，连接，的面积为3，求点Q的坐标． 【变式5-7】（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，直线分别与轴、轴交于点、，且点的坐标为，点的坐标为，在直线的右侧作正方形．    (1)求直线的函数解析式； (2)正方形的面积是___； (3)求点C的坐标． 【变式5-8】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线与x轴，y轴分别交于点C，D，两直线交于点．    (1)求m的值； (2)求四边形的面积； (3)当时，根据图象，直接写出x的取值范围． 【变式5-9】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，设的面积为．    (1)写出与之间的函数关系，并写出的取值范围； (2)当的面积为时，求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标． ▌题型06 一次函数中的三角形存在性问题 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且l与x轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 【变式6-1】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）    A．3或 B．4或 C．3或 D．4或 【变式6-2】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，已知点是正方形的一个顶点，E是的中点，点P是直线上一点． (1)求点E的坐标和直线的解析式； (2)若的面积为21，求此时P点坐标； (3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由． 【变式6-3】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图①，在平面直角坐标系中，交轴和轴于两点，其坐标分别为，满足． (1)求点的坐标； (2)如图②，过点作，截取，点在第一象限内，过点作轴于点，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向下运动，连接，若点运动的时间为秒，三角形的面积为，请用含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，连接，在坐标轴上是否存在点，使与全等?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-4】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（　　） A．（ ， ） B．（3，3） C．（ ， ） D．（ ， ） 【变式6-5】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点B的直线交x轴与点若点D在直线上，且是以为腰的等腰三角形，点D的坐标　 　． 【变式6-6】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，直线AB的解析式为y＝-x+b，分别与x轴，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（4，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝4：1．若在x轴上方存在点D，使以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为　 　． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 一次函数与一元一次方程的关系 题型02 一次函数与方案选择问题 题型03 一次函数与最大利润问题 题型04 一次函数与行程问题 题型05 一次函数中的面积问题 题型06 一次函数中的三角形存在性问题 ▌题型01 一次函数与一元一次方程的关系 （1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 （2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解； y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解. 【典例1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若，，则关于x的方程的解为 ．    【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系，勾股定理，先根据勾股定理求出，根据直线与x轴的交点的横坐标，即为关于x的方程的解，然后数形结合求解作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴方程的解是一次函数与x轴的交点的横坐标， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，直线与直线交于点，则根据图象可得关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，根据图象解出方程，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，∵直线与直线交于点， ∴根据图象可得关于x的方程的解是：， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）一次函（a，b是常数）的图象如图所示，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据函数图象与y轴的交点进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的交点为， ∴方程的解是． 故选：B． 【变式1-3】（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据一次函数与x轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解，结合图象即可解答． 【详解】解：∵直线与x轴交点的横坐标为1， ∴关于x的方程的解为． 故选A． 【变式1-4】（25-26八年级上·天津·期中）已知方程的解为 ，则一次函数的图象与轴交点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于的一元一次方程的根是 ，即 时，函数值为，所以直线过点 ，于是得到一次函数的图象与轴交点的坐标． 【详解】解：方程的解为 ，则一次函数的图象与轴交点的坐标为 ， 故选：D． 【变式1-5】如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的方程ax+b＝1的解为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】一次函数y＝kx+b的图象上纵坐标为1的点的横坐标即为方程ax+b＝1的解，据此求解即可． 【详解】解：∵点（4，1）在一次函数y＝ax+b的图象上， ∴关于x的方程kx+b＝1的解是x＝4． 故选C． 【变式1-6】一次函数（，是常数，且），若，则这个一次函数的图象必经过的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系．根据，可求，根据一次函数与方程的关系可知当时，，即可得到定点坐标． 【详解】解：， ． ∴在中，当时，， 一次函数经过点， 故选：D． 【变式1-7】如图，已知直线，则方程的解（    ） A．2 B． C．4 D．0 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的知识，理解两者的关系是解题的关键． 观察图象可得出点在函数的图象上满足函数关系式，结合一次函数与一元一次方程之间的关系可得到方程的解． 【详解】根据图象知，当时， 即时， 方程的解时 故选：C 【变式1-8】直线经过点，则一次方程一个解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，先求解，再解方程即可． 【详解】解：由图知：直线经过点， 即； ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-9】已知一次函数（是常数），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 y 0 2 4 6 则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，方程的解为时函数的x的值，根据图表即可得出此方程的解． 【详解】解：根据图表可得：当时，，即时，， 因而方程的解是． 故答案为：． 【变式1-10】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键． 【详解】解：把代入得，解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 【变式1-11】下表是一次函数中与的几组对应值，则方程的解为（    ） … 0 1 2 … … 1 7 13 19 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用一次函数与方程的关系，掌握一次函数与方程的关系是关键．根据当时，，从而可得答案． 【详解】解：由表格信息可得：当时，， ∴的解为， 故选A ▌题型02 一次函数与方案选择问题 1、选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经 过分析、猜想、判断筛选出最佳方案的过程，此类问题往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、不等式、几何知识联系在一起. 2、在实际问题中，运用一次函数选择最佳方案的一般步骤为： ①从数学的角度分析实际问题，建立函数模型(往往有两个及两个以上模型); ②列出关系式，在自变量取不同值时比较对应函数值的大小关系； ③结合实际需求，选择最佳方案. 3、一次函数可以解决生产实践、日常生活中的很多实际问题： ①应用一次函数和一元一次方程可以解决行程、面积等实际问题； ②应用一次函数和一元一次不等式(组)可以解决生产安排、分工、运输等实际问题 ③应用一次函数和二元一次方程组可以解决实际问题中评估、方案选择、决策等问题. 【典例2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择： 方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠； 方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打折的优惠． 设小明当天购书标价总额为x元，方案一应付元，方案二应付元． (1)当时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算； (2)直接写出与x的函数关系式； (3)小明如何选择购书方案才更划算？ 【答案】(1)小明用方案一购书更划算；计算见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）当时，根据方案一和方案二计算出实际花费，然后比较即可； （2）根据题意给出的等量关系即可求出答案； （3）根据y关于x的函数解析式，求出两种方案所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱． 【详解】（1）解：当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴小明用方案一购书更划算； （2）解：由题意得：方案一：； 方案二：； ∴与x的函数关系式为；与x的函数关系式为； （3）解：当时，即， 解得； 当时，即， 解得； 当时，即， 解得． ∴当时，方案一更划算，当时，方案二更划算，当时，方案一和方案二一样划算． 【变式2-1】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）A、B两个蔬菜基地要向C、D两城市运送蔬菜，已知A基地有蔬菜200吨，B基地有蔬菜300吨，C城市需要蔬菜240吨，D城市需要蔬菜260吨．从A基地运往C、D两城市的费用分别为每吨20元和每吨25元，从B基地运往C、D两城市的费用分别为每吨15元和每吨18元，设从B基地运往C城市的蔬菜为x吨，A、B两个蔬菜基地的总运费为w元． (1)求w与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围； (2)写出总运费最小时的运送方案，并求出此时的总运费． 【答案】(1) (2)总运费最小为9280元，此时A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨 【分析】（1）根据调运总费用等于四种调运单价乘以对应的吨数的积的和，得w与x的函数关系； （2）根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）设从B基地运往C城市的蔬菜为x吨，则从B基地运往D城市的蔬菜为吨，从A基地运往C城市的蔬菜为吨，从A基地运往D城市的蔬菜为吨， 由题意可得， ∵ 解得； （2）∵随x增大而增大，且 ∴当时，总运费最小为9280元，此时A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨． 【变式2-2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且．其函数图象如图所示．    (1)求k1和b的值，并说明它们的实际意义； (2)求打折前的每次健身费用和的值； (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由． 【答案】(1)k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元．b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元 (2)打折前的每次健身费用为25（元）， (3)选择方案一所需费用更少．理由见解析 【分析】(1)直接根据函数的图象结合实际意义进行解答； (2)根据方案一打折后每次健身费用是15元，因为是打六折，故可求打折前的费用；然后根据方案二再打八折即可求得k2 ； (3)根据（1）（2）即可得到，当时，解得：．即可得到答案． 【详解】（1）解：的图象过点和点， ∴∴． k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元． b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元． （2）打折前的每次健身费用为（元） ． （3）选择方案一所需费用更少．理由如下： 由（1）知， ∴． 由（2）知， ∴． 当时，，解得：． 结合函数图象可知，小华暑期前往该俱乐部健身7次，选择方案一所需费用更少． 【变式2-3】（25-26八年级上·江苏南通·期末）长沙某城建公司共有50台渣土运输车，其中甲型20台，乙型30台．现将这些渣土运输车全部配往长株潭城际轻轨建设的两工地，其中30台派往A地，20台派往B地．两工地与城建公司商定的每天的租赁价格如下： 甲型渣土车租金 乙型渣土车租金 A地 1800元/台 1600元/台 B地 1600元/台 1200元/台 (1)设派往A地x台甲型渣土运输车，该城建公司这50台渣土车一天获得的租金为y（元），请求出y与x的函数解析式． (2)若该城建公司这50台渣土运输车一天的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案写出． (3)在（2）条件下，选择哪种方案该城建公司一天获得租金最多？最多租金是多少？请说明理由． 【答案】(1)（）； (2)3种方案，具体见解析； (3)派往A地乙车30台；派往B地甲车20台．租金最高为80000元． 【分析】（1）利用甲车共有20台，A地共有30台车，得出甲乙发往A、B两地的车辆数量，再根据价格算出一天租金即可； （2）利用租金限制列出不等式得到发往A地的甲车数量范围，得到发车方案； （3）根据函数y随x增大的变化情况及x的范围求出最多租金和其方案即可． 【详解】（1）甲车发A地x台， 甲车发B地，乙车发A地台，乙车发B地x台， ， （）； （2）由题意得：， 解得， 或1或2， 故有如下三种方案， 第一种：派往A地的甲车0台，乙车30台；派往B地的甲车20台，乙车0台； 第二种：派往A地的甲车1台，乙车29台；派往B地的甲车19台，乙车1台； 第三种：派往A地的甲车2台，乙车28台；派往B地的甲车18台，乙车2台． （3）（）， y随x的增大而减小， x取最小值0时，租金最多为80000元， 此时方案为：派往A地乙车30台；派往B地甲车20台． 【变式2-4】（25-26八年级上·河南周口·期末）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和x个电热水壶．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于x的函数表达式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【答案】(1)， (2)①该厨具店选择方案二更省钱；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶．该方案所需费用为21760元 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶最省钱，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ． （2）解：①当时，，． ∵， ∴该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 【变式2-5】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 【答案】(1)， (2)方案一 【分析】本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键． （1）根据两种销售方案表示出销售总价即可； （2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案． 【详解】（1）解： 与之间的函数关系式为， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， ， 该班选择方案一购买的肥料较多． 【变式2-6】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）某企业计划购进一批智能机器人，总价在20万元以上，商家推出两种分期付款购买机器人的活动：①首付款满20万元，减2万元；②首付款满15万元，分期交付的余款可享受八折优惠． (1)该企业选中的智能机器人的总价为x万元，采取哪种付款方式比较省钱？请说明理由； (2)已知购买智能机器人的总价低于50万元，除首付款之外，该企业分期付款的能力是每月2万元．若不考虑其他因素，为早日结清余款，该企业该怎样选择？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)采取第①种方式可早日结清余款，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确理解题意列出关系式是关键． （1）先根据题意表示出第①种，第②种应实付款，再分类讨论即可； （2）分别表示出所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的函数关系式，相减即可求解． 【详解】（1）解：第①种应实付款， 第②种应实付款，        ， 令，解得 当智能机器人的总价万元时，采取第①种方式较省钱； 当智能机器人的总价万元时，两种方式一样； 当智能机器人的总价万元时，采取第②种方式较省钱． （2）该企业采取第①种优惠方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的关系为：，即 该企业采取第②种优惠方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的关系为：，即 因为，所以 ∴采取第①种方式可早日结清余款． 【变式2-7】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）古人常说：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”，读书不但可以让人增长智慧，开拓视野，而且还能让人明事理，知荣辱．某校为营造书香校园，计划购进个某品牌书架，已知该品牌书架的单价为元个，经过与厂家协商，厂家给出两种优惠方案： 方案一：所有书架均按原价的八折销售； 方案二：若一次购买不超过个，则每个书架按原价的九折销售；若一次购买超过个，则前个打九折，超过的部分每个书架的价格在九折的基础上再降低元． (1)分别求方案一实际付款金额（元）和方案二实际付款金额（元）与之间的函数关系式； (2)当时，请分别求出两种方案的实际付款金额，并判断选择哪种方案对学校来说更省钱． 【答案】(1)，； (2)选择方案一更省钱． 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （）根据题意分别列出两种方案的函数关系式即可； （）将分别代入（）中两种方案的函数关系式，计算比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 当时，， 当时，， ∴，； （2）解：当时，（元），（元）， ∴， ∴选择方案一更省钱． ▌题型03 一次函数与最大利润问题 对于一些实际问题，根据题目背景，可以得到自变量的取之范围，再结合一次函数的增减性，可以得到在限定范围内的最大值。 【典例3】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）动画片《喜羊羊与灰太狼》正在热播中．某企业获得了生产羊公仔和狼公仔的专利．为了满足市场需求，该企业现在开始生产羊和狼两种类别的公仔，每天共生产450只；两种公仔成本和售价如下表所示，设每天生产羊公仔x只，共获利y元． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)如果该企业每天投入成本不超过10000元，那么每天要获利最多，应生产羊公仔和狼公仔各多少只？ 类别 成本（元/只） 售价（元/只） 羊公仔 20 23 狼公仔 30 35 【答案】(1) (2)应生产羊公仔350 ，狼公仔100只 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系， （1）设每天生产羊公仔x只，则每天生产狼公仔只，根据总利润=羊公仔利润+狼公仔利润，即可得出函数关系式； （2）根据题意，列出不等式，求出x的取值范围，再结合一次函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：设每天生产羊公仔x只，则每天生产狼公仔只， 根据题意可得：， 即y与x之间的函数关系式为：； （2）解：根据题意可得：， 解得：， ∵，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， ∴（只）， 答：应生产羊公仔350 ，狼公仔100只． 【变式3-1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进6千克甲种水果和10千克乙种水果共需110元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多3元． (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ (2)已知甲、乙两种水果的售价分别为7元/千克和11元/千克，若水果店购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的3倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种水果的进价为5元/，乙种水果进价为8元/ (2)水果店应购进甲水果，购进乙水果才能获得最大利润，最大利润是450元 【分析】（1）设甲种水果的进价为x元/，则乙种水果进价为元/，列方程 解答即可． （2）设购进甲水果m，则乙水果，利润为y元.，利用一次函数的性质解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的性质的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）设甲种水果的进价为x元/，则乙种水果进价为元/ （元） 答：甲种水果的进价为5元/，乙种水果进价为8元/. （2）设购进甲水果m，则乙水果，利润为y元. ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴y随m的增大而减小. ∴当时，y最大，最大值为450元. 【变式3-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）“读万卷书，行万里路”，最美的风景在路上．为了让同学们在实践中增长见识、提高学习兴趣、陶冶情操，某中学组织八年级师生共600人开展研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 45 60 租金（元/辆） 800 1200 倘若甲、乙两种客车都需要租用，每位师生都有座位且座位没有剩余，设租x辆甲型客车，租车总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请你设计一种租车方案，要求费用最省． 【答案】(1) (2)租用甲种客车12辆，乙种客车1辆，费用最省 【分析】本题考查了一次函数的应用，综合性强，解决问题的关键在于找到的取值范围，才能确定方案．本题较为灵活，计算量略微有些大，考查了学生的推理能力、计算能力． （1）设租用甲种客车辆，则乙种客车是辆，利用公式：总租金甲的总租金乙的总租金，即可列出与之间的函数关系式； （2）求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）依题意得：（为整数） （2）依题意得： ， 解之，得， 为整数，且为整数， 中，，y随x的增大而减小， 的值为12时，y有最小值，为，此时， 租用甲种客车12辆，乙种客车1辆，费用最省． 【变式3-3】（25-26八年级上·河南南阳·期末）为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作+基地+农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． (1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？ (2)若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 【答案】(1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5元，6元 (2)；购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，登大利润为4200元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为元，根据购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元列出方程求解即可； （2）根据题意可得购买水晶梨的数量为斤，则可求出，据此利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为元， 依题意，得， 解得，则（元）， 答：水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5元，6元； （2）解：∵商场购买鹰嘴桃的数量为n斤， 购买水晶梨的数量为斤， 依题意，得， ∵， ∴w随着n的增大而增大， 经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤， ， ∴当时．w有最大值，最大值为， 购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，登大利润为4200元． 【变式3-4】（25-26八年级上·福建泉州·期末）某公司有型产品40件，型产品60件，分配给甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且全部售出，两种产品的利润如表所示： 型产品利润 型产品利润 甲店 200元/件 170元/件 乙店 160元/件 150元/件 (1)设分配给甲店型产品件，这家公司卖出这100件产品的总利润为（元），求关于的函数关系式，并直接写出的取值范围． (2)为了促销，公司决定仅对甲店型产品让利销售，每件让利元，但让利后型产品每件的利润仍高于甲店型产品每件的利润，其它利润不变，问该公司如何设计分配方案，可使得总利润最大？ 【答案】(1) (2)当时，分配给甲店型产品40件，则分配给甲店的型产品为30件，分配给乙店的型产品0件，型产品为30件，有最大利润；当时，分配给甲店型产品10件，则分配给甲店的型产品为60件，分配给乙店的型产品30件，型产品为0件，有最大利润；当时，总利润与分配方案无关，总利润是16800元 【分析】（1）表示出分配给甲店的B型产品为件，分配给乙店的A型产品件，B型产品为件，然后根据图表数据表示出利润W整理即可得解，再根据分配给各店的产品数量是非负数列出不等式组求解即可得到x的取值范围； （2）根据只有分配给甲店的A型产品让利，列出利润的关系式，再分a的取值范围，根据一次函数的增减性确定总利润最大值时的情况． 【详解】（1）解：设分配给甲店型产品件，则分配给甲店的型产品为件， 分配给乙店的型产品件，型产品为件， 根据题意得， ，　　 根据运送数量都是非负数得，，解得，　　 所以，关于的函数关系式为，； （2） ，　　 ∵让利后型产品每件的利润仍高于甲店型产品每件的利润，∴，　　 解得，　　　　 ①时，，随的增大而增大，时，有最大值， 此时，分配给甲店型产品40件，则分配给甲店的型产品为30件， 分配给乙店的型产品0件，型产品为30件；　　 ②时，，随的增大而减小，时，有最大值， 此时，分配给甲店型产品10件，则分配给甲店的型产品为60件， 分配给乙店的型产品30件，型产品为0件． ③时，总利润与分配方案无关，总利润是16800元． 【变式3-5】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）俄乌战争仍在继续，人们对各种军用装备倍感兴趣，某商家购进坦克模型（记作A）和导弹（记作B）两种模型，若购进A种模型10件，B种模型5件，需要1000元；若购进A种模型4件，B种模型3件，需要550元． (1)求购进A，B两种模型每件分别需多少元？ (2)若销售每件A种模型可获利润20元．每件B种模型可获利润30元．商店用1万元购进模型，且购进A种模型的数量不超过B种模型数量的8倍，设总盈利为W元，购买B种模型b件，请求出W关于b的函数关系式，并求出当b为何值时，销售利润最大，并求出最大值． 【答案】(1)A、B两种模型每件分别需要25元，150元 (2)，购进A模型226件，B模型29件利润最大为5390元 【分析】（1）设购进A，B两种模型每件分别需要x元，y元，列方程组求解即可． （2）设购买A种模型a件，购买B种模型b件，由题意列出方程组，求出b的范围，再列出W与b的函数关系式，求最值即可． 【详解】（1）设购进A、B两种模型每件分别需要x元，y元，由题意得： 解得 答：A、B两种模型每件分别需要25元，150元． （2）设购买A种模型a件，B种模型b件， ， 解得 则购买A种模型为件，即件， 则，即 ∵， ∴当b取最小值时总利润最大，由（2）得，b为整数， ∴当时，， ∴购进A模型226件，B模型29件利润最大为5390元 【变式3-6】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为稳步推进乡村建设，某地推广魔芋种植并邀请相关农业技术人员来指导当地居民种植．小林家种植魔芋，并利用魔芋开发出A，B两种产品，其售价和成本如表所示： 商品 A产品 B产品 成本（元／袋） 8 15 售价（元／袋） 12 20 (1)已知第一季度A，B两种产品共销售袋，获利元．求小林家第一季度销售A产品多少袋； (2)根据之前的销售情况，估计第二季度还能由上表中的价格销售两种产品共袋，其中A产品的销售量不高于袋．假设第二季度，销售A产品为a袋，销售这两种产品获得总利润为w元，求出w与a之间的函数关系式，并求出第二季度，小林家销售这两种产品至少获得总利润多少元． 【答案】(1) (2)，元 【分析】（1）设第一季度销售A产品x袋，则销售B产品袋，根据获利元列出方程，解方程即可； （2）小林家第二季度A种产品的销售量为a袋，则B种产品销售量为袋，根据利润列出一次函数解析式，再根据一次函数的性质求出最小值即可得到答案． 【详解】（1）解：设第一季度销售A产品x袋，则销售B产品袋， 由题意得：， 解得：， ∴小林家第一季度销售A产品袋； （2）小林家第二季度A种产品的销售量为a袋，则B种产品销售量为袋， 由题意得， ∴w与a之间的函数关系式， ∵， ∴w随a的增大而减小， 由题意知，， ∴当时，， ∴小林家销售这两种产品至少获得总利润元． 【变式3-7】（25-26八年级上·重庆·期末）某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表： 空调机 电冰箱 甲连锁店 200 170 乙连锁店 160 150 设集团调配给甲连锁店台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为（元）． (1)求关于的函数关系式，并求出的取值范围； (2)为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利元销售，其它的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配的方法，使总利润达到最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)①当时，调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调机0台，电冰箱30台；最大利润为元；当 时，内的所有方法利润相同，最大利润为元；当时，调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调机30台，电冰箱0台，最大利润为元 【分析】（1）根据总利润=甲连锁店空调机利润+甲连锁店电冰箱利润+乙连锁店空调机利润+乙连锁店电冰箱利润即可求解； （2）根据题意可重新列出总利润与的关系，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意知：调配给甲连锁店电冰箱台，调配给乙连锁店空调机台，电冰箱台，                     则 即                                                  ∴，                                 ∴ ； （2）解：按题意知：，     即， ∵， ∴．                                 ①当时，，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调机0台，电冰箱30台；最大利润为元． ②当 时，的取值在10≤≤40内的所有方法利润相同；最大利润为16800元． ③当时，，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调机30台，电冰箱0台；最大利润为元． 【变式3-8】（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）2022年世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元． (1)每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别是多少元？ (2)商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种品牌的足球全部销售完共获利y元． ①求y与x之间的函数关系式； ②若购进A品牌足球的个数不超过B品牌足球个数的4倍，应怎样进货销售利润最大，最大利润为多少？ 【答案】(1)每个A品牌足球的销售利润为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元 (2)①②应购进A品牌足球个，B品牌足球个，销售利润最大，为元 【分析】（1）设每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别为m元、n元，根据题“销售5个A品牌和个B品牌足球的利润和为元，销售个A品牌和5个B品牌足球的利润和为元”得方程组，解方程组即得； （2）①由题意、根据“总利润等于销售A品牌和B品牌所得利润之和”可得函数关系式；②由已知条件可得关于x的不等式，从而得出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最大利润． 【详解】（1）解：设每个A品牌足球的销售利润为m元、每个B品牌足球的销售利润为n元，根据题意，得：， 解得：， 答：每个A品牌足球的销售利润为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元； （2）解：①由题意知，， ∴y与x之间的函数关系式为； ②∵购进A品牌足球的个数不超过B品牌足球个数的4倍， ∴， 解得：， 在中， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值，最大值为， 即最大利润为元． ∴应购进A品牌足球个，B品牌足球个，销售利润最大，为元． 【变式3-9】（25-26八年级上·福建厦门·期末）厦门一中数学组为校园“科技节”筹备“数学知识竞赛”活动，计划对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知3件甲种奖品和2件乙种奖品共需70元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需80元． (1)求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元？ (2)根据颁奖计划，学校需甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品的数量不超过乙的3倍，求购买两种奖品的总费用的最小值． 【答案】(1)甲、乙两种奖品的单价分别为10和20元； (2)当时，有最小值元． 【分析】（1）设甲、乙两种奖品的单价分别为、元，根据“3件甲种奖品和2件乙种奖品共需70元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需80元”列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买甲件，根据“甲种奖品的数量不超过乙的3倍”求得的范围，再根据题意得到关于的一次函数，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种奖品的单价分别为、元， 则，， 答：甲、乙两种奖品的单价分别为10和20元； （2）解：设购买甲件，则， 解得：， 由题意得， ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，有最小值：（元）． ▌题型04 一次函数与行程问题 行程问题中，主要有两种图象：v-t图和s-t图，s-t图又包括路程-时间图象和距离-时间图象 v-t s-t图(路程-时间) s-t图(距离-时间) OA段 加速运动 匀速运动 距离增加，不一定匀速 AB段 匀速运动 静止 距离不变，不一定静止 BC段 减速运动 不存在 距离减少，不一定匀速 【典例4】（25-26八年级上·河北沧州·期末）“龟兔首次赛跑”的故事家喻户晓．输掉比赛的兔子与乌龟进行了第二次赛跑．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的情形（x表示乌龟从起点出发所行的时间，表示乌龟所行的路程，表示兔子所行的路程）．有下列说法： ①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米； ②兔子和乌龟同时从起点出发； ③乌龟在途中休息了10分钟； ④本次比赛兔子赢了． 其中正确的说法有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】从图表中提取有用信息逐一判断即可解题． 【详解】解：根据图象可知龟兔再次赛跑的路程为米， 故①正确； 兔子在乌龟跑了分钟之后开始跑， 故②错误； 乌龟在分钟时的路程为，故这分钟乌龟没有跑在休息， 故③正确. 兔子先到达终点，所有本次比赛兔子赢了， 故④正确. 正确的有个， 故选C． 【变式4-1】依依放学后以一定速度匀速步行回家，他在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，然后依依提高了速度继续匀速步行回家，下列图象能表示依依放学回家的行程中，所剩路程与依依步行时间之间的关系的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】据题意可以写出各段过程中，所剩路程与时间的关系，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 依依放学后以一定速度匀速步行回家这一过程中，所剩路程随着时间的增加而减小； 依依在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，这一过程中，所剩路程随着时间的增加不变； 然后依依提高了速度继续匀速步行回家，所剩路程随着时间的增加而减小，且减小的速度比遇到了同学前的速度快． 故选：C． 【变式4-2】如图所示，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，货车从进入隧道至离开隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】火车进入隧道时，长度逐渐增加，直至完全进入，然后长度一直不变，一直到开始离开隧道，长度减小，直至完全离开隧道． 【详解】解：根据题意可知货车进入隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为： 当货车开始进入隧道时y逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时y不变且最大， 当货车开始离开隧道时y逐渐变小．另外货车是匀速运动，货车进入隧道或离开隧道y随x的均匀变化而均匀增大或减小，故图象呈直线型，排除选项B、C、D． 故选：A． 【变式4-3】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途中的时间为x，两人之间的距离为y,则下列选项中的图象能大致反映y与x之间关系的是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】对整个过程分段：小明出发至妈妈出门追，妈妈出门追至追上，停留，两人分开至同时到达，分别分析讨论． 【详解】由题意可得，小明从家出发到妈妈出门追这段时间，y随x的增大而增大，妈妈出门追至追上小明这段时间，y随x的增大而减小，停留阶段，y随x的增大不变，小明和妈妈分别去学校、回家的这段时间，y随x的增大而增大； 故选：B． 【变式4-4】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路（直线）上学，途中发现忘带盒饭，停下来往家里打电话，妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，小刚始终以100米分的速度步行，小刚和妈妈的距离（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间（单位：分）之间的函数关系如图，下列四种说法： ①打电话时，小刚和妈妈的距离为米； ②小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的度为米分； ③打完电话后，经分钟小刚到达学校； ④小刚家与学校的距离为米．其中正确的个数是（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据函数的图象和已知条件分别分析探讨其正确性，进一步判定得出答案即可． 【详解】解：①由图可知打电话时，小刚和妈妈的距离为1250米是正确的； ②打完电话后5分钟两人相遇后，妈妈的速度是米分，走的路程为米，回家的速度是米分，所以回家的速度为15米分是错误的； ③因为打完电话后5分钟两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，经过分钟小刚到达学校，所以是正确的； ④小刚家与学校的距离为米，所以是正确的． ∴正确的有①③④共3个． 故选：C． 【变式4-5】（25-26八年级上·广东广州·期末）已知，两地相距600米，甲、乙两人同时从地出发前往地，出发2分钟后，乙减慢了速度，最终比甲晚到，两人所走路程（米）与行驶时间（分）之间的关系如图所示，请回答下列问题： (1)求乙的路程与行驶时间之间的函数关系式？ (2)求乙行驶多长时间时，乙在甲前方50米？ 【答案】(1) (2)1分钟3分钟 【分析】（1）先设出乙减慢速度后的函数解析式，再用待定系数法求解即可； （2）根据题意，乙在甲前方50米有两种情况，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：设乙减慢速度后函数关系式为， 把和代入得， ， 解得：， 乙减慢速度后函数关系式为； （2）解：由图象可得， 甲的速度为：（米分）； ①乙改变速度之前速度为：（米分）， ， 解得：； 乙改变速度之后，，， ②乙在甲前方50米，即，即， 解得：． 综上所述，乙行驶1分钟3分钟时，乙在甲前方50米． 【变式4-6】（25-26八年级上·江苏南通·期末）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题：    (1)工厂离目的地的路程为______km； (2)求s关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围； (3)当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？ 【答案】(1)880 (2)； (3)． 【分析】（1）根据图象直接得出结论即可； （2）根据图象，利用待定系数法求解函数表达式即可； （3）分别求出余油量为10升和0升时行驶的路程，根据函数表达式求出此时的t值，即可求得t的范围． 【详解】（1）解：由图象，得时，， 故答案为：880； （2）解：设，将和分别代入表达式， 得，解得， ∴s关于t的函数表达式为； （3）解：当油箱中剩余油量为10升时，（千米）， ， 解得（小时）． 当油箱中剩余油量为0升时，（千米）， ，解得（小时）． 随t的增大而减小， 的取值范围是． 【变式4-7】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙两车从A地出发，沿相同的路线匀速前往B地在整个行驶过程中，甲、乙两车离A地的距离y（km）与甲车行驶的时间：（h）之间的关系如图所示，根据图象解答下列问题：    (1)A，B两地相距______千米； (2)甲车的速度为______，乙车的速度为______； (3)甲出发______小时后，甲、乙两车相距50千米． 【答案】(1)300 (2)60，100 (3)或或或 【分析】（1）根据函数图象中的数据，写出，两地的距离； （2）根据函数图象中的数据，可以求出甲车和乙车的速度； （3）根据题意，可知分四种情况，然后求出相应的时间即可． 【详解】（1）由图象可得，，两地相距千米， 故答案：． （2）由图象可得， 甲车的速度为：， 乙地的速度为：， 故答案：，． （3）设甲出发小时后，甲，乙两车相距千米， 当乙没有出发，甲，乙两车相距千米，此时，； 乙出发后，甲乙相遇前：， 解得：； 甲乙相遇后且乙未达到终点：， 解得：； 甲乙相遇后且乙到达终点： 由上可得，甲出发或或或小时后，甲，乙两车相距千米， 故答案：或或或． 【变式4-8】（25-26八年级上·江苏南京·期末）甲、乙两地相距，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地，快车比慢车晚出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地，两车之间的距离（单位：）与慢车的行驶时间（单位：）之间的部分函数图象如图所示，请结合图象解决下面问题：      (1)慢车的速度为________； (2)求线段表示的与之间的函数表达式； (3)请根据题意补全图象． 【答案】(1)0.5 (2) (3)补全图象见解析 【分析】（1）根据速度=路程÷时间解答即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）分别求出快车追上慢车时的时间，快车到达乙地的时间和两车距离，慢车到达乙地的时间即可补全图象． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.5； （2）解：设线段表示的与之间的函数表达式为， 则， 解得：， ∴线段表示的与之间的函数表达式为； （3）解：， 设快车在tmin追上慢车， 则 解得：， ∴； 设快车在amin到达乙地， 则， ∴此时， ∴； 设慢车在bmin到达乙地， 则， ∴； 故补全图象如图，   ． 【变式4-9】（25-26八年级上·广东普宁·期末）如图1，公路上依次有A，B，C三点，间的距离为，间的距离为，小张和小丽分别从A，B两地同时出发匀速去往C地，图2是小张和小丽出发t（h）后分别与A地相距和的函数图像． (1)图2中，表示小张运动过程的线段是______，表示小丽运动过程的线段是______； (2)分别求出，与t的函数关系式； (3)说出图2中点N的实际意义． 【答案】(1)， (2)； (3)出发0.4小时后在距离A地处两人相遇 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）结合图形和图象获取信息即可； （2）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）从图象获取信息作答即可． 【详解】（1）解：由图形可知，小张离点的距离远，故表示小张运动过程的线段是，表示小丽运动过程的线段是； 故答案为：，； （2）设， 将代入，得，解得：k=10， 所以与t的函数关系式； 设， 将代入，得，解得：， 所以与t的函数关系式； （3）从图象可知，点N的实际意义是：出发0.4小时后在距离A地处两人相遇． 【变式4-10】小明和弟弟小阳分别从家和科技馆同时出发，沿同一条路相向而行．小明开始以一定的速度跑步前往，10分钟后改为步行，到达科技馆恰好用了30分钟．小阳骑自行车以每分钟250米的速度直接回家，两人离家的路程y（单位：米）与各自离开出发地的时间x（单位：分）之间的函数图像如图所示． (1)家与科技馆之间的路程为______米；小明步行的速度为每分钟______米； (2)求小阳离家的路程y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当离开出发地的时间为6分钟时，求小明和小阳之间的路程． 【答案】(1)；分钟/米 (2)小阳离家的路程y与x的函数解析式为 (3)小明和小阳之间的路程为米 【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是能从函数的图象中获取相关信息； （1）认真分析图象得到路程与速度数据； （2）采用待定系数法列出小阳离家路程y与时间x之间的函数关系式； （3）分别求出小明和小阳的路程即可． 【详解】（1）解：由图中可以看出，家与科技馆之间的路程为米； 由图中可以看出，小明步行时间为分钟，步行路程为米 ∴小明步行的速度为分钟/米 （2）解：∵小阳骑自行车以每分钟250米的速度直接回家， 设小阳离家的路程y与x的函数解析式为 把代入得： ∴小阳离家的路程y与x的函数解析式为 当时， ∴自变量x的取值范围 （3）解：当离开出发地的时间为6分钟时，小阳距家米 由图中可以看出，小明跑步速度为分钟/米 ∴当离开出发地的时间为6分钟时，小明走了米 ∴小明和小阳之间的路程为米 【变式4-11】随着无人机产业的快速发展，无人机航拍逐渐成为摄影创作的重要方式．某日，学校摄影社团组织灞河景色无人机航拍活动．如图，在平面直角坐标系中，、分别表示拍摄某镜头时1号、2号无人机的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的函数关系． (1)1号无人机飞行的速度是______米/秒，2号无人机飞行的速度是______米/秒； (2)两架无人机飞行多少秒后，1号无人机的高度高于2号无人机？ 【答案】(1)6，4 (2)15 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式． （1）根据图象利用速度路程时间求解即可； （2）首先根据题意得到，，然后联立求出点P的横坐标为，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）1号无人机飞行的速度是米/秒， 2号无人机飞行的速度是米/秒； （2）根据题意得，， ∴联立得， 解得 ∴点P的横坐标为 ∴由图象可得， 两架无人机飞行15秒后，1号无人机的高度高于2号无人机． 【变式4-12】唐徕中学的小明和李老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后李老师做了一会准备活动，小明先跑．当李老师出发时，小明已经距起点200米了．他们距起点的距离s（米）与李老师出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．据图中给出的信息，解答下列问题：    (1)在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)李老师的速度为 米/秒，小明的速度为 米/秒； (3)当李老师第一次追上小明时，求小明距起点的距离是多少米？ 【答案】(1)； (2)6；2 (3)300 【分析】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． (1)利用函数的定义求解； (2)根据函数图象，得到李老师在70秒跑了420米，小明110秒跑了220米，然后根据速度公式分别计算他们的速度； (3)先求出的表达式，设t秒时，小明第一次追上朱老师，利用路程相等得到，解方程求出t，然后计算即可 【详解】（1）解：在上述变化过程中，自变量是t；因变量是s． （2）李老师的速度：（米/秒）； 小明的速度（米/秒）． （3）设：的表达式为：，将点代入得：， 解得， ， 设的表达式为，将代入得：， 解得：， 设t秒时，李老师第一次追上小明， 根据题意得，解得（秒） 则（米）， 当李老师第一次追上小明时，小明距起点的距离是300（米） ▌题型05 一次函数中的面积问题 在坐标系中，要求三角形的面积，首先要根据三角形的不同情况进行分类 1.有一边平行于坐标轴，以这条边为底，此时，底和高都比较容易求得，从而得到三角形的面积； 2.三边都不平行于坐标轴，可以利用割补法，过一个顶点作与坐标轴平行的直线，将三角形转化为两个易求面积的三角形，从而解决问题。 对于多边形，可以采取上面第2种方法，通过割补，将图形转化，从而求解。 【典例5】如图，已知直线，与y轴分别交于A，B两点，且两直线交于C点． （1）求点A，B的坐标； （2）求交点C的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）A（0，3），B（0，-1）；（2）C（-1，1）；（3）2 【分析】（1）分别令x=0，求出y值即可得到A点和B点坐标； （2）联立两直线表达式，解方程组即可得到点C坐标； （3）根据三角形面积公式求解． 【详解】解：（1）当x=0时，y=2x+3=3，则A（0，3）； 当x=0时，y=-2x-1=-1，则B（0，-1）； （2）解方程组， 解得：， 则C点坐标为（-1，1）； （3）△ABC的面积==2． 【变式5-1】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在直角坐标系中，一次函数的图像l1与y轴交于点A（0，2），与一次函数y＝x﹣3的图像l2交于点E（m，﹣5）． （1）求m的值及l1的表达式． （2）直线l1与x轴交于点B，直线l2与y轴交于点C，求四边形OBEC的面积． （3）如图，已知矩形MNPQ，PQ＝2，NP＝1，M（a，1），矩形MNPQ的边PQ在x轴上平移，若矩形MNPQ与直线l1或l2有交点，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）m=-2，；（2）；（3）或3≤a≤6 【分析】（1）根据点E在一次函数图象上，求出m的值，利用待定系数法即可求出直线l1的函数解析式； （2）由（1）求出点B、C的坐标，利用S四边形OBEC=S△OBE+S△OCE即可得解； （3）分别求出矩形MNPQ在平移过程中，当点Q在l1上、点N在l1上、点Q在l2上、点N在l2上时a的值，即可得解． 【详解】解：（1）点在一次函数图象上， ， ； 设直线的表达式为， 直线过点和， ，解得． 直线的表达式为． （2）由（1）可知：点坐标为，点坐标为， ． （3）或． 当矩形的顶点在上时，的值为， 矩形向右平移，当点在上时， ，解得，即点，， 的值为， 矩形继续向右平移，当点在上时，的值为3， 矩形继续向右平移，当点在上时， ，解得，即点， 的值， 综上所述，当或时，矩形与直线或有交点． 【变式5-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴y轴分别交于点A，B，点D在y轴的负半轴上．若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点C处． （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）在y轴上是否存在一点P，使得S△PAB？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5； （2）点C（﹣8，0），点D（0，﹣6）； （3）存在，点P的坐标为：（0，）或（0，）． 【分析】（1）对于yx+4，当x＝0时，y＝4，令yx+4＝0，则x＝﹣3，即可求解； （2）由图象的折叠知，AC＝AB＝5且CD＝BD，即可求解； （3）由则S△PAB＝8|yB﹣yP||8﹣yP|，即可求解． 【详解】解：（1）对于yx+4，当x＝0时，y＝4， 令yx+4＝0，则x＝﹣3， 即点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，4）， 由点A、B的坐标得，AB＝5； （2）存在，理由： 设点D（0，m）， 由图象的折叠知，AC＝AB＝5且CD＝BD， 则点C（﹣8，0）， 由CD＝BD得：（4﹣m）2＝82+m2， 解得：m＝﹣6， 即点D（0，﹣6）； （3）∵S△CODCO•OD24， 则S△PAB＝8|yB﹣yP||8﹣yP|， 解得：yP或， 综上，点P的坐标为：（0，）或（0，）． 【变式5-3】已知一次函数的图象分别与轴相交于，两点． (1)分别求，两点的坐标； (2)点在线段上，连接，若直线将的面积分成两部分，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）分别令一次函数中的、等于零即可求解； （2）根据题意找到点位置，再由直线将的面积分成两部分，列出式子，解方程即可求解． 【详解】（1）在中，令，得． ∴点的坐标为．       在中，令，得，解得． ∴点的坐标为． （2）设． ①当时．      即，解得． ∴点的坐标为． ②当时． 即，解得． ∴点的坐标为． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【变式5-4】（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接． (1)求，两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时，第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2) (3)或． 【分析】（1）分别求出当时，y的值，当时，x的值即可得到答案； （2）如图所示，过点作轴，先求出，，再根据三角形面积公式进行求解即可； （3）先求出出点坐标为，再分当、 时两种情况，利用一线三垂直模型证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 解得：， ∴点坐标为，点坐标为； （2）解：如图所示，过点作轴， ∵点是线段上的一个动点（不与，重合）， ∴，， ∴的面积， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得：， ∴点坐标为， 当时，过点作轴于，过点作于， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时，如图所示，过点作轴于M， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，点的坐标为或． 【变式5-5】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，0），D（，2，0），以A为旋转中心将线段AB逆时针旋转90°形成线段AC． (1)求出点C坐标及△ABC的面积； (2)如图2，以AD为腰，在直线AD左侧作等腰直角△ADE，且∠DAE为直角．连接CE交y轴于点F． ①求出F点坐标； ②直接写出点E到直线AC的距离． 【答案】(1)C（4，7）； (2)①（0，）；②点E到AC的距离为4． 【分析】（1）先求出OA，OB，进而判断出△ACM≌△BAO（AAS），求出OM，CM即可得出点C坐标，最后用面积的差即可得出△ABC的面积； （2）①同（1）的方法求出点E的坐标，进而求出直线CE的解析式即可得出结论； ②利用等面积即可得出结论． 【详解】（1）如图1， ∵A（0，4），B（3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， 过点C作CM⊥OA于M， ∴∠CAM+∠ACM＝90°， ∵△ABC是等腰三角形， ∴AC＝AB，∠BAC＝90° ∴∠OAB+∠CAM＝90°， ∴∠ACM＝∠OAB， 在△ACM和△BAO中，， ∴△ACM≌△BAO（AAS）， ∴AM＝OB＝3，CM＝OA＝4， ∴OM＝OA+AM＝7， ∴C（4，7）， ； （2）①如图2，过点C作CM⊥OA于M，过点E作EN⊥AO于N， 同（1）的方法得出，E（﹣4，6）， 由（1）知，C（4，7）， 设直线CE的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴F（0，）； ②如图3，过点E作EG⊥AC于G， 由（1）知，C（4，7）， ∵A（0，4）， ∴AC， ∵， ∵AF＝2.5，AC＝5，C、E横坐标距离为8， ∴2.5×8＝5EG， ∴EG＝4． 【变式5-6】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线x经过点，交x轴于点B，直线交x轴和y轴分别于点C和点D，和直线交于点P，．    (1)如图1，分别求y1，y2关于x的函数解析式； (2)如图2，点Q在线段上，连接，的面积为3，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点代入 即可求出的函数解析式；根据“”可求出点的坐标，即可求出的函数解析式； （2）过点Q作的垂线，垂足为点M，过点P作的垂线，垂足为点N．根据可求点的纵坐标，代入即可求解． 【详解】（1）解：解：由图象可知y1经过点， 则 ， ， 直线交x轴和y轴分别于点C和点D 令，则 ∵ ∴， 把代入，则 ∴ （2）解：过点Q作的垂线，垂足为点M，过点P作的垂线，垂足为点N．    ∵直线和直线交于点P， ∴解得， 即， ∵交x轴于点B， ∴令， 即 ∴ 令，解得 ∴ 【变式5-7】（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，直线分别与轴、轴交于点、，且点的坐标为，点的坐标为，在直线的右侧作正方形．    (1)求直线的函数解析式； (2)正方形的面积是___； (3)求点C的坐标． 【答案】(1) (2)25 (3)点C的坐标为 【分析】（1）利用勾股定理求出， （2）正方形面积； （2）过点作轴于点，证明，即可得答案． 【详解】（1）设直线的函数解析式为， ，， 解得： ∴直线的函数解析式为； （2），， ，， 在中，， 正方形面积， 故答案为：25； （3）如图，过点作轴于点，    正方形中，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 【变式5-8】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线与x轴，y轴分别交于点C，D，两直线交于点．    (1)求m的值； (2)求四边形的面积； (3)当时，根据图象，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点的坐标代入求解即可； （2）过点作轴于点，利用割补法求四边形的面积即可； （3）图象法解不等式即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， ∴； （2）∵，当时，， ∴； 由（1）知：，当时，，解得：， ∴， ∴， 过点作轴于点，    ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积 ； （3）由图象可知：时，． 【变式5-9】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，设的面积为．    (1)写出与之间的函数关系，并写出的取值范围； (2)当的面积为时，求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先求出点A坐标，由可求函数关系式， （2）将代入函数解析式可求得点； （3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M． 【详解】（1）解：点在第二象限，则因为 当时，x，则 （) （2）由（1）可知 当 则 此时： 所以 （3）存在点M满足条件， I．当M点在y轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为， II．当M点在y轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为； III．当M点在y轴时，若，即，      ， ∴， ∴当点M在点B上方时，点M坐标为， ∴当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；； IV．当M点在x轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点右侧时，点M坐标为， ∴当点M在原点左侧时，点M坐标为，与点A重合，不合题意舍去； V．当M点在x轴时，若，即， ∴， ∴， ∵点A坐标为， ∴当点M在点A左侧时，点M坐标为， ∴当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去； 综上所述：点M坐标为， ， ， ， ， ． ▌题型06 一次函数中的三角形存在性问题 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且l与x轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)或或 【分析】（1）根据平移的规律得出直线l的解析式，由函数解析式令求A点坐标，求B点坐标； （2）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将直线向下平移2个单位长度得到直线l， ∴直线l的解析式为， 当时，，解得， 当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， 当时，， 解得或， ∴M的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴M的坐标为； 综上，M的坐标为或或． 【变式6-1】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）    A．3或 B．4或 C．3或 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．根据题意解方程得到，则，令，则，求得，，根据勾股定理得到，①当时，如图1，②当时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 在中， 令，则，令，则， ，，由勾股定理得， ①当时，如图1，   ， ， ； ②当时，如图2，   ， ， ， 综上所述：的长为或4． 故选：D． 【变式6-2】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，已知点是正方形的一个顶点，E是的中点，点P是直线上一点． (1)求点E的坐标和直线的解析式； (2)若的面积为21，求此时P点坐标； (3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点E的坐标为，直线的解析式为 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、以及勾股定理，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先根据正方形的性质求出点E和C的坐标，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点P的坐标为，利用列方程解题； （3）设点P的坐标为，分为，和三种情况，利用勾股定理计算即可解题． 【详解】（1）解：∵点是正方形的一个顶点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， （2）解：设点P的坐标为， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； ∴点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 当时，，解得：，， ∴点P的坐标为或（舍去）； 当时，，即，解得， ∴点P的坐标为； 当时，解得：（舍去）或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【变式6-3】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图①，在平面直角坐标系中，交轴和轴于两点，其坐标分别为，满足． (1)求点的坐标； (2)如图②，过点作，截取，点在第一象限内，过点作轴于点，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向下运动，连接，若点运动的时间为秒，三角形的面积为，请用含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，连接，在坐标轴上是否存在点，使与全等?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与全等时，点M的坐标为或 【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）过点D作于H，证明，分和两种情况，列分段函数； （3）点M可能在x轴上，也可能在y轴上，因此需要分两种情况分别计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图①，过点D作于H， ， ， 在和中， ， ， 当时， 由题意得：则， ； 当时，， ， 则 （3）解：如图②， ， ， ， ， 当时，， ， ∴点M在x轴上． ， ， 当时，， ∵点在轴上， ， ， ， 综上所述：与全等时，点M的坐标为或． 【变式6-4】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（　　） A．（ ， ） B．（3，3） C．（ ， ） D．（ ， ） 【答案】D 【分析】先证明△MCP≌△NPD，再根据勾股定理和待定系数法求函数解析式，最后求解即可。 【详解】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H， ∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°， ∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°， ∴∠MCP＝∠DPN， ∵P（1，1）， ∴OM＝BN＝1，PM＝1， 在△MCP和△NPD中， ∴△MCP≌△NPD（AAS）， ∴DN＝PM，PN＝CM， ∵BD＝2AD， ∴设AD＝a，BD＝2a， ∵P（1，1）， ∴BN＝2a﹣1， 则2a﹣1＝1， a＝1，即BD＝2． ∵直线y＝x， ∴AB＝OB＝3， 在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝ ， 在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝ ＝2， 则C的坐标是（0，3）， 设直线CD的解析式是y＝kx+3， 把D（3，2）代入得：k＝﹣ ， 即直线CD的解析式是y＝﹣ x+3， 即方程组 得： ， 即Q的坐标是（ ， ）． 故答案为：D． 【变式6-5】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点B的直线交x轴与点若点D在直线上，且是以为腰的等腰三角形，点D的坐标　 　． 【答案】或 【分析】先分别求出点A、B的坐标，再根据B，C两点的坐标求了直线的解析式，进而可分、两种情况，分别求了D点的坐标． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ，当时，，解得：， 当时，， ∴点A坐标为，点B坐标为， ∴，， 设过点、的直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的表达式； 当时，此时D与B重合， ∴D点坐标为， 当时，如图，D点在的垂直平分线上， 此时D点的横坐标为：， ，当时，， 解得， ∴D点坐标为， ∴D点坐标为或； 故答案为或． 【变式6-6】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，直线AB的解析式为y＝-x+b，分别与x轴，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（4，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝4：1．若在x轴上方存在点D，使以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为　 　． 【答案】（5，4） 【分析】求出OB、OC的长，易得△AOB为等腰直角三角形，从而得出AC=5，由AB为公共边，当BD∥AC且BD=AC=5时，△ABC≌△ABD，由△AOB为等腰直角三角形，可得直线y=x垂直平分AB，求出点D（5，4）关于直线y=x的对称点为D'（4，5），则△ABD'≌△ABD≌△ABC，继而得解. 【详解】解：把A（4，0）代入y＝-x+b中，得b=4， ∴y=-x+4， ∴B（0，4），即OB=4， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∵OB：OC＝4：1 ， ∴OC=1，即C（-1，0）， ∴AC=5， 由AB为公共边，当BD∥AC且BD=AC=5时，△ABC≌△ABD， ∴D（5，4）， ∵△AOB为等腰直角三角形， ∴直线y=x垂直平分AB， 则点D（5，4）关于直线y=x的对称点为D'（4，5）， ∴△ABD'≌△ABD， ∴△ABC≌△ABD'， ∴ 以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为（5，4）或（4，5）； 故答案为：（5，4）或（4，5）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $