第一章 反比例函数重难点检测卷 -2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学反比例函数单元复习讲义通过分层题目系统构建知识体系，涵盖定义、图像性质、解析式求解、与几何及实际问题结合等核心内容，以选择、填空、解答题递进呈现知识脉络，突出k的几何意义、图像象限分布、实际应用等重难点，体现知识点内在联系。 讲义亮点在于“问题情境化”练习设计，如第26题药物消毒含药量与时间的关系，培养模型意识和应用意识，第28题整点问题发展创新意识。基础题如第2题求k值夯实运算能力，综合题如第23题面积计算强化推理意识，帮助不同层次学生提升。提供全面检测，支持学生自主复习，助力教师精准教学。

第一章 反比例函数重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：反比例函数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·河南南阳·期中）三角形的面积为，这时底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（   ） A． B．C． D． 2．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）在反比例函数 中，当时，，则k的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知反比例函数的图像在第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东烟台·章节测试）已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 5．（25-26九年级上·河南周口·章节测试）反比例函数， 点 在该函数图象上，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 7．（25-26九年级上·山东泰安·章节测试）如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·福建泉州·章节测试）某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（     ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 9．（2026九年级上 浙江温州·章节测试）已知反比例函数的图象经过点，，且，则下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当， C．当时， D．当时， 10．（2023九年级上·贵州黔西南·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作y轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（2026九年级上 辽宁阜新·章节测试）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，，则_______． 12．（25-26九年级上·上海普陀·章节测试）如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 13．（23-24九年级上·吉林长春·阶段检测）正比例函数（）与反比例函数（）的一个交点为，则另一个交点坐标为________． 14．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤中，y随x的增大而减小的有________个． 15．（25-26九年级上·北京·章节测试）已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是________（写出一种可能的情况即可）． 16．（23-24九年级上·重庆开州·开学考试）如图，矩形的边、分别在、轴上，函数的图象经过边的中点，交于点，若四边形的面积为，则的值为______． 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． 18．（2023九年级上 山东济南·章节测试）如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝__． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求这个函数的表达式； (2)求当时，的值； (3)当取何值时，？ 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）画反比例函数的图象． (1)列表（请填空）； x 1 2 3 4 y (2)描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）； (3)点在的图象上吗？为什么？ 21．（23-24九年级上·吉林长春·阶段检测）反比例函数的图象的一分支如图所示． (1)求m的取值范围． (2)若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求的值． 22．（24-25九年级上·贵州毕节·章节测试）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是1． (1)求反比例函数的表达式； (2)请根据图象直接写出当时，的取值范围； (3)点，，都在反比例函数的图象上，请直接比较，，的大小． 23．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，A是反比例函数图象上一点，轴于点C，且与反比例函数的图象交于点，连接．若的面积为6，求的值． 24．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象直接写出不等式的解集． 25．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点．连接，若． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)直接写出不等式组的解集； (3)已知是轴上一点，若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 26．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）为了预防“甲型”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？ (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？ (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 27．（2023九年级上 湖北·章节测试）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，过点B作轴于点C，点是该反比例函数图象上的一点，且， (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出不等式：的解集． 28．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值； (2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为含边界， 当时，区域的整点个数为______ ； 当区域的整点个数为时，点横坐标满足，直接写出纵坐标的取值范围：______ ； 直线过一个定点，若点为此定点， 问题：______ ，______ ； 问题：这条直线将分成两部分，直线上方不包含直线的区域记为，直线下方不包含直线的区域记为，当1的整点个数之差不超过时，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 反比例函数重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：反比例函数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·河南南阳·期中）三角形的面积为，这时底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（   ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】先根据面积公式推导出函数关系式，再结合边长和高都是正数确定函数图像所在的象限． 【详解】解：根据题意可知，，即， 可知函数图像为位于第一象限的反比例函数． 2．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）在反比例函数 中，当时，，则k的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据反比例函数的定义求参数，解一元一次方程（三）——去分母，解题关键是掌握反比例函数的定义并能运用求解． 将给定的x和y值代入反比例函数解析式，得到关于k的一元一次方程求解． 【详解】解：∵当时，， ∴代入，得：， 两边同时乘以，得：， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知反比例函数的图像在第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键； 根据反比例函数，时，反比例函数图象在一、三象限；反比例函数图象在第二、四象限内，直接解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得，． 故选：C． 4．（25-26九年级上·山东烟台·章节测试）已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【答案】D 【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据k的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解． 【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为y，正确，不符合题意； B、∵反比例函数的解析式为， ∴当时，y， ∴点在反比例函数图象上，正确，不符合题意； C、∵反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意； D、∵反比例函数的解析式为y， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，原说法错误，符合题意． 5．（25-26九年级上·河南周口·章节测试）反比例函数， 点 在该函数图象上，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用反比例函数的性质比较函数值大小，当时，反比例函数图象在第二、四象限，每个象限内随的增大而增大，先判断各点所在象限，再比较大小． 【详解】解：∵反比例函数为 ，且 ， ∴函数图象位于第二、第四象限，在每个象限内，随的增大而增大． ∵点 ，的横坐标都小于， ∴ 都在第二象限， 又∵ ， ∴， ∵点 的横坐标， ∴在第四象限， ∴， 综上可得：． 6．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明四边形和四边形是矩形，且，，，则，据此即可求出答案． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵轴且交轴于点， ∴， ∴四边形和四边形是矩形，且， ∵矩形的顶点A，矩形的顶点B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 7．（25-26九年级上·山东泰安·章节测试）如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由点的坐标为可得，由点，在格点上可得，解得，． 8．（25-26九年级上·福建泉州·章节测试）某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（     ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 【答案】C 【分析】设反比例函数表达式为，表示出甲、乙、丙、丁，过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，然后结合图象判断即可． 【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴设反比例函数表达式为， 则甲、乙、丙、丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示： 由图可知， ∴甲、、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知合格人数， ∴，即甲、丁两个班级合格人数相同； ，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少； ，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多； 综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数， ∴这四个班合格人数最多的是丙． 9．（2026九年级上 浙江温州·章节测试）已知反比例函数的图象经过点，，且，则下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题先利用反比例函数图象上点的坐标特征，将，用表示，再结合得到 ，分别计算和的符号，结合的取值范围判断选项正误． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，，即，， 又∵， ∴ ， ∴， ∴，， 分情况讨论： 当时，，， ∴ ，得 ， ，故A正确，C错误； 当时，，， ∴ ，得 ， ，故B，D错误． 10．（2023九年级上·贵州黔西南·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作y轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用反比例函数的几何意义表示三角形面积，结合图形面积的和差关系进行判断． 【详解】解：∵点在反比例函数上，轴， ∴， ∵点、在反比例函数上，轴，轴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， A、，题目条件无法得出，故本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，由题意得，故本选项不符合题意； D、，因为，则，故本选项不符合题意． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（2026九年级上 辽宁阜新·章节测试）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，，则_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义求出，再根据的长求出点的坐标，进而得到的长，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：轴，， ∴， 反比例函数解析式为， ∵， ， 轴，， 点的纵坐标为4， 当时，， 解得， 点的坐标为，点的坐标为， ， ． 12．（25-26九年级上·上海普陀·章节测试）如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知的面积等于，结合图像所在象限确定的符号，即可求出函数表达式． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， 在中，， 解得， 由图像可知，反比例函数图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故这个反比例函数的表达式为． 13．（23-24九年级上·吉林长春·阶段检测）正比例函数（）与反比例函数（）的一个交点为，则另一个交点坐标为________． 【答案】 【分析】正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，因此两个函数的交点也关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标规律即可求出另一个交点坐标． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 14．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤中，y随x的增大而减小的有________个． 【答案】3 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质，可以得到哪个函数的y随着x的增大而减小，从而可以解答本题． 【详解】解：①在中，一次项系数， ∴y随x的增大而减小，故①符合题意； ②在中，反比例函数系数， ∴y随着x的增大而增大，故②不符合题意； ③在中，一次项系数， ∴y随着x的增大而增大，故③不符合题意； ④在中，变形得函数，反比例函数系数， ∴y随着x的增大而减小，故④符合题意； ⑤在中，反比例函数系数， 当时，y随着x的增大而减小，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①④⑤，共有3个． 15．（25-26九年级上·北京·章节测试）已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是________（写出一种可能的情况即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据反比例函数性质，结合已知条件判断的取值范围，在范围内取值计算即可得到符合条件的点坐标． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二，四象限，且在每个象限内随的增大而增大． ∵点，， ∴． 若，在同一象限，则可得，与已知矛盾， 因此，分别在两个不同象限． 因此可得， 解得． 在中任取一个值，如取， 将代入，得， 所以点的坐标可以是． 16．（23-24九年级上·重庆开州·开学考试）如图，矩形的边、分别在、轴上，函数的图象经过边的中点，交于点，若四边形的面积为，则的值为______． 【答案】8 【分析】根据矩形的性质与三角形中线的性质解得，再根据四边形的面积为求出，直接根据反比例函数“”的几何意义求解即可． 【详解】解：连接、，如图所示： 四边形是矩形， ，， 、在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵图象在第一象限，即， ． 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数和一次函数的性质可得，，即，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 18．（2023九年级上 山东济南·章节测试）如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝__． 【答案】-2 【分析】首先由题意可得点A和点B关于原点对称，再根据三角形全等可得，最后根据k的几何意义可得答案． 【详解】解：∵点A、B是反比例函数与正比例函数的交点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴OA＝OB， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∵， ∴， ∵反比例函数图像位于第二象限， ∴k＝-2． 故答案为：-2． 【点睛】 本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数的性质和解析式与面积的关系是解题的关键． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求这个函数的表达式； (2)求当时，的值； (3)当取何值时，？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式计算即可； （3）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式解方程即可． 【详解】（1）解：是的反比例函数， 设， 当时，， ，解得， 则这个函数的表达式为； （2）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，； （3）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解， 当时，． 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）画反比例函数的图象． (1)列表（请填空）； x 1 2 3 4 y (2)描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）； (3)点在的图象上吗？为什么？ 【答案】(1)依次填入：，，，，6，3，2， (2)反比例函数图象如图所示： (3)点在的图象上，理由如下： 当时，， 所以点在的图象上． 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量的值，即可求对应的函数值； （2）由（1）中表格信息，在平面直角坐标系中描点，再用平滑的曲线连接，绘制即可； （3）将代入解析式，根据函数值与点的纵坐标的关系，即可解答． 【详解】（1）解：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 故表格中依次填入：，，，，6，3，2，． （2）略 （3）略 21．（23-24九年级上·吉林长春·阶段检测）反比例函数的图象的一分支如图所示． (1)求m的取值范围． (2)若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求的值． 【答案】(1) (2)52 【分析】（1）由反比例函数的图象的一分支在第一象限，得比例系数一定大于0，即可求得m的范围； （2）首先，把点A代入中得n的值，再将点A代入得m的值，最后，代入可求得的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象的一分支在第一象限， ∴， 解得； （2）解：根据题意，把点代入，得； ∴点， 把点代入，得， 解得， ∴． 22．（24-25九年级上·贵州毕节·章节测试）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是1． (1)求反比例函数的表达式； (2)请根据图象直接写出当时，的取值范围； (3)点，，都在反比例函数的图象上，请直接比较，，的大小． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等． （1）根据待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得； （3）根据反比例函数的增减性判断即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， ∴交点坐标为， 把代入，得， ∴， ∴； （2）解：联立方程组， 解得或， ∴另一个交点为， 观察图象，当时，x的取值范围是或； （3）解：∵中，， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴，即． 23．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，A是反比例函数图象上一点，轴于点C，且与反比例函数的图象交于点，连接．若的面积为6，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 由的面积为6，可求出的面积为2，进而求出的面积为8，再根据反比例函数系数的几何意义可求出，进而得出答案． 【详解】解：， ， ． 又，且， ， ． 故的值为． 24．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)８； (3)或． 【分析】（1）运用待定系数法先求出反比例函数的解析式，再求得点的坐标，然后把点的坐标代入即可得到一次函数的表达式； （2）先确定点的坐标，再根据进行计算即可； （3）根据点的坐标结合图像可得不等式的解集． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数，可得， 解得 ， ∴反比例函数为，点的坐标为 ∵反比例函数的图象经过B点， ∴，解得 ∴点的坐标为， 把，代入得 解得 ∴一次函数为； （2）解：在直线中，令，则， ∴，即， ∴； （3）要满足不等式，即一次函数图象在反比例函数图象上方，如图所示，所以的解集是或． 25．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点．连接，若． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)直接写出不等式组的解集； (3)已知是轴上一点，若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点或或或 【分析】（1）一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，根据，得确定，继而利用待定系数法，求两个函数的解析式即可． （2）利用交点的横坐标，数形结合思想直接解答即可． （3）设点，根据两点间距离公式，得点， ，，根据勾股定理的逆定理，分类建立方程解答即可． 本题考查了待定系数法，交点坐标的求解，数形结合求不等式组的解集，两点间距离公式，勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，点，点，， ∴，， 解得， ∴点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 根据题意，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：根据题意，得， 故不等式组的解集为 （3）解：设点，根据两点间距离公式，得点，， ， 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 整理，得， 解得或， 此时点或； 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 解得， 此时点； 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 解得， 此时点； 综上所述，存在点P使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形，且点或或或． 26．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）为了预防“甲型”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？ (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？ (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 【答案】(1)药物燃烧时y关于x的函数关系式为；药物燃烧后y关于x的函数关系式为 (2)30分钟 (3)有效，理由如下： 把代入， 解得：， 把代入， 解得：， ∵， ∴这次消毒是有效的． 【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式，把点代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点代入即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出相应的x即可； （3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效． 【详解】（1）解：设药物燃烧时y与x之间的解析式为， 把点代入， 得 解得：， 设药物燃烧后y与x之间的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， 故药物燃烧时y与x的函数关系式为； 药物燃烧后y与x的函数关系式为． （2）解：把，代入，得； ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室． （3）略 27．（2023九年级上 湖北·章节测试）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，过点B作轴于点C，点是该反比例函数图象上的一点，且， (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出不等式：的解集． 【答案】(1)；一次函数的表达式为 (2) 【分析】（1）将、代入反比例函数解析式中，即可求出m和n的值，进而求出反比例函数的解析式；确定直线的解析式，并确定出直线与x轴的交点，进而求出点A的坐标，确定一次函数的解析式； （2）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：把、代入反比例函数中， 得 解得 反比例函数的解析式为，、 延长交x轴于点M， 设直线的函数解析式为， 把、代入得， ，解得， 直线的函数解析式为， 当时，， ， 轴，， ， ， 在和中， ， ， 把，代入一次函数中， 得，解得 一次函数的解析式为． （2）解：观察图象可得，不等式的解集为． 28．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值； (2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为含边界， 当时，区域的整点个数为______ ； 当区域的整点个数为时，点横坐标满足，直接写出纵坐标的取值范围：______ ； 直线过一个定点，若点为此定点， 问题：______ ，______ ； 问题：这条直线将分成两部分，直线上方不包含直线的区域记为，直线下方不包含直线的区域记为，当1的整点个数之差不超过时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③问题一：，问题二： 【分析】本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键． （1）根据点在的图象上，可求出的值． （2）①标出区域，再统计区域内的整数点即可． ②结合图象可找出这4个整数点，便可得出的取值范围． ③问题一：过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于0，便可解决问题． 问题二：利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可． 【详解】（1）因为双曲线经过点， 所以． 即的值为4． （2）①当时，由图1可知， 上的整点有4个， 上的整点有4个， 双曲线上段的整点有3个， 区域内部的整点有3个， 又点，，都被算了2次， 所以区域的整点个数为：． 故答案为：11． ②因为区域的整点个数为4，如图所示， 又，则区域的4个整点如图所示：，，，． 故纵坐标的取值范围是：． 故答案为：． ③问题一：由题知， ， 则不论为何值，时，， 即直线过定点， 所以． 故答案为：5，4． 问题二：如图所示，当时，区域内的整点共有15个． 又被分成的区域和的整点个数之差不超过2， 则当直线经过点时，的整点个数是7，的整点个数是5，满足要求． 此时，得． 当直线过点时，的整点个数是5，的整点个数是8，不满足要求．故当点在直线上方时，即可． 此时，得． 故的取值范围是：． 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