第28讲 成对数据的统计分析（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦成对数据的统计分析，涵盖变量相关关系、样本相关系数、线性回归模型、独立性检验等核心考点，按“概念—模型—应用”逻辑构建知识框架，通过命题透视、知识精讲、题型破译、真题训练等环节，帮助学生系统梳理考点，掌握解题技巧，突破统计问题难点。 资料采用分层突破策略，设置基础演练与重难创新练习，结合题型技巧归纳（如回归方程样本中心点应用、独立性检验三步答题法），培养学生用数学眼光观察数据关联、用数学思维构建模型、用数学语言规范结论的核心素养，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第28讲 成对数据的统计分析 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 变量的相关关系 知识点2 样本相关系数 知识点3 一元线性回归模型 知识点4 列联表与独立性检验 题型破译 (含超链接） 题型1 相关系数的理解与判断 题型2 线性回归方程求解与预测 题型3 非线性回归的线性化转化 题型4 独立性检验（卡方检验） 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 相关系数 / / 秋考第13题 回归方程 / 秋考第17题 / 独立性检验与卡方计算 / / 秋考第19题 考情分析 三层设问梯度固定 第一层（送分层）：基础统计量计算或古典概型 第二层（方法层）：统计图表选择 / 相关系数判断 / 卡方计算 第三层（应用层）：回归方程求解与预测 / 模型拟合精度比较 复习目标 1.理解样本相关系数 r 的含义，能根据 r 的符号与绝对值大小判断线性相关程度 2.掌握一元线性回归方程的求解，理解样本中心点必在回归直线上 3.能利用回归方程进行预测，并会比较不同模型的拟合效果 4.掌握 2×2 列联表的独立性检验（卡方检验），能计算 χ² 并与临界值比较得出规范结论 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 变量的相关关系 (1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. (2)相关关系的分类：正相关和负相关. (3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关. 自主检测 1.某校随机抽取50名学生的身高与体重的散点图如下所示，则下列说法错误的是（   ） A．身高越高，体重越重； B．身高与体重同向变动的倾向； C．身高与体重之间有明显的相关性； D．身高与体重成正相关 知识点2 样本相关系数 (1)r＝. (2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关. (3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 自主检测 2.（24-25高三下·上海浦东新·阶段检测）为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对进行线性回归分析．若在此图中加上点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．不具有线性相关性 B．相关系数变大 C．相关系数变小 D．相关系数不变 知识点3 一元线性回归模型 (1)我们将x＋称为Y关于x的经验回归方程， 其中 (2)残差：观测值减去预测值所得的差称为残差. 自主检测 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）对具有线性相关关系的变量、有一组观测数据，其回归方程是，且，则实数的值为______. 知识点4 列联表与独立性检验 (1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d (2)计算统计量χ2＝，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验. 自主检测 4．为了调查高中生自主学习时间与数学成绩之间的关联，某教师对本校180名学生进行调查，根据调查结果得到如下列联表： 每周自主学习时间 数学成绩 总计 高于120分 不超过120分 不少于12小时 60 76 少于12小时 64 总计 180 (1)补全上述表格，并取显著性水平，检验高中生数学成绩与每周自主学习时间是否有关联． (2)为了进一步调查学生的学习状况，该教师从数学成绩高于120分的学生中按每周自主学习时间是否不少于12小时分层抽样出10名学生，并得知其中恰有1人每周自主学习时间大于16小时．现该教师从这10人中随机抽取3人介绍学习经验，记随机变量为其中每周自主学习时间大于16小时与不足12小时的人数之差的绝对值．求的分布列与期望． （注：，其中） 题●型●破●译 题型1 相关系数的理解与判断 例1-1通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．下列说法正确的是（   ）． A．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 B．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 C．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 例1-2某中学的兴趣小组在某座山测得了海拔高度、气压和沸点的若干个数据，并绘制成如图所示的散点图，则下列说法错误的是（    ） A．沸点与海拔高度正相关 B．沸点与气压正相关 C．沸点与海拔高度负相关 D．沸点与海拔高度、沸点与气压都线性相关 例1-3（2026·上海嘉定·二模）生物学家在研究动物体重W（单位：g）与脉搏率f（单位：次）的关系时，获得了右表的数据，令，，并拟合线性回归方程．根据已知数据，下列说法正确的是（   ） 动物名 体重 脉搏率f/（次） 鼠 25 670 豚鼠 300 300 兔 2000 205 小狗 5000 120 大狗 30000 85 羊 50000 70 马 450000 38 A．变量x与y成正相关，且 B．变量x与y成负相关，且 C．变量x与y成正相关，且 D．变量x与y成负相关，且 方法技巧 范围：r ∈ [−1, 1]，|r| 越接近1线性相关性越强，越接近0越弱 符号：r > 0 正相关（x增大时y有增大趋势），r < 0 负相关 散点图速判：点越集中在一条直线附近，|r| 越接近1；点越分散，|r| 越接近0 【变式训练1-1】（2026·上海闵行·二模）以下是由变量与所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（    ） A．    B．    C．    D．    【变式训练1-2】（25-26高三下·上海·阶段检测）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（25-26高三上·上海杨浦·期末）对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（   ）.    A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且 C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且 【变式训练1-4】（2026·上海静安·三模）观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为 则判断一定正确的是（ ） A． B． C． D． 题型2 线性回归方程求解与预测 例2某张纸上记录了一组成对数据，但有部分数据模糊不清无法辨认．已知其线性回归方程为，相关系数，则模糊的数据可能是（    ）． 数据 0.7 0.9 1.3 1.4 1.7 数据 9.1 10.4 10.9 A． B． C． D． 方法技巧 样本中心点是金钥匙：(x̄, ȳ) 一定在回归直线上，即 ȳ = bx̄ + a。求 a 时直接用此式，也是检验 b 计算是否正确的依据 预测方法：将给定 x 代入回归方程得 ŷ，即为预测值 善用参考数据：题目通常给出 Σxᵢ、Σyᵢ、Σxᵢyᵢ、Σxᵢ²，直接代入，不要自己重新累加 精度比较：|ŷ − y实际| 越小，模型拟合越好 【变式训练2-1】对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其回归直线方程是，且，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 【变式训练2-2】已知两组数据和，其中且时，；且时，，，我们研究这两组数据的相关性，在集合中取一个元素作为a的值，使得相关性最强，则a=（    ） A．8 B．11 C．12 D．13 【变式训练2-3】某种产品2014年到2018年的年投资金额（万元）与年利润（万元）的数据统计如下，由散点图知，与之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知5年利润的平均值是4.7． 年份 2014 2015 2016 2017 2018 年投资金额万元 1 2 3 4 5 年利润万元 2.4 2.7 6.4 7.9 (1)求表中实数的值； (2)求关于的线性回归方程． 参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 题型3 非线性回归的线性化转化 例3（25-26高三下·上海·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变 B．在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 C．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有95%的可能性患肺病 D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和 方法技巧 题目会明确给出模型形式，按提示做变量替换 替换后按线性回归方法求解系数 预测时注意还原变量，不要忘记取指数/平方等逆运算 【变式训练3-1】某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合x与y的关系，设，x与z的数据如表格所示： x 3 4 6 7 z 2 2.5 4.5 7 得到x与z的线性回归方程，则___________. 【变式训练3-2】为响应环境保护政策，某工厂引入减排技术，减少工厂周边有害颗粒物的密度．已知2014年到2022年的历史检测数据如下： 年份x （年） 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 颗粒物浓度y 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 4.61 4.46 4.05 3.08 2.46 2.18 1.61 1.53 1.35 记年份为，颗粒物浓度，．某团队建立了两个回归预测模型，并用最小二乘法求得关于的回归方程：①；②，其中是常数，是自然常数，假设． (1)设和的相关系数为，设和的相关系数为，和在与哪个区间内？从相关系数的角度，模型①和模型②，哪一个更好？请计算并说明理由． (2)在报告中给出了关于的回归方程：，请根据数据，计算参数K，并预测2026年的颗粒物浓度．（精确到0.01） 【变式训练3-3】某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，该团队建立了两个模型：①；②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令，，计算得如下数据： 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型： (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?（结果精确到0.01） 附：对于一组数据，样本相关系数 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 题型4 独立性检验（卡方检验） 例4一次考试后，数学兴趣小组分析某班级考试成绩．该班级共40人，将得分由高到低平均分为四组，第一组（均分最高的一组）的数据为： 91、90、88、84、84、83、83、82、82、82． (1)若从第一组中选取2名学生，已知2名学生中至少有1人得分高于83分，求2人得分都在85分以上的概率； (2)兴趣小组考察某客观题的得分情况．现将前15名学生作为高分组，后25名学生作为非高分组；前15名学生中13人答对该题，后25名学生中16人答对该题．请据此填写表格，并判断是否有的把握认为答对该题与进入高分组有关？ 参考公式：，其中 参考数据：，，， 高分组 非高分组 总计 某客观题答对 某客观题答错 总计 高分组 非高分组 总计 答对 13 16 29 答错 2 9 11 总计 15 25 40 方法技巧 三步答题法（规范模板） 提假设：H₀：变量A与B独立（无关联） 算卡方：代入公式计算 χ² 观测值 下结论：χ² ≥ xα → 拒绝H₀，认为A与B有关联（犯错误概率不超过α）；χ² < xα → 没有充分证据拒绝H₀ 规范结论表述 χ² ≥ 3.841："有95%的把握认为A与B有关" χ² ≥ 6.635："有99%的把握认为A与B有关" χ² < 3.841："没有充分证据认为A与B有关" 易错分析 分子是 (ad−bc)²，不要漏掉平方 分母是四个边际和连乘，不要漏项 不拒绝H₀时不能说"无关"，只能说"没有充分证据认为有关"——统计语言讲究严谨 【变式训练4-1】某商场为了解顾客购买手机的意愿，随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表． 购买手机 购买无技术的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 (1)根据表中数据，判断是否有的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)从这位男性顾客中随机挑选位，求其中至少有位购买手机的概率（精确到）； (3)为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望． 参考公式及数据：①，其中． ②，，，． 【变式训练4-2】（25-26高三下·上海·阶段检测）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司年前个月的带货金额： 月份 带货金额万元 (1)求关于的线性回归方程，并据此预测年月份该公司的直播带货金额； (2)该公司随机抽取人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表： 参加过直播带货 未参加过直播带货 总计 女性 男性 总计 请填写上表，并判断是否有的把握认为参加直播带货与性别有关？ 参考公式：，； ，其中. 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 【变式训练4-3】为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 (1)完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； (2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ (3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 2．（2023·上海·高考真题）根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（    ） A．身高越高，体重越重 B．身高越高，体重越轻 C．身高与体重成正相关 D．身高与体重成负相关 3．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 4．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：         时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知变量y与x线性相关，若，，且与的线性回归直线的斜率为6.5，则线性回归方程是______． 2．已知、的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，那么表格中的数据的值为_________． 3．某小吃店的日盈利y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ 0 1 2 y/百元 5 4 2 2 1 甲、乙、丙3位同学对上述数据进行了分析，发现y与x之间具有线性相关关系，他们通过计算分别得到3个线性回归方程：①；②；③．其中正确的是______．（填序号） 4．为了了解高中生数学考试成绩是否和吃早点有关，调查者随机调查了50名高中生的情况，调查结果如下（单位：人）： 考试成绩吃早点情况 及格 不及格 吃早点 17 10 不吃早点 15 8 试问：高中生的数学考试成绩是否和吃早点有关?（） 5．下面是对智商在40～69之间的人的出生季节所做的一个调查，结果如下（单位：人）： 智商季节 40~54 55~69 夏和秋 30 48 春和冬 40 30 问：智商在40～69之间的人，智商与出生季节有关吗? 6．某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）．    (1)应收集多少位女生样本数据？ (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为：．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率． (3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请制作每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． 7．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 男 女 需要志愿者 40 30 不需要志愿者 160 270 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2)能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿者帮助的老年人的比例？说明理由． 8．为了解发动机的动力（单位：）与排气温度（单位：℃）之间的关系，某部门进行相关试验，得到如下数据：     /℃ /℃ 4300 960 4010 907 4650 900 3810 843 3200 807 4500 927 3150 755 3008 688 4950 993 (1)求相关系数； (2)求出线性回归方程； (3)估计当时对应的值． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2026·上海浦东新·三模）现有下表所示的一组观测数据（；），若与的线性回归方程为，则对应的离差为（   ） A．11.6 B．8.4 C．7.4 D．1.6 2．（2026·上海黄浦·三模）某研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计，根据统计数据制作列联表，提出原假设：“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系，计算得，由此可知（     ）．（显著性水平取0.05，） A．接受原假设，没有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 B．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 C．接受原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 D．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系 3．（2026·上海浦东新·三模）下列命题中不正确的是（   ） A．线性回归方程对应的直线一定经过样本点的中心 B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 C．线性回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系 D．用最小二乘法求回归方程是为了使最小 4．“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出天津市三月份每日最高气温与最低气温的数据，绘制了气温与日期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正确的是（   ）    A．小明根据散点图判断气温与日期无相关关系 B．小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为，其中x为日期（3月1日为，3月31日为） C．小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很弱 D．小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与日期都正线性相关 5．（2026·上海·二模）某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘制了列联表，设原假设：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出统计量，已知，则在显著性水平下，推断的结论为________．（用“拒绝”或“接受”填空） 6．（24-25高三下·上海虹口·期中）某公司为了解用电量y（单位：千瓦时）与气温x（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如下表格，由表中数据可得回归方程，则实数_____. x 10 13 18 y 62 38 34 m 7．（2026·上海普陀·二模）某大型管线网的局部呈网格结构，如图建立平面直角坐标系，一小型机器人沿管线移动执行巡检任务，在某次巡检的路径中经过了点：、、、、、、，若该机器人经过的点的纵坐标关于横坐标的一元线性回归方程是，则的值为______. 8.某公司为了解用电量（单位：）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表： 气温 用电量（） 由表中数据可得回归方程中．试预测当气温为时的用电量，并求在气温为时的残差． 9．（2026·上海长宁·二模）一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：kg）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86. (1)求该组数据的极差和第25百分位数； (2)依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：kg）关于身高（单位：cm）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：cm）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1） (3)体重（kg）与身高（m）平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下列联表. 男生 女生 总计 观察值 预期值 观察值 预期值 不肥胖 99 168 肥胖 总计 120 200 求表中的值.已知零假设为：肥胖与性别无关，计算男生肥胖人数的预期值（精确到0.1）. 10．某新能源汽车公司为研究电池容量对续航里程的影响，随机选取了10辆不同配置的车进行测试，测量每辆车的电池容量（单位：）和续航里程（单位：），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 电池容量 35 40 45 50 55 65 70 75 80 85 600 续航里程 330 350 390 410 480 520 560 620 640 700 5000 并计算得． (1)估计这10辆车的平均电池容量与平均续航里程； (2)求电池容量与续航里程的样本相关系数；（精确到0.001） (3)现该公司计划推出新款车型，电池容量为，已知续航里程与电池容量近似成正比，利用以上数据给出新款车型续航里程的估计值．（精确到1） 附：相关系数． 重难·创新演练 1．（24-25高三下·上海·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．已知一组样本数据，现有一组新的数据，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大； B．已知具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4； C．50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为30人 D．已知随机变量，若，则 2．（2025·上海长宁·二模）某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A．变量x、y之间呈正相关 B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C． D．拟合误差 3．（2026·上海·三模）下列结论中正确的是（    ） A．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9 B．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个 C．已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为22 D．若随机变量服从正态分布，且，则 4．绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何得到的？小张同学通过查询资料了解到：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为时，气体温度达到绝对零度.小张同学在实验时，记录了某种气体温度和气体压强一组相关数据： 数据 1 2 3 4 5 6 温度 4.07 16.69 29.42 45.67 57.06 73.05 压强 103.095 107.734 112.461 118.469 122.706 128.758 (1)用上表数据建立气体压强与气体温度的线性回归方程，若这组实验数据的拟合误差小于0.05，则认为得到的线性回归是理想的.求出回归方程（精确到0.001），并判断所得回归方程是否理想？附：拟合误差 (2)估计该次实验下绝对零度的数值.（精确到） 5．为了解某地高中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区20000名学生中抽取500人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围 学业成绩 优秀 5 38 37 3 1 不优秀 117 125 118 36 20 (1)该地区20000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少，并估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长； (2)是否有0.95的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ 附：，. 6．（2026·上海浦东新·三模）某高中一年级有540名学生，其中男生360名，女生180名．为调研学生的“加三”学科选科意向，学校按性别分别抽样，抽取了名学生填写问卷． (1)若抽取的学生中男生要30人，求的值； (2)若，且问卷中要求学生在物理与历史中选且只选一种，同时在地理与生物中也选且只选一种，统计得如下列联表： 选物理 选历史 总计 选地理 26 9 35 选生物 48 7 55 总计 74 16 90 （i）据此判断是否有95%的把握认为“选物理还是历史”与“选地理还是生物”有关； （ii）已知选物理的74名学生中有18名是女生，现从选历史的16名学生中再随机抽取4名参与访谈．用表示受访学生中男生的数量，求的期望． 参考公式：，． 7.班主任为了解本班每位学生每周平均手机使用时长（单位：小时），在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最多的为25.6小时．其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图1所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图2所示． (1)求该班男生每周平均手机使用时长的极差、第75百分位数； (2)根据相关资料显示，每周平均手机使用时长小于14小时为“健康手机使用”，班主任以此绘制了如下的2×2列联表，依据本班情况，班主任是否有95%的把握认为性别与“健康手机使用”有关？请说明理由； 男生 女生 总计 健康手机使用 11 非健康手机使用 9 总计 20 25 45 (3)班主任从本班每周平均手机使用时长大于16小时的学生中任选2人做跟踪调查．设事件表示“2人中至多1名男生”，事件表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间”，求和． 参考数据：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 8.AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略．某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表． 购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 (1)从这90位女性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买AI手机的概率（精确到0.01）； (2)根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由； (3)为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为X元，求随机变量X的数学期望．参考公式及数据：①，其中 ． ②． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28讲 成对数据的统计分析 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 变量的相关关系 知识点2 样本相关系数 知识点3 一元线性回归模型 知识点4 列联表与独立性检验 题型破译 (含超链接） 题型1 相关系数的理解与判断 题型2 线性回归方程求解与预测 题型3 非线性回归的线性化转化 题型4 独立性检验（卡方检验） 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 相关系数 / / 秋考第13题 回归方程 / 秋考第17题 / 独立性检验与卡方计算 / / 秋考第19题 考情分析 三层设问梯度固定 第一层（送分层）：基础统计量计算或古典概型 第二层（方法层）：统计图表选择 / 相关系数判断 / 卡方计算 第三层（应用层）：回归方程求解与预测 / 模型拟合精度比较 复习目标 1.理解样本相关系数 r 的含义，能根据 r 的符号与绝对值大小判断线性相关程度 2.掌握一元线性回归方程的求解，理解样本中心点必在回归直线上 3.能利用回归方程进行预测，并会比较不同模型的拟合效果 4.掌握 2×2 列联表的独立性检验（卡方检验），能计算 χ² 并与临界值比较得出规范结论 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 变量的相关关系 (1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. (2)相关关系的分类：正相关和负相关. (3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关. 自主检测 1.某校随机抽取50名学生的身高与体重的散点图如下所示，则下列说法错误的是（   ） A．身高越高，体重越重； B．身高与体重同向变动的倾向； C．身高与体重之间有明显的相关性； D．身高与体重成正相关 【答案】A 【详解】对于A，由于身高比较高的人，其体重可能大，也可能小，则选项A不正确； 对于B，由散点图知，身高增加时，体重也呈现增加的趋势，有同向变动的倾向，B正确； 对于C，身高和体重有明显的相关性，C正确； 对于D，身高增加时，体重也呈现增加的趋势，所以身高与体重呈正相关，D正确. 知识点2 样本相关系数 (1)r＝. (2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关. (3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 自主检测 2.（24-25高三下·上海浦东新·阶段检测）为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对进行线性回归分析．若在此图中加上点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．不具有线性相关性 B．相关系数变大 C．相关系数变小 D．相关系数不变 【答案】C 【详解】对于A，加入点后，变量与预报变量相关性变弱，但不能说不具有线性相关性，故A错误； 对于B，C，D，由于点远离其他点，故加上点后，回归效果会变差， 所以相应的样本相关系数的绝对值会变小， 根据题中散点图，显然，所以会变小，故C正确，B，D错误. 故选：C. 知识点3 一元线性回归模型 (1)我们将x＋称为Y关于x的经验回归方程， 其中 (2)残差：观测值减去预测值所得的差称为残差. 自主检测 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）对具有线性相关关系的变量、有一组观测数据，其回归方程是，且，则实数的值为______. 【答案】 【详解】由得，， 所以，所以. 知识点4 列联表与独立性检验 (1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d (2)计算统计量χ2＝，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验. 自主检测 4．为了调查高中生自主学习时间与数学成绩之间的关联，某教师对本校180名学生进行调查，根据调查结果得到如下列联表： 每周自主学习时间 数学成绩 总计 高于120分 不超过120分 不少于12小时 60 76 少于12小时 64 总计 180 (1)补全上述表格，并取显著性水平，检验高中生数学成绩与每周自主学习时间是否有关联． (2)为了进一步调查学生的学习状况，该教师从数学成绩高于120分的学生中按每周自主学习时间是否不少于12小时分层抽样出10名学生，并得知其中恰有1人每周自主学习时间大于16小时．现该教师从这10人中随机抽取3人介绍学习经验，记随机变量为其中每周自主学习时间大于16小时与不足12小时的人数之差的绝对值．求的分布列与期望． （注：，其中） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）列联表： 每周自主学习时间 数学成绩 总计 高于120分 不超过120分 不少于12小时 60 16 76 少于12小时 40 64 104 总计 100 80 180 设原假设 ：数学成绩与每周自主学习时间无关.. ∴有的把握认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”； （2）数学成绩高于120分的学生共有人， 其中，每周自主学习时间大于12小时：60人；每周自主学习时间不足12小时：40人. 按比例分层抽取10人，则 不少于12小时：人；少于12小时：人. 又因为这10人中恰有1人每周自主学习时间大于16小时，所以10人可看作三类： 大于16小时：1人；少于12小时：4人；其他：5人. 从10人中任取3人，总取法数为. 的可能取值0，1，2，3， ，， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 题●型●破●译 题型1 相关系数的理解与判断 例1-1通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．下列说法正确的是（   ）． A．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 B．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 C．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 【答案】B 【详解】改变变量的单位，线性相关系数不变，C、D错； 去除A点后，线性相关程度变高， 因为是负相关，所以线性相关系数变小，故A错误、B正确. 例1-2某中学的兴趣小组在某座山测得了海拔高度、气压和沸点的若干个数据，并绘制成如图所示的散点图，则下列说法错误的是（    ） A．沸点与海拔高度正相关 B．沸点与气压正相关 C．沸点与海拔高度负相关 D．沸点与海拔高度、沸点与气压都线性相关 【答案】A 【详解】由题设中的统计图表知，气压随海拔高度的增加而减小， 由图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压正相关，沸点与海拔高度负相关， 由图易得两个散点图中的点都落在一条直线附近，所以沸点与海拔高度、沸点与气压都线性相关，故B、C正确，A错误． 例1-3（2026·上海嘉定·二模）生物学家在研究动物体重W（单位：g）与脉搏率f（单位：次）的关系时，获得了右表的数据，令，，并拟合线性回归方程．根据已知数据，下列说法正确的是（   ） 动物名 体重 脉搏率f/（次） 鼠 25 670 豚鼠 300 300 兔 2000 205 小狗 5000 120 大狗 30000 85 羊 50000 70 马 450000 38 A．变量x与y成正相关，且 B．变量x与y成负相关，且 C．变量x与y成正相关，且 D．变量x与y成负相关，且 【答案】D 【详解】由表格数据可得随着动物体重增加，脉搏率逐渐减小，即随着增加，逐渐减小. 又函数在上单调递增，则随着增加，逐渐减小， 从而与负相关，.注意到， 又由题可得，结合， 可得. 方法技巧 范围：r ∈ [−1, 1]，|r| 越接近1线性相关性越强，越接近0越弱 符号：r > 0 正相关（x增大时y有增大趋势），r < 0 负相关 散点图速判：点越集中在一条直线附近，|r| 越接近1；点越分散，|r| 越接近0 【变式训练1-1】（2026·上海闵行·二模）以下是由变量与所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【详解】对于A：散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性；故A错误； 对于B：两个变量不具有线性相关性，故B错误； 对于C：两个变量之间的关系为负相关关系；故C错误； 对于D：两个变量之间的关系为正相关关系，且散点图中的点分布在一条直线附近，线性相关程度较高；故D正确. 【变式训练1-2】（25-26高三下·上海·阶段检测）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1； 图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近； 图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以； 图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以； 所以. 【变式训练1-3】（25-26高三上·上海杨浦·期末）对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（   ）.    A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且 C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且 【答案】D 【详解】对于图1，散点总体斜向上分布，故变量与呈现正相关，故排除B； 对于图2，散点总体斜向上分布，故变量与呈现负相关，故排除C； 图1中散点图分布较为集中，图2中的散点图分布较为分散，故， 故选：D. 【变式训练1-4】（2026·上海静安·三模）观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为 则判断一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】①分析图1的相关系数观察图1，散点图中的点大致分布在从左上到右下的带状区域内； 随着的增大，总体呈减小趋势，根据相关系数的定义， 两个变量呈负相关，故； ②分析图2的相关系数观察图2，散点图中的点大致分布在从左下到右上的带状区域内； 随着的增大，总体呈增大趋势； 根据相关系数的定义，两个变量呈正相关，故； 此外，观察图2中点的分布比图1更紧密地围绕在一条直线附近， 说明图2的线性相关性更强，即 选项，已知且，且，故 成立； 选项，因为且，所以，故选项B错误； 选项，因为且，则，选项C错误； 选项，因为且，则，显然不可能大于1，故选项D错误. 题型2 线性回归方程求解与预测 例2某张纸上记录了一组成对数据，但有部分数据模糊不清无法辨认．已知其线性回归方程为，相关系数，则模糊的数据可能是（    ）． 数据 0.7 0.9 1.3 1.4 1.7 数据 9.1 10.4 10.9 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由相关系数可知变量线性相关性极强，样本点应极接近回归直线： 当时，预测值，则9.4更接近预测值； 当时，预测值，10.2更接近预测值. 故模糊的数据可能是. 方法技巧 样本中心点是金钥匙：(x̄, ȳ) 一定在回归直线上，即 ȳ = bx̄ + a。求 a 时直接用此式，也是检验 b 计算是否正确的依据 预测方法：将给定 x 代入回归方程得 ŷ，即为预测值 善用参考数据：题目通常给出 Σxᵢ、Σyᵢ、Σxᵢyᵢ、Σxᵢ²，直接代入，不要自己重新累加 精度比较：|ŷ − y实际| 越小，模型拟合越好 【变式训练2-1】对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其回归直线方程是，且，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由可知 ，. 因为回归直线过样本中心点，即， 将其坐标代入方程可得，解得， 故选：B. 【变式训练2-2】已知两组数据和，其中且时，；且时，，，我们研究这两组数据的相关性，在集合中取一个元素作为a的值，使得相关性最强，则a=（    ） A．8 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】设点坐标为，且， 由题意得前9个点位于直线上，面，则要使相关性更强，应更接近10， 四个选项中11更接近10， 故选：B. 【变式训练2-3】某种产品2014年到2018年的年投资金额（万元）与年利润（万元）的数据统计如下，由散点图知，与之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知5年利润的平均值是4.7． 年份 2014 2015 2016 2017 2018 年投资金额万元 1 2 3 4 5 年利润万元 2.4 2.7 6.4 7.9 (1)求表中实数的值； (2)求关于的线性回归方程． 参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【详解】（1）由题意得，，解得 （2）由题意得，,， ，故， 则， 故所求线性回归方程为． 题型3 非线性回归的线性化转化 例3（25-26高三下·上海·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变 B．在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 C．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有95%的可能性患肺病 D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和 【答案】D 【详解】对A，将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后， 均值也应加上或减去同一个常数，故A错误； 对B，所有样本点都在直线上， 由此成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系， 则线性相关系数，由成对样本数据负相关，则，故B错误； 对C，在犯错误率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系， 我们可以认为吸烟更容易引发肺病.独立性检验可以推断分类变量吸烟与患肺病是否独立， 而不能得到一个吸烟的人有多大可能性患病的结论，故C错误； 对D，由，，且，若线性回归方程为， 则，即，的值分别是和，故D正确. 方法技巧 题目会明确给出模型形式，按提示做变量替换 替换后按线性回归方法求解系数 预测时注意还原变量，不要忘记取指数/平方等逆运算 【变式训练3-1】某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合x与y的关系，设，x与z的数据如表格所示： x 3 4 6 7 z 2 2.5 4.5 7 得到x与z的线性回归方程，则___________. 【答案】 【详解】由已知可得，，， 所以，有，解得， 所以，， 由，得， 所以，，则. 故答案为： 【变式训练3-2】为响应环境保护政策，某工厂引入减排技术，减少工厂周边有害颗粒物的密度．已知2014年到2022年的历史检测数据如下： 年份x （年） 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 颗粒物浓度y 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 4.61 4.46 4.05 3.08 2.46 2.18 1.61 1.53 1.35 记年份为，颗粒物浓度，．某团队建立了两个回归预测模型，并用最小二乘法求得关于的回归方程：①；②，其中是常数，是自然常数，假设． (1)设和的相关系数为，设和的相关系数为，和在与哪个区间内？从相关系数的角度，模型①和模型②，哪一个更好？请计算并说明理由． (2)在报告中给出了关于的回归方程：，请根据数据，计算参数K，并预测2026年的颗粒物浓度．（精确到0.01） 【详解】（1）年份递增时，颗粒物浓度递减，故与负相关，； ，递减时同步递减，故与负相关，. 令，则，， 计算得，，，， 根据相关系数公式： ， ， 由于，说明与的线性相关性更强，因此模型②的拟合效果更好. （2）对回归方程两边取自然对数得：， 即，回归直线过样本中心点， 将，代入得： , 解得， 因此，则 ， 2026年对应，代入回归方程得： . 【变式训练3-3】某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，该团队建立了两个模型：①；②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令，，计算得如下数据： 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型： (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?（结果精确到0.01） 附：对于一组数据，样本相关系数 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 【详解】（1）由题意表格数据得， 同理， ∵0.86<0.91，即， 则从相关系数的角度，选择模型②的拟合程度会更好. （2）（i）由（1）得，模型②，可建立关于x的线性回归方程， 则，又， ∴，∴， ∴，即. （ii）由（i）得， 要使下一年销售额达到80亿元，即，， ∴，解得， 故下一年销售额达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元. 题型4 独立性检验（卡方检验） 例4一次考试后，数学兴趣小组分析某班级考试成绩．该班级共40人，将得分由高到低平均分为四组，第一组（均分最高的一组）的数据为： 91、90、88、84、84、83、83、82、82、82． (1)若从第一组中选取2名学生，已知2名学生中至少有1人得分高于83分，求2人得分都在85分以上的概率； (2)兴趣小组考察某客观题的得分情况．现将前15名学生作为高分组，后25名学生作为非高分组；前15名学生中13人答对该题，后25名学生中16人答对该题．请据此填写表格，并判断是否有的把握认为答对该题与进入高分组有关？ 参考公式：，其中 参考数据：，，， 高分组 非高分组 总计 某客观题答对 某客观题答错 总计 【详解】（1）设事件为“选取的2名学生中至少有1人得分高于83分”， 事件为“选取的2名学生得分都高于85分”，则，，， 由条件概率公式得，故2人得分都在85分以上的概率为. （2）根据题意数据，列联表如下： 高分组 非高分组 总计 答对 13 16 29 答错 2 9 11 总计 15 25 40 零假设：答对该题与进入高分组无关. 由卡方公式得， 对比临界值，，因此没有的把握拒绝零假设，即没有95%的把握认为答对该题与进入高分组有关. 方法技巧 三步答题法（规范模板） 提假设：H₀：变量A与B独立（无关联） 算卡方：代入公式计算 χ² 观测值 下结论：χ² ≥ xα → 拒绝H₀，认为A与B有关联（犯错误概率不超过α）；χ² < xα → 没有充分证据拒绝H₀ 规范结论表述 χ² ≥ 3.841："有95%的把握认为A与B有关" χ² ≥ 6.635："有99%的把握认为A与B有关" χ² < 3.841："没有充分证据认为A与B有关" 易错分析 分子是 (ad−bc)²，不要漏掉平方 分母是四个边际和连乘，不要漏项 不拒绝H₀时不能说"无关"，只能说"没有充分证据认为有关"——统计语言讲究严谨 【变式训练4-1】某商场为了解顾客购买手机的意愿，随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表． 购买手机 购买无技术的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 (1)根据表中数据，判断是否有的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)从这位男性顾客中随机挑选位，求其中至少有位购买手机的概率（精确到）； (3)为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望． 参考公式及数据：①，其中． ②，，，． 【详解】（1）作原假设：购买手机与顾客的性别无关，取， 根据题意，代入数据，得 ， 因为，所以否定原假设，即有的把握认为购买手机与顾客的性别有关． （2）由题意得. （3）解法一：由题意得，随机变量的可能取值为 ， 而，， ，， ，， 故的分布列为 期望． 解法二：设第次抽中奖金为（），则， 由题设可得（）的分布列为 从而，而，相互独立， 故． 【变式训练4-2】（25-26高三下·上海·阶段检测）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司年前个月的带货金额： 月份 带货金额万元 (1)求关于的线性回归方程，并据此预测年月份该公司的直播带货金额； (2)该公司随机抽取人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表： 参加过直播带货 未参加过直播带货 总计 女性 男性 总计 请填写上表，并判断是否有的把握认为参加直播带货与性别有关？ 参考公式：，； ，其中. 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）由题意，得，。 根据参考数据，得，，则 ， ， 因此关于的线性回归方程为， 年月对应，代入得（万元），即预测月带货金额为万元. （2）由题意，补全列联表如下： 参加过直播带货 未参加过直播带货 总计 女性 男性 总计 代入卡方公式，得， 由于，对应，因此有的把握认为参加直播带货与性别有关. 【变式训练4-3】为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 (1)完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； (2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ (3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【详解】（1）完善列联表如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 每天都整理数学错题且成绩优秀的人数为14，总样本数为40，因此经验概率为. （2）由（1）得 ， 所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”. （3）不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5， 的所有可能值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列如下表： 0 1 2 3 期望. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 【答案】C 【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误. 对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势， 故C正确，D错误. 故选：C. 2．（2023·上海·高考真题）根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（    ） A．身高越高，体重越重 B．身高越高，体重越轻 C．身高与体重成正相关 D．身高与体重成负相关 【答案】C 【详解】由于身高比较高的人，其体重可能大，也可能小，则选项AB不正确； 由散点图知，身高和体重有明显的相关性，且身高增加时，体重也呈现增加的趋势， 所以身高与体重呈正相关，C正确，D错误. 故选：C 3．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 【详解】（1）由题意，数据的最大值为，最小值为， 则极差为； 数据中间两数为与， 则中位数为. 故极差为，中位数为； （2）由题意，数据共个，以上数据共有个， 故设事件“恰有个数据在以上”， 则， 故恰有个数据在以上的概率为； （3）由题意，成绩的平均数 ， 由直线过， 则， 故回归直线方程为. 当时,. 故预测年冠军队的成绩为秒. 4．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：         时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比， 则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为． （2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为 ． 则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时. （3）由题列联表如下： 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关． 其中． ． 则零假设不成立， 即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知变量y与x线性相关，若，，且与的线性回归直线的斜率为6.5，则线性回归方程是______． 【答案】． 【详解】解：设线性回归方程为， ，，与的线性回归直线的斜率为6.5， ． 关于的线性回归方程为． 故答案为：． 2．已知、的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，那么表格中的数据的值为_________． 【答案】 【详解】由表格中的数据可得，， 将点的坐标代入回归直线方程可得，解得. 故答案为：. 3．某小吃店的日盈利y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ 0 1 2 y/百元 5 4 2 2 1 甲、乙、丙3位同学对上述数据进行了分析，发现y与x之间具有线性相关关系，他们通过计算分别得到3个线性回归方程：①；②；③．其中正确的是______．（填序号） 【答案】① 【详解】由已知数据，， 代入，只有①满足， 故答案为：① 4．为了了解高中生数学考试成绩是否和吃早点有关，调查者随机调查了50名高中生的情况，调查结果如下（单位：人）： 考试成绩吃早点情况 及格 不及格 吃早点 17 10 不吃早点 15 8 试问：高中生的数学考试成绩是否和吃早点有关?（） 【答案】高中生的数学考试成绩与吃早点无关 【详解】依题意，列联表如下： 考试成绩吃早点情况 及格 不及格 合计 吃早点 17 10 27 不吃早点 15 8 23 合计 32 18 50 则的观测值为， 所以没有90%的把握判定高中生的数学考试成绩与吃早点有关，可以认为高中生的数学考试成绩与吃早点无关. 5．下面是对智商在40～69之间的人的出生季节所做的一个调查，结果如下（单位：人）： 智商季节 40~54 55~69 夏和秋 30 48 春和冬 40 30 问：智商在40～69之间的人，智商与出生季节有关吗? 【答案】有超过的把握确定智商在之间的人其智商与出生季节有关 【详解】根据题意补充列联表如下， 智商季节 40~54 55~69 合计 夏和秋 30 48 78 春和冬 40 30 70 合计 70 78 148 所以， 所以有超过的把握确定智商在之间的人其智商与出生季节有关． 6．某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）．    (1)应收集多少位女生样本数据？ (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为：．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率． (3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请制作每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． 【详解】（1）因为运用分层抽样的方法， 所以女生样本数据个数为； （2）学生每周平均体育运动时间不超过4个小时的概率为：， 所以该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率； （3）由（1）可知男生人数为， 由（2）可知该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率， 所以有人， 因此学生每周平均体育运动时间不超过4个小时的人数为， 因此列联表如下： 男生 女生 合计 每周平均体育运动时间不超过4个小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过4个小时 165 60 225 合计 210 90 300 因为， 所以有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 7．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 男 女 需要志愿者 40 30 不需要志愿者 160 270 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2)能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿者帮助的老年人的比例？说明理由． 【详解】（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为． （2）补充列联表为 男 女 合计 需要志愿者 40 30 70 不需要志愿者 160 270 430 合计 200 300 500 由已知可得，，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． （3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好． 8．为了解发动机的动力（单位：）与排气温度（单位：℃）之间的关系，某部门进行相关试验，得到如下数据：     /℃ /℃ 4300 960 4010 907 4650 900 3810 843 3200 807 4500 927 3150 755 3008 688 4950 993 (1)求相关系数； (2)求出线性回归方程； (3)估计当时对应的值． 【详解】（1）解：由已知数据可求得： ， ， ，， ， . （2）解：设线性回归方程为，由已知数据可求得： ，， ， ， 所以线性回归方程为. （3）解：由（2）得， 当时，对应的的估计值约为： . 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2026·上海浦东新·三模）现有下表所示的一组观测数据（；），若与的线性回归方程为，则对应的离差为（   ） A．11.6 B．8.4 C．7.4 D．1.6 【答案】D 【详解】由观测数据可知，当 时，， 而对应计算回归预测值，可得， 因此根据离差定义. 2．（2026·上海黄浦·三模）某研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计，根据统计数据制作列联表，提出原假设：“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系，计算得，由此可知（     ）．（显著性水平取0.05，） A．接受原假设，没有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 B．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 C．接受原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 D．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系 【答案】B 【详解】由于且，故拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系. 3．（2026·上海浦东新·三模）下列命题中不正确的是（   ） A．线性回归方程对应的直线一定经过样本点的中心 B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 C．线性回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系 D．用最小二乘法求回归方程是为了使最小 【答案】B 【详解】对于A，线性回归直线一定经过样本点的中心，故A正确； 对于B，线性回归直线是样本点的‘最佳’拟合直线，可能不经过任何一个样本点，故B错误； 对于C，线性回归直线中的系数为， 则变量与具有负的线性相关关系，故C正确： 对于D，最小二乘法的核心思想就是通过寻找最佳的回归系数， 使得所有的观测值与回归直线上的预测值之间的残差平方和达到最小， 数学表达式是，故D正确. 4．“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出天津市三月份每日最高气温与最低气温的数据，绘制了气温与日期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正确的是（   ）    A．小明根据散点图判断气温与日期无相关关系 B．小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为，其中x为日期（3月1日为，3月31日为） C．小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很弱 D．小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与日期都正线性相关 【答案】D 【详解】对于A，观察散点图，横轴代表日期，纵轴代表气温，图中的散点分布并不是杂乱无章的，而是呈现出一种带状分布， 且整体趋势是随着日期的增加，气温也在逐渐升高，这种趋势表明气温与日期之间存在密切的联系，即存在相关关系，故A错误； 对于B，回归直线方程中，斜率反映了变量随的变化趋势， 若表示变量随的增大而增大，为正相关，若表示变量随的增大而减小，为负相关； 由散点图可知，气温随日期的增大而升高，属于正相关，所以回归方程的斜率应为正数， 而小华计算最高气温与日期的经验回归方程斜率为，故B错误； 对于C，的值越大，相关性越强，小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很强，故C错误； 对于D，由散点图可知，无论是最高气温还是最低气温，其数据点都呈现出随日期增加而上升的趋势，为正线性相关，故D正确． 5．（2026·上海·二模）某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘制了列联表，设原假设：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出统计量，已知，则在显著性水平下，推断的结论为________．（用“拒绝”或“接受”填空） 【答案】拒绝 【详解】在独立性检验中，当计算出的统计量大于给定显著性水平对应的临界值时，样本数据出现的概率小于， 属于小概率事件，根据小概率原理，我们拒绝原假设，认为两个变量之间存在显著关联， 本题中，所以拒绝，即认为两种操作方法对合格个数有影响. 6．（24-25高三下·上海虹口·期中）某公司为了解用电量y（单位：千瓦时）与气温x（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如下表格，由表中数据可得回归方程，则实数_____. x 10 13 18 y 62 38 34 m 【答案】24 【详解】由题意，， ， 所以样本中心点为， 将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得. 故答案为：24. 7．（2026·上海普陀·二模）某大型管线网的局部呈网格结构，如图建立平面直角坐标系，一小型机器人沿管线移动执行巡检任务，在某次巡检的路径中经过了点：、、、、、、，若该机器人经过的点的纵坐标关于横坐标的一元线性回归方程是，则的值为______. 【答案】 【详解】根据题意，机器人经过的个点的横坐标分别为， 其平均值为， 个点的纵坐标分别为，其平均值为， 又因为这些点的一元线性回归方程是，必过点， 代入得，即的值为. 8.某公司为了解用电量（单位：）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表： 气温 用电量（） 由表中数据可得回归方程中．试预测当气温为时的用电量，并求在气温为时的残差． 【答案】（），（） 【详解】由条件可得，，样本点的中心为， 代入回归方程，， 则线性回归方程为， 取，得； 取，得，故此时残差为． 因此，当气温为时的用电量为（），用电量在的残差为（）. 9．（2026·上海长宁·二模）一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：kg）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86. (1)求该组数据的极差和第25百分位数； (2)依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：kg）关于身高（单位：cm）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：cm）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1） (3)体重（kg）与身高（m）平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下列联表. 男生 女生 总计 观察值 预期值 观察值 预期值 不肥胖 99 168 肥胖 总计 120 200 求表中的值.已知零假设为：肥胖与性别无关，计算男生肥胖人数的预期值（精确到0.1）. 【详解】（1）将数据从小到大排列：52，54，55，56，58，62，68，74，86，88， 故极差， 因不为整数，故第25百分位数是第三个数为55. （2）， 因回归方程为过样本中心点，故， 得 （3）由列联表的性质，女生不肥胖人数为，女生人数总计， 所以， 男生肥胖的预期值. 10．某新能源汽车公司为研究电池容量对续航里程的影响，随机选取了10辆不同配置的车进行测试，测量每辆车的电池容量（单位：）和续航里程（单位：），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 电池容量 35 40 45 50 55 65 70 75 80 85 600 续航里程 330 350 390 410 480 520 560 620 640 700 5000 并计算得． (1)估计这10辆车的平均电池容量与平均续航里程； (2)求电池容量与续航里程的样本相关系数；（精确到0.001） (3)现该公司计划推出新款车型，电池容量为，已知续航里程与电池容量近似成正比，利用以上数据给出新款车型续航里程的估计值．（精确到1） 附：相关系数． 【详解】（1）平均电池容量， 平均续航里程． （2） （3）由样本数据，可知续航里程与电池容量的比值约为， 故新款车型续航里程的估计值为． 重难·创新演练 1．（24-25高三下·上海·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．已知一组样本数据，现有一组新的数据，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大； B．已知具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4； C．50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为30人 D．已知随机变量，若，则 【答案】D 【详解】对于A，新数据的总和为，与原样本数据的总和相等，且数据个数相等，因此平均数不变， ，而， 即极差变小了，由于两组数据平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原样本数据更集中于平均数，因此方差变小，A错误； 对于B，经验回归直线必经过样本点的中心， ，解得，B错误； 对于C，一模考试中的数学成绩，， 则，， 那么的人数为人，C错误； 对于D，，，， 解得，D正确， 故选：D. 2．（2025·上海长宁·二模）某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A．变量x、y之间呈正相关 B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C． D．拟合误差 【答案】C 【详解】因为线性回归方程为，， 所以变量x、y之间呈正相关，故正确； 当时，（百本），所以书籍销量约为400本，故正确； 由表中数据可得，， 所以，解得，故错误； 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以，故正确. 故选：. 3．（2026·上海·三模）下列结论中正确的是（    ） A．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9 B．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个 C．已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为22 D．若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】D 【详解】对于选项A，由条件可知该组数据包含个数据，第三四分位数即分位数， 又，因此第三四分位数为，A错误； 对于选项B，多选题正确答案为1个或多个，4个选项中每个选项有选/不选两种可能， 总情况为种，减去「都不选」的无效情况，共种可能的正确答案，B错误； 对于选项C，残差定义为：实际值减预测值， 将代入回归方程可得时的预测值， 故残差为，C错误， 对于选项D，正态分布的密度曲线的对称轴为， 因为，所以，由对称性得， 又因为该正态分布的对称轴为，所以， 所以，D正确. 4．绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何得到的？小张同学通过查询资料了解到：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为时，气体温度达到绝对零度.小张同学在实验时，记录了某种气体温度和气体压强一组相关数据： 数据 1 2 3 4 5 6 温度 4.07 16.69 29.42 45.67 57.06 73.05 压强 103.095 107.734 112.461 118.469 122.706 128.758 (1)用上表数据建立气体压强与气体温度的线性回归方程，若这组实验数据的拟合误差小于0.05，则认为得到的线性回归是理想的.求出回归方程（精确到0.001），并判断所得回归方程是否理想？附：拟合误差 (2)估计该次实验下绝对零度的数值.（精确到） 【详解】（1）， ， ， 将，即代入， 解得 回归方程为 ， , 因为 ，所以回归方程是理想的. （2）回归方程为， 令，解得（）， 预估该次实验下绝对零度的数值为. 5．为了解某地高中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区20000名学生中抽取500人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围 学业成绩 优秀 5 38 37 3 1 不优秀 117 125 118 36 20 (1)该地区20000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少，并估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长； (2)是否有0.95的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ 附：，. 【详解】（1）由表格数据可知，500名学生体育锻炼时长大于1小时的人数为人， 则人， 所以估计该地区20000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为人； 由， 估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长为小时. （2）列联表如下： 其他 合计 优秀 40 44 84 不优秀 154 262 416 合计 194 306 500 提出零假设该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关， 其中， ， 没有足够证据拒绝零假设， 即没有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关. 6．（2026·上海浦东新·三模）某高中一年级有540名学生，其中男生360名，女生180名．为调研学生的“加三”学科选科意向，学校按性别分别抽样，抽取了名学生填写问卷． (1)若抽取的学生中男生要30人，求的值； (2)若，且问卷中要求学生在物理与历史中选且只选一种，同时在地理与生物中也选且只选一种，统计得如下列联表： 选物理 选历史 总计 选地理 26 9 35 选生物 48 7 55 总计 74 16 90 （i）据此判断是否有95%的把握认为“选物理还是历史”与“选地理还是生物”有关； （ii）已知选物理的74名学生中有18名是女生，现从选历史的16名学生中再随机抽取4名参与访谈．用表示受访学生中男生的数量，求的期望． 参考公式：，． 【详解】（1）分层抽样：男生360人，女生180人，比例． 男生抽30人，则女生抽15人，则． （2）（i） 因为，故在置信水平下无显著关联． （ii）样本，按总体比例（男生女生）， 则样本中男生人，女生人． 选物理74人中女生18人，则选物理男生人． 则选历史男生人，选历史女生人． 从16人中随机抽4人，为其中男生数，服从超几何分布． 则． 7.班主任为了解本班每位学生每周平均手机使用时长（单位：小时），在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最多的为25.6小时．其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图1所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图2所示． (1)求该班男生每周平均手机使用时长的极差、第75百分位数； (2)根据相关资料显示，每周平均手机使用时长小于14小时为“健康手机使用”，班主任以此绘制了如下的2×2列联表，依据本班情况，班主任是否有95%的把握认为性别与“健康手机使用”有关？请说明理由； 男生 女生 总计 健康手机使用 11 非健康手机使用 9 总计 20 25 45 (3)班主任从本班每周平均手机使用时长大于16小时的学生中任选2人做跟踪调查．设事件表示“2人中至多1名男生”，事件表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间”，求和． 参考数据：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【详解】（1）极差为． 根据茎叶图，男生有20人，则，所以第百分位数为第项和第项数据的平均数， 即第75百分位数为． （2）将列联表如下补充完整为 男生 女生 总计 健康手机使用 11 14 25 非健康手机使用 9 11 20 总计 20 25 45 提出原假设：认为性别与“健康手机使用”无关，确定显著性水平． ．因此，接受原假设，即没有95%的把握认为性别与“健康手机使用”有关． （3）由题，手机使用时长大于16小时的男生有4人，其中位于有0人， 手机使用时长大于16小时的女生有4人，其中位于有2人． ，，． 故． 8.AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略．某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表． 购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 (1)从这90位女性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买AI手机的概率（精确到0.01）； (2)根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由； (3)为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为X元，求随机变量X的数学期望．参考公式及数据：①，其中 ． ②． 【详解】（1）“抽取的4人中至少2位购买AI手机”的对立事件为“0人或1人购买AI手机”，所以至少有2位购买AI手机的概率为； （2）， 所以有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关； （3）设第次抽奖获得的奖金为，则的可能取值为， ，，， 所以的分布列为： 单次抽奖期望， 两次抽奖相互独立，总奖金，则 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $