专题02 基本不等式求最值11种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以11种题型为框架，系统化提炼基本不等式求最值的核心方法，通过“核心逻辑-解题步骤-易错提醒”分层递进，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |11类求最值题型|44题（11例题+33变式）|涵盖直接法、配凑法等11种方法，强调“一正二定三相等”应用|从基础公式直接应用到复杂情境构造与参数范围求解，形成完整方法链|

丽学科网 专题02 典例精析 【例1】1 举一反三 【变式1-1】4/025 【变式1-2】4v3 【变式1-3】C 典例精析 【例2】B 举一反三 【变式2-1】c 【变武22】95 16 【变式2-3】A E 典例精析 【例3】-25 www.zxxk.com 让教与学更高效 基本不等式求最值11种常见考法归类 题型01直接法求最值 题型02配凑法求最值 题型03分式分离法求最值 1/6 函学科网 举一反三 【变式3-1】20.5 【变式3-2】9 【变式3-3】A 三典例精析 【例4】6 举一反三 【变式4-1】8 【变式4-2】B 【变式4-3】 9 典例精析 【例5】D 举一反三 【变式5-1】3+22 【变式5-2】A 【变式5-3】V2+1 www .zxxk.com 让教与学更高效 题型04消元法求最值 题型05乘“1法求最值 2/6 函学科网 典例精析 【例61月 举一反三 【变式6-1】 23 0 √2 【变式6-2】 4 【变式6-3】4 典例精析 【例7】B 举一反三 【变式7-1】A 【变式7-2】A 【变式7-3】2 www zxxk.com 让教与学更高效 题型06双换元法求最值 题型07构造不等式求最值 3/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型08万能K法 典例精析 6页 【例8】11 上举一反三 【变式8-1】D 【变式8-2】【答案】(1)x,y的取值范围都是-2,2]，y的最大值为3. (2)最大值为6，此时x=y=-3或x=y=V (3)x=y=-V3时取得最小值，最小值为-2V5 【分析】(1)由方程有解，可得△=y-4少-3)≥0，求解可得y的范围，同理可求得x的范围，由基本 不等式可求得的最大值. (2)利用ys+ 2，可求得x+y的最大值，由等号成立的条件可求得此时x,y的值. 2 (3)利用配方法，结合≤ x+y 2 可求得x+y的范围，进而可求得最小值，由等号成立的条件可求得 此时x,y的值 【详解】(1)x2+y2-y=3,即x2-x+y2-3=0, 则关于x的方程有解，所以△=y2-4y2-3)20, 可得y2≤4，即-2≤y≤2 同理，-2≤x≤2，故x,y的取值范围都是[-2,2]. x2+y2-y≥2xy-y=y, 所以y≤3（当x=y=±V3时取等号），即y的最大值为3. 2，得y之-+y2 (2)由ys+y2 2 4/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以3=产+少2-y≥+少 2,当且仅当x=y=士5时取等号， 所以x+y的最大值为6，此时x=y=-V3或x=y=V5 (3)x2+y2-y=3,即(x+y)}-3xy=3, 又≤（生.则3w2+. 因此3=(x+y-3≥4(x+y,(x+y≤12， 解得-2V5≤x+y≤25，当且仅当x=y=-V3和x=y=5分别取左右等号： 所以当x=y=-√3时取得最小值，最小值为-2√3 【变式8-3】V3+2 题型9 多次使用基本不等式求最值 E 典例精析 【例9】64 举一反三 【变式9-1】4 【变式9-2】16 【变式9-3】16√2-8 题型10基本不等式链 三典例精析 5/6 函学科网 【例10】AC 举一反三 【变式10-1】AD 【变式10-2】BD 【变式10-3】ABD 题型11 典例精析 【例11】BCD 举一反三 【变式11-1】BD 【变式11-2】A 【变式11-3】A www.zxxk.com 让教与学更高效 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 6/6 专题02 基本不等式求最值11种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 直接法求最值 题型 02 配凑法求最值 题型 03 分式分离法求最值 题型 04 消元法求最值 题型 05 乘 “1” 法求最值 题型 06 双换元法求最值 题型 07 构造不等式求最值 题型 08 万能 K 法 题型 09 多次使用基本不等式求最值 题型 10 基本不等式链 题型 11 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 ▌题型01 直接法求最值 1.核心逻辑 式子本身就是两正数相加或相乘。 （1）积定和最小：若（常数），则，和有最小值； （2）和定积最大：若（常数），则，积有最大值。直接套用基本不等式。 2.解题步骤 (1)判断两个变量均为正数，满足“一正”； (2)观察乘积/和是否为定值，满足“二定”； (3)令两变量相等，解出变量，验证能取到（三相等）； (4)写出对应最值。 3.易错提醒 忽略变量为负的情况；等号取不到时不能用此方法。 【例1】（2026高二·陕西汉中·期末）已知，则的最小值为______________. 【答案】1 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知，则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 【变式1-1】（2026高二·福建福州·期末）设，为正数，且，则的最大值为__________． 【答案】/0.25 【详解】（当且仅当时，取等号），所以的最大值为 【变式1-2】（2026高一·青海海东·期末）已知，则的最小值为________． 【答案】 【详解】因为，所以，当且仅当即时取等号. 【变式1-3】（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，都是正数， 所以， 当且仅当时取等号， 所以当时，有最大值. ▌题型02 配凑法求最值 1.核心逻辑 原式无定值，通过加减常数配凑出和为定值或积为定值，再用基本不等式。 2.解题步骤 (1)调整代数式结构，凑出乘积定值或和定值； (2)保证配凑后两项都大于0； (3)利用不等式求出最值，验证等号成立条件； (4)整理得到最终最值。 3.易错提醒 配凑时只凑定值，忘记保证两项均为正数；等号解出的值不在定义域内。 【例2】（2026高二·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 【变式2-1】（2026高一·全国·课前预习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：C. 【变式2-2】（2026高二·河北·期末）已知，则的最小值为_______. 【答案】/ 【分析】先由判断，再将配凑，利用乘法结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 【变式2-3】（2026高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【分析】利用配凑法结合基本不等式即可求解. 【详解】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. ▌题型03 分式分离法求最值 1.核心逻辑 分子次数高于分母的分式，拆分分离常数，转化为“整式+分式”形式，出现积定结构。 2.解题步骤 (1)对分式做多项式除法，分离常数； (2)整理成标准形式； (3)确定和均为正数； (4)用基本不等式求最值，检验等号。 3.易错提醒 分离常数计算出错；未判断自变量范围导致两项一正一负。 【例3】（2026高一·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 【变式3-1】（2026高二·北京·阶段检测）函数(）的最大值为______． 【答案】/ 【详解】 ，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 【变式3-2】求函数的最小值． 【答案】9 【分析】将看作一个整体，化简得，再利用基本不等式即可求得函数的最小值. 【详解】， 因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为. 【变式3-3】（2026高一·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A ▌题型04 消元法求最值 1.核心逻辑 含两个变量，给出线性等式约束，用约束式把一个变量用另一个表示，消元变为单变量函数再求最值。 2.解题步骤 (1)利用已知等式，用一个变量表示另一个变量； (2)代入目标式，化为只含一个变量的代数式； (3)写出变量取值范围，保证各项为正； (4)配凑定值，用基本不等式求解。 3.易错提醒 消元后遗漏变量取值范围；化简过程计算失误。 【例4】（2026高三·全国·专题练习）若正实数满足，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】将代换后使用基本不等式求解. 【详解】因为正实数满足，所以，解得，则， 可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 【变式4-1】（2026高三·全国·专题练习）已知，若，则的最小值为______ 【答案】8 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为，且，所以， 则，当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为8． 故答案为: 【变式4-2】（2026高三·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【详解】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 【变式4-3】（2026高二·重庆璧山·期末）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【答案】 9 3 【分析】第①问通过对已知等式变形结合基本不等式求解；第②问通过换元法化简，再结合已知等式利用基本不等式求最小值． 【详解】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为， 由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为. ▌题型05 乘“1”法求最值 1.核心逻辑 已知型条件，求最值；将乘以“1”，展开后出现积定结构。 2.解题步骤 (1)识别条件是分式相加等于1； (2)目标式整体乘条件等式（即乘1）； (3)展开拆分，出现两项乘积为定值； (4)用基本不等式求最小值，验证等号。 3.易错提醒 展开时漏乘项；未检验等号对应的满足原条件。 【例5】（2026高一·广西贵港·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得，利用基本不等式求其最小值. 【详解】由题意，，，， ∴， 当且仅当，即时，代入解得时等号成立 则的最小值为. 【变式5-1】（2026高二·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 【答案】 【分析】通过凑出均值不等式的前提条件后求解. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. 【变式5-2】（2026高一·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 【变式5-3】（2026高二·广西贺州·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】∵ 正实数满足,∴ . ∴ . ∵ ，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，符合为正实数的约束条件. ∴ 的最小值为. ▌题型06 双换元法求最值 在代换法运用中，如果分母是两个相关的多项式的问题中，可以将分母通过换元转换成一个变量，这样就可以将所求的式子转换为简单的形式． 【例6】（2026高一·黑龙江大庆·期中）设为正实数，且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】令，将所求代数式转化为关于的代数式，再结合基本不等式及1的代换求解即可. 【详解】∵ ,令， ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴； 当且仅当时，即时取得最小值， ∴的最小值为. 故答案为： 【变式6-1】（2026·全国·模拟预测）已知，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设，，表示出，然后代入目标式，利用基本不等式可得范围. 【详解】设，，得到，， 于是， 当且仅当，即时，等号成立，即， 又因为，解得，，满足． 一题多解 ， ， （另解：由，得，， ）． 令， 则， 令，得，此时函数单调递增； 令，得，此时函数单调递减， ， 又当时，，当时，， ，． 故答案为：. 【变式6-2】（2026高二·浙江丽水·期末）若实数，满足，则的最大值为______. 【答案】 【分析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得， 设，其中，则， 从而， 故 记，则， 要求最大值，则只需考虑，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 故答案为：. 【变式6-3】（2026高一·全国·专题练习）已知，是正实数，且，求的最小值． 【答案】 【分析】解法1：双变量换元法，设，，可得，再利用1的妙用可求最小值. 解法2：配凑法，可得，利用基本不等式可求最小值. 解法3：权方和不等式，可得，可求最小值. 【详解】解法1：设，， 则，所以 ． 因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 当且仅当，时取等号． 所以的最小值为． 解法2：因为，则， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以的最小值为． 解法3：， 当且仅当，即，，即，时取等号． 所以的最小值为． ▌题型07 构造不等式求最值 构造目标不等式不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值，注意等号成立的条件． 【例7】（2026高一·河北保定·阶段检测）已知，，．求的最大值（    ） A． B． C．5 D．2 【答案】B 【分析】由基本不等式和题目条件得到，求出的最大值. 【详解】因为，，由基本不等式得， 故，解得， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：B 【变式7-1】（2026高一·全国·专题练习）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法1：由题意得，利用基本不等式得，进而解二次不等式即可求解； 解法2：令得代入得，由即可求解. 【详解】解法1：因为实数满足，所以． 再由，可得（当且仅当时等号成立）， 解得，所以， 故的最大值为． 故选：A. 解法2：令，则，代入可得，， 整理得，得， 故． 故选：A. 【变式7-2】（2026高二·辽宁辽阳·期末）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式得到，解不等式，求出答案. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 令，则，解得或． 因为，所以（取等号）． 故的取值范围是． 故选：A 【变式7-3】（2026高三·重庆·开学考试）已知，，且满足，则的最大值为_______. 【答案】2 【分析】先由条件配方，再由基本不等式即可得到. 【详解】因，，，得. 再由，得，所以. 所以的最大值为2. 故答案为：2. ▌题型08 万能K法 1.核心逻辑 求分式型二元代数式最值，设目标式，整理成一元二次方程，利用判别式求范围。 2.解题步骤 (1)令目标代数式等于参数； (2)整理为关于（或）的一元二次方程； (3)根据变量存在实数解，得判别式； (4)解不等式得到的最值，回代验证取等条件。 3.易错提醒 只看判别式，忽略变量正数约束；等号对应根不在定义域内。 【例8】（2026高一·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值. 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 【变式8-1】（2026高三·全国·阶段检测）已知，满足则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，然后代入方程，进而根据“法”解得答案. 【详解】由题意，设，代入方程得：， 所以，即的最小值为：. 故选：D. 【变式8-2】（2026高一·河北·期中）已知实数满足． (1)分别求出的取值范围和的最大值． (2)求的最大值，并求此时，的值． (3)当，分别为何值时取得最小值？请求出最小值． 【答案】(1)的取值范围都是，的最大值为3． (2)最大值为6，此时或． (3)时取得最小值，最小值为 【分析】（1）由方程有解，可得，求解可得的范围，同理可求得的范围，由基本不等式可求得的最大值． （2）利用，可求得的最大值，由等号成立的条件可求得此时，的值． （3）利用配方法，结合，可求得的范围，进而可求得最小值，由等号成立的条件可求得此时，的值. 【详解】（1），即， 则关于的方程有解，所以， 可得，即． 同理，，故的取值范围都是． ， 所以（当时取等号），即的最大值为3． （2）由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为6，此时或． （3），即， 又，则， 因此， 解得，当且仅当和分别取左右等号； 所以当时取得最小值，最小值为. 【变式8-3】（2026高三·全国·专题练习）若实数满足且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】利用代数变形与换元法将条件简化，首先由作因式分解并设对称代换，将原式转化为关于新变量的多项式，然后，通过均值不等式或配方法求出最小值；另一思路是齐次化处理，将目标与条件相除构造出关于比值的二次方程，利用判别式法确定目标式的取值范围，进而分析得到最小值. 【详解】法一：，令，则， 所以， 当且仅当，等号成立. 法二（齐次化）：令，同除以得：，令，所以， 此方程有解，即，所以或（舍）. 故答案为： ▌题型9 多次使用基本不等式求最值 1.核心逻辑 式子含三组及以上正数，需要两次及以上套用基本不等式。两次取等条件必须同时成立。 2.解题步骤 (1)分步对不同部分分别使用基本不等式； (2)分别写出每一步取等的条件； (3)联立所有等号条件，看是否存在同时满足的正数； (4)条件能同时满足，才可合并得到最值。 3.易错提醒 多次用不等式，但取等条件无法同时成立，此时结果无效。 【例9】（2026·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值为______． 【答案】64 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】法一：因为，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最小值为64． 法二：因为，，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为64． 故答案为：64. 【变式9-1】（2026·天津·模拟预测）已知，则的最小值为______________. 【答案】4 【解析】化简原式为，两次运用基本不等式可得结果. 【详解】 ， 当且仅当，即等号成立， 所以，的最小值为4， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 【变式9-2】（2026·天津·模拟预测）设，那么 的最小值是___________. 【答案】16 【分析】利用均值不等式求的最大值表达式，再利用均值不等式求解作答. 【详解】因，则，当且仅当，即时取“=”， 因此，，当且仅当，即时取“=”， 所以，当时，取最小值16. 故答案为：16 【变式9-3】（2026高三·重庆·阶段检测）对任意的正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值. 【详解】任意的正实数，满足， 由于为正实数，故由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为. 故答案为： 【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等 ▌题型10 基本不等式链 1.核心逻辑 正数：调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数 全部在时取等。 2.解题步骤 (1)分清所求为调和、几何、算术、平方平均数中的哪一种； (2)根据不等式链直接比较大小或求范围； (3)需要最值时锁定对应不等方向，验证能否成立。 3.易错提醒 记混四个平均数的顺序；忽略前提。 【例10】【多选】（2026高二·安徽六安·期末）设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为9 【答案】AC 【分析】先消元限定定义域，然后利用二次函数性质、常数代换法、取特值求解即可. 【详解】由及正实数，得，且. 对选项A：，这是关于的二次函数，开口向下， 对称轴为，且，故的最大值为. 该项正确. 对选项B：，对称轴为， 代入得最小值为，不等于. 该项错误. 对选项C：， 当且仅当时等号成立，故最小值为. 该项正确. 对选项D：令，则，所以最大值不是9. 该项错误. 【变式10-1】【多选】（2026高二·广东深圳·期末）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对于A：利用基本不等式求最值即可；对于B：消元整理可得，进而分析最值；对于C：平方整理可得，进而分析最值；对于D：整理可得，利用“”的妙用结合基本不等式运算求解. 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 【变式10-2】【多选】（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）若实数，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】根据给定等量关系，应用基本不等式、“1”的代换及柯西不等式求各项对应代数式的最值，注意取值成立条件. 【详解】A：由均值不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，错误， B：因为，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，正确， C：由题设， 由，得， 当且仅当，即时取等号，错误， D：设，问题化为，求的最大值， 根据柯西不等式， 所以，当且仅当即时等号成立， 此时，代入，解得，符合的条件， 所以的最大值为，正确. 【变式10-3】【多选】（2026高二·江苏无锡·期末）已知正实数a、b满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】直接利用基本不等式即可判断选项；将表示成，代入，利用二次函数即可求出的最小值；根据基本不等式“1”的应用，求的最小值即可判断选项；先求出的最大值，即可判断选项. 【详解】解：选项，由正实数a、b满足，则， 所以，当且仅当，即时取等号，因此的最大值为，选项正确； 选项，由，则，所以， 则当时，取最小值为，选项正确； 选项，由， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，选项错误； 选项，因为，由可知， 所以，当且仅当时取等号， 此时取最大值2，所以的最大值为，选项正确. ▌题型11 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 1.核心逻辑 不等式恒成立：-恒成立；-恒成立；先用基本不等式求出最值，再解参数。 2.解题步骤 (1)分离参数，把参数单独放一侧； (2)另一侧函数用基本不等式求出最大/最小值； (3)根据恒成立规则列出参数不等式； (4)解出参数取值范围，标注定义域限制。 3.易错提醒 恒成立最值方向搞反；求函数最值时不满足一正二定三相等。 【例11】【多选】（2026高一·山东日照·阶段检测）已知，，当时，不等式恒成立，则m的值可以是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】BCD 【分析】利用“1”的妙用和基本不等式求出的最小值，再由不等式恒成立，解不等式求出的范围，再逐一检验各选项即可. 【详解】因，，故，又， 则，当且仅当时等号成立， 依题意，可得恒成立，即，解得. 当时，由，解得，此时恒成立； 当时，由，解得此时恒成立； 当时，由，解得，此时恒成立. 故选：BCD. 【变式11-1】【多选】（2026高一·河北石家庄·阶段检测）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（ ） A．11 B．9 C．10 D．8 【答案】BD 【分析】根据题意和基本不等式，求出不等式，即可作答. 【详解】因为，且，所以不等式， 当且仅当，即时，等号成立； 又因为不等式恒成立，所以， 结合选项，可得选项B、D符合题意. 故选：BD. 【变式11-2】（2026高一·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 【变式11-3】（2026高一·福建三明·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】借助基本不等式“1”的活用可得，则可得. 【详解】当时，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即恒成立，则，故， 故实数的最大值为. 故选：A. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 基本不等式求最值11种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 直接法求最值 题型 02 配凑法求最值 题型 03 分式分离法求最值 题型 04 消元法求最值 题型 05 乘 “1” 法求最值 题型 06 双换元法求最值 题型 07 构造不等式求最值 题型 08 万能 K 法 题型 09 多次使用基本不等式求最值 题型 10 基本不等式链 题型 11 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 ▌题型01 直接法求最值 1.核心逻辑 式子本身就是两正数相加或相乘。 （1）积定和最小：若（常数），则，和有最小值； （2）和定积最大：若（常数），则，积有最大值。直接套用基本不等式。 2.解题步骤 (1)判断两个变量均为正数，满足“一正”； (2)观察乘积/和是否为定值，满足“二定”； (3)令两变量相等，解出变量，验证能取到（三相等）； (4)写出对应最值。 3.易错提醒 忽略变量为负的情况；等号取不到时不能用此方法。 【例1】（2026高二·陕西汉中·期末）已知，则的最小值为______________. 【变式1-1】（2026高二·福建福州·期末）设，为正数，且，则的最大值为__________． 【变式1-2】（2026高一·青海海东·期末）已知，则的最小值为________． 【变式1-3】（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． ▌题型02 配凑法求最值 1.核心逻辑 原式无定值，通过加减常数配凑出和为定值或积为定值，再用基本不等式。 2.解题步骤 (1)调整代数式结构，凑出乘积定值或和定值； (2)保证配凑后两项都大于0； (3)利用不等式求出最值，验证等号成立条件； (4)整理得到最终最值。 3.易错提醒 配凑时只凑定值，忘记保证两项均为正数；等号解出的值不在定义域内。 【例2】（2026高二·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2-1】（2026高一·全国·课前预习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026高二·河北·期末）已知，则的最小值为_______. 【变式2-3】（2026高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 ▌题型03 分式分离法求最值 1.核心逻辑 分子次数高于分母的分式，拆分分离常数，转化为“整式+分式”形式，出现积定结构。 2.解题步骤 (1)对分式做多项式除法，分离常数； (2)整理成标准形式； (3)确定和均为正数； (4)用基本不等式求最值，检验等号。 3.易错提醒 分离常数计算出错；未判断自变量范围导致两项一正一负。 【例3】（2026高一·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【变式3-1】（2026高二·北京·阶段检测）函数(）的最大值为______． 【变式3-2】求函数的最小值． 【变式3-3】（2026高一·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 ▌题型04 消元法求最值 1.核心逻辑 含两个变量，给出线性等式约束，用约束式把一个变量用另一个表示，消元变为单变量函数再求最值。 2.解题步骤 (1)利用已知等式，用一个变量表示另一个变量； (2)代入目标式，化为只含一个变量的代数式； (3)写出变量取值范围，保证各项为正； (4)配凑定值，用基本不等式求解。 3.易错提醒 消元后遗漏变量取值范围；化简过程计算失误。 【例4】（2026高三·全国·专题练习）若正实数满足，则的最小值为______． 【变式4-1】（2026高三·全国·专题练习）已知，若，则的最小值为______ 【变式4-2】（2026高三·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【变式4-3】（2026高二·重庆璧山·期末）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． ▌题型05 乘“1”法求最值 1.核心逻辑 已知型条件，求最值；将乘以“1”，展开后出现积定结构。 2.解题步骤 (1)识别条件是分式相加等于1； (2)目标式整体乘条件等式（即乘1）； (3)展开拆分，出现两项乘积为定值； (4)用基本不等式求最小值，验证等号。 3.易错提醒 展开时漏乘项；未检验等号对应的满足原条件。 【例5】（2026高一·广西贵港·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026高二·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 【变式5-2】（2026高一·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【变式5-3】（2026高二·广西贺州·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________. ▌题型06 双换元法求最值 在代换法运用中，如果分母是两个相关的多项式的问题中，可以将分母通过换元转换成一个变量，这样就可以将所求的式子转换为简单的形式． 【例6】（2026高一·黑龙江大庆·期中）设为正实数，且，则的最小值为________. 【变式6-1】（2026·全国·模拟预测）已知，则的取值范围是______． 【变式6-2】（2026高二·浙江丽水·期末）若实数，满足，则的最大值为______. 【变式6-3】（2026高一·全国·专题练习）已知，是正实数，且，求的最小值． ▌题型07 构造不等式求最值 构造目标不等式不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值，注意等号成立的条件． 【例7】（2026高一·河北保定·阶段检测）已知，，．求的最大值（    ） A． B． C．5 D．2 【变式7-1】（2026高一·全国·专题练习）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026高二·辽宁辽阳·期末）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026高三·重庆·开学考试）已知，，且满足，则的最大值为_______. ▌题型08 万能K法 1.核心逻辑 求分式型二元代数式最值，设目标式，整理成一元二次方程，利用判别式求范围。 2.解题步骤 (1)令目标代数式等于参数； (2)整理为关于（或）的一元二次方程； (3)根据变量存在实数解，得判别式； (4)解不等式得到的最值，回代验证取等条件。 3.易错提醒 只看判别式，忽略变量正数约束；等号对应根不在定义域内。 【例8】（2026高一·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为_____. 【变式8-1】（2026高三·全国·阶段检测）已知，满足则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026高一·河北·期中）已知实数满足． (1)分别求出的取值范围和的最大值． (2)求的最大值，并求此时，的值． (3)当，分别为何值时取得最小值？请求出最小值． 【变式8-3】（2026高三·全国·专题练习）若实数满足且，则的最小值为________. ▌题型9 多次使用基本不等式求最值 1.核心逻辑 式子含三组及以上正数，需要两次及以上套用基本不等式。两次取等条件必须同时成立。 2.解题步骤 (1)分步对不同部分分别使用基本不等式； (2)分别写出每一步取等的条件； (3)联立所有等号条件，看是否存在同时满足的正数； (4)条件能同时满足，才可合并得到最值。 3.易错提醒 多次用不等式，但取等条件无法同时成立，此时结果无效。 【例9】（2026·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值为______． 【变式9-1】（2026·天津·模拟预测）已知，则的最小值为______________. 【变式9-2】（2026·天津·模拟预测）设，那么 的最小值是___________. 【变式9-3】（2026高三·重庆·阶段检测）对任意的正实数，满足，则的最小值为__________. ▌题型10 基本不等式链 1.核心逻辑 正数：调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数 全部在时取等。 2.解题步骤 (1)分清所求为调和、几何、算术、平方平均数中的哪一种； (2)根据不等式链直接比较大小或求范围； (3)需要最值时锁定对应不等方向，验证能否成立。 3.易错提醒 记混四个平均数的顺序；忽略前提。 【例10】【多选】（2026高二·安徽六安·期末）设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为9 【变式10-1】【多选】（2026高二·广东深圳·期末）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【变式10-2】【多选】（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）若实数，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【变式10-3】【多选】（2026高二·江苏无锡·期末）已知正实数a、b满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最大值为 ▌题型11 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 1.核心逻辑 不等式恒成立：-恒成立；-恒成立；先用基本不等式求出最值，再解参数。 2.解题步骤 (1)分离参数，把参数单独放一侧； (2)另一侧函数用基本不等式求出最大/最小值； (3)根据恒成立规则列出参数不等式； (4)解出参数取值范围，标注定义域限制。 3.易错提醒 恒成立最值方向搞反；求函数最值时不满足一正二定三相等。 【例11】【多选】（2026高一·山东日照·阶段检测）已知，，当时，不等式恒成立，则m的值可以是（    ） A． B．2 C． D．4 【变式11-1】【多选】（2026高一·河北石家庄·阶段检测）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（ ） A．11 B．9 C．10 D．8 【变式11-2】（2026高一·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【变式11-3】（2026高一·福建三明·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $