第27讲 统计（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦统计高考核心考点，涵盖随机抽样、统计图表、数字特征等内容，按“概念-方法-应用”逻辑构建知识框架。通过命题透视、知识精讲、题型破译、真题训练等环节，帮助学生系统突破分层抽样计算、频率分布直方图分析等高频难点。 资料以分层突破和真题溯源为特色，如通过“抽样比公式快速计算”“数据变换方差规律秒杀”等策略培养数学思维与数据观念。设置基础与进阶目标，配合分层练习和易错分析，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第27讲 统计 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 总体、个体、样本 知识点2 抽样方法 知识点3 统计图表 知识点4 用样本估计总体 题型破译 (含超链接） 题型1 分层抽样计算（填空必考） 题型2 茎叶图数据分析与对比 题型3 频率分布直方图综合计算（大题第一问常考） 题型4 平均数、方差变换秒杀题 题型5 数字特征大小辨析（选择题高频） 题型6 统计大题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 随机抽样 春考第17题 / 春考第19题 用样本估计总体 秋考第17题 秋考第17题 春考第19题 秋考第19题 考情分析 1. 命题情境：紧贴生活化、实际应用场景，常见校园调研、医疗体检、环境监测、通勤数据分析、产品质量检测等，文字阅读量小幅提升，重点考查数据提取能力与基础数学建模思维。 2. 核心考查侧重 ① 抽样方法：分层随机抽样成为绝对主流考点，简单随机抽样仅作为辨析题型考查； ② 统计图表：频率分布直方图、茎叶图为两大核心必考载体，偶尔搭配扇形图、折线图组合考查； ③ 数字特征：平均数、中位数、方差为必考点，百分位数考查常态化，成为新增高频考点； ④ 解题逻辑固定：抽取样本→整理统计图表→计算样本数字特征→用样本估计总体，设问逻辑连贯，套路性极强。 3. 难度定位：整体中档偏易，无复杂计算、无复杂逻辑陷阱，失分核心原因集中在读图粗心、公式记忆错误、大题步骤书写不规范。 复习目标 基础目标（全员必达标） 1. 精准区分总体、个体、样本、样本容量四大核心概念，无概念混淆； 2. 熟练辨析简单随机抽样、分层随机抽样的适用场景，精准完成分层抽样每层抽取数量计算； 3. 熟练读懂茎叶图、频率分布直方图、扇形图、折线图，快速提取频数、频率、区间范围等核心数据； 4. 熟记众数、中位数、平均数、方差、标准差、百分位数的定义与计算公式，基础运算零失误； 5. 理解方差、标准差的统计意义：数值越大，数据波动越大、离散程度越高、数据稳定性越差。 进阶目标（冲刺120+必掌握） 1. 掌握频率分布直方图中众数、中位数、平均数的快速估算技巧； 2. 熟练解决已知平均数、方差反求样本参数、补全缺失数据的逆向题型； 3. 掌握数据平移、伸缩变换后，平均数、方差的变化规律，实现小题秒杀； 4. 规范统计结论的专业表述，掌握用样本推断总体的严谨答题话术； 5. 夯实统计数据处理基础，衔接后续线性回归、独立性检验综合题型。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 总体、个体、样本 调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量. 自主检测 1．（2026·上海金山·二模）为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（   ） A．该校所有学生 B．该校所有学生的每天平均体育运动时间 C．所调查的100名学生 D．所调查的100名学生的每天平均体育运动时间 【答案】B 【详解】根据总体的概念可得，这里的总体是该校所有学生的每天平均体育运动时间.故选项B正确. 知识点2 抽样方法 1. 简单随机抽样 适用条件：总体个体数量较少、总体分布均匀、无明显分层差异。 常用方式：抽签法、随机数表法。 核心特点：逐个抽取、不放回抽取、总体中每个个体被抽取的概率均等。 2. 分层随机抽样（上海高考最高频） 适用条件：总体由若干差异明显的部分（层）构成，常见分层依据：性别、年级、年龄、产品批次、区域等。 核心核心公式： 抽样比 每层抽取个体数量 = 该层总体数量 × 抽样比 拓展结论：分层抽样可通过各层均值、方差，加权计算整体样本的平均数与方差。 抽样方法辨析口诀 总体均匀数量少，选用简单随机抽样； 总体分层差异大，必用分层随机抽样。 自主检测 2．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②．完成①②这两项调查采用的抽样方法依次是________． 【答案】分层随机抽样，简单随机抽样 【详解】解：对于调查①，某公司在四个地区的销售点存在明显的差距，故采用的是：分层随机抽样； 对于调查②，明显是采用的是：简单随机抽样， 故答案为：分层随机抽样，简单随机抽样 知识点3 统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等. 1. 茎叶图 核心优势：完整保留原始样本数据，无数据丢失，便于精准计算中位数、平均数、方差，适合两组数据对比分析。 读图核心要点：茎代表高位（十位、百位），叶代表低位（个位），可通过左右双侧茎叶图直观对比两组数据的集中程度与波动情况。 2. 频率分布直方图（重中之重） 核心规则（必考易错点）： ① 矩形面积 = 对应区间频率，所有矩形面积之和恒等于1； ② 纵坐标为 ，纵坐标绝对不等于频率； ③ 频率 = ，频数 = 样本总量 × 频率。 快速估算公式： 众数：最高矩形底边中点的横坐标； 中位数：累计频率恰好为0.5对应的横坐标（左右面积各占0.5）； 平均数：每组区间中点值 × 本组频率，累加求和。 3. 扇形统计图 核心功能：直观展示各部分占总体的比例关系。 核心公式：扇形圆心角 = 360° × 对应部分频率（占比）。 4. 折线统计图 核心功能：侧重展示数据随时间、变量变化的增减趋势与变化快慢，多用于判断数据相关性、增长规律。 自主检测 3．某校统计一组学生的单日志愿者服务时长（单位：分钟），如下是根据统计数据绘制的茎叶图，以时长的十位数字为“茎”排列在左侧、以时长的个位数字为“叶”排列在右侧： 该组学生单日志愿者服务时长的中位数为_________分钟． 【答案】 【详解】由茎叶图可知，该组数据共有个. 将这组数据从小到大排列，由于样本容量为偶数， 所以中位数为排序后第个数与第个数的平均数. 观察茎叶图可知，前个数分别为， 第个数为，第个数为， 故该组学生单日志愿者服务时长的中位数为（分钟）． 知识点4 用样本估计总体 1.百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. 标准计算步骤： ① 将样本数据从小到大排序； ② 计算位次 （n为样本容量，p%为所求百分位）； ③ 若i为整数：百分位数为第i项与第i+1项数据的平均值； ④ 若i为非整数：对i向上取整，对应位置的数据即为百分位数。 2.平均数、中位数和众数 (1)平均数：(x1＋x2＋…＋xn). 加权平均数：（为对应数据频率） (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时). 计算步骤：先将数据从小到大排序； 样本容量n为奇数：取中间位置单个数据； 样本容量n为偶数：取中间两个数据的平均值； 直方图中位数：累计频率达到0.5对应的区间数值。 (3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据). 3.方差和标准差 (1)方差：s2＝(xi－)2或. (2)标准差：s＝. 统计意义：方差、标准差越小，数据越集中、波动越小、稳定性越强；数值越大，数据越分散、波动越大。 4.总体方差和总体标准差 (1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2＝(Yi－)2. (2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝fi(Yi－)2. 5. 数据变换秒杀规律（填空高频考点） 若原始数据均值为，方差为，新数据满足 （a、b为常数），则： 新平均数： 新方差： 核心结论：均值随数据平移、伸缩同步变化；方差仅受伸缩系数影响，常数平移不改变方差。 自主检测 4．某同学坚持跑步锻炼身体，他记录了10周的跑量，将跑量数据（单位：千米）按从小到大排序如下：，则这组数据的第40百分位数为________． 【答案】9.5 【详解】由可知这组数据的第40百分位数为. 题●型●破●译 题型1 分层抽样计算（填空必考） 例1（2025·上海闵行·一模）某公司有200名员工，其中有一般人员120人，管理人员32人，专业技术人员48人，现用分层抽样的方法抽取25人，以调查大家对职业培训的意愿，则应抽取的专业技术人员的人数是________ 【答案】 【详解】根据题意，可得抽取的专业技术人员的人数是人. 故答案为：. 方法技巧 通用解题步骤 1. 精准提取题干中总体总量、各层数量、样本容量； 2. 统一计算全局抽样比例； 3. 各层数量 × 抽样比，得出每层抽取样本数； 解题技巧 抽样比例全程恒定，可直接列比例等式快速求解未知参数，无需分步计算，节省答题时间。 易错分析 样本容量为纯数值，无单位，答题时切勿添加单位，避免细节失分。 【变式训练1-1】第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 【答案】 【详解】总体中“喜洋洋”、“乐融融”和会徽的数量分别为、和， 已知“喜洋洋”抽取了只，抽样比为，根据分层随机抽样， 则样本中“乐融融”的抽取数量为，会徽的抽取数量为， 因此，样本总量. 【变式训练1-2】（25-26高三上·上海宝山·阶段检测）一支田径队有男运动员60人，女运动员48人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为27的样本，则抽取女运动员的人数为______ 【答案】12 【详解】由题意可知田径队中男运动员有60人，女运动员48人， 即男女运动员比例为， 故用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为27的样本， 则抽取女运动员的人数为， 故答案为：12 【变式训练1-3】（2025·上海浦东新·三模）浦东某学校有学生2000人，为了加强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只能参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表所示： 高一年级 高二年级 高三年级 跑步人数（单位：人） a b c 登山人数（单位：人） x y z 其中，参加登山的人数占总人数的.为了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取__________人. 【答案】45 【详解】由题意得，因为加登山的人数占总人数的， 所以参加登山的人数为人，参加跑步的人为1500人. 又由得，高三年级参加跑步的人数为人. 根据分层抽样的方法，应抽取的跑步总人数为人， 所以高三年级应抽取人. 故答案为：45. 题型2 茎叶图数据分析与对比 例2（24-25高三上·上海松江·期中）某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（   ）. A．讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分 B．讲座前的答卷得分分布较讲座后分散 C．讲座前答卷得分的中位数是70 D．讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差 【答案】C 【详解】对于A，由茎叶图知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分，A正确； 对于B，讲座前的答卷得分分布在之间，而讲座后得分分布在之间， 因此讲座前的答卷得分分布较讲座后分散，B正确； 对于C，讲座前答卷得分依次为，其中位数为，C错误； 对于D，讲座前答卷得分的极差为，讲座后得分的极差为， 因此讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差，D正确. 故选：C 方法技巧 1. 对比平均水平：通过中位数、整体数据分布位置判断，中位数越大，整体平均水平越高； 2. 对比稳定程度：数据集中在茎叶中部、无极端值，方差更小、数据更稳定；数据分散、存在极端值，方差更大、波动更强； 【变式训练2-1】在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（    ） A．甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定 B．甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 C．甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定 D．乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定 【答案】B 【详解】甲的平均值为：， 甲的方差为： 乙的平均值为：， 乙的方差为：. 故甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 故选：B 【变式训练2-2】某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图.设成绩在88分以上（含88分）的学生为优秀学生，现从甲、乙两班的优秀学生中各取1人，记甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩记为事件，则事件发生的概率___________. 【答案】 【详解】从甲、乙两班的优秀学生中各取1人所有的可能为： ， 共18种情况，其中甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩的情况有4种， 所以， 故答案为： 【变式训练2-3】为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示. (1)若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值； (2)将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”.设，从20名学生中随机抽取一人，已知该生为阅读达人，求该生为甲组学生的概率； (3)记甲组阅读量的方差为.在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为，试比较，，的大小.（结论不要求证明） 【详解】（1）甲组10名学生阅读量的平均值为， 乙组10名学生阅读量的平均值为. 由题意，得，又，所以.故图中a的取值为或. （2）记事件“从20名学生中随机抽取一人，已知该生为阅读达人，该生为甲组学生”为M. 由图可知，甲组“阅读达人”有2人，在此分别记为，； 乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为，，. 则从所有的“阅读达人”里任取1人，所有可能结果有5种，即，，，，. 而事件M的结果有2种，它们是，，所以. 即该生为甲组学生的概率. （3）通过茎叶图观察，当增加一名阅读量为10学生A后，甲的茎叶图峰变瘦变尖，说明数据更集中， 即更稳定，所以， 当增加一名阅读量为20学生A后，甲的茎叶图峰变胖变矮，说明数据更分散，所以， 所以. 题型3 频率分布直方图综合计算（大题第一问常考） 例3（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在考核成绩为，，，的四组学生中，用分层抽样的方法抽取17人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差，（结果精确到0.1）. 【详解】（1）因为频率分布直方图中，所有矩形的面积和为 1（频率和为 1），组距为 10， 所以 ，所以，解得， 因为：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， 四组总人数：， 抽样比为：因此 应抽取人数： 人； （2）因为与的频率之比为， 又因为落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2， 所以这两组学生成绩的平均数是， 这两组学生成绩的方差是 方法技巧 1. 明确题干组距，区分纵坐标与频率； 2. 计算各组频率、频数，补全图表缺失数据； 3. 代入公式估算平均数、中位数、众数； 4. 结合数据计算方差，分析数据特征； 易错分析 严禁直接将直方图纵坐标当作频率计算，此为上海高考最高频易错点。 【变式训练3-1】（2025·上海徐汇·一模）某校高三年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中随机抽取份作为样本进行统计，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：、、、得到如图所示的频率分布直方图． (1)求实数的值；若年级准备选取分及以上的学生进入下一轮竞赛，已知该校高三年级有名学生，估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数； (2)王老师抽取了名参加竞赛的学生，他们的分数为：、、、、．已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和这个分数，求剩余个分数的平均数与方差． 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为， 即，解得， 分及以上的学生所占的比例为， 故估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数为人. （2）不妨设，，根据题意可得， 故剩余个分数的平均数为， 因为原数据的方差为， 所以， 故剩余个分数的方差为. 【变式训练3-2】（2025·上海杨浦·一模）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? (3)若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 【详解】（1）由频率分布直方图可得， 解得. （2）由频率分布直方图知，样本考核成绩在，，的三组学生有（人）， 其中样本考核成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从考核成绩在的市民中抽取（人）． （3）由频率分布直方图知，成绩在的学生人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 【变式训练3-3】（25-26高三上·上海嘉定·期中）某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： (1)求的值； (2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率； (3)学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：，已知这10个成绩的平均数，标准差，若剔除其中的98和86两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差. 【详解】（1），解得. （2），所以抽取的6人中，2人来自，4人来自， 所以2人中有来自组的学生的概率为. （3）剩下8人成绩的平均数为， ， 所以， 所以剩下8人成绩的方差为：. 题型4 平均数、方差变换秒杀题 例4（24-25高三上·上海浦东新·期末）对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】D 【详解】数据由小到大排列为：1，1，2，3，3，3，4，5，5，其中位数、众数、平均数都为3， 去掉数据1，剩余数据的中位数、众数都不变；去掉数据3，剩余数据的平均数不变，ABC不是； 若任意去掉其中一个数据，剩余数据的波动性发生变化，方差一定发生变化，D是. 故选：D 方法技巧 均值随加减乘除同步变，方差只乘系数平方，常数平移不改变方差。 【变式训练4-1】现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为_______ 【答案】 【详解】设甲、乙组平均数分别为，方差分别为， 设两组数据混合成一组的平均数为，方差为，则，，， 则， 故答案为：. 【变式训练4-2】已知数据，，，，的方差是4，则，，，，的方差为________． 【答案】16 【详解】由题意可得，， 则，. 故答案为：. 【变式训练4-3】（2025·上海闵行·二模）已知数据的平均数为2，方差为5，则的平均数为______． 【答案】9 【详解】由题意可得，， 所以， 又， 即，即， 所以的平均数为9. 故答案为：9. 题型5 数字特征大小辨析（选择题高频） 例5-1如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（    ）    A．众数平均数中位数 B．众数中位数平均数 C．众数平均数中位数 D．中位数平均数众数 【答案】B 【详解】由频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边， 故平均数大于中位数，所以众数中位数平均数. 故选：B 例5-2某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】根据频率分布条形图可知，，即； 显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即； 故选：C 例5-3已知互不相等的数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【详解】由，则， 设的平均数为， 所以. 所以， 而， 因为互不相等， 所以. 故选：C. 方法技巧 1. 右偏分布（右侧长尾、存在极大极端值）：平均数 > 中位数 > 众数； 2. 左偏分布（左侧长尾、存在极小极端值）：平均数 < 中位数 < 众数； 3. 所有数据同时加同一个常数：均值改变，方差、标准差不变； 4. 所有数据同时乘同一个正数：均值、标准差同步缩放，方差缩放平方倍。 【变式训练5-1】给定一组数据，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 平均数， 中位数， 众数， 所以 故选：B 【变式训练5-2】（25-26高三上·上海闵行·期末）某单位有A、B两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图所示.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为、，方差分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】根据频率分布条形图可知， ，即； 显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即. 【变式训练5-3】某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】选项A：，所以，若，则， 故选项A正确. 选项B： ， 所以 ,不妨令则 ， 故选项B错误. 选项C：若，则故选项C正确. 选项D:若， 因为，所以， 则． 又， 所 故选项D正确. 故选：B. 题型6 统计大题 例6-1（24-25高三上·上海·阶段检测）某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了名学生的成绩作为样本，将所得数据经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题： (1)求频率分布直方图中和的值，并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩； (2)规定大赛成绩在的学生为厨霸，在的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取2人中至少有1人是厨神的概率. 【详解】（1）（1）由茎叶图知，成绩在的学生有5人，成绩在的学生有3人， 所以，， 所以， 此次参加厨艺大赛学生的平均成绩为： . （2）由题意得厨霸有人， 厨神有人， 从中任取2人，基本事件总数， “所取2人至少中有1人是厨神”的对立事件是“所取2人都是厨霸”， 其包含的基本事件个数为， 所以“所取2人中至少有1人是厨神”的概率. 例6-2（24-25高三上·上海·期中）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，，第六组，得到如图所示的频率分布直方图.其中第一组有2人，第二组有13人.求与的值. 【详解】（1）40名工人完成生产任务所需时间按从小到大排列为： ，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， 因为， 所以第75百分数为； （2）由题意可知，第一种生产方式中优秀的概率为， 第二种生产方式中优秀的概率为， 所以选出的两个人均为优秀的概率为. （3）依题意，则， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，. 方法技巧 第一步：明确题干总体、样本、抽样方式，梳理已知条件； 第二步：读取统计图表数据，列式计算频数、频率； 第三步：代入公式规范计算平均数、中位数、方差等核心数字特征； 第四步：文字总结结论：由样本数据特征，可估计总体的平均水平、波动情况。 【变式训练6-1】（25-26高三上·上海·期中）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图. (1)求分数在的频率及全班人数； (2)求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率. 【详解】（1）分数在的频率为， 由茎叶图知：分数在之间的频数为2，全班人数为． （2）分数在之间的频数为； 频率分布直方图中间的矩形的高为． （3）将之间的3个分数编号为，之间的2个分数编号为， 在之间的试卷中任取两份的基本事件为： 共10个， 其中，至少有一个在之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在之间的概率是． 【变式训练6-2】（25-26高三上·上海·期中）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间小于70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，第六组，得到如图所示的频率分布直方图．其中第一组有2人，第二组有13人．求、、的值． 【详解】（1）40名工人完成生产任务所需时间按从小到大排列为： ，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， 因为，所以第75百分数为； （2）由题意可知，第一种生产方式中优秀的概率为， 第二种生产方式中优秀的概率为， 所以选出的两个人均为优秀的概率为. （3）依题意，则， 又因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，，. 【变式训练6-3】（2025·上海虹口·一模）班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长(单位：小时)，在某一学期每周对全班名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示.       (1)求该班男生每周平均手机使用时长的第百分位数； (2)小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于小时的学生中任选人在班会课上做经验分享．设事件表示 “人中至多名男生”，事件表示 “人中恰有名学生的每周平均手机使用时长位于区间”．试判断事件和事件是否独立，并说明理由； (3)小明老师发现本班有位学生的每周平均手机使用时长超过小时，这位学生的数据平均数为小时．当去掉这位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为小时，且这位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列．那么这位学生每周平均手机使用时长的方差是否超过？请说明理由． 【详解】（1）由茎叶图可知男生总人数为 ，所以 ， 将男生每周平均手机使用时长从小到大排列，第位的数据分别为， 所以第百分位数为； (2)事件 和事件 不相互独立，理由如下： 由，解得， 所以女生中每周平均手机使用时长小于小时的人数为， 且女生中每周平均手机使用时长位于区间有 人，位于区间有 人， 由茎叶图可知，男生中每周平均手机使用时长小于小时的人数为 ， 且男生中每周平均手机使用时长位于区间有 人， 抽取的 人中，每周平均手机使用时长位于区间的共有人， 所以，， 若抽取的是 名男生和 名女生且恰好有 人的每周平均手机使用时长位于区间，其概率为， 若抽取的是 名女生且恰好有 人的每周平均手机使用时长位于区间，其概率为， 所以， 显然，所以事件 和事件 不相互独立； (3)不超过，理由如下 由茎叶图和频率分布直方图可知，， 个数据中，男生数据为，设女生数据为且， 由题意可知，，解得， 又因为成等差数列，所以， 所以这 个数据分别为：， 所以方差为， 所以这 位学生每周平均手机使用时长的方差不超过 . 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 【详解】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱， 样本空间的样本点的个数， A事件的样本点的公式， 所以； （2）因为一级果箱数：二级果箱数， 所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱； （3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为， 总体样本平均质量为，方差为， 因为，，，， 所以克， 克． 预估平均质量为克． 2．（2026·上海·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 (1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ (2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？ (3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 【详解】（1）年龄段占总体比例为： ，则抽取人数为：； （2）由题可得人的平均年龄为：； （3）事件A与事件B不相互独立，理由略. 3．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：         时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比， 则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为． （2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为 ． 则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时. （3）由题列联表如下： 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关． 其中． ． 则零假设不成立， 即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关． 4．（2025·上海·高考真题）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．    (1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； (2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； (3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 【详解】（1）甲队：， 所以甲组的第60百分位数为从小到大排列的第8位组员身高，为173厘米； 乙队：， 所以乙组的第60百分位数为从小到大排列第6位和第7位组员身高的平均数，为厘米． （2）记甲乙两队各选取一名组员，两人身高均在170厘米以上为事件， . （3）， 要使两组平均身高都增大， 则从甲组调到乙组的组员身高应在两平均数之间（不包括端点平均数），所以把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组即可． 5．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 【详解】（1）由题意，数据的最大值为，最小值为， 则极差为； 数据中间两数为与， 则中位数为. 故极差为，中位数为； （2）由题意，数据共个，以上数据共有个， 故设事件“恰有个数据在以上”， 则， 故恰有个数据在以上的概率为； （3）由题意，成绩的平均数 ， 由直线过， 则， 故回归直线方程为. 当时,. 故预测年冠军队的成绩为秒. 6．（2026·上海·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下： 颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论） (3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？ 参考数据： 【详解】（1）9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为. （2）统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现. 随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正， 又因为相关系数，故相关系数在区间上. （3）采用方程时，2023年预测值为， 预测值与实际值差值绝对值为； 因为 ， 所以，可得. 故采用方程时， 2023年预测值为， 预测值与实际值差值绝对值为； 因为，故方程对于2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．某高校后勤处想调查学生对学校食堂新设水果窗口的意见．已知男、女生对新设水果窗口的意见可能有较大差异，该校有男生4000人，女生3000人．现需要从全校学生中抽取490名进行调查，则应该从男、女生中各抽取多少人比较合理？ 【答案】男生 280 人，女生 210 人 【详解】设男生抽人，则女生抽人 ，，则， 答：男生280人，女生210人 2．一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层随机抽样的方法从两个班中抽取一部分人参加方队表演，则一班和二班被抽取的人数分别是多少？ 【答案】9；7 【详解】学生总共有人，抽取16人， 所以一班和二班被抽取的人数分别为人，人. 即一班和二班被抽取的人数分别是9人，7人. 3．200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组．其中参加文学类的有33人，参加理化类的有30人，参加数学类的有62人，参加社会科学类的有47人，参加信息类的有28人． (1)列出学生参加各类课题组的频率分布表并作出相应的扇形统计图； (2)画出条形统计图． 【答案】(1) 频率分布表如下： 分组 频数 频率 文学类 理化类 数学类 社会科学类 信息类 扇形统计图如图（1） (2) 条形统计图如图（2） 【分析】（1）根据频率频数样本容量即可求解. （2）根据（1）中所列数据，然后以课题组为横轴，频数为纵轴，画条形图即可. 4．为了评估某校的教学水平，将抽取这个学校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察．为了全面反映实际情况，采取以下两种抽样方式（已知该校高三年级共有10个教学班400名学生，并且每个班的学生都已经按随机方式编好了学号，假定每班人数都相同）： 方式1：从全年级10个班中任意抽取一个班，考察他们的成绩； 方式2：把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别（若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有60名，良好学生有180名，普通学生有160名），从中按比例抽取40名学生进行考察． 根据上面的叙述，试回答下列问题： (1)上面两种抽样方式各自采用何种抽取样本的方法？ (2)分别写出上面两种抽样方式各自抽取样本的步骤． 【详解】（1）根据题意可知，方式1采用的是简单随机抽样法，方式2采用的是分层抽样法； （2）方式1抽样的步骤如下： 在全年级10个班中用抽签法任意抽取一个班级，考察他们的成绩； 方式2抽样的步骤如下： 第一步：分层 把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别； 第二步：确定各个层抽取的人数 由于样本容量与总体个数比值为， 所以每层抽取的个体数依次为人，人，人； 第三步：按层分别抽取样本人数 在优秀学生中用简单随机抽样法抽取6人， 在良好学生中用简单随机抽样法抽取18人， 在普通学生中用简单随机抽样法抽取16人， 5．下面是2003年4月21日至5月15日上午10时，北京市非典型性肺炎疫情新增数据走势图．    (1)哪一天新增确诊的人数最多？哪一天新增疑似的人数最多？ (2)哪一天新增治愈的人数最多？哪一天新增死亡的人数最少？ (3)从图中，你能预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势吗？ 【详解】（1）由折线图得：2003年4月29日新增确诊的人数最多，2003年4月27日新增疑似的人数最多．    （2）由折线图得： 2003年5月13日一天新增治愈的人数最多， 2003年5月12日新增死亡的人数最少． （3）从图中，预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势为： 北京市非典型性肺炎疫情初期确诊病例和疑似病例数量快速上升， 然后确诊病例和疑似病例数量逐渐下降． 6．对某种电子元件进行寿命追踪调查，情况如下表： 寿命/h 1000~2000 2000~3000 3000~4000 4000~5000 5000~6000 个数 20 30 80 40 30 (1)列出频率分布表； (2)画出频率直方图和折线图； (3)估计该电子元件的寿命在1000~4000h内的百分比； (4)估计该电子元件的寿命在4000h以上的百分比． 【答案】(1) 分组 频数 频率 20 30 80 40 30 合计 【详解】（1）解：根据题目中的数据，计算每一小组的频率，完成频率分布表如下： 分组 频数 频率 20 30 80 40 30 合计 （2）解：画出频率分布直方图如下：    （3）解：根据频率分布表，得：元件寿命在以内的频率是， 估计元件寿命在以内的在总体中占的比例为. （4）解：根据频率分布表，得： 电子元件寿命在4000h以上的频率为 ， 估计电子元件寿命在4000h以上的在总体中占的比例为. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（25-26高三上·上海·阶段检测）某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（    ）人. A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】D 【详解】根据分层抽样的定义得高三年级应该抽取. 故选：D. 2．（25-26高三上·上海·期中）现有个不同的数据，其平均数为．若在这个数据中加入一个新的数据，则形成的一组新数据一定满足（    ） A．平均数变大 B．中位数不变 C．极差变小 D．方差变小 【答案】D 【详解】加入一个数据后的平均数，所以平均数不变，A错误； 中位数是中间的一个数，因不知道原始数据，所以无法判断中位数，B错误； 因为数据的最大值和最小值不变，所以极差不变，C错误； 设原来的方差为，加入一个数据后的方差为， 则，D正确. 故选：D 3．（2025·上海徐汇·一模）用简单随机抽样的方法抽取某个品种的小麦样本株，测得麦穗长度（单位：），以其整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”绘制茎叶图如图所示．用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为（   ）（结果精确到） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，抽取的株小麦的麦穗长度分别为：、、、、、、、 、、、、、，单位：， 用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为. 故选：B. 4．（25-26高三上·上海浦东新·期末）某班一次数学小测验（百分制）后，老师为了奖励同学们平时认真学习，决定给每位同学的成绩加上5分作为过程性评价奖励.加分后，与原始分数相比，不会发生改变的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．第80百分位数 D．方差 【答案】D 【详解】加分后，与原始分数相比，平均值，中位数，第80百分位数的数值都会发生改变， 但根据方差的性质，一组数据同时加上相同的数后，方差大小不变. 故选：D. 5．（25-26高三上·上海·期末）某组样本数据由8个互不相同的数组成，去掉其中的最小数和最大数后，得到一组新的样本数据，则下列选项一定成立的是（    ） A．两组样本数据的平均数相同 B．两组样本数据的极差相同 C．两组样本数据的中位数相同 D．两组样本数据的方差相同 【答案】C 【详解】对于选项A：原数据和新数据平均数不一定相同，因为去掉最小数和最大数后，总和与数据个数都变了，平均数可能改变，所以选项A错误； 对于选项 B：极差是最大值减最小值，原数据极差是最大值减最小值，新数据去掉了这两个数，新极差是次最大值减次最小值，肯定小于原极差，所以选项B错误； 对于选项 C：两组样本数据的中位数相同：排序后，8个数的中位数是第4和第5个数的平均数；去掉最小值和最大值后剩下6个数，中位数是第3和第4个数的平均数，而原第4和第5个数就是新数据中的第3和第4个数（排序后），所以中位数不变，选项C正确； 对于选项D：方差反映数据波动程度，去掉最小和最大数后数据分布改变，方差一般会改变，所以选项D错误； 故选：C. 6．（25-26高三上·上海·期末）样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的75百分位数为______． 【答案】 【详解】因，故这组数据的75百分位数为按照从小到大顺序排列后的第8个数，即为7. 故答案为：7. 7．（2026·上海普陀·二模）根据中国汽车工业协会发布的数据，年月至年月，我国新能源汽车月度销量（单位：万辆）为：，则这个月新能源汽车销量的中位数为______万辆. 【答案】 【详解】将年月至年月，我国新能源汽车月度销量按从小到大排列： 数据个数为，所以中位数是第个数，即万辆. 8．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知数据2，4，6，的方差为5，则________. 【答案】 【详解】由题可得平均数， 所以， 化简得，即，解得，（舍）. 故答案为：. 9．（25-26高三上·上海·期中）某校高三年级有400名学生，将某次考试的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示．则此次考试的数学成绩位于区间的人数约为___________． 【答案】120 【详解】因为，解得， 所以此次考试的数学成绩位于区间的人数约为． 故答案为：120． 10．（2026·上海·一模）某同学5次数学周测成绩为：80，84，84，86，86；这组数据的方差为__________. 【答案】4.8 【详解】所以这组数据的平均数为， 方差为. 11．（2026·上海杨浦·模拟预测）设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 5044664421 6606580562 6165643502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911 【答案】43 【详解】从该随机数表第1行的第6个数字6开始，由左到右依次选取两个数字， 读取的数字对依次为：64(大于59，舍去)，42(选取，第1个)，16(选取，第2个)， 60(大于59，舍去)，65(大于59，舍去)，80(大于59，舍去)，56(选取，第3个)， 26(选取，第4个)，16(重复，舍去)，56(重复，舍去)，43（选取，第5个）， 故选出来的第5个个体的编号为43． 12.在某市的三次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组．第二组，……第六组，画出频率分布直方图如图所示， (1)估计该市学生这次测试成绩的第25百分位数； (2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（回一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)从两组中按分层抽样抽取5名学生，再随机抽取3名同学进行问卷测试，问3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间的概率． 【详解】（1）因为， ， 所以第百分位数为. （2）平均值； （3）因为的频率为，的频率为， 则中抽取名学生，分别记作、， 中抽取名学生，分别记作、、， 从这5名学生，随机抽取3名同学进行问卷测试，则可能结果有：，，，，，，，，，共个； 其中3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间有，，共个， 所以3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间的概率； 13．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）每年3月是中辉中学的“数学节”，在本次数学节中高三年级举行了一次“数学文化知识竞赛”.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组，其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求的值； (2)从样本数据在两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 【详解】（1）由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知， ，解得， 又，解得. （2）由图可知的频率为0.008，上问已求的频率为0.004， 则两层应分别抽取4人和2人， 则所有的抽样为,共15个样本点， 抽到的两位同学来自相同小组的样本数为，设抽到两位同学来自不同小组的概率为， 则. （3）因为，所以， 又因为，所以， 化简得. 剔除其中的95和85两个分数，又因为95和85平均数为90， 则剩余8个分数的平均数仍为90，即. 方差：. 重难·创新演练 1．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知2018-2024年中国冰雪运动核心市场规模（单位：亿元）依次为：454.3，487.5，445.2，594.9，713.9，833.1，1083.0.对于这7个数据，则（    ） A．该组数据的极差是628.7 B．该组数据的中位数是594.9 C．该组数据的40%分位数是445.2 D．该组数据的平均数小于630 【答案】B 【详解】A，由该组数据最大数与最小数分别为与，故该组数据的极差是，故A错误； B，将该组数据从小到大排序：445.2，454.3，487.5，594.9，713.9，833.1，1083.0，故该组数据的中位数是594.9，故B正确； C，由，故该组数据的分位数是487.5，故C错误； D，该组数据的平均数为，故D错误. 2．（25-26高三下·上海黄浦·阶段检测）某校期中考试有 105 名学生参加，且成绩均相异，统计后得到学生成绩的中位数是 62分，后来发现成绩统计有误，其中53 名学生的成绩要各加上 5 分，其余学生成绩不变.则调整后学生成绩的中位数（   ）. A．一定是 62 分 B．一定是 67 分 C．一定是62 或67 分（均可能） D．不一定是 62 或 67 分 【答案】D 【详解】由中位数的意义，得中位数62分为发现统计有误前的成绩由小到大排列的第53个数， 假设加分的是原成绩排第1至53名的学生，且原成绩中第52名为61分，第54名为63分， 调整后，原第52名的成绩变为66分，原第53名变为67分，而原第54名的成绩63分不变， 排序后，新成绩序列的第53项为66分，即中位数为66分， 因此调整后学生成绩的中位数不一定是 62 或 67 分. 3．（2026·上海·模拟预测）若数据：的中位数是；数据：的平均数是． 则以下关于数据：的统计量，正确推断的序号是（） ①平均数一定是；②中位数可能是；③方差一定不是． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】对于数据，中位数为：三个数排序后中间项为中位数，可得， 对于数据，平均数为：，得，因此，结合得， ①平均数一定是：五个数的总和为：， 平均数，①正确； ②中位数可能是：五个数从小到大排序，结合和， 可知这五个数从小到大排序为， 中位数是第三个数，当时，，排序为，中位数为， 符合条件，因此中位数可能是，②正确； ③方差一定不是，方差公式：， 代入化简得：，，令，函数对称轴为， 又该函数开口向上，故该函数在区间单调递减， 得，而，不在方差取值范围内，因此方差一定不是，③正确. 4．（25-26高三下·上海·阶段检测）若数据的均值和标准差分别为和，则___________． 【答案】 【详解】由均值的计算公式，可得数据的均值为， 标准差为， 所以. 5．（2026·上海黄浦·二模）如图是某班级30名学生某次数学测验的得分茎叶图（茎为十位，叶为个位），则这些测验分数的第80百分位数是______． 【答案】76 【详解】因为，可知第80百分位数是第24位数与25位数的平均数 由茎叶图可知数据的第24位数与25位数分别为75，77， 所以第80百分位数是. 6．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量(单位：克)与药物功效 (单位：药物单位)之间具有关系．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为__________. 【答案】18 【详解】设该药品一个批次的6个样本分别为， 因为这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为克， 所以，方差， 所以，即 所以 则这批中医药的药物功效的平均值 故答案为： 7．（2026·上海徐汇·二模）已知实数满足，则的方差的最大值为__________. 【答案】 【详解】设分别对应，（）. 则， 所以的方差为： ， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且. 所以当或时，该组数据的方差相等，且取得最大值，为. 所以该组数据方差的最大值为：. 8．（2026·上海·三模）某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50、、55、45、，已知本次研学活动的总人数为250，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是___________ 【答案】54 【详解】由题意得，则，不妨设，则， 当时，，此时从小到大的排列顺序为，45，50，55，， 而，故第40百分位数为，不满足题意； 当时，，此时从小到大的排列顺序为45，，50，，55， 而，故第40百分位数为，则，于是， 而，可知第70百分位数是，即第70百分位数的最大值是54. 9．（25-26高三上·上海·阶段检测）某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值以及自习时间在[100，150]内的学生人数； (2)从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可知：，解得， 一个学期自习时间在内的学生人数为； （2）一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这4人分别记为A，B，C，D， 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这2人分别记为a，b， 再从这6名学生中随机抽取2名学生的样本空间为： ，共有15个样本点， 其中恰有1名一个学期自习时间落在内的样本点，共8个样本点， 所以抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 10．（2025·上海金山·一模）核桃有很多品种．小何购买了其中4种品类的核桃：类核桃100个，类核桃120个，类核桃80个和类核桃200个． (1)小何决定采用分层抽样的方法，从所有核桃中抽出25个核桃，请问应抽取类核桃多少个？ (2)小何以随机抽样的方式，从类核桃中抽取20个进行克重测量，以下是这些核桃的克重数据：（单位：克） 14.4 14.7 15.2 16.3 17.3 17.6 17.9 18.2 19.0 19.3 19.8 20.1 20.2 20.4 20.7 20.9 21.3 21.7 22.4 22.6 ①从该20个核桃中任取2个，则所取2个核桃的克重均大于20克的概率为多少？ ②记为该20个核桃的平均克重，为该20个核桃克重的标准差，则该20个核桃中有多少个核桃的克重位于与之间？ 【详解】（1）个 则应抽取类核桃4个. （2）①因为克重大于20克的核桃共9个， 则所取2个核桃的克重均大于20克的概率为. ②， 则标准差， ， . 对照表格可知则该20个核桃中有13个核桃的克重位于与之间. 11．（2025·上海奉贤·一模）A校高一年级共有学生462名，其中女生224名．为了解该校高一年级学生的身高和体重情况，按分层随机抽样从中获取66名学生的身高（cm）和体重（kg），其中66名学生的身高（从低到高排序三列，每列22人）汇总如左下表（隐蔽部分信息数据），身高的频率分布表如右下表（隐蔽了部分信息数据），66名学生体重绘制茎叶图如右下图． A校66名高一年级学生身高数据 性别 身高/cm 性别 身高/cm 性别 身高/cm 女 152 女 164 男 172 女 153 男 165 男 172 女 154 女 172 女 155 男 173 女 156 男 173 女 156 男 174 女 156 男 174 女 157 男 174 女 157 男 174 女 159 男 175 女 159 男 176 女 160 男 176 女 160 男 177 女 160 男 177 女 160 男 178 女 161 男 178 女 162 男 178 女 163 男 170 男 178 女 163 男 170 男 179 女 164 男 170 男 181 女 164 男 170 男 182 女 164 男 170 男 184 A校66名高一年级学生身高的频率分布表 身高分组区间 频数 频率 累积频数 [151.5,154.5) 3 0.05 3 [154.5,157.5) 0.09 9 [157.5,160.5) 0.09 15 [160.5,163.5) 19 [163.5,166.5) 31 [166.5,169.5) 39 [169.5,172.5) 47 [172.5,175.5) 54 [175.5,178.5) 8 0.12 62 [178.5,181.5) 2 0.03 64 [181.5,184.5] 2 0.03 66    (1)能否推算出身高165cm的具体人数？ (2)求抽取的男生人数、抽取到的男生体重的中位数； (3)已知这66名学生中男生身高平均数为173.1cm，方差为25.9；女生身高平均数为161.3cm，方差为23.3．请计算该样本数据在区间中包含样本数据的个数． （其中是样本平均数，是样本标准差） 【详解】(1)不能，理由如下： 由身高的频率分布表可得，身高位于的人数为人， 由身高数据表格可得身高的有人，则身高为、的共人， 故不能得到身高的具体人数； （2）由茎叶图可得抽取的男生人数为人， 抽取到的男生体重的中位数为； （3）， ， 则， 则，， 则由身高数据表格可得位于区间的人数为人. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27讲 统计 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 总体、个体、样本 知识点2 抽样方法 知识点3 统计图表 知识点4 用样本估计总体 题型破译 (含超链接） 题型1 分层抽样计算（填空必考） 题型2 茎叶图数据分析与对比 题型3 频率分布直方图综合计算（大题第一问常考） 题型4 平均数、方差变换秒杀题 题型5 数字特征大小辨析（选择题高频） 题型6 统计大题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 随机抽样 春考第17题 / 春考第19题 用样本估计总体 秋考第17题 秋考第17题 春考第19题 秋考第19题 考情分析 1. 命题情境：紧贴生活化、实际应用场景，常见校园调研、医疗体检、环境监测、通勤数据分析、产品质量检测等，文字阅读量小幅提升，重点考查数据提取能力与基础数学建模思维。 2. 核心考查侧重 ① 抽样方法：分层随机抽样成为绝对主流考点，简单随机抽样仅作为辨析题型考查； ② 统计图表：频率分布直方图、茎叶图为两大核心必考载体，偶尔搭配扇形图、折线图组合考查； ③ 数字特征：平均数、中位数、方差为必考点，百分位数考查常态化，成为新增高频考点； ④ 解题逻辑固定：抽取样本→整理统计图表→计算样本数字特征→用样本估计总体，设问逻辑连贯，套路性极强。 3. 难度定位：整体中档偏易，无复杂计算、无复杂逻辑陷阱，失分核心原因集中在读图粗心、公式记忆错误、大题步骤书写不规范。 复习目标 基础目标（全员必达标） 1. 精准区分总体、个体、样本、样本容量四大核心概念，无概念混淆； 2. 熟练辨析简单随机抽样、分层随机抽样的适用场景，精准完成分层抽样每层抽取数量计算； 3. 熟练读懂茎叶图、频率分布直方图、扇形图、折线图，快速提取频数、频率、区间范围等核心数据； 4. 熟记众数、中位数、平均数、方差、标准差、百分位数的定义与计算公式，基础运算零失误； 5. 理解方差、标准差的统计意义：数值越大，数据波动越大、离散程度越高、数据稳定性越差。 进阶目标（冲刺120+必掌握） 1. 掌握频率分布直方图中众数、中位数、平均数的快速估算技巧； 2. 熟练解决已知平均数、方差反求样本参数、补全缺失数据的逆向题型； 3. 掌握数据平移、伸缩变换后，平均数、方差的变化规律，实现小题秒杀； 4. 规范统计结论的专业表述，掌握用样本推断总体的严谨答题话术； 5. 夯实统计数据处理基础，衔接后续线性回归、独立性检验综合题型。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 总体、个体、样本 调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量. 自主检测 1．（2026·上海金山·二模）为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（   ） A．该校所有学生 B．该校所有学生的每天平均体育运动时间 C．所调查的100名学生 D．所调查的100名学生的每天平均体育运动时间 知识点2 抽样方法 1. 简单随机抽样 适用条件：总体个体数量较少、总体分布均匀、无明显分层差异。 常用方式：抽签法、随机数表法。 核心特点：逐个抽取、不放回抽取、总体中每个个体被抽取的概率均等。 2. 分层随机抽样（上海高考最高频） 适用条件：总体由若干差异明显的部分（层）构成，常见分层依据：性别、年级、年龄、产品批次、区域等。 核心核心公式： 抽样比 每层抽取个体数量 = 该层总体数量 × 抽样比 拓展结论：分层抽样可通过各层均值、方差，加权计算整体样本的平均数与方差。 抽样方法辨析口诀 总体均匀数量少，选用简单随机抽样； 总体分层差异大，必用分层随机抽样。 自主检测 2．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②．完成①②这两项调查采用的抽样方法依次是________． 知识点3 统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等. 1. 茎叶图 核心优势：完整保留原始样本数据，无数据丢失，便于精准计算中位数、平均数、方差，适合两组数据对比分析。 读图核心要点：茎代表高位（十位、百位），叶代表低位（个位），可通过左右双侧茎叶图直观对比两组数据的集中程度与波动情况。 2. 频率分布直方图（重中之重） 核心规则（必考易错点）： ① 矩形面积 = 对应区间频率，所有矩形面积之和恒等于1； ② 纵坐标为 ，纵坐标绝对不等于频率； ③ 频率 = ，频数 = 样本总量 × 频率。 快速估算公式： 众数：最高矩形底边中点的横坐标； 中位数：累计频率恰好为0.5对应的横坐标（左右面积各占0.5）； 平均数：每组区间中点值 × 本组频率，累加求和。 3. 扇形统计图 核心功能：直观展示各部分占总体的比例关系。 核心公式：扇形圆心角 = 360° × 对应部分频率（占比）。 4. 折线统计图 核心功能：侧重展示数据随时间、变量变化的增减趋势与变化快慢，多用于判断数据相关性、增长规律。 自主检测 3．某校统计一组学生的单日志愿者服务时长（单位：分钟），如下是根据统计数据绘制的茎叶图，以时长的十位数字为“茎”排列在左侧、以时长的个位数字为“叶”排列在右侧： 该组学生单日志愿者服务时长的中位数为_________分钟． 知识点4 用样本估计总体 1.百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. 标准计算步骤： ① 将样本数据从小到大排序； ② 计算位次 （n为样本容量，p%为所求百分位）； ③ 若i为整数：百分位数为第i项与第i+1项数据的平均值； ④ 若i为非整数：对i向上取整，对应位置的数据即为百分位数。 2.平均数、中位数和众数 (1)平均数：(x1＋x2＋…＋xn). 加权平均数：（为对应数据频率） (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时). 计算步骤：先将数据从小到大排序； 样本容量n为奇数：取中间位置单个数据； 样本容量n为偶数：取中间两个数据的平均值； 直方图中位数：累计频率达到0.5对应的区间数值。 (3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据). 3.方差和标准差 (1)方差：s2＝(xi－)2或. (2)标准差：s＝. 统计意义：方差、标准差越小，数据越集中、波动越小、稳定性越强；数值越大，数据越分散、波动越大。 4.总体方差和总体标准差 (1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2＝(Yi－)2. (2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝fi(Yi－)2. 5. 数据变换秒杀规律（填空高频考点） 若原始数据均值为，方差为，新数据满足 （a、b为常数），则： 新平均数： 新方差： 核心结论：均值随数据平移、伸缩同步变化；方差仅受伸缩系数影响，常数平移不改变方差。 自主检测 4．某同学坚持跑步锻炼身体，他记录了10周的跑量，将跑量数据（单位：千米）按从小到大排序如下：，则这组数据的第40百分位数为________． 题●型●破●译 题型1 分层抽样计算（填空必考） 例1（2025·上海闵行·一模）某公司有200名员工，其中有一般人员120人，管理人员32人，专业技术人员48人，现用分层抽样的方法抽取25人，以调查大家对职业培训的意愿，则应抽取的专业技术人员的人数是________ 方法技巧 通用解题步骤 1. 精准提取题干中总体总量、各层数量、样本容量； 2. 统一计算全局抽样比例； 3. 各层数量 × 抽样比，得出每层抽取样本数； 解题技巧 抽样比例全程恒定，可直接列比例等式快速求解未知参数，无需分步计算，节省答题时间。 易错分析 样本容量为纯数值，无单位，答题时切勿添加单位，避免细节失分。 【变式训练1-1】第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 【变式训练1-2】（25-26高三上·上海宝山·阶段检测）一支田径队有男运动员60人，女运动员48人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为27的样本，则抽取女运动员的人数为______ 【变式训练1-3】（2025·上海浦东新·三模）浦东某学校有学生2000人，为了加强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只能参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表所示： 高一年级 高二年级 高三年级 跑步人数（单位：人） a b c 登山人数（单位：人） x y z 其中，参加登山的人数占总人数的.为了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取__________人. 题型2 茎叶图数据分析与对比 例2（24-25高三上·上海松江·期中）某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（   ）. A．讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分 B．讲座前的答卷得分分布较讲座后分散 C．讲座前答卷得分的中位数是70 D．讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差 方法技巧 1. 对比平均水平：通过中位数、整体数据分布位置判断，中位数越大，整体平均水平越高； 2. 对比稳定程度：数据集中在茎叶中部、无极端值，方差更小、数据更稳定；数据分散、存在极端值，方差更大、波动更强； 【变式训练2-1】在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（    ） A．甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定 B．甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 C．甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定 D．乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定 【变式训练2-2】某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图.设成绩在88分以上（含88分）的学生为优秀学生，现从甲、乙两班的优秀学生中各取1人，记甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩记为事件，则事件发生的概率___________. 【变式训练2-3】为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示. (1)若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值； (2)将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”.设，从20名学生中随机抽取一人，已知该生为阅读达人，求该生为甲组学生的概率； (3)记甲组阅读量的方差为.在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为，试比较，，的大小.（结论不要求证明） 题型3 频率分布直方图综合计算（大题第一问常考） 例3（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在考核成绩为，，，的四组学生中，用分层抽样的方法抽取17人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差，（结果精确到0.1）. 方法技巧 1. 明确题干组距，区分纵坐标与频率； 2. 计算各组频率、频数，补全图表缺失数据； 3. 代入公式估算平均数、中位数、众数； 4. 结合数据计算方差，分析数据特征； 易错分析 严禁直接将直方图纵坐标当作频率计算，此为上海高考最高频易错点。 【变式训练3-1】（2025·上海徐汇·一模）某校高三年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中随机抽取份作为样本进行统计，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：、、、得到如图所示的频率分布直方图． (1)求实数的值；若年级准备选取分及以上的学生进入下一轮竞赛，已知该校高三年级有名学生，估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数； (2)王老师抽取了名参加竞赛的学生，他们的分数为：、、、、．已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和这个分数，求剩余个分数的平均数与方差． 【变式训练3-2】（2025·上海杨浦·一模）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? (3)若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 【变式训练3-3】（25-26高三上·上海嘉定·期中）某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： (1)求的值； (2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率； (3)学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：，已知这10个成绩的平均数，标准差，若剔除其中的98和86两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差. 题型4 平均数、方差变换秒杀题 例4（24-25高三上·上海浦东新·期末）对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 方法技巧 均值随加减乘除同步变，方差只乘系数平方，常数平移不改变方差。 【变式训练4-1】现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为_______ 【变式训练4-2】已知数据，，，，的方差是4，则，，，，的方差为________． 【变式训练4-3】（2025·上海闵行·二模）已知数据的平均数为2，方差为5，则的平均数为______． 题型5 数字特征大小辨析（选择题高频） 例5-1如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（    ）    A．众数平均数中位数 B．众数中位数平均数 C．众数平均数中位数 D．中位数平均数众数 例5-2某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 例5-3已知互不相等的数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 方法技巧 1. 右偏分布（右侧长尾、存在极大极端值）：平均数 > 中位数 > 众数； 2. 左偏分布（左侧长尾、存在极小极端值）：平均数 < 中位数 < 众数； 3. 所有数据同时加同一个常数：均值改变，方差、标准差不变； 4. 所有数据同时乘同一个正数：均值、标准差同步缩放，方差缩放平方倍。 【变式训练5-1】给定一组数据，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】（25-26高三上·上海闵行·期末）某单位有A、B两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图所示.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为、，方差分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练5-3】某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型6 统计大题 例6-1（24-25高三上·上海·阶段检测）某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了名学生的成绩作为样本，将所得数据经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题： (1)求频率分布直方图中和的值，并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩； (2)规定大赛成绩在的学生为厨霸，在的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取2人中至少有1人是厨神的概率. 例6-2（24-25高三上·上海·期中）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，，第六组，得到如图所示的频率分布直方图.其中第一组有2人，第二组有13人.求与的值. 方法技巧 第一步：明确题干总体、样本、抽样方式，梳理已知条件； 第二步：读取统计图表数据，列式计算频数、频率； 第三步：代入公式规范计算平均数、中位数、方差等核心数字特征； 第四步：文字总结结论：由样本数据特征，可估计总体的平均水平、波动情况。 【变式训练6-1】（25-26高三上·上海·期中）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图. (1)求分数在的频率及全班人数； (2)求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率. 【变式训练6-2】（25-26高三上·上海·期中）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间小于70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，第六组，得到如图所示的频率分布直方图．其中第一组有2人，第二组有13人．求、、的值． 【变式训练6-3】（2025·上海虹口·一模）班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长(单位：小时)，在某一学期每周对全班名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示.       (1)求该班男生每周平均手机使用时长的第百分位数； (2)小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于小时的学生中任选人在班会课上做经验分享．设事件表示 “人中至多名男生”，事件表示 “人中恰有名学生的每周平均手机使用时长位于区间”．试判断事件和事件是否独立，并说明理由； (3)小明老师发现本班有位学生的每周平均手机使用时长超过小时，这位学生的数据平均数为小时．当去掉这位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为小时，且这位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列．那么这位学生每周平均手机使用时长的方差是否超过？请说明理由． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 2．（2026·上海·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 (1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ (2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？ (3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 3．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：         时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 4．（2025·上海·高考真题）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．    (1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； (2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； (3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 5．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 6．（2026·上海·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下： 颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论） (3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？ 参考数据： 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．某高校后勤处想调查学生对学校食堂新设水果窗口的意见．已知男、女生对新设水果窗口的意见可能有较大差异，该校有男生4000人，女生3000人．现需要从全校学生中抽取490名进行调查，则应该从男、女生中各抽取多少人比较合理？ 2．一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层随机抽样的方法从两个班中抽取一部分人参加方队表演，则一班和二班被抽取的人数分别是多少？ 3．200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组．其中参加文学类的有33人，参加理化类的有30人，参加数学类的有62人，参加社会科学类的有47人，参加信息类的有28人． (1)列出学生参加各类课题组的频率分布表并作出相应的扇形统计图； (2)画出条形统计图． 分组 频数 频率 文学类 理化类 数学类 社会科学类 信息类 扇形统计图如图（1） 4．为了评估某校的教学水平，将抽取这个学校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察．为了全面反映实际情况，采取以下两种抽样方式（已知该校高三年级共有10个教学班400名学生，并且每个班的学生都已经按随机方式编好了学号，假定每班人数都相同）： 方式1：从全年级10个班中任意抽取一个班，考察他们的成绩； 方式2：把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别（若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有60名，良好学生有180名，普通学生有160名），从中按比例抽取40名学生进行考察． 根据上面的叙述，试回答下列问题： (1)上面两种抽样方式各自采用何种抽取样本的方法？ (2)分别写出上面两种抽样方式各自抽取样本的步骤． 5．下面是2003年4月21日至5月15日上午10时，北京市非典型性肺炎疫情新增数据走势图．    (1)哪一天新增确诊的人数最多？哪一天新增疑似的人数最多？ (2)哪一天新增治愈的人数最多？哪一天新增死亡的人数最少？ (3)从图中，你能预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势吗？ 6．对某种电子元件进行寿命追踪调查，情况如下表： 寿命/h 1000~2000 2000~3000 3000~4000 4000~5000 5000~6000 个数 20 30 80 40 30 (1)列出频率分布表； (2)画出频率直方图和折线图； (3)估计该电子元件的寿命在1000~4000h内的百分比； (4)估计该电子元件的寿命在4000h以上的百分比． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（25-26高三上·上海·阶段检测）某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（    ）人. A．16 B．18 C．20 D．24 2．（25-26高三上·上海·期中）现有个不同的数据，其平均数为．若在这个数据中加入一个新的数据，则形成的一组新数据一定满足（    ） A．平均数变大 B．中位数不变 C．极差变小 D．方差变小 3．（2025·上海徐汇·一模）用简单随机抽样的方法抽取某个品种的小麦样本株，测得麦穗长度（单位：），以其整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”绘制茎叶图如图所示．用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为（   ）（结果精确到） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海浦东新·期末）某班一次数学小测验（百分制）后，老师为了奖励同学们平时认真学习，决定给每位同学的成绩加上5分作为过程性评价奖励.加分后，与原始分数相比，不会发生改变的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．第80百分位数 D．方差 5．（25-26高三上·上海·期末）某组样本数据由8个互不相同的数组成，去掉其中的最小数和最大数后，得到一组新的样本数据，则下列选项一定成立的是（    ） A．两组样本数据的平均数相同 B．两组样本数据的极差相同 C．两组样本数据的中位数相同 D．两组样本数据的方差相同 6．（25-26高三上·上海·期末）样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的75百分位数为______． 7．（2026·上海普陀·二模）根据中国汽车工业协会发布的数据，年月至年月，我国新能源汽车月度销量（单位：万辆）为：，则这个月新能源汽车销量的中位数为______万辆. 8．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知数据2，4，6，的方差为5，则________. 9．（25-26高三上·上海·期中）某校高三年级有400名学生，将某次考试的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示．则此次考试的数学成绩位于区间的人数约为___________． 10．（2026·上海·一模）某同学5次数学周测成绩为：80，84，84，86，86；这组数据的方差为__________. 11．（2026·上海杨浦·模拟预测）设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 5044664421 6606580562 6165643502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911 12.在某市的三次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组．第二组，……第六组，画出频率分布直方图如图所示， (1)估计该市学生这次测试成绩的第25百分位数； (2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（回一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)从两组中按分层抽样抽取5名学生，再随机抽取3名同学进行问卷测试，问3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间的概率． 13．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）每年3月是中辉中学的“数学节”，在本次数学节中高三年级举行了一次“数学文化知识竞赛”.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组，其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求的值； (2)从样本数据在两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 重难·创新演练 1．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知2018-2024年中国冰雪运动核心市场规模（单位：亿元）依次为：454.3，487.5，445.2，594.9，713.9，833.1，1083.0.对于这7个数据，则（    ） A．该组数据的极差是628.7 B．该组数据的中位数是594.9 C．该组数据的40%分位数是445.2 D．该组数据的平均数小于630 2．（25-26高三下·上海黄浦·阶段检测）某校期中考试有 105 名学生参加，且成绩均相异，统计后得到学生成绩的中位数是 62分，后来发现成绩统计有误，其中53 名学生的成绩要各加上 5 分，其余学生成绩不变.则调整后学生成绩的中位数（   ）. A．一定是 62 分 B．一定是 67 分 C．一定是62 或67 分（均可能） D．不一定是 62 或 67 分 3．（2026·上海·模拟预测）若数据：的中位数是；数据：的平均数是． 则以下关于数据：的统计量，正确推断的序号是（） ①平均数一定是；②中位数可能是；③方差一定不是． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（25-26高三下·上海·阶段检测）若数据的均值和标准差分别为和，则___________． 5．（2026·上海黄浦·二模）如图是某班级30名学生某次数学测验的得分茎叶图（茎为十位，叶为个位），则这些测验分数的第80百分位数是______． 6．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量(单位：克)与药物功效 (单位：药物单位)之间具有关系．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为__________. 7．（2026·上海徐汇·二模）已知实数满足，则的方差的最大值为__________. 8．（2026·上海·三模）某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50、、55、45、，已知本次研学活动的总人数为250，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是___________ 9．（25-26高三上·上海·阶段检测）某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值以及自习时间在[100，150]内的学生人数； (2)从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 10．（2025·上海金山·一模）核桃有很多品种．小何购买了其中4种品类的核桃：类核桃100个，类核桃120个，类核桃80个和类核桃200个． (1)小何决定采用分层抽样的方法，从所有核桃中抽出25个核桃，请问应抽取类核桃多少个？ (2)小何以随机抽样的方式，从类核桃中抽取20个进行克重测量，以下是这些核桃的克重数据：（单位：克） 14.4 14.7 15.2 16.3 17.3 17.6 17.9 18.2 19.0 19.3 19.8 20.1 20.2 20.4 20.7 20.9 21.3 21.7 22.4 22.6 ①从该20个核桃中任取2个，则所取2个核桃的克重均大于20克的概率为多少？ ②记为该20个核桃的平均克重，为该20个核桃克重的标准差，则该20个核桃中有多少个核桃的克重位于与之间？ 11．（2025·上海奉贤·一模）A校高一年级共有学生462名，其中女生224名．为了解该校高一年级学生的身高和体重情况，按分层随机抽样从中获取66名学生的身高（cm）和体重（kg），其中66名学生的身高（从低到高排序三列，每列22人）汇总如左下表（隐蔽部分信息数据），身高的频率分布表如右下表（隐蔽了部分信息数据），66名学生体重绘制茎叶图如右下图． A校66名高一年级学生身高数据 性别 身高/cm 性别 身高/cm 性别 身高/cm 女 152 女 164 男 172 女 153 男 165 男 172 女 154 女 172 女 155 男 173 女 156 男 173 女 156 男 174 女 156 男 174 女 157 男 174 女 157 男 174 女 159 男 175 女 159 男 176 女 160 男 176 女 160 男 177 女 160 男 177 女 160 男 178 女 161 男 178 女 162 男 178 女 163 男 170 男 178 女 163 男 170 男 179 女 164 男 170 男 181 女 164 男 170 男 182 女 164 男 170 男 184 A校66名高一年级学生身高的频率分布表 身高分组区间 频数 频率 累积频数 [151.5,154.5) 3 0.05 3 [154.5,157.5) 0.09 9 [157.5,160.5) 0.09 15 [160.5,163.5) 19 [163.5,166.5) 31 [166.5,169.5) 39 [169.5,172.5) 47 [172.5,175.5) 54 [175.5,178.5) 8 0.12 62 [178.5,181.5) 2 0.03 64 [181.5,184.5] 2 0.03 66    (1)能否推算出身高165cm的具体人数？ (2)求抽取的男生人数、抽取到的男生体重的中位数； (3)已知这66名学生中男生身高平均数为173.1cm，方差为25.9；女生身高平均数为161.3cm，方差为23.3．请计算该样本数据在区间中包含样本数据的个数． （其中是样本平均数，是样本标准差） 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $