第2章特殊三角形全章9大题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以特殊三角形性质为核心，通过“解题通法-题型归纳-压轴挑战”三阶体系，系统提炼勾股定理应用、分类讨论等9类解题方法，培养几何直观与推理能力，实现知识逻辑与解题能力的协同提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|勾股定理方程化、等腰三线合一、等边旋转构造等核心解法|从特殊三角形定义到性质推导，构建“性质-应用”逻辑链| |题型归纳|9大题型（每题型含1典例+3-5变式）|计算类：确定边与斜边列方程；最值类：展开平面用线段最短；折叠类：轴对称性质建等量关系|按“基础计算-性质判定-综合应用”递进，覆盖中考高频考法| |压轴挑战|1典例+14变式|动态问题分类讨论、几何模型迁移（如将军饮马）|整合多知识点，提升复杂情境下的抽象能力与推理意识|

第2章 特殊三角形（9大题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、用勾股定理的进行计算 题型2、用勾股定理理解三角形 题型3、用勾股定理解决最值问题 题型4、等腰三角形的性质与判定 题型5、等边三角形的性质与判定 题型6、线段垂直平分线与角平分线的性质 题型7、等腰三角形的分类讨论问题 题型8、折叠背景下的勾股定理应用 题型9、折叠背景下的角度计算问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 特殊三角形主要包括直角三角形、等腰三角形和等边三角形。直角三角形中，勾股定理及其逆定理是核心工具，折叠问题常通过设未知数，利用轴对称性质和勾股定理列方程；等腰三角形要关注‘三线合一’、两腰相等、两底角相等的性质，并注意顶角、腰、底边的分类讨论；等边三角形三边相等、三角均为60°，常结合全等或旋转构造；线段垂直平分线上的点到两端点距离相等，角平分线上的点到两边距离相等，常用于转化线段关系。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、用勾股定理的进行计算 题型模版 题型特征：在直角三角形中，已知两边求第三边，或结合面积、周长进行计算。 解题方法：确定直角边与斜边；套用或列方程；注意区分已知边是直角边还是斜边。 典例1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）勾股定理是几何学中的“明珠”．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，，，若已知的面积，则能求下列哪个代数式的值（    ） A． B． C． D． 变式1-1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，Rt中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，若图中阴影部分的面积是，则的大小可以用，表示为（   ） A． B． C． D．2 变式1-2（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连结、、，若，，则这个六边形的面积为（   ） A．14 B．13 C．16 D．15 变式1-3如图，分别以的三边为边，在BC的同侧作一个等边，，，且点B，A，E在同一直线上，连结DF，EF．若，与的面积之和为，则阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 题型2、用勾股定理理解三角形 题型模版 题型特征：利用勾股定理判断三角形形状，或解释几何图形中的数量关系。 解题方法：比较三边平方关系：若满足则为直角三角形；结合图形面积、拼图等理解代数关系。 典例2（25-26八年级上·浙江舟山·期末）已知：如图1，在等腰中，． (1)求的值． (2)如图2，为线段上一点，连接，作点关于直线的对称点，连接PE，DE， ①如图3，若点落在线段上时，求此时的值． ②如图4，若点落在线段上时，求此时的面积． 变式2-1（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）【思维启迪】 （1）如图1，是的中线，延长到点．使，连接，则与的数量关系为_______，位置关系为________． 【思维应用】 （2）如图2，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； 【思维探索】 （3）如图3，在中，，，点为中点，点在射线上（点不与点，点重合），连接，过点作，垂足为点，连接．若，，请直接写出的长． 变式2-2（25-26八年级上·浙江金华·期中）我们把三角形的一条边与这条边上的高的长度之差叫做这条边的“边高差”．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，则_____； (2)若中，，，，则_____； (3)若中，，，边上的高为15，求的值． 变式2-3（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1，在中，，点是线段上的任意一点，在的延长线上取一点，使得． (1)若，，求的度数． (2)若，求证：． (3)如图2，当点是线段的中点时，满足，若，求线段的长． 题型3、用勾股定理解决最值问题 题型模版 题型特征：以勾股定理为工具，结合轴对称、展开图等求最短路径或最小值。 解题方法：把空间或折线问题展开成平面；利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”；用勾股定理计算最短距离。 典例3如图，，平分，P为射线上一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点F．若，，则的最小值为______． 变式3-1（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在等腰三角形中，，点是边上的中点，点分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式3-2（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，某公园内有一条“型”景观水道，，水道的宽度为米，水道分为东西方向和南北方向两段．两个凉亭分别位于，两点，其中位于南北方向水道的西侧，位于东西方向水道的南侧，已知，两点在东西方向上的水平距离为米，在南北方向上的竖直距离为米．现要建造两座与水道垂直的景观桥和（桥长均为米），使得从处到处的游览路径最短，则最短路径的长为______米． 变式3-3日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活． 主题    探究最短路径问题与用数学知识设计车位 活动一：如图1，点A、B是直线l上方两点，点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，在直线l上找一点P，使最短． (1)如图2，作点与点A关于直线l对称，连接交直线l于点O，连接交直线l于点P，连接，则点P即为所求，则______， _____ （选填或）； (2)如图3，过作，过B作于C，若，则____，_____； 活动二：某小区有一个矩形停车场，长，宽，大门设在处，如图4，小区内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边长为的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停车场的边界及充电桩之间的距离都不小于，是两个充电桩的中心，叫做充电桩的中心距． (3)如图5，若沿方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距为_______； (4)调研发现，在停车场四个角落修4个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为，需在边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到的距离的和最短，则这个最短距离为__________． 变式3-4（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)线段，于点A且，于点B且，点P为线段上任意一点，则图1中最小值为________；图2中最小值为________； (2)如图3，中，，，，点D是边的中点，点P是边上任意一点，则的最小值是________； (3)如图4，中，且，作于点D，过A点的射线m始终平行于，点E是高上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段上一点，且始终保持，则的最小值为________；则的最小值为________． 变式3-5（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 题型4、等腰三角形的性质与判定 题型模版 题型特征：利用等腰三角形两腰相等、两底角相等、三线合一等性质进行计算或证明。 解题方法：由边相等推角相等，或由角相等推边相等；遇高、中线、角平分线时考虑三线合一；注意分类讨论。 典例4（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1是由边长为1的正方形构成的的网格图，的顶点都在格点上． (1)请在上找一点，使得，画出； (2)如图2，平分，，，若，求的度数； (3)如图3，在和中，，，． ①求证：； ②若，求出与的面积之差． 变式4-1（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，中，，点D，E分别是边，上的动点，且． (1)当点D在的垂直平分线上时，连接，． ①求证：是等腰三角形； ②求证：； (2)如图2，在（1）的条件下过点D作，垂足为F，求证：； (3)如图3，连接，，交点为G，若，直接写出四边形面积的最大值（结果用含a的式子表示）． 变式4-2（25-26八年级上·浙江金华·期末）【小试牛刀】 （1）已知和按如图1所示的位置摆放，其中点在边上，，若，，，，求的长． 【类比探究】 （2）如图2，在四边形中，已知，，连接．若，且的面积为12，求的面积． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，已知，，点为边上的一点，连接，在上取点，连接，使，过点作交于点，交于点．若，，求的面积． 变式4-3（25-26八年级上·浙江衢州·期末）某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结论： 【性质探究】 ①“中线平分面积”．如图1，在中，是的中点，若的面积为6，则的面积为__________． ②“倍长中线法可以求中线范围”．如图1，延长到点，使，连接，根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，根据三角形三边关系可以求出中线的范围．若，则的取值范围是__________． 【拓展应用】 ①如图2，在中，是的中点，是边上的一点，连接，交于点．若，请判断之间的数量关系，并说明理由． 【创新人才培养选做题】 ②如图3，在中，是的中点，是的角平分线，交于点，．设，的面积分别为和，若，试求的最大值． 题型5、等边三角形的性质与判定 题型模版 题型特征：利用等边三角形三边相等、三角均为60°的性质进行推理计算。 解题方法：证明三边相等或三角相等；常通过构造全等或利用60°角进行角度、边长转化。 典例5（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，为等腰直角三角形，，其中，分别是线段，上的点，且．过点作，交于点．过点作，交于点，交延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)当为等边三角形时，求的度数； (3)若，，求的长度． 变式5-1（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，等边中，是边上的中线，点E是线段上一动点，连结，在右侧作等边，连结．若，则周长的最小值为____． 变式5-2（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，点是上一点，在的下方作交的延长线于点，连接，求证：是等边三角形； (3)在（2）的条件下，若，，求的值． 变式5-3（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知等边三角形，点是射线上一点（不与、重合），作，交射线于点． (1)如图①，当点在线段上时，小明同学发现与始终相等．他的证明思路是：“过点作，交于点，可得为等边三角形，然后可证，从而得到．”请你根据小明的思路写出完整的证明过程． (2)若点为的中点，连接． ①当点在线段上时，如图②，连接，求证：． ②当点在线段的延长线上时，如图③，若，求的最小值． 题型6、线段垂直平分线与角平分线的性质 题型模版 题型特征：利用垂直平分线和角平分线的性质进行线段或角度转化。 解题方法：垂直平分线上的点到两端点距离相等；角平分线上的点到两边距离相等；常通过连接点构造等腰三角形。 典例6如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹推断，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 变式6-1（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，的外角的角平分线与边的中垂线交于点，过作于点，则、、三条线段之间的数量关系为______． 变式6-2（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，边上的点关于直线的对称点为点，连接，，，分别交，于点，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，当为的中点时，和有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，在上取点，使，连接，交于点，求证：． 变式6-3（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值． 题型7、等腰三角形的分类讨论问题 题型模版 题型特征：等腰三角形中边、角、高、周长等不确定时，需要分类讨论。 解题方法：按顶角、腰、底边分类；按高在形内或形外分类；求出结果后检验是否满足三角形三边关系。 典例7（25-26八年级上·浙江台州·期末）点是等边的边上的中点，点，分别是射线，射线上的动点． (1)如图1，当时，求证；； (2)当，时， ①如图2，是点，点在运动过程中的某一个具体位置，当点，点在运动的过程中，的大小是否发生变化，如果不变，求出的度数，如果变化，请说明理由； ②连接，若是等腰三角形，探究和之间的数量关系． 变式7-1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在线段上运动，连接． （）当______时，是以为斜边的直角三角形； （）当时，是等腰三角形，则所有满足条件的的值的和为______． 变式7-2（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)当秒时，求的长（不要求化简）； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ (3)若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 变式7-3（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D，两直线交于点P，且． (1)求点A、B的坐标． (2)在y轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标． (3)若点Q在x轴上，为等腰三角形，直接写出满足条件的点Q的坐标． 题型8、折叠背景下的勾股定理应用 题型模版 题型特征：图形折叠后，利用轴对称性质和勾股定理建立方程求线段长。 解题方法：找出折叠前后的对应边、对应角；设未知数，用勾股定理列方程；注意折叠后点落在线段或直线上。 典例8（25-26七年级下·浙江台州·期末）把长方形纸片沿折叠后再次沿折叠成如图所示，且的对应线段恰好落在上，设，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式8-1（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图①，仅通过折叠的方法检验纸带的两条边线，是否平行．进行如下操作： （1）把纸带沿着翻折（如图②），折痕与，分别交于点，，（点与点为对应点）与交于点； （2）再沿翻折（如图③），使与所在直线重合．小聪说：若，则；小敏说：若翻折后与相差（点与点为对应点），则直线，的夹角为，则（     ） A．两种说法都对 B．小聪的说法对，小敏的说法错 C．两种说法都错 D．小聪的说法错，小敏的说法对 变式8-2（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图①，已知长方形纸带（），为上一点．先将纸带沿折叠，使得点落在处，与交于点．如图②，再将纸带沿线段折叠一次，使得点，分别落在，位置．若，则________（用含的式子表示） 变式8-3（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图1，将一条两组对边分别平行的纸带两侧进行折叠，折痕分别是、，点、、、折叠后对应的点分别是、、、，点在线段上． (1)若，则 ； (2)说明的理由； (3)如图2，延长交于点，将四边形沿折叠得到四边形，记，试用含的代数式表示的度数． 题型9、折叠背景下的角度计算问题 题型模版 题型特征：图形折叠后，利用轴对称性质和三角形内角关系求角度。 解题方法：折叠前后对应角相等；结合平角、三角形内角和、外角等建立角度方程。 典例9如图，是中边上的一点，将沿着对折，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则的长为_________． 变式9-1（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在四边形中，，连接，，且，把沿着翻折，得到，连接． (1)若，则______，______． (2)若（）， ①求出的度数； ②求证：； (3)若，则______． 变式9-2（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，为钝角，，，，则______．是边上一点，作点关于直线的对称点，连接，若，则的长为______． 变式9-3（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 典例10（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 变式10-1（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在等边中，是上中线且，点D在线段上，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 变式10-2（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，为等边三角形，点，分别为边以及延长线上一点，且，连接交于点，取中点，连结，当垂直平分时，_____． 变式10-3如图，在中，，，点D是线段上一点，连接，将纸片沿着折叠，点A的对应点为点，连接，若，则的长是______． 变式10-4（25-26九年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，，，，点D是边上的一点，且，点E是边上一个动点，连接．现以为一边在右侧作等边，连接． （1）当点E与点B重合时， _______ ． （2）在点E运动过程中，线段的最小值为______． 变式10-5（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在上运动，连接． (1)若是以为斜边的直角三角形时，求的长； (2)若是等腰三角形时，求的长； 变式10-6已知：为的中线，分别以和为一边在的外部作等腰三角形和等腰三角形，且，，连接，． (1)如图，若，，求的度数． (2)如图，求证：． (3)如图，设交于点，交于点，与交于点，若点为中点，且，请探究和的数量关系，并证明你的结论． 变式10-7（25-26八年级上·浙江湖州·期末）在中，是的中点，连接． (1)如图1，点E，F分别为和上的点，且，连接，，，若． ①计算的面积； ②判断的形状并证明． (2)如图2，是的中点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，连结，，．将绕着点进行旋转，若，在旋转过程中，当M，N，C三点在同一条直线上时，试求出的长度．（结果用含的代数式表示） 变式10-8（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图1，中，，，点F、E分别在、边上，连接，． (1)求证：； (2)如图2，点D在的延长线上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点H，点G在线段上，连接、，若，，，求的面积． 变式10-9（2025八年级上·安徽·专题练习）综合实践： (1)如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 (2)如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 变式10-10（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．    (1)求C点的坐标以及直线的解析式； (2)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式10-11（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． (1)如图1，若为的中点，，求的长． (2)如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 变式10-12（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1，在中，，点是上一点，且，点为延长线上一点，且，设． (1)用含的代数式表示的度数； (2)求的长； (3)如图2，在延长线上有一点，满足，连接，与交于点，在上取点F，使，求证：． 变式10-13（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，是中点，是上一动点，连接，将沿直线折叠得． (1)如图，当点恰好落在线段上时，求证：； (2)如图，在中，，，当点恰好落在线段上时，连接，求的长度； (3)如图，若为直角三角形，，，．连接、、，当与面积相等时，求的面积． 变式10-14（25-26八年级上·湖北武汉·期中）（1）【问题背景】我们把面积相等但不全等的两个三角形称为“偏等积三角形”． 如图1，在中，，，．点是边上一点，点是边上一点． ①当________时，和是偏等积三角形； ②若和是偏等积三角形，且的长为奇数，求的值． （2）【问题探究】如图2，在四边形中，是边上一点，是延长线上一点．，，且，．试找出图中的偏等积三角形，并证明你的结论． （3）【问题拓展】如图3，在中，，．和为偏等积三角形，且面积均为，为上一动点，当取最小值时，求_________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形（9大题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、用勾股定理的进行计算 题型2、用勾股定理理解三角形 题型3、用勾股定理解决最值问题 题型4、等腰三角形的性质与判定 题型5、等边三角形的性质与判定 题型6、线段垂直平分线与角平分线的性质 题型7、等腰三角形的分类讨论问题 题型8、折叠背景下的勾股定理应用 题型9、折叠背景下的角度计算问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 特殊三角形主要包括直角三角形、等腰三角形和等边三角形。直角三角形中，勾股定理及其逆定理是核心工具，折叠问题常通过设未知数，利用轴对称性质和勾股定理列方程；等腰三角形要关注‘三线合一’、两腰相等、两底角相等的性质，并注意顶角、腰、底边的分类讨论；等边三角形三边相等、三角均为60°，常结合全等或旋转构造；线段垂直平分线上的点到两端点距离相等，角平分线上的点到两边距离相等，常用于转化线段关系。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、用勾股定理的进行计算 题型模版 题型特征：在直角三角形中，已知两边求第三边，或结合面积、周长进行计算。 解题方法：确定直角边与斜边；套用或列方程；注意区分已知边是直角边还是斜边。 典例1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）勾股定理是几何学中的“明珠”．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，，，若已知的面积，则能求下列哪个代数式的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，先推导等边三角形的面积公式，如图，标注各交点及各部分面积，由勾股定理得：，进一步证明，结合，从而可得答案. 【详解】解：如图，等边三角形中，，， ∴， ∴， ∴， 如图，标注各交点及各部分面积， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴已知的面积，则能求代数式的值. 故选：A 变式1-1（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，Rt中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，若图中阴影部分的面积是，则的大小可以用，表示为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质， 先根据等腰直角三角形的性质得，再设，然后根据勾股定理得，进而得，则此题可解． 【详解】解：如图所示， ∵都是等腰直角三角形， ∴， 设， ∵，即， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 变式1-2（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连结、、，若，，则这个六边形的面积为（   ） A．14 B．13 C．16 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质与判定、三角形面积公式，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形． 根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式可得，根据三角形面积公式得到，通过证明，得到；过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，通过证明，得到，再利用三角形面积公式得到，同理可得，再利用割补法即可求出六边形的面积． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，如图， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴六边形的面积， 故选：A． 变式1-3如图，分别以的三边为边，在BC的同侧作一个等边，，，且点B，A，E在同一直线上，连结DF，EF．若，与的面积之和为，则阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，完全平方公式的应用，通过判定三角形全等将阴影部分的图形进行转换是解题的关键． 如图，设与的交点为M，与的交点为N，根据等边三角形的性质可判定，根据全等三角形的性质进而证明，得到．过点D作于点G，过点E作于点H，由等边三角形的性质结合勾股定理得到，，，，再根据得到，运用完全平方公式得出．证明得到，从而得到，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，设与的交点为M，与的交点为N， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 同理可得， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在等边中，， ∴， ∴， ∴． 过点D作于点G，过点E作于点H， ∵在等边中，，， ∴， ∴在中，， ∴， 同理可得在等边中，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴． 故选：A 题型2、用勾股定理理解三角形 题型模版 题型特征：利用勾股定理判断三角形形状，或解释几何图形中的数量关系。 解题方法：比较三边平方关系：若满足则为直角三角形；结合图形面积、拼图等理解代数关系。 典例2（25-26八年级上·浙江舟山·期末）已知：如图1，在等腰中，． (1)求的值． (2)如图2，为线段上一点，连接，作点关于直线的对称点，连接PE，DE， ①如图3，若点落在线段上时，求此时的值． ②如图4，若点落在线段上时，求此时的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用等腰三角形的性质结合勾股定理求解即可； （2）①过点作，设，利用等积法列式计算结合等腰直角三角形的性质即可求解； ②连接，设，在和中，利用勾股定理列式，结合勾股定理求得，再利用等积法列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，； （2）解：①过点作，设， ∵对称， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 在等腰中，则； ②连接， ∵， ∴， ∴， ∵内角和为， ∴， ∴， ∴，即， 设， 在中，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 变式2-1（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）【思维启迪】 （1）如图1，是的中线，延长到点．使，连接，则与的数量关系为_______，位置关系为________． 【思维应用】 （2）如图2，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； 【思维探索】 （3）如图3，在中，，，点为中点，点在射线上（点不与点，点重合），连接，过点作，垂足为点，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）相等，平行； （2）解：，理由如下： 延长至点M，使，连接，如图所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴； （3）的长为或 【分析】（1）直接利用即可求证全等，继而得到，故； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G，同上可得：，可证明，则，故，在中，由勾股定理求得，那么，中，由勾股定理求得，则；当点在延长线上时，构造上述辅助线，同理可求． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：相等，平行； （2）略 （3）解：当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G， 同上可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理求得， ∴， ∴， ∴； 当点在延长线上时，构造上述辅助线， 同上可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点，正确构造全等三角形是解决本题的关键． 变式2-2（25-26八年级上·浙江金华·期中）我们把三角形的一条边与这条边上的高的长度之差叫做这条边的“边高差”．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，则_____； (2)若中，，，，则_____； (3)若中，，，边上的高为15，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】本题考查三角形的边长、高的计算，根据三角形的性质和公式求出“边长”和“这条边上的高”是解题关键． （1）利用等腰三角形三线合一、勾股定理直接求边长； （2）在直角三角形中，用面积法求出斜边上的高； （3）三角形形状不确定，分“高在上”和“高在的延长线上”两种情况，用勾股定理求的长度，再计算边高差． 【详解】（1）解：，，， ，， ， 故答案为：1． （2）解：如图，作于， ，，， ， ， ，， ， 故答案为：． （3）如图，分两种情况讨论： 当是锐角三角形时： ，，，， ， ， ，， ， ； 当是钝角三角形时： 同理可得，，， ． ∴的值为或. 变式2-3（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1，在中，，点是线段上的任意一点，在的延长线上取一点，使得． (1)若，，求的度数． (2)若，求证：． (3)如图2，当点是线段的中点时，满足，若，求线段的长． 【答案】(1) (2) 证明：，，， ， ，， ， ， ， ； (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据等边对等角，三角形的内角和以及三角形的外角性质，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质得出，进而得出，根据已知，等量代换得出，根据等角对等边得出，根据已知，即可得证； （3）过点作与点，设，则，在，，，勾股定理分别求得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ∴， ； （2）略 （3）解：过点作与点， ， ∴， ， ， ， ， 是的中点，设，则， ， 在中，，解得， 在中，，解得， 在中，，解得， ． 题型3、用勾股定理解决最值问题 题型模版 题型特征：以勾股定理为工具，结合轴对称、展开图等求最短路径或最小值。 解题方法：把空间或折线问题展开成平面；利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”；用勾股定理计算最短距离。 典例3如图，，平分，P为射线上一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点F．若，，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】过A作于G，连接，先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得,，，进而可得，故当最小时，有最小值，此时，由对称性质得，，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而可得的最小值． 【详解】解：过A作于G，连接，则， ∵，平分， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， ∴, 故当最小时，有最小值，此时，则， 由对称性质得，， ∴， ∴，则， ∴， 故的最小值为． 变式3-1（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在等腰三角形中，，点是边上的中点，点分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，交于，过作于，当三点共线，时，最小为，利用求解即可. 【详解】解：过点作于点，交于，过作于， ∵，点是边上的中点， ∴即：是的对称轴， ∴，， ∴， 当三点共线，时，最小为， ∴， ∴， 即：的最小值是. 变式3-2（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，某公园内有一条“型”景观水道，，水道的宽度为米，水道分为东西方向和南北方向两段．两个凉亭分别位于，两点，其中位于南北方向水道的西侧，位于东西方向水道的南侧，已知，两点在东西方向上的水平距离为米，在南北方向上的竖直距离为米．现要建造两座与水道垂直的景观桥和（桥长均为米），使得从处到处的游览路径最短，则最短路径的长为______米． 【答案】 【分析】将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点．则，从而将的长度转化成求的长度，进而得出当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点． 则， 由平移作图易得，，， 当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为． 由题意得，米，米， 米，米， 米， 的最短距离为米． 变式3-3日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活． 主题    探究最短路径问题与用数学知识设计车位 活动一：如图1，点A、B是直线l上方两点，点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，在直线l上找一点P，使最短． (1)如图2，作点与点A关于直线l对称，连接交直线l于点O，连接交直线l于点P，连接，则点P即为所求，则______， _____ （选填或）； (2)如图3，过作，过B作于C，若，则____，_____； 活动二：某小区有一个矩形停车场，长，宽，大门设在处，如图4，小区内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边长为的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停车场的边界及充电桩之间的距离都不小于，是两个充电桩的中心，叫做充电桩的中心距． (3)如图5，若沿方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距为_______； (4)调研发现，在停车场四个角落修4个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为，需在边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到的距离的和最短，则这个最短距离为__________． 【答案】(1)1， (2)4，5 (3)11，3 (4) 【分析】（1）根据轴对称的性质解答即可； （2）根据勾股定理解答即可； （3）根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留，充电桩的中心距最小为，再由，即可求解； （4）作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则，可得该电箱到的距离的和最短为的长，即可求解． 【详解】（1）解：由作法得：，； （2）解：根据题意得：， 在中，，， ， ∴； （3）解：根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留， 充电桩的中心距最小为， 因为， 所以最多可以修建11个充电桩， 此时此时相邻两个充电桩的中心距为； （4）解：如图，作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则， ∴，即该电箱到的距离的和最短为的长， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴该电箱到的距离的和最短为． 变式3-4（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)线段，于点A且，于点B且，点P为线段上任意一点，则图1中最小值为________；图2中最小值为________； (2)如图3，中，，，，点D是边的中点，点P是边上任意一点，则的最小值是________； (3)如图4，中，且，作于点D，过A点的射线m始终平行于，点E是高上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段上一点，且始终保持，则的最小值为________；则的最小值为________． 【答案】(1)5，5 (2) (3)， 【分析】（1）连接交于点P，由点、、三点共线时，最小，结合勾股定理即可求解；作点关于的对称点，连接交于点，连接，根据图形的对称性可知，当点、、三点共线时，最小，由此求解即可； （2）作点关于的对称点，连接交于点，连接，根据图形的对称性可得，即当点、、三点共线时，最小，由此求解即可； （3）先由边角边的证明方法证明与全等，即可得，再由由图形的对称性可知，当点、点、点三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可；作辅助线构造全等三角形，由此可得，再由点、点、点三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接交于点P，过点C作交的延长线于点H，如图， ， 当点、、三点共线时，最小， ，， 由勾股定理可得，， 最小值为； 作点关于的对称点，连接交于点，连接，如图． 由图形的对称性可知，， ， 当点、、三点共线时，最小， 同理可求， 最小值为； 故答案为：；； （2）解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，过点作交于点，连接，如图， 由图形的对称性可知，，， 当点、、三点共线时，最小， 即 在中，，，， 由勾股定理可得， 点是边的中点，， 为等腰三角形，且， ， 在中，， ， 在中，， 则的最小值是； 故答案为：； （3）解：连接，作点关于射线的对称点，连接交射线于点，连接，如图， 中，且， 为等腰直角三角形， ，且， ， 为的角平分线，即， 射线， ， ， 在与中， ， （）， ， 由图形的对称性可知，，， 当点、点、点三点共线时，最小， 即， ， 又， ， 在中，， 最小值为， 作，使，连接，连接交于点，如图， ， ， 在与中， ， （）， ， 当点、点、点三点共线时，最小， 即， ，， ， ， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，图形对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作点关于直线的对称点转化边的关系，以及作辅助线构造全等三角形． 变式3-5（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】(1)画出蚂蚁爬行的最短路径,如图 15；二； (2)， (3) 【分析】（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （3）构造方程即可得到结论． 【详解】（1）解：展开后，半圆长为， 此时最短路程是厘米， ∵ 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， （2）解：， ∵， ∴表格中b表示的大小关系是； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 题型4、等腰三角形的性质与判定 题型模版 题型特征：利用等腰三角形两腰相等、两底角相等、三线合一等性质进行计算或证明。 解题方法：由边相等推角相等，或由角相等推边相等；遇高、中线、角平分线时考虑三线合一；注意分类讨论。 典例4（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1是由边长为1的正方形构成的的网格图，的顶点都在格点上． (1)请在上找一点，使得，画出； (2)如图2，平分，，，若，求的度数； (3)如图3，在和中，，，． ①求证：； ②若，求出与的面积之差． 【答案】(1) 解：如图所示． (2) (3) ①证明：在上截取， ， ， ， ， ， ； ② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）在上截取，证，得到，再证，即可求解； （3）①在上截取，证，得到，同时由可得，即可求证；②延长至点，使得，连结，作于，证，得到，根据三线合一，得，由，求得，根据勾股定理，求得，再根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在上截取， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ． （3）解：①略 ②延长至点，使得，连结，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 变式4-1（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，中，，点D，E分别是边，上的动点，且． (1)当点D在的垂直平分线上时，连接，． ①求证：是等腰三角形； ②求证：； (2)如图2，在（1）的条件下过点D作，垂足为F，求证：； (3)如图3，连接，，交点为G，若，直接写出四边形面积的最大值（结果用含a的式子表示）． 【答案】(1) 证明：①∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； ②设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为的外角， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：如图，在上取点H，使得， ∵，， ∴，， 由（1）可得， ∴， ∴， 即， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， 即； (3) 【分析】（1）①根据垂直平分线的性质得，再结合即可证明；②设，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，，再利用角的和差和三角形外角的性质分别求出和的度数，即可证明； （2）在上取点H，使得，根据等腰三角形的性质得到，，通过证明得到，再利用线段的和差以及线段间的等量代换即可证明； （3）连接，设，，则，根据三角形面积之间的比例可得，，，，利用割补法可得，再根据完全平方式的性质即可求出最大值． 【详解】（1）①略   ②略 （2）略 （3）解：如图，连接， ∵，， ∴，即， 设，， 则， ∴，， 又∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的最大值为， 即四边形面积的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、垂直平分线的性质、全等三角形的性质与判定、完全平方公式的应用、分式的运算，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 变式4-2（25-26八年级上·浙江金华·期末）【小试牛刀】 （1）已知和按如图1所示的位置摆放，其中点在边上，，若，，，，求的长． 【类比探究】 （2）如图2，在四边形中，已知，，连接．若，且的面积为12，求的面积． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，已知，，点为边上的一点，连接，在上取点，连接，使，过点作交于点，交于点．若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）证明，则，，故； （2）过作交于点，过作交于点，由（1）知：，则设，由等腰直角三角形可得，再由三角形面积公式求解即可； （3）延长，过点作交的延长线于点，同理，则，，导角得到，则，证明，那么，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ，， ； （2）过作交于点，过作交于点， 由（1）知：， 设， ，， ， 的面积为12， ，解得：． ； （3）解：延长，过点作交的延长线于点， 由（1）可知，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 变式4-3（25-26八年级上·浙江衢州·期末）某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结论： 【性质探究】 ①“中线平分面积”．如图1，在中，是的中点，若的面积为6，则的面积为__________． ②“倍长中线法可以求中线范围”．如图1，延长到点，使，连接，根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，根据三角形三边关系可以求出中线的范围．若，则的取值范围是__________． 【拓展应用】 ①如图2，在中，是的中点，是边上的一点，连接，交于点．若，请判断之间的数量关系，并说明理由． 【创新人才培养选做题】 ②如图3，在中，是的中点，是的角平分线，交于点，．设，的面积分别为和，若，试求的最大值． 【答案】[性质探究]①3；②； [拓展应用]①．理由如下： 如图2，延长到点H，使，连接， ∵是的中点， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 【分析】[性质探究]①根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可； ②根据题干求解思路和三角形的三边关系求解即可； [拓展应用]①如图2，延长到点H，使，连接，证明得到，，则，利用平行线的性质和等边对等角推导出，则，进而可得结论； ②作交于P，过E作于T，证明得到，，，则；根据三角形的中线性质，结合图形中推导出，根据垂线段最短和三角形的面积公式得到，进而可求解． 【详解】解：[拓展应用] ①∵在中，是的中点，的面积为6， ∴的面积为， 故答案为：3； ②如图1，延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴，又， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴； [拓展应用] ①略 ②如图3，作交于P，过E作于T， ∵是的角平分线， ∴，又， ∴， ∴，，， ∴； ∵是的中点， ∴, 设， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故的最大值为． 【点睛】本题考查三角形的中线性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形的中线性质是解答的关键． 题型5、等边三角形的性质与判定 题型模版 题型特征：利用等边三角形三边相等、三角均为60°的性质进行推理计算。 解题方法：证明三边相等或三角相等；常通过构造全等或利用60°角进行角度、边长转化。 典例5（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，为等腰直角三角形，，其中，分别是线段，上的点，且．过点作，交于点．过点作，交于点，交延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)当为等边三角形时，求的度数； (3)若，，求的长度． 【答案】(1) 证明：由题意得，，， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）利用证明即可证明； （2）等边三角形的性质结合等角的余角相等即可求解； （3）作交的延长线于点，证明，推出，再证明，求得，根据，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当等边三角形时，， ∴， ∵， ∴， ， ∴； （3）解：作交的延长线于点， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 变式5-1（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，等边中，是边上的中线，点E是线段上一动点，连结，在右侧作等边，连结．若，则周长的最小值为____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，证明，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，，都是等边三角形， ，，， ∵ ， ， ， ∵是等边三角形 ， 则， ，， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小， ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值． 故答案为：． 变式5-2（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，点是上一点，在的下方作交的延长线于点，连接，求证：是等边三角形； (3)在（2）的条件下，若，，求的值． 【答案】(1) 证明：垂直平分 ， ∴ ， ， ； (2) 证明：∵，， ， ， 是等边三角形； (3) 【分析】（1）根据证明即可； （2）先证明，再根据等边三角形的判定定理证明即可； （3）延长，相交于点，连接，先证明，然后证明是等腰直角三角形，则由勾股定理得，然后证明，那么，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长，相交于点，连接 ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 垂直平分 ， ∵是等边三角形； ∴， 是等腰直角三角形 ， ∵，由（1）得， ∴， 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点． 变式5-3（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知等边三角形，点是射线上一点（不与、重合），作，交射线于点． (1)如图①，当点在线段上时，小明同学发现与始终相等．他的证明思路是：“过点作，交于点，可得为等边三角形，然后可证，从而得到．”请你根据小明的思路写出完整的证明过程． (2)若点为的中点，连接． ①当点在线段上时，如图②，连接，求证：． ②当点在线段的延长线上时，如图③，若，求的最小值． 【答案】(1) 如图，过点作，交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴． 又∵， ∴； (2) ①证明：延长至点，使得，即，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ② 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据小明的思路画出图形，写出完整的证明过程即可； （2）①延长至点，使得，连接，证明，得到，，进而得到，证明，即可证明； ②过点作，交于点，同（1）可证，，得到，延长至点，使得，连接，同（2）①可证，，得到，，进而得到，连接，证明，得到，当时，取到最小值，根据三线合一及勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：略； （2）①证明：略； ②解：过点作，交于点， 同（1）可证，， ∴， 延长至点，使得，连接， 同（2）①可证，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 连接，在和中， ， ∴， ∴， 当时，取到最小值， ∵等边三角形， ∴， ∴， 即最小值为， ∴的最小值为． 题型6、线段垂直平分线与角平分线的性质 题型模版 题型特征：利用垂直平分线和角平分线的性质进行线段或角度转化。 解题方法：垂直平分线上的点到两端点距离相等；角平分线上的点到两边距离相等；常通过连接点构造等腰三角形。 典例6如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹推断，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图痕迹可知： 垂直平分，平分，由三角形内角和定理结合角平分线的性质可求得，根据三角形内角与边关系可判断A选项；由含角直角三角形的性质可判断B选项；由三角形外角的性质可判断C选项；由等角对等边可判断D选项． 【详解】解：由作图痕迹可知： 垂直平分，平分， ，， ， ， ， ，故选项A错误； 在中，，， ，故选项B错误； ，， ， ， ，故选项C错误； ， ， ， ，故选项D正确． 变式6-1（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，的外角的角平分线与边的中垂线交于点，过作于点，则、、三条线段之间的数量关系为______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质，理解题意和准确构造辅助线是解题的关键； 连接，，过点作，交于点，证明，得到，再证明，从而得到，，即可推出． 【详解】解：如图所示，连接，，过点作，交于点， ∵是的角平分线，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵是边的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴、、三条线段之间的数量关系为， 故答案为：． 变式6-2（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，边上的点关于直线的对称点为点，连接，，，分别交，于点，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，当为的中点时，和有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，在上取点，使，连接，交于点，求证：． 【答案】(1) (2) 解：和的关系是：且． 理由：∵为的中点， ∴． ∵，， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴，即． (3) 证明：如图，作，垂足为点，则． 又∵，， ∴． ∴，． ∵， ∴，． ∵，， ∴． ∴，即． ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理； （1）先证明，可得，再得，根据勾股定理求解即可； （2）证，进而证明，即； （3）作，垂足为点，先证，再证，即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵点，关于对称， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 由勾股定理，得． （2）略 （3）略 变式6-3（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或或12 (3)或 【分析】（1）先求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长即可； （2）分3种情况进行讨论求解即可； （3）分两种情况：①点P在线段上时，先证，得出，，再由勾股定理求出，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，同①得，得出，，再由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，当时，， ∴， 在中，，，， ∴； （2）解：由题意，， ∵，，， ∴， 当为等腰三角形时，分3种情况： ①，如图，则：，， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得； ②，则； ③，如图： ∵，即， ∴， ∴； 综上：或或12； （3）解：①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示： 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为或时，平分． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解本题的关键． 题型7、等腰三角形的分类讨论问题 题型模版 题型特征：等腰三角形中边、角、高、周长等不确定时，需要分类讨论。 解题方法：按顶角、腰、底边分类；按高在形内或形外分类；求出结果后检验是否满足三角形三边关系。 典例7（25-26八年级上·浙江台州·期末）点是等边的边上的中点，点，分别是射线，射线上的动点． (1)如图1，当时，求证；； (2)当，时， ①如图2，是点，点在运动过程中的某一个具体位置，当点，点在运动的过程中，的大小是否发生变化，如果不变，求出的度数，如果变化，请说明理由； ②连接，若是等腰三角形，探究和之间的数量关系． 【答案】(1) 证明：∵点是等边的边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； (2)①不变，；②或 【分析】本题考查等边三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）①连接，作，根据三线合一结合角平分线的性质，得到，证明，得到，进而推出即可；②分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①不变，； 如图，连接，作， ∵为等边三角形，为的中点， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②当，点在线段上时，如图： ∵，， ∴， ∵等边三角形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 当，点在线段的延长线上时，如图，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则； 由①可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上：或． 变式7-1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在线段上运动，连接． （）当______时，是以为斜边的直角三角形； （）当时，是等腰三角形，则所有满足条件的的值的和为______． 【答案】 【分析】（）根据勾股定理解答即可； （）根据等腰三角形的定义，分四种情况，分别画出图形，求出的值，进而相加即可求解； 本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（）如图，当时，是以为斜边的直角三角形， ∵四边形为长方形 ∴， ∴四边形是长方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （）当时，如图，过点作于， 则， ∴； 当且点在的中点左侧时，如图，过点作于， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当且点在的中点右侧时，如图，过点作于， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，过点作于， 则， ∵， ∴， ∴； 综上，所有满足条件的的值为，，，， ∴所有满足条件的的值的和为， 故答案为：． 变式7-2（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)当秒时，求的长（不要求化简）； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ (3)若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】(1) (2)秒 (3)9秒或8.25秒或9.9秒 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）根据题意得，，得到，再利用勾股定理即可求解的长； （2）根据题意得，，则，结合是等腰三角形，得，列出方程，求出的值解答即可； （3）利用勾股定理求出，由题意得，分三种情况：①当时；②当时；③当时，利用勾股定理和等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 当秒时，，， ∴， ∵， ∴； ∴的长为； （2）解：根据题意，，， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴， 解得， ∴出发时间为秒时，是等腰三角形； （3）解：∵，，， ∴， ∵沿方向运动，速度为每秒，且点Q在边上， ∴， ∵是等腰三角形， ∴下面分3种情况讨论： ①当时，此时， ∴， 解得； ②当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； ③当时， 如图，过点B作于点G， 则，， ∴， ∴， ∴， 解得； ∴综上所述，能使成为等腰三角形的运动时间为9秒或8.25秒或9.9秒． 变式7-3（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D，两直线交于点P，且． (1)求点A、B的坐标． (2)在y轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标． (3)若点Q在x轴上，为等腰三角形，直接写出满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或或或 【分析】（1）对于，分别令、，即可求解； （2）由可求得点C的坐标，代入中求得b的值，即可求得直线的解析式，再求得点P的坐标；作点B关于y轴的对称点E，连接交y轴于点M，则点M使得的值最小，求出直线的解析式，即可求得点M的坐标； （3）分三种情况：，利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：对于，令，得； 令，解得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴点C的坐标为， 把点C的坐标代入中，得， ∴直线的解析式， 解得：， ∴点P的坐标为； 作点B关于y轴的对称点E，连接交y轴于点M，如图， 则，，此时最小， 设直线的解析式为， 把点E、P的坐标代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点M的坐标为； （3）解：对于，令，得， ∴， ∴， 由勾股定理得：； 当时， 当点Q在点D的左边，则，此时； 当点Q在点D的右边，则，此时； 当时，此时点Q在线段的垂直平分线， ∵， ∴点Q即为原点，即； 当时，则点Q与点D关于y轴对称，此时； 综上，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，两直线的交点，两点间线段最短，等腰三角形的定义及勾股定理，线段垂直平分线的判定等知识，注意分类讨论． 题型8、折叠背景下的勾股定理应用 题型模版 题型特征：图形折叠后，利用轴对称性质和勾股定理建立方程求线段长。 解题方法：找出折叠前后的对应边、对应角；设未知数，用勾股定理列方程；注意折叠后点落在线段或直线上。 典例8（25-26七年级下·浙江台州·期末）把长方形纸片沿折叠后再次沿折叠成如图所示，且的对应线段恰好落在上，设，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得到、，，再利用长方形的性质求出，进而求出的度数，利用求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得：、，， 在长方形中，， ， ， ， ， ． 变式8-1（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图①，仅通过折叠的方法检验纸带的两条边线，是否平行．进行如下操作： （1）把纸带沿着翻折（如图②），折痕与，分别交于点，，（点与点为对应点）与交于点； （2）再沿翻折（如图③），使与所在直线重合．小聪说：若，则；小敏说：若翻折后与相差（点与点为对应点），则直线，的夹角为，则（     ） A．两种说法都对 B．小聪的说法对，小敏的说法错 C．两种说法都错 D．小聪的说法错，小敏的说法对 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得对应角相等，结合平行线的判定定理判断小聪的说法；利用三角形的外角性质及折叠的性质推导直线夹角与角度差的关系，判断小敏的说法． 【详解】解：对于小聪的说法，由折叠可知，， ∵， ∴， ∴，故小聪的说法正确； 对于小敏的说法，由折叠可知，， ∵点在上， ∴ ∴， ∵翻折后与相差（点与点为对应点）， ∴ 由折叠可知，， ∴， 设直线与的夹角为， 若直线与不平行， 设它们相交于点，在中， 由三角形外角的性质可知， ， ∴， 即直线与的夹角为， 故小敏的说法正确 变式8-2（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图①，已知长方形纸带（），为上一点．先将纸带沿折叠，使得点落在处，与交于点．如图②，再将纸带沿线段折叠一次，使得点，分别落在，位置．若，则________（用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据长方形纸带得到，则有和，根据折叠得，则，再次根据折叠得，即可得，则有，得到，结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：∵长方形纸带， ∴， ∴，， ∵纸带沿折叠，使得点落在处， ∴， ∴， ∵纸带沿线段折叠一次，使得点，分别落在，位置， ∴， ∴， 则， ，解得， ∵， ∴，解得． 变式8-3（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图1，将一条两组对边分别平行的纸带两侧进行折叠，折痕分别是、，点、、、折叠后对应的点分别是、、、，点在线段上． (1)若，则 ； (2)说明的理由； (3)如图2，延长交于点，将四边形沿折叠得到四边形，记，试用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)由折叠可知：，， ， ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据折叠的性质和平角定义求解； （2）由折叠可知，，则可推出，由，得，则题目可证； （3）由平行可得，则，，故可解． 【详解】（1）解：通过折叠可知，， ， ， ； （2）略 （3）解：， ， ， ， ． 题型9、折叠背景下的角度计算问题 题型模版 题型特征：图形折叠后，利用轴对称性质和三角形内角关系求角度。 解题方法：折叠前后对应角相等；结合平角、三角形内角和、外角等建立角度方程。 典例9如图，是中边上的一点，将沿着对折，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据三角形面积公式并结合求出，进而求出的长，最后利用勾股定理求出的长即可得到的长． 【详解】解：设与交于点， ∵将沿着对折，点的对应点恰好落在上，，， ∴， ∴， ∴点，在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， ∴是中边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，且与等高， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 变式9-1（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在四边形中，，连接，，且，把沿着翻折，得到，连接． (1)若，则______，______． (2)若（）， ①求出的度数； ②求证：； (3)若，则______． 【答案】(1)150；30； (2)①； ②如图所示，在上取一点E，连接使得， 由（2）①得，， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，过点B作于点F， ∴， 在 中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）可证明是等边三角形，得到，则，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数；由折叠的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数； （2）①同理可证明是等边三角形，则，由折叠的性质可得，求出的度数即可得到答案；②在上取一点E，连接使得，证明，得到；过点B作于点F，可证明，据此可证明结论； （3）过点A作于点M，过点作交延长线于点N，证明，得到，则，，证明，得到；设，则，，可得；在上取一点E，连接使得，过点B作于点F，由（2）可知，，则，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴； （2）解：①同理可证明是等边三角形， ∴， ∴ 由折叠的性质可得， ∴，， ∴， ∴； ②略； （3）解：如图所示，过点A作于点M，过点作交延长线于点N， 设（）， 同理可得是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴； ∴ ∵， ∴， 由（2）可知， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴可设， ∴， ∴， ∴； 如图所示，在上取一点E，连接使得，过点B作于点F， 由（2）可知，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 变式9-2（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，为钝角，，，，则______．是边上一点，作点关于直线的对称点，连接，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，对称的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）过作于，，交延长线于，根据等腰直角三角形的性质得到，，，勾股定理列方程可求出x，进而再用勾股定理可求． （2）由已知条件可推得，因为，由勾股定理可求出，进而可知，再根据勾股定理求得长即可． 【详解】解：过作于，作，交延长线于， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， 则， ∵， ∴， ， ∴或4， 由勾股定理得或． ∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∵为钝角， ∴， ∵， ∴； ∵关于直线的对称点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：， 变式9-3（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，利用等面积法计算得出，再由折叠的性质即可得出结果； （2）作交于点，交于点，由角平分线的性质定理可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由，计算得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果； （3）由勾股定理可得，由中线的性质可得，，，作，交于点，由三角形面积公式计算得出，则，由折叠的性质可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的高线， ∴， ∴， ∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合， ∴； （2）解：如图：作交于点，交于点， ， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的中线， ∴，， 如图，作，交于点， ， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理、三角形中线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 典例10（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】结合网格特点与等腰三角形的定义，线段垂直平分线的定义可得答案. 【详解】解：如图， ∴当是等腰三角形，则符合条件的格点P共有个. 变式10-1（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在等边中，是上中线且，点D在线段上，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 【答案】4 【分析】连接，先证出点在射线上运动（此时满足），再作点关于直线的对称点，连接，得出的最小值为，最后根据三角形全等的判定与性质证出． 【详解】解：如图，连接， ∵在等边中，是上的中线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在射线上运动（此时满足）， 如图，作点关于直线的对称点，连接， ∴， ∴，， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，即的最小值为， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即的最小值为4． 【点睛】在涉及到两个等边三角形的题型中，通常是构造全等三角形，进而确定相应点的运动轨迹． 变式10-2（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，为等边三角形，点，分别为边以及延长线上一点，且，连接交于点，取中点，连结，当垂直平分时，_____． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，过点作交于点，过点作于点，过点作交于点， 设，证明为等边三角形，则设，证明，得到，由线段垂直平分线得到同理可得，为等边三角形，则，然后在和中，由勾股定理得，解得，即可求解，即可求解比值． 【详解】解：连接，过点作交于点，过点作于点，过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴，设 ∵， ∴， ∴ ∴为等边三角形， ∴设， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵中点为 ∴ ∵垂直平分 ∴ 同理可得，为等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴ 在和中，由勾股定理得， ∴ 整理得，， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 变式10-3如图，在中，，，点D是线段上一点，连接，将纸片沿着折叠，点A的对应点为点，连接，若，则的长是______． 【答案】2 【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，由折叠性质得，，由此得，，据此可判定是等边三角形，再根据等边三角形性质即可得出的长． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴是等边三角形， ∴． 变式10-4（25-26九年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，，，，点D是边上的一点，且，点E是边上一个动点，连接．现以为一边在右侧作等边，连接． （1）当点E与点B重合时， _______ ． （2）在点E运动过程中，线段的最小值为______． 【答案】 6 【分析】（1）当点E与点B重合时，为等边三角形，，作，交于点，由等边三角形的性质可得，，再结合勾股定理计算即可得出结果； （2）以为边在上方作等边三角形，连接，过点作于点，于点，证明，得出，当最小时，最小，由垂线段最短可得，当点与点重合时，最小，即最小，证明四边形为矩形，得出，即可得出结果． 【详解】解：（1）如图，当点E与点B重合时，为等边三角形，，作，交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，以为边在上方作等边三角形，连接，过点作于点，于点， ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， 由垂线段最短可得，当点与点重合时，最小，即最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 变式10-5（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在上运动，连接． (1)若是以为斜边的直角三角形时，求的长； (2)若是等腰三角形时，求的长； 【答案】(1) (2)当是等腰三角形时，的长为3或2或或8 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据勾股定理解答即可； （）根据等腰三角形的定义，分三种情况，分别画出图形，求出的值． 【详解】（1）解四边形为长方形，长，宽，点是的中点， ， 当是以为斜边的直角三角形时，则， 四边形是长方形， ， ． （2）解：当时，； 当时，如图，过于， 则，四边形是长方形， ； 当时，如图，过作于，则四边形是长方形， ， ， ， 或 综上所述，若是等腰三角形时，的长为3或2或或8． 变式10-6已知：为的中线，分别以和为一边在的外部作等腰三角形和等腰三角形，且，，连接，． (1)如图，若，，求的度数． (2)如图，求证：． (3)如图，设交于点，交于点，与交于点，若点为中点，且，请探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出，，再根据构建方程即可解决问题； （2）延长至H，使，连接，想办法证明即可解决问题； （3）结论：．想办法证明，推出，再证明即可． 【详解】（1）解：， ． ． ， ． ． ， ． ． ． （2）证明：如图，延长至点H，使，连接． 是的中线， ． 在和中 ，． ． ． ， ． ， ． 在和中 ． ． ， ； （3）解：结论：． 理由：由（2）得，，又点G为中点， ． 由（2）， ． 在和中， ． ，． ∵， 是等边三角形，，． ． ． 在和中， ． ． ， ． 在四边形中，． ． ． ． ． ． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 变式10-7（25-26八年级上·浙江湖州·期末）在中，是的中点，连接． (1)如图1，点E，F分别为和上的点，且，连接，，，若． ①计算的面积； ②判断的形状并证明． (2)如图2，是的中点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，连结，，．将绕着点进行旋转，若，在旋转过程中，当M，N，C三点在同一条直线上时，试求出的长度．（结果用含的代数式表示） 【答案】(1)①； ②为等腰直角三角形，理由如下： 为中线． ． ∴在和中，． ． ． ．         为等腰直角三角形． (2)或， 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质和，得出，，再根据三角形面积公式计算即可． ②根据为中线，得出，证明．得出，即可得，证出为等腰直角三角形．         （2）根据是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，证明，得出．如图1，延长直线与直线交于点．证明始终成立，根据为等腰直角三角形，得出．①如图2，当M，N，C三点共线时，为直角三角形，则，由勾股定理可得，结合直角三角形的性质即可求解；②如图3，当M，N，C三点共线时，为直角三角形，则，由勾股定理可得，结合直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①为中点，， ．             为中点， ． ．         ②略 （2）解：或，理由如下： ∵是以为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 则． 如图1，延长直线与直线交于点． ， 始终成立，即． 为等腰直角三角形， ． ①如图2，当M，N，C三点共线时，为直角三角形． 则， 由勾股定理可得， ∵是的中点，， ； ②如图3，当M，N，C三点共线时，为直角三角形． 则， 由勾股定理可得， ∵是的中点，， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 变式10-8（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图1，中，，，点F、E分别在、边上，连接，． (1)求证：； (2)如图2，点D在的延长线上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点H，点G在线段上，连接、，若，，，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3)． 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，得，结合，利用三角形内角和定理求证即可； （2）证明是等腰直角三角形，再证即可； （3）过点G作于点M，证和是等腰直角三角形，是等腰三角形，根据三线合一，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点G作于点M，如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得，， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．恰当作出辅助线并找出图中特殊的三角形是解题的关键． 变式10-9（2025八年级上·安徽·专题练习）综合实践： (1)如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 (2)如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 【答案】(1)∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中， ​， ∴（）． (2)．理由如下： ∵，且，， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， 即． (3)​，理由如下： 过点作延长线于，过点作于，则． ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴． 同理可证： （）， 得， ∴． ∵的面积，的面积， ∴． 【分析】（1）先根据垂直定义得，因为，所以可推出与互余，进而得，结合，用判定三角形全等． （2）根据，利用平角定义和三角形内角和推出一组对应角相等，结合，用证，再根据线段和差关系推导的数量关系． （3）分别过D、E作的垂线，垂足为M、N，先仿照（1）的思路证、，得到，进而得，根据同底等高三角形面积相等判断与的关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 变式10-10（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．    (1)求C点的坐标以及直线的解析式； (2)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线解析式为， (2)或 (3)或或 【分析】（1）求出点A和点B的坐标，利用勾股定理求出的长，由折叠的性质可得，设出点C的坐标，表示出的长，再利用勾股定理建立方程求解即可； （2）先求出，进而得到，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案； （3）分三种情况：若；若，；若，，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵点M在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点M的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 若，如图，过点P作轴于点G，    ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时点P的坐标为； 若，，如图，过点P作轴于点H，    同理可证明， ∴， ∴， 此时点P的坐标为； 若，，如图，过点P作轴于点M，轴于点N，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 解得， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，数形结合是解答本题的关键． 变式10-11（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． (1)如图1，若为的中点，，求的长． (2)如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 【答案】(1) (2)，理由如下： ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ，即， 在中， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，进而根据等边对等角结合三角形外角的性质可得，最后根据等角对等边即可求解； （2）先根据等边对等角结合平行线的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形性质推出，然后根据全等三角形性质可证，等量代换即可得证； （3）过作交延长线于点，先证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质推出，得出，进而得到的长，证明，得到，即可得解． 【详解】（1）解：为等边三角形， ，， 为的中点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，过作交延长线于点， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 变式10-12（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1，在中，，点是上一点，且，点为延长线上一点，且，设． (1)用含的代数式表示的度数； (2)求的长； (3)如图2，在延长线上有一点，满足，连接，与交于点，在上取点F，使，求证：． 【答案】(1) (2) (3) 证明：在上截取，连接，如图2， 由（1）得， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）利用等边对等角和三角形的内角和定理求解即可； （2）过A作于H，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得，，设，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可； （3）先结合（1）得，再根据，，故，又因为，，所以，，整理得，又因为，，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过A作于H，如图1， 则， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， 由得， 解得，即； （3）略 变式10-13（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，是中点，是上一动点，连接，将沿直线折叠得． (1)如图，当点恰好落在线段上时，求证：； (2)如图，在中，，，当点恰好落在线段上时，连接，求的长度； (3)如图，若为直角三角形，，，．连接、、，当与面积相等时，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（）由折叠性质可得，则，，又是中点，从而可得，则，然后通过三角形外角性质得到，根据平行线的判定即可求证； （）由折叠性质可得，则，证明为等边三角形，所以，又是中点，从而可得，所以，然后求证明为直角三角形，最后通过勾股定理即可求解； （）延长交于点，过点，作于，于，则，又，所以，证明，得，则有，重合，即三点共线，由勾股定理得，设，则在中，，即，解得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：由折叠性质可得， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由折叠性质可得， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， 由勾股定理可得，； （3）解：延长交于点，过点，作于，于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，重合，即三点共线， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设， 则在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，图形的变换——折叠，平行线的判定，直角三角形的判定，三角形的外角性质，等边三角形的性质和判定，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 变式10-14（25-26八年级上·湖北武汉·期中）（1）【问题背景】我们把面积相等但不全等的两个三角形称为“偏等积三角形”． 如图1，在中，，，．点是边上一点，点是边上一点． ①当________时，和是偏等积三角形； ②若和是偏等积三角形，且的长为奇数，求的值． （2）【问题探究】如图2，在四边形中，是边上一点，是延长线上一点．，，且，．试找出图中的偏等积三角形，并证明你的结论． （3）【问题拓展】如图3，在中，，．和为偏等积三角形，且面积均为，为上一动点，当取最小值时，求_________． 【答案】（1）①3；②5； （2）与是偏等积三角形； 证明如下： 如图，过点C作交的延长线于点M； 则，； ∵， ∵； ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴，， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与是偏等积三角形； （3）1 【分析】（1）①根据三角形的中线平分三角形的面积即可求解； ②利用三角形的中线平分三角形的面积、三角形三边的关系即可求解； （2）过点C作交的延长线于点M；则，；由得；由，得；从而可证明，则，，再证明得，从而得，即得与是偏等积三角形； （3）由题意知点D是的中点，作点D关于的对称点E，连接，交于点F，连接，由对称性质可得，，当点P与点F重合时，取最小值，的面积等于的面积，从而得的面积为3；设，则由面积求得a，再由勾股定理求得的长，再由面积关系求得，从而求得，即可求得的面积． 【详解】解：（1）①∵和是偏等积三角形， ∴， ∵分别以为底，上的高相等， ∴， 故答案为3； ②∵和是偏等积三角形， ∴由（1）知， ∵， ∴， 即， ∵的长为奇数， ∴或7， ∵, ∴, 即， ∴； （2）略 （3）∵和为偏等积三角形， ∴点D是的中点， 如图，作点D关于的对称点E，连接，交于点F，连接，由对称性质可得，，， 当点P与点F重合时，取最小值， 由对称知的面积等于的面积， ∵和的面积均为1， ∴的面积为3； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 由勾股定理求得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，作出适当的辅助线是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $