2.2 基本不等式 常考考点分类专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以概念理解为基础、证明推理为桥梁、最值应用为核心、实际问题为延伸的系统化训练，覆盖基本不等式全维度考查，强化数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与证明|10题|结合数学文化（《几何原本》无字证明）考查基本不等式条件与几何意义|从概念本质出发，通过充要条件判断、几何直观建立认知基础| |证明不等关系|10题|单变量与多变量不等式证明，涉及“1”的代换、不等式变形|承接概念理解，训练逻辑推理能力，为应用奠基| |求最值|20题|单变量、双变量及条件最值，含选择、填空、解答题|核心应用模块，强化“一正二定三相等”原则，衔接恒成立问题| |恒成立问题|12题|已知最值求参数范围，结合不等式恒成立条件|深化最值应用，培养参数分离与转化思想| |实际应用|6题|几何、经济等场景建模，转化为最值问题|综合应用模块，体现数学建模与实践能力，完成知识闭环|

高一上学期同步考点专项训练（人教A版） 2.2 基本不等式 考点归纳 题型一：基本不等式的概念与证明 题型二：利用基本不等式证明不等关系 题型三：利用基本不等式求最值 题型四：基本不等式的恒成立问题 题型五：基本不等式的实际应用 题型一 基本不等式的概念与证明 1．（2026·陕西西安·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二下·海南·期末）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 5．（专题02一元二次函数、方程和不等式（期末复习讲义）高一数学上学期湘教版）下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 6．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图，点C是圆O的直径AB上一点，且（），过点C作AB的垂线交圆O于D，E两点，点F是半圆的中点，连接AD，BD，OE，CF，过点C作于点M，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段检测）（多选）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（   ）    A． B． C． D． 8．（26-27高三·全国·一轮复习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 9．（25-26高一上·山东威海·期中）下列各式中，最小值是2的有________. ①    ②    ③    ④， 10．（23-24高一上·湖北武汉·阶段检测）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号）    ①；②； ③；④． 题型二 利用基本不等式证明不等关系 11．（2026高三·全国·专题练习）设均为正数，且，求证：. 12．（专题19不等式（2）三元不等式（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）已知为正实数．证明：． 13．（25-26高一上·新疆·期末）对任意实数，.求证： 14．（25-26高一上·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 15．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 16．（25-26高一上·上海·期中）已知，都是正实数，证明：. 17．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）设，，，都是正数. (1)求证：； (2)若，求证：. 备注：，. 18．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知，且.求证： (1)； (2). 19．（25-26高一上·湖南·阶段检测）（1）已知，证明：． （2）已知均为正数，证明：． 20．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 题型三 利用基本不等式求最值 21．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 23．（25-26高二下·福建南平·期末）若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 24．（25-26高二下·天津南开·期末）下列说法中正确的个数是（     ） ①的最小值为2 ②的最小值为9 ③已知，则 ④设，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 25．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知，，，则（    ） A． B． C． D．． 26．（25-26高一上·湖南娄底·期末）（多选）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 27．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为9 B．ab的最大值为 C．的最小值是 D．的最小值是 28．（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）已知，，，下列选项中正确的有（     ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为 29．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）（多选）已知正数满足，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 30．（25-26高一下·湖北荆州·期末）若，，都是正实数，则的最小值为____________． 31．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 32．（25-26高二下·江西上饶·期末）已知实数，满足，则的最大值为_____． 33．（2026高一下·四川宜宾·竞赛）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 34．（2026·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为________． 35．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，，，则的最大值为____. 36．（25-26高一下·黑龙江·开学考试）已知，且，则的最大值为__________. 37．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，均为正实数，且，则的最小值为___________． 38．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 39．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知且. (1)求的取值范围； (2)求的最小值，以及此时对应的的值. 40．（25-26高一上·江苏盐城·期中）若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 题型四 基本不等式的恒成立问题 41．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 42．（25-26高二下·安徽合肥·期末）“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 43．（25-26高二下·天津河西·期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 44．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 45．（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 46．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 47．（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 48．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 49．（2025高一上·河南安阳·专题练习）设，，且恒成立，则n的最大值为___________. 50．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为___________． 51．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知实数，，满足． (1)证明对任意的，，恒成立， (2)若为大于1的自然数，能够使得对任意的，，恒成立，求的值； (3)自然数p，m，n满足什么条件时，不等式对任意的，，恒成立？ 52．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 题型五 基本不等式的实际应用 53．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 54．（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 55．（25-26高一上·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 56．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 57．（25-26高一上·陕西延安·期中）某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. (1)试写出与的等量关系式； (2)求该库房的最低总造价. 58．（25-26高一上·四川·阶段检测）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $高一上学期同步考点专项训练（人教A版） 2.2 基本不等式 考点归纳 题型一：基本不等式的概念与证明 题型二：利用基本不等式证明不等关系 题型三：利用基本不等式求最值 题型四：基本不等式的恒成立问题 题型五：基本不等式的实际应用 题型一 基本不等式的概念与证明 1．（2026·陕西西安·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的概念及基本不等式进行判断． 【详解】由基本不等式得，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，此时成立； 若，此时，而， 所以“”是“”的必要不充分条件． 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可判断选项. 【详解】若，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以由可得成立， 若，取，满足，但不满足，所以由推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 4．（25-26高二下·海南·期末）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 5．（专题02一元二次函数、方程和不等式（期末复习讲义）高一数学上学期湘教版）下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【答案】C 【分析】运用基本不等式可判断A，运用特殊值法可判断B、D，运用作差法可判断C. 【详解】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 故选：C． 6．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图，点C是圆O的直径AB上一点，且（），过点C作AB的垂线交圆O于D，E两点，点F是半圆的中点，连接AD，BD，OE，CF，过点C作于点M，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，分别在和中由直角三角形的射影定理推理判断AC；在中推理判断D. 【详解】依题意，，由于，得， 在中，由射影定理得，即， 而，，因此，当且仅当时取等号，A是； 在中，，，则， 而，因此，当且仅当时取等号，C是； 由，连接，由点F是半圆的中点，得，， 在中， ，则，又， 因此，当且仅当时取等号，B是； 而与在给定图形中没有相应的线段与之对应，因此选项D对应不等式不能用无字证明完成，D不是. 故选：ABC 7．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段检测）（多选）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（   ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据圆中弦长关系，可得不等式，成立.. 【详解】，可得半径 在中，由射影定理可知：，   ， ， （），故B正确， 同理，在中，由射影定理可知：， 即， ，即， ，C正确， 对于A、D选项，图中的线段无法判断. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：利用几何关系得出不等式，需有一定的识图能力与分析能力. 8．（26-27高三·全国·一轮复习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 【答案】①③ 【分析】先明确，的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项． 【详解】由题意可知，， 由∽可知，即， 所以； 在中，，即， 当时，O，C点重合，，此时，所以①正确； 在中，由∽可得，即， 所以， 由于，所以， 当时，，此时，所以③正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明． 9．（25-26高一上·山东威海·期中）下列各式中，最小值是2的有________. ①    ②    ③    ④， 【答案】① 【分析】通过基本不等式来分析每个选项式子的最小值即可.. 【详解】对于①，，当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为2，故①满足题意； 对于②，当时，，故②不满足题意； 对于③，，当且仅当等号成立， 因为，所以无解，所以等号不成立， 所以，故③不满足题意； 对于④，因为，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，故④不满足题意. 故答案为：① 10．（23-24高一上·湖北武汉·阶段检测）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号）    ①；②； ③；④． 【答案】①③ 【分析】先明确，的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项． 【详解】由题意可知，， 由∽可知，即， 所以； 在中，，即， 当时，O，C点重合，，此时，所以①正确； 在中，∽可得，即， 所以， 由于，所以， 当时，，此时，所以③正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明． 故答案为：①③． 题型二 利用基本不等式证明不等关系 11．（2026高三·全国·专题练习）设均为正数，且，求证：. 【答案】由题设均为正数，， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，得证. 【详解】略 12．（专题19不等式（2）三元不等式（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）已知为正实数．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】先证明，然后利用柯西不等式的性质证明即可. 【详解】先证明， 原不等式， ， ． 由柯西不等式得 13．（25-26高一上·新疆·期末）对任意实数，.求证： 【答案】 证明：因为，， 所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立. 【分析】利用换元法及基本不等式证明即可. 【详解】略 14．（25-26高一上·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 【答案】(1) 因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． (2) 因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立． 【分析】（1）式子和直接利用基本不等式求解； （2）将整理为，利用基本不等式求解； 【详解】（1）略 （2）略 15．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 16．（25-26高一上·上海·期中）已知，都是正实数，证明：. 【答案】 因为，都是正实数， 所以，当且仅当即时等号成立； ，当且仅当即时等号成立； 所以，即，当且仅当时等号成立. 【分析】结合不等式的加法法则，利用基本不等式即可证明. 【详解】略 17．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）设，，，都是正数. (1)求证：； (2)若，求证：. 备注：，. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将原不等式化简后利用基本不等式即可得证； （2）先借助基本不等式证明，再利用立方差公式化简可得，再将代入后化简即可得证. 【详解】（1）证明：要证， 即证， 即证， 即证， 又因为， 当且仅当时等号成立， 所以，即得证； （2）由，则，故，同理， 又 ， 当且仅当时，等号成立，又，，即不可取等， 故， 则，即， 又，， 则，， 即有， 则， 又，则、， 故， 即，则， 即有，即得证. 18．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知，且.求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用，对进行变形，再根据基本不等式求证即可； （2）先求的展开式，再利用进行变形，并根据基本不等式求得的取值范围，从而证得. 【详解】（1），且， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以得证. （2），且， . 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以得证. 19．（25-26高一上·湖南·阶段检测）（1）已知，证明：． （2）已知均为正数，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）先利用不等式的乘法法则得，然后利用不等式的加法法则证明即可； （2）结合不等式的加法法则，利用基本不等式证明即可. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以， 所以. （2）因为，所以，当且仅当时，等号成立. 同理，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当时，等号成立. 20．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. （2）根据题设及基本不等式易得，，，将这三个式子相加即可求证. （3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【详解】（1）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. （2）由均为正实数，且， 则，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 则，当且仅当时等号成立. （3）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. 题型三 利用基本不等式求最值 21．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合已知的条件，利用基本不等式的等号成立条件，分别验证充分性和必要性即可判断. 【详解】 由可得，，满足基本不等式的使用前提： 充分性验证： 若，根据基本不等式，对任意正数有，当且仅当时等号成立. 令，则，等号成立当且仅当，整理得，结合得. 因，故等号取不到，因此，充分性成立. 必要性验证： 若，说明上述基本不等式的等号不成立，因此等号成立的条件不满足，即，必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 22．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用“1的代换”构造符合基本不等式的结构，进而求解的最小值. 【详解】已知为正实数，且，则， 因此, 当且仅当即时取等号， 故的最小值为9. 23．（25-26高二下·福建南平·期末）若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值. 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 24．（25-26高二下·天津南开·期末）下列说法中正确的个数是（     ） ①的最小值为2 ②的最小值为9 ③已知，则 ④设，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合对勾函数性质判断①；结合基本不等式判断②③④. 【详解】①化简得：，令， 函数在时单调递增，因此最小值为， 等号取不到（等号成立条件不满足），①错误. ②展开得：，由基本不等式， 因此原式，等号成立条件为，因此最小值为9，②正确. ③已知，则，令，则， 由基本不等式，得，③正确. ④，要证，等价于证明：， 整理得，当且仅当时等号成立，④正确. 25．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知，，，则（    ） A． B． C． D．． 【答案】AC 【分析】本题考查基本不等式的应用，结合已知等式变形后代入基本不等式，或通过特值法逐一判断选项即可. 【详解】选项A：由基本不等式得，代入已知， 可得，移项得，当且仅当时等号成立，故A正确； 选项B：由，结合得； 当趋近于0时，趋近于，趋近于2，小于4，故不成立，B错误； 选项C：，结合得， 又，故，当且仅当时等号成立，C正确； 选项D：，取代入已知等式得， 解得，此时，故D错误. 26．（25-26高一上·湖南娄底·期末）（多选）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 【答案】ACD 【详解】对于A：因为，根据均值不等式：， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为2，故A正确； 对于B：因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，显然无解， 所以的最小值取不到2，故B错误； 对于C：因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C正确； 对于D：因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为8，故D正确. 27．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为9 B．ab的最大值为 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】ABC 【详解】对于A，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，所以， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，由，则，而， 所以，当且仅当时等号成立，故D错误. 28．（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）已知，，，下列选项中正确的有（     ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用“1”的代换法求解最小值可判断A，利用基本不等式积的最大值可判断B，利用消元思想化归到基本不等式求最小值可判断C，利用换元法化归到对勾函数求最小值可判断D. 【详解】对于A，利用"1的代换"可得： ， 等号成立条件： ，即 ，代入 得： ，故A正确； 对于B，由基本不等式 ，代入 ， 可得 ，等号成立条件：，即 ，故B正确； 对于C，将 代入得： ， 由基本不等式可得：，故， 等号成立条件为 ，即 ，此时 ，不满足 ， 因此等号取不到，故C错误； 对于D，展开分子，代入 可得：， 因此原式化简为： 令 ， 由选项B正确可得：，可得，再由对勾函数在上单调递减， 所以当时，取到最小值：，故D正确. 29．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）（多选）已知正数满足，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式计算可判断A错误，结合基本不等式中“1”的应用可得B正确，将代入并利用二次函数性质即可求得最小值，可得C正确，根据为定值，利用基本不等式计算可知D正确. 【详解】对于A，由可得，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，因此A错误； 对于B，易知， 当且仅当时，即时，等号成立，所以B正确； 对于C，由可得，所以； 当且仅当时，等号成立，此时的最小值为，即C正确； 对于D，易知，所以； 当且仅当，即时，等号成立，因此D正确. 故选：BCD 30．（25-26高一下·湖北荆州·期末）若，，都是正实数，则的最小值为____________． 【答案】2 【分析】将分子拆分分组后，对两组项分别应用基本不等式放缩，凑出与分母线性相关的结果，验证等号成立条件后即可得到最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号， 即的最小值是. 31．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 【答案】 【分析】通过凑出均值不等式的前提条件后求解. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. 32．（25-26高二下·江西上饶·期末）已知实数，满足，则的最大值为_____． 【答案】2 【分析】将条件化为，设得，结合基本不等式有，即可求范围，进而确定目标式的最大值. 【详解】由，而，则， 设，则，即， 对任意实数，有，即，可得，即， 当时，满足原等式，且成立， 因此的最大值为. 33．（2026高一下·四川宜宾·竞赛）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的代换即可解答. 【详解】令，所以，且， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，即，所以 所以，又因为，此时， 所以当时，的最小值为. 34．（2026·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由题意得，， 所以， 当且仅当，，即时，等号成立． 35．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，，，则的最大值为____. 【答案】/ 【分析】先换元，再结合基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】令，，所以， 因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 结合，解得，即时，，所以的最大值为. 36．（25-26高一下·黑龙江·开学考试）已知，且，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据题意利用换元法将原式变为，再由，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由题可得， 所以， 则，当且仅当， 即时取等号， 所以， 即的最大值是. 故答案为：. 37．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，均为正实数，且，则的最小值为___________． 【答案】/0.25 【分析】将原式变形为，进而化简，然后设，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案． 【详解】因为均为正实数，且， ，设， 则上式， 当且仅当时取“=”； 则的最小值为， 故答案为： 38．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 39．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知且. (1)求的取值范围； (2)求的最小值，以及此时对应的的值. 【答案】(1) (2)；， 【分析】（1）利用基本不等式将转化为，再解不等式即可； （2）方法一：将变形为再利用基本不等式求出的最小值即可得解；方法二：将变形为，即，再利用基本不等式求出其最小值即可. 【详解】（1）， 又，， 当且仅当，即时取等号， 即，即， 解得或（舍），所以， 所以的取值范围是. （2）方法一：，即，， ，， ， ， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为，此时 方法二：，. ，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为，此时. 40．（25-26高一上·江苏盐城·期中）若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 【答案】(1)6； (2). 【分析】（1）将给定等式变形为，再利用基本不等式求出最小值. （2）将给定等式变形为，再利用基本不等式求最大值． 【详解】（1）由，，得， 即，整理得，解得， 当且仅当时取等号，由，得， 所以当时，取得最小值6. （2）由，，得， 因此， 当且仅当时取等号，由，得时取等号， 所以当时，取得最大值. 题型四 基本不等式的恒成立问题 41．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 42．（25-26高二下·安徽合肥·期末）“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用命题的否定将命题变为真命题，再分离参数后结合均值不等式求的最大值． 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 由，得， 令， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取最小值为， 所以的最大值为． 43．（25-26高二下·天津河西·期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】化简，，结合基本不等式求其最小值，结合条件求的范围可得结论. 【详解】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 44．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得恒成立，利用基本不等式求出的最大值即可． 【详解】依题意，对任意正实数，不等式恒成立． 只需求出当为正数时，的最大值． 因为为正实数， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 又当时， 所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 45．（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 46．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解． 【详解】由两个正实数满足， 即，， 所以， 当且仅当时等号成立， 又恒成立， 所以，解得． 故选：C． 47．（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，进而得到实数的取值范围. 【详解】由都是正数，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为， 又由恒成立，所以. 故选：A. 48．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解. 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 49．（2025高一上·河南安阳·专题练习）设，，且恒成立，则n的最大值为___________. 【答案】 【分析】恒成立，等价于恒成立，又，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，，， 则恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需，所以的最大值为. 故答案为：. 50．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为___________． 【答案】/0.5 【分析】利用已知条件化简不等式，再用换元法构造函数，利用柯西不等式求函数最小值，从而得出的最大值． 【详解】，， ， 原不等式化简为， ，，， ， ，，， ， 令， 令，则，则， 则， 当时， ， 当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，即，，当且仅当， 即时等号成立，此时， ， ，故最大值为． 故答案为：． 51．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知实数，，满足． (1)证明对任意的，，恒成立， (2)若为大于1的自然数，能够使得对任意的，，恒成立，求的值； (3)自然数p，m，n满足什么条件时，不等式对任意的，，恒成立？ 【答案】(1)证明见解析； (2)2或3； (3)，理由见解析； 【分析】（1）令，则，所以，证毕； （2）令，则，变形，只需，不等式两边同除以，令，参变分离得到，由基本不等式求出，所以，所以或3； （3）同（2），变形得到，由基本不等式得到，故，得到，证毕. 【详解】（1），令， 则， 所以 ， 所以恒成立； （2）令，则， 故 ， 其中，要想，只需， 不等式两边同除以得， 令，故，即， 由于，当且仅当，时，等号成立， 所以，为大于1的自然数，所以或3； （3）自然数p，m，n满足时，对，，恒成立； 理由如下：令，则， 则， 其中，要想，只需， 不等式两边同除以得， 令，故，即， p，m，n为自然数，其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，即， 所以，，必要性成立， 当时，，即， 所以， 所以对，，恒成立，充分性成立， 综上，自然数p，m，n满足时，对，，恒成立. 52．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值； （2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则， 【详解】（1） ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 题型五 基本不等式的实际应用 53．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 54．（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1) (2)万元. 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 55．（25-26高一上·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 【答案】(1)玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入 (2)该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和 【分析】（1）设玩具的单价为元，根据题意可得，运算求解即可； （2）根据题意整理可得，原题意即为存在，有解，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 56．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 57．（25-26高一上·陕西延安·期中）某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. (1)试写出与的等量关系式； (2)求该库房的最低总造价. 【答案】(1) (2)216000元. 【分析】（1）利用矩形面积公式即可求出总造价函数解析式； （2）利用基本不等式求解最小值即可得解. 【详解】（1）根据题意可得库房左侧面和右侧面的墙面面积之和为， 库房前面和后面的墙面面积之和为， 所以. （2）由（1）得， 当且仅当，即时，等号成立. 故该库房的最低总造价为216000元. 58．（25-26高一上·四川·阶段检测）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】(1)米，元 (2) 【分析】（1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $