专题01 直线方程的综合应用问题十类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 以五大核心（倾斜角与斜率等）为主线，通过“解题通法+题型归纳+压轴挑战”三阶体系，系统提炼十类题型的特征与方法，强化知识逻辑与核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|明确四大底线原则（如斜率不存在等）|构建倾斜角与斜率、直线方程等核心概念框架| |题型归纳|10题型（每题型1典例+3变式）|每题型提炼特征与方法（如倾斜角范围结合正切单调性）|从基础概念到综合应用（如三线围成三角形）的递进| |压轴挑战|15题|综合应用五大核心与通法|融合距离最值、参数范围等高考高频考点|

专题01 直线方程的综合应用问题十类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、倾斜角的取值范围 题型二、利用直线与线段（射线）的相交关系求斜率 题型三、斜率公式的综合应用 题型四、利用直线的截距关系求直线的方程 题型五、利用直线平行与垂直的关系求参数 题型六、含参动直线的过定点及其应用问题 题型七、三线能围成三角形的问题 题型八、到角公式的应用问题 题型九、求中线、高线、角平分线的直线方程 题型十、两点距离、点到直线的距离以及两平行线距离的综合应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线方程的综合应用是高中解析几何入门板块的核心题型，所有题型均围绕倾斜角与斜率、直线方程求解、直线位置关系、定点问题、距离计算五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是留意斜率不存在的特殊情况，二是区分截距为零与截距相等的不同情形，三是三线围成三角形要排除平行与共点情况，四是直线相交问题注意线段和直线范围差异，所有参数结果与直线方程最终均需验证是否满足题干限制条件 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、倾斜角的取值范围 典例1 直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以.． 题型模版 1.特征：已知直线相关条件求解倾斜角取值范围，常结合斜率变化分析角度区间，易忽略斜率不存在对应的倾斜角情况. 2.方法：先明确倾斜角基础取值区间，建立倾斜角和斜率的对应关系，借助正切函数单调性划分区间讨论，区分斜率正负、斜率不存在的不同情形，确定倾斜角最终范围. 变式1-1已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，结合斜率的范围求解即可. 【详解】若，直线的方程为，所以直线的倾斜角，排除A，C. 若，则， 所以， 又，所以， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D.． 变式1-2若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量得出斜率，再根据斜率的范围得出倾斜角的范围. 【详解】直线的方向向量， 所以斜率为，， 则， 则倾斜角的取值范围是. 故选：C.． 变式1-3若点，点为曲线：上一点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D．以上三项都不对 【答案】D 【分析】由题意可画出曲线的图象，然后对点在图象上的运动情况分情况讨论，求出相应的的斜率，从而可求得相应的倾斜角范围，即可求解. 【详解】由题意可得对于曲线：， 当，时，曲线：， 当，时，曲线：， 当，时，曲线：， 当，时，曲线：， 可画出下图，，，，，， 当点位于点处时，此时，则倾斜角为； 当点在正方形（不包含点）上运动时，此时， 则倾斜角； 当点在上运动时，此时，倾斜角； 综上所述：直线的倾斜角取值范围为，故A、B、C错误，D正确. 故选：D.   ． 类型二、利用直线与线段（射线）的相交关系求斜率 典例2 已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线过定点，再利用过定点的直线与两点的斜率，结合图象可得到斜率范围，从而可确定倾斜角范围. 【详解】 由题可知直线过定点．，， 与线段相交，由题意设直线的斜率为或． 由于在及上均单调递增， 直线的倾斜角的范围为． 故选:C．． 题型模版 1.特征：已知过定点的动直线与给定线段或者射线存在相交关系，求解直线斜率的取值范围，容易忽略斜率不存在的临界情况 2.方法：先计算定点与线段两端点连线对应的斜率，结合图像观察直线转动过程中斜率的变化趋势，区分斜率连续变化和断开跳跃的区间，确认临界斜率能否取到，同时检验竖直直线也就是斜率不存在的情形是否满足相交条件. 变式2-1已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程可确定直线过定点；求出有公共点的临界状态时的斜率，即和；根据位置关系可确定的范围. 【详解】直线经过定点，又点，， 所以，， 又因为直线的斜率为，所以结合图形可得的取值范围为. 故选：A.   ． 变式2-2经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据直线与线段无交点，应用数形结合求倾斜角的范围. 【详解】如图所示，直线与线段没有公共点，若为直线的倾斜角，    直线可从直线逆时针旋转到直线的位置，注意包含直线倾斜角为的情况， ，， 直线的区域包含倾斜角为的情况， 斜率或，从而或， 又，结合正切曲线可得． 故答案为：． 变式2-3已知直线与线段（或）的延长线相交，其中，，求直线斜率的取值范围． 【答案】 【分析】解法1：数形结合，根据直线的倾斜角与斜率的变化关系求斜率的取值范围. 解法2：先求直线与线段有公共点时斜率的取值范围，再求其补集即可. 解法3：根据，在直线的两侧，列不等式求解. 【详解】解法1：直线过定点， 如图，因为直线与线段（或）的延长线相交，所以或．    因为， 所以或． 即. 解法2 ：当直线与线段相交时，或，即或； 当直线与线段平行时，． 所以当直线与线段（或）的延长线相交时，且． 即. 解法3：因为直线： 设 由于直线不与线段相交，故， 即，即，解得．且. 即.． 题型三、斜率公式的综合应用 典例3 已知函数，且，则，，的大小关系为______（用“＞”连接）． 【答案】 【分析】对于函数图像上的点，和点，比较，，的大小时，可将问题转化为比较图像上的点分别与点连线所在直线的斜率的大小． 【详解】由题意可知：的几何意义为点和点连线所在直线的斜率． 如图所示，， 分别为图中直线①，直线②，直线③的斜率， 根据图像知， 故答案为：． 题型模版 1.特征：一类是函数值与自变量的比值比较大小，可转化为曲线上动点和原点连线的斜率；另一类是已知三点坐标，判定或者求解三点共线相关参数，两类题型都依托斜率公式求解，容易忽略直线竖直、斜率不存在的特殊情况； 2.方法：比值比较问题将分式改写为两点斜率形式，结合函数图像凹凸性判断斜率随自变量的变化趋势，完成大小对比；三点共线问题任选两组点分别计算斜率，两条直线斜率相等且存在公共点时三点共线，运算全程留意横坐标相等、斜率不存在的竖直直线情形，求出结果后进行检验。 变式3-1已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出三点共线时的所有值，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】当时，三点均在直线上； 当时，，而直线的斜率不存在，显然三点不在一条直线上； 当时，若三点共线，则，即，解得或． 综上，若三点共线，则或或， 故“三点共线”是“－4或”的必要不充分条件． 故选：C.． 变式3-2已知实数满足，则的最大值为______． 【答案】8 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8． 变式3-3已知，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】将看成是平面直角坐标系中点与点连线的斜率，然后根据的范围求出斜率的范围，进而得出结果. 【详解】表示平面直角坐标系中点与点连线的斜率， 其中点在直线的的部分上，点在线段上， 取点，点的坐标为时，直线的斜率为， 当时，直线的斜率小于0且趋近于0， 所以的取值范围是． 故答案为：.. 题型四、利用直线的截距关系求直线的方程 典例4 （多选）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据截距式直线方程的定义进行求解即可. 【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为， 由题可得，所以或， 解得或，所以直线方程为或，故A，C正确； 当直线的截距为0时，设直线方程为，由题可知，故直线方程为，故D正确. 故选：ACD.． 题型模版 1.特征：题目给出直线在坐标轴上截距的等量、倍数或正负相关条件，求解直线方程，容易忽略截距为零、直线过原点，或是直线垂直坐标轴不存在对应截距的特殊情况； 2.方法：比值先区分截距是否为零，截距不为零时使用截距式设出直线方程，结合截距关系列式求解参数；截距等于零时直线过原点，改用斜截式处理，求出直线方程后检验是否符合题干全部限制条件，排除增根。 变式4-1（多选）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据直线在坐标轴上的截距是否为零进行分类讨论，结合截距互为相反数求得正确答案. 【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为， 又直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即； 若直线在坐标轴上的截距不为0， 设直线方程为，又直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，即． 综上可知，所求直线方程为或．． 变式4-2已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 变式4-3直线过点，且在轴、轴上的截距互为相反数，则直线的方程为________. 【答案】或 【分析】分截距为0和不为0两种情况讨论求解.在截距不为0的情况下，利用直线的截距式求解. 【详解】当轴、轴上的截距为0时，直线过，又过，则， 的方程为，即； 当轴、轴上的截距不为0时，直线在轴、轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为，又过，， ，设直线的方程为，即. 综上可知，直线的方程为或. 故答案为：或． 题型五、利用直线平行与垂直的关系求参数 典例5-1 直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由两直线互相垂直可得或，再结合充分必要条件定义即可得解. 【详解】，则，即，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 典例5-2 若方程表示两条平行的直线，则的值为__________. 【答案】2 【分析】将所给方程进行配凑化简，可得，由题意，两直线平行，求得，分别代入检验，即可得答案. 【详解】方程可化为， 即， 所以， 则或， 因为表示两条平行的直线， 所以，解， 当时，两直线为和，符合题意， 当时，两直线为和，即， 则两直线重合，不符合题意，所以的值为2. 故答案为：2． 题型模版 1.特征：给出两条含参数直线的一般式或斜截式，依据平行、垂直的位置关系求解参数，容易漏掉直线斜率不存在的特殊情况，平行问题还需检验两直线是否重合； 2.方法：先判断直线斜率是否存在，两条直线平行时斜率相等且截距不等，两条直线垂直时斜率乘积为负一，若存在竖直直线则单独判定垂直关系，算出参数后代回原直线方程，检验排除重合或者不符合位置关系的解。 变式5-1（多选）已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 【答案】AC 【详解】令，则，得，则直线恒过点，故A正确； ，则斜率为，故不存在m使得直线的倾斜角为，故B错误； 若，则，得， 若，则，此时两直线平行，故，故C正确； 若，则，则，故存在实数m使得，故D错误．． 变式5-2已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据两直线位置关系得且，然后利用基本不等式求解即可． 【详解】原方程组无解等价于直线与直线平行， 所以且． 又，，所以（）， 即取值范围是． 变式5-3若关于，的方程组无解，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由题知直线与直线平行，进而得，再根据配方求最值即可. 【详解】因为关于，的方程组无解， 所以直线与直线平行， 所以，即， 所以,即的最小值为. 故选：B ． 类型六、含参动直线的过定点及其应用问题 典例6 已知直线：． （1）求经过的定点坐标； （2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点． ①的面积为，求的最小值和此时直线的方程； ②当取最小值时，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）①的最小值为，；②. 【分析】（1）整理已知方程，使得的系数等于即可求解； （2）①求出点，的坐标，利用表示的面积为，利用基本不等式求最值，由等号成立的条件可得的值，进而可得直线的方程；②设直线的倾斜角为，则，可得，，再利用三角函数的性质计算 的最小值，以及此时的值，进而可得的值以及直线的方程. 【详解】（1）由可得：， 由可得，所以经过的定点坐标； （2）直线：， 令可得；令，可得， 所以， 由可得：， ①的面积 ， 当且仅当即时等号成立，的最小值为， 此时直线的方程为：即； ②设直线的倾斜角为，则，可得，， 所以， 令， 因为，可得，， ， 将两边平方可得：， 所以， 所以， 因为在上单调递增，所以 ，所以，此时， 可得，所以， 所以直线的方程为.． 题型模版 1.特征：给出带有参数的动直线方程，探究直线恒过定点，或是依托定点解决距离最值、范围相关问题，容易出现整理式子时分组出错，以及忽略定点在特殊位置的几何情形. 2.方法：将直线方程按照参数整理，拆成参数相关项与常数项两组，令两组式子分别等于零，联立方程组求解得到定点坐标；找到定点后结合几何性质处理后续最值问题，最后代入原直线方程验证定点是否恒满足等式. 变式6-1已知直线． (1)求直线过定点的坐标； (2)求原点到直线l的距离的最大值. (3)若交轴正半轴于，交轴正半轴于，的面积为，求最小值时直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直线可化为即可得解； （2）根据直线过定点，可得原点到直线的距离的最大值； （3）根据直线的方程，分别求出直线在轴，轴上的截距，再结合三角形的面积公式，以及基本不等式即可求解. 【详解】（1）直线可化为， 直线过定点． （2）      如图：连接， 当不与垂直时，过作于， 在直角三角形中，， 即此时原点到直线l的距离， 所以当时，为最大值， 故原点到直线l的距离的最大值. （3）设， 直线过得：， ，当且仅当，即取等号， ， ，当时，最小值为， 此时，直线的方程为，即．． 变式6-2已知直线. （1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求面积的最小值； （3）已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的方程. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据方程可得直线l恒过定点，然后可得答案； （2）可得，然后利用基本不等式可求出其最小值； （3）当时，d最大，然后可求出答案. 【详解】（1）直线l的方程为，直线l恒过定点， ∴若直线l不经过第四象限，则， （2）因为直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，所以 取，，，， 所以，当且仅当时等号成立. （3）当时，d最大，，可得直线的斜率为， 则直线的方程，即.． 变式6-3已知直线. (1)直线经过定点吗？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，说明理由； (2)求原点到直线距离的最大值； (3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，当面积最小时，求对应的直线的方程. 【答案】(1)直线恒过定点； (2) (3)面积的最小值为4，直线方程为 【分析】（1）直线可化为，然后结合直线系方程可求； （2）当时，原点到直线的距离最大，结合两点间距离公式可求； （3）设直线的方程为，，由直线过定点，可得，然后结合基本不等式可求． 【详解】（1）直线可化为， 令，解得，，即直线恒过定点； （2）当时，原点到直线的距离最大，此时最大值； （3）设直线的方程为，， 因为直线过定点，所以， 由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得， 故面积，即面积的最小值为4， 此时直线方程为，即．． 类型七、三线能围成三角形的问题 典例7 已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为.． 题型模版 1.特征：给出三条含参数直线，判断或求解参数范围使得三条直线可以围成三角形，核心反面情况是三线共点或者存在两条直线互相平行，解题容易遗漏其中一种否定情况. 2.方法：先求出任意两条直线平行时对应的参数，再联立直线方程算出三线共点时的参数，排除以上两类不能构成三角形的参数取值，剩余范围即为所求，最后检验结果是否完整 变式7-1两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解. 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， ，不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 两直线与轴相交且能构成三角形， 直线不能经过原点，； 直线与轴不能平行，，即； 直线与直线不能平行，，即， 综上得满足的条件是：且.． 变式7-2已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【详解】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为.． 变式7-3已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标；在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为0和不为0两种情况讨论即可； （2）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可． 【详解】（1）由题意得，，解得，∴点P的坐标为． 设所求直线为l， （i）当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为， 则，解得，所以直线l的方程为，即； （ⅱ）当直线l在两坐标轴上的截距为0时， 设直线方程为，则，解得， ∴直线l的方程为，即． 综上，直线l的方程为或． （2）（i）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （iii）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 即实数a的取值范围为. 类型八、到角公式的应用问题 典例2 如图所示 ，正方形一条对角线所在的直线斜率为 ，则正方形两条邻边所在的直线的斜率为____ . 【答案】 或 【详解】设正方形两条邻边所在的直线的斜率为 ，对角线的斜率为 则有夹角公式得 即 则 或 解得 或 题型模版 1.特征：已知相交的两条直线以及一条转过固定到角的目标直线，求解直线斜率或方程，容易混淆到角与夹角，忽略到角具有方向、顺序不可调换，同时遗漏直线斜率不存在的特殊情况 2.方法：先分清起始直线与终止直线，严格按照到角的先后顺序套用公式，若存在竖直直线则单独分析角度关系，算出斜率后写出直线方程，最后画图检验角度方向是否符合题意 变式8-1在平面直角坐标系中，已知两直线：和：，定点. (1)若与相交于点，求直线的方程； (2)若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求交点，再求直线的斜率，利用点斜式即可求解； （2）设，又为的中点，得，又在直线上，解出，进而得点坐标，求出，直线的斜率，由解出，进而求解. 【详解】（1）由题意有：，所以， 所以，所以 ，即， 所以直线的方程为： （2）由题意，可设，又为的中点，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 所以， 所以， 又的方程为，所以的斜率为， 因为恰好是的角平分线所在的直线， 所以，即，解得， 所以，即， 所以直线的方程为：.． 变式8-2已知的三个顶点是，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)的角平分线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对于求边BC上的中线所在直线方程：首先要找到BC中点坐标，根据中点坐标公式，然后利用两点式求直线方程； （2）对于求边BC上的高所在直线方程：先求BC边的斜率，根据斜率公式，高与BC垂直，两条垂直直线斜率乘积为，再利用点斜式求直线方程； （3）对于求的角平分线所在直线方程：先求AB和BC边的斜率，根据夹角公式，设角平分线斜率为，求出，再利用点斜式求出直线方程. 【详解】（1）首先求BC中点坐标，已知， 根据中点坐标公式，BC中点， 已知中线过和两点，根据两点式， 即，化简得，整理得. （2）先求BC边的斜率，已知， 根据斜率公式， 因为高与BC垂直，设高的斜率为，则，解得， 又因为高过点，根据点斜式，整理得. （3）先求AB边的斜率，BC边的斜率， 设角平分线斜率为，根据夹角公式得，化简 交叉相乘得， 继续化简，即或， 继续化简（舍去），或，即， 因为角平分线的斜率应该在和之间，所以， 又因为角平分线过点，根据点斜式，整理得.． 变式8-3在中，所在的直线方程：；所在的直线方程：；所在的直线方程：； (1)求边的高线所在直线方程； (2)已知直线l过点A且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般式方程； (3)求的角平分线所在直线方程. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求得，结合直线垂直关系即可求解； （2）由截距为0和截距不为0两类情况计算即可； （3）由直线夹角公式求得斜率，即可求解. 【详解】（1）联立方程：和， 解得，即, 又直线斜率为，所以边的高线所在直线斜率为， 所以直线方程为：， 即 （2）由（1）知， 当截距为0时，直线方程为：，即； 当截距不为0时，设直线方程为， 代入得：，解得， 直线方程为； 所以过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为：或 （3） ，设的角平分线所在直线斜率为， 由直线的夹角公式可得：, 即， 解得：，结合图像可知，舍去， 所以的角平分线所在直线方程为：， 即． 类型九、求中线、高线、角平分线的直线方程 典例9 在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 【答案】 【分析】根据点与过点的角平分线方程，过点的中线的方程，可求出点的坐标，再根据点关于过点的角平分线的对称点在直线上，求出点关于角平分线的对称点即可求出直线的方程. 【详解】因为过点的角平分线方程是，所以设， 又因为，所以线段的中点为， 又因为过点的中线的方程是， 所以， 解之得，于是， 设关于直线的对称点为， 所以， 解之得，即， 因为直线为过点的角平分线方程， 所以在直线上， 所以直线即直线， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. ． 题型模版 1.特征：已知三角形顶点坐标，求解中线、高线、角平分线对应的直线方程，三类直线各自具备不同几何性质，容易混淆垂直、中点、距离相等的对应条件，还会忽略斜率不存在的特殊直线情况 2.方法：求中线先利用中点公式算出对边中点，再结合顶点两点式写方程；求高线依据高线和底边垂直得到斜率，搭配顶点写出直线；求角平分线可使用角平分线上点到两边距离相等求解，算出结果后剔除不符合内角范围的解，最后核对直线是否落在三角形内部. 变式9-1已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的角平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由边上的高所在直线方程得到边所在直线的斜率，利用点斜式写出方程即可； （2）设点B的坐标为，由点是边的中点，可得点的坐标，点B在直线上，点A在直线上，联立方程组即可求得的值，从而得解． （3）求得直线的方程，设的角平分线上任意一点的坐标为，利用点到直线的距离公式可得，求解即可. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以边所在直线的斜率为，且经过点， 所以边所在直线的方程为， 即所在直线的方程为； （2）设点B的坐标为，因为边上的高所在直线方程为， 又因为点是边的中点，所以点A的坐标为， 由边所在直线的方程为， 所以，即， 由，得，所以点B的坐标为. （3）由（2）可得点A的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即， 设的角平分线上任意一点的坐标为， 又直线所在直线的方程为， 则，所以， 所以或， 即或，又因为，， 所以的角平分线所在直线的方程为． ． 变式9-2已知的顶点，在AB边上的中线CM所在的直线方程为的角平分线BH所在直线方程为. (1)求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程; (2)求直线BC的方程; (3)在线段AB上是否存在点D，满足，若存在，求D点坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1)或. (2) (3) 【分析】（1）当直线过原点时，结合直线斜率可得方程；当直线不过原点时，结合直线方程截距式可求得结果. （2）设，将中点坐标代入方程可求得点坐标；设点关于直线的对称点的坐标为，将利用和将线段的中点代入角平分线上，可得到关于的方程组，最后利用点斜式方程即可求解 （3）联立直线方程求坐标，由在线段上，设，根据垂直关系求参数n并判断点的存在性. 【详解】（1）设直线在轴上的截距分别为， 当时，直线经过原点与，则直线斜率， 直线方程为，即； 当时，可设直线方程为， 代入坐标，可得， 直线方程为； 综上所述：直线方程为或. （2）由题意知：点在直线上，则可设， 中点为， ，解得，. 设点关于直线的对称点的坐标为， 则点在直线上，线段的中点在角平分线上， 且. 由题意知，解得，即， 因为， 所以直线的方程为， 即. （3）由为直线与直线的交点， 联立，解得，则. 由点在线段上，由， 可得，则， 即， 可设，又， 因为，所以，解得， 由，，因为，所以存在.． 变式9-3在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． (1)若的角平分线所在的直线方程为，求点坐标； (2)在（1）的条件下，求边所在的直线方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设，根据的中点在直线上，以及的平分线所在的直线方程为，联立方程组求出点的坐标； （2）根据直线上的点到直线的距离相等，结合直线方程求解即可. 【详解】（1）设，则的中点为，所以，即，① 因为的平分线所在的直线方程为，所以，② 联立①②求解可得， 所以点的坐标为. （2）直线方程为，即， 设直线的方程为，则， 在直线上取点，由角平分线的性质可知，到直线的距离相等， 则，即， 又，所以，整理得， 解得或，所以直线的斜率或， 当时，直线的方程为，即，与直线重合，舍去； 当时，直线的方程为，即，满足题意. 所以直线的方程为.． 类型十、两点距离、点到直线的距离以及两平行线距离的综合应用 典例10-1 对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【分析】先求出动直线恒过的定点，原点到直线距离的最大值即为原点到该定点的距离，计算该距离即可。 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 典例10-2 已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从中解出，代入得到，则表示点到点的距离与点到点的距离之和，故的最小值就是的值，利用两点间距离公式求解即可得解. 【详解】是正数，，，，，， ， 表示点到点的距离与点 到点的距离之和， 的最小值就是的值，且， 的最小值即的最小值为. 故选：A.   ． 典例10-3 已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将问题转化成求两平行直线，间的距离，即可求解. 【详解】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. 题型模版 1.特征：综合运用两点距离、点到直线距离、两条平行线间距离公式求解参数、线段长度、图形面积等问题，容易忽略两平行线使用距离公式前要统一直线一般式系数，计算时常遗漏绝对值带来的多解情况，也会混淆三类距离对应的适用场景 2.方法：先分清题目所求距离类型，两点距离直接代入坐标运算，点到直线距离需要将直线整理为标准一般式，两条平行线距离必须统一对应未知数系数后再套用公式，计算后处理绝对值得到全部解，结合题意舍去不符合条件的答案，最后检验计算过程. 变式10-1实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】设，，，问题转化为直线上的动点到直线和点的距离之和的最小值，数形结合求最小值即可. 【详解】设，，， 表示直线上的动点到直线和点的距离之和，    令关于直线的对称点，则，可得， 所以关于直线的对称点，则， 当且仅当时取等号，故所求最小值是到的距离为. 选择：D． 变式10-2在平面直角坐标系中，已知的三个顶点是. (1)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，求证：当取得最小值直线平分的面积. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程. （2）利用基本不等式的性质求出取得最小值时的直线的方程，然后分别计算两个三角形的面积即可. 【详解】（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即； ②当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． （2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， ， 由基本不等式可得， 当且仅当即时，取等号， 此时直线的方程为，即， 点到直线的距离， 点到直线的距离， ， ， 所以， 故当取得最小值时，直线平分的面积. ． 变式10-3已知点． (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)，最大距离为 (3)不存在 【分析】（1）根据条件设出方程，再根据点到直线的距离公式，求出参数． （2）过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，由此求出直线斜率和方程，再由点到直线的距离公式求出最大距离； （3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，由此可得出结论. 【详解】（1）过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为，显然，过点且垂直于x轴的直线满足条件， 此时l的斜率不存在，其方程为． 若斜率存在，设l的方程为， 即．由已知得，解得． 此时l的方程为． 综上，可得直线l的方程为或． （2）作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图． 由，得，所以． 由直线方程的点斜式得，即． 所以直线是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为． （3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线， 因此不存在过点P且到原点的距离为3的直线 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据直线的截距式方程，对截距分情况讨论计算即可. 【详解】当横、纵截距均为0时，直线过原点，满足条件，此时方程为. 当横、纵截距不为0时，直线的截距式方程为，由题意知. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 故满足条件的直线共有3条. 2．已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，求得直线的一个方向向量为，结合向量垂直的坐标表示，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为，直线的一个方向向量为， 又由直线的方向向量为，设， 当时，可得，此时， 所以，即充分性成立； 反之：若，可得，所以， 解得，所以必要性成立， 综上可得，“”是“”的充要条件. 3．点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】求出直线恒过的定点的坐标，再求出的斜率，的斜率不存在，可得直线的斜率的范围，进而求出的范围． 【详解】直线整理可得， 联立，解得，， 即直线恒过定点， 可得，因为，的横坐标相同，所以直线斜率不存在， 所以直线与线段有交点，则直线的斜率， 而直线的斜率，解得． 所以选项D符合题意. 4．点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到定点之间的距离即可求得. 【详解】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 5．（多选）下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 【答案】ACD 【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误； 对B：在轴上的截距为，故B正确； 对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误； 对D：，即，其恒过定点， 又， 故点到直线的最大距离为，故D错误. 6．（多选）下列说法正确的是（   ） A．直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据直线方向向量的定义，求得直线的斜率，可判定A正确；根据两直线垂直，列出方程，求得的值，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；求得直线过定点，结合与直线垂直时距离最大，求得的值，可判定C正确，结合斜率公式，求得的值，结合图象，可判定D正确. 【详解】对于A，因为直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于，所以A正确； 对于B，由直线与直线互相垂直， 可得，即，解得或， 所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C，因为直线，可化为， 由，解得，即直线恒过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大， 所以，解得，所以C正确； 对于D，因为，可得， 如图所示，要使得过定点的直线与以线段有交点， 则满足或，所以直线l的斜率k的取值范围是，所以D正确. ． 7．设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，.． 8．数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，则中垂线所在直线的方程为______． 【答案】 【详解】 已知，设中点为，则， 由斜率公式可得， 设中垂线所在直线斜率为，则，解得， 故中垂线所在直线的方程为，一般式为． 9．在平面直角坐标系中，已知射线：，：，过点作直线分别交射线，于点A，B. （1）当的中点在直线上时，直线的方程为______． （2）当的面积取得最小值时，直线的方程为______． 【答案】 ； ． 【分析】（1）设，求出线段的中点坐标，根据题意列方程组求出a、b，求得直线的方程； （2）根据题意利用基本不等式求出面积的最小值时对应的点A、B的坐标，即可求出直线的方程； 【详解】（1）设，则线段的中点为； 所以，且， 分别化为：, 解得； 所以直线的方程为：，整理得； （2）设，，而， 又P在直线上，，即， ，当且仅当时等号成立， 此时直线的方程为，即．． 10．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是___________ 【答案】/0.36 【分析】分情况讨论，当时，，当时，根据直线方程确定，利用勾股定理得到,结合基本不等式即可求得结果. 【详解】直线过定点，直线过定点， ①当时，过定点的直线方程为，过定点的直线方程为， 两直线垂直，此时，所以； ②当时，直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以两直线垂直，即点可视为以为直径的圆上的点， 因为点不与点或点重合，为直角三角形，且， 所以 当且仅当时等号成立， 综上，故的最小值为.． 11．已知两条直线，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值，并求直线与之间的距离. 【答案】(1)； (2)，两平行线间距离为. 【分析】（1）应用直线垂直的判定列方程求参数值； （2）由直线平行的判定列方程求参数值，注意排除重合的情况，再由平行线的距离公式求距离. 【详解】（1）因为，所以满足，解得； （2）因为，所以满足，解得或， 当时，两直线重合，不符， 所以，此时，，满足， 两平行线之间距离为． 12．设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程； (3)设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）方程转化成，由且，得到，再由，得到； （2）由中点坐标公式得到的中点坐标即可求解； （3）法一：由动点在上运动和动点在上运动，由斜率的几何意义即可求解；法二：确定线段的方程为且，设，联立得到，即可求解. 【详解】（1） 由可得， 令且，解得，， 故直线恒过定点         设，则， 故则， 解得，故 （2）由于，， 故的中点坐标，则， 故直线方程为，即 （3）法一：设与轴的交点为， ①当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当与重合时，， 当在轴上时，，所以.   ②当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当在轴上时，， 当与重合时，，所以，             综上可得.        法二：由于，， 得，所以，即 则线段的方程为且③③     设，其中不为0， 得代入③化简整理得， 即，且， 令，且， 解得 ，则， 即． 13．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为. (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据的中点和点在直线，结合与垂直，点在直线上列方程组求出点，坐标，然后可得； （2）根据直线上的点到直线的距离相等，结合（1）中方程求解即可. 【详解】（1）设， 则,即①，②， 又直线与直线垂直，所以，即③， 联立②③解得， 又④，联立①④解得， 所以直线的方程为，即. （2）因为的平分线所在的直线方程为，所以⑤， 联立①⑤求解可得， 则直线方程为，即， 设直线的方程为，则 在直线上取点，由角平分线定理可知，到直线的距离相等， 则，即， 又，所以，整理得， 解得或，所以直线的斜率或， 当时，直线的方程为， 即，与直线重合，舍去； 当时，直线的方程为，即，满足题意. 所以直线的方程为.． 14．已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)当时，直线与重合；当时，直线与相交 (2)的最小值为，此时直线的方程为。 【分析】（1）先将两直线方程化为斜截式，再进行判断即可； （2）由题设易得，，，进而表示出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）直线，即， 直线，即， 当时，直线即为，此时两直线重合； 当时，直线与直线斜率不相等，即两直线相交. （2）直线：， 当时，直线：，显然不满足题意，所以， 令，得，令，得，即，． 依题意得，解得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，此时直线的方程为． 15．已知过点的直线l分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于点． (1)当时，求直线l的倾斜角大小； (2)求面积的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入得坐标，根据斜率公式及斜率与倾斜角的关系，即可求解； （2）设直线，代入坐标可得，利用均值不等式可得，进而求得面积的最小值； （3）直线的倾斜角为，设，设直线的方程为，将代入直线方程中，可用表示，，进而利用三角换元求解. 【详解】（1）由题，，当时，为， 则斜率， 因为直线经过x轴的正半轴，y轴的正半轴， 所以设直线的倾斜角为，则， 所以. （2）由题，， 设直线，将点代入方程可得， 所以，所以，当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以的最小值为. （3）由（1），直线的倾斜角为，设， 则直线的方程为， 将代入可得，， 所以斜边长 ，则设 ， 令 ，则， 所以， 由 ，所以， 当且仅当 ，即 时取等， 此时 .． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线方程的综合应用问题十类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、倾斜角的取值范围 题型二、利用直线与线段（射线）的相交关系求斜率 题型三、斜率公式的综合应用 题型四、利用直线的截距关系求直线的方程 题型五、利用直线平行与垂直的关系求参数 题型六、含参动直线的过定点及其应用问题 题型七、三线能围成三角形的问题 题型八、到角公式的应用问题 题型九、求中线、高线、角平分线的直线方程 题型十、两点距离、点到直线的距离以及两平行线距离的综合应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线方程的综合应用是高中解析几何入门板块的核心题型，所有题型均围绕倾斜角与斜率、直线方程求解、直线位置关系、定点问题、距离计算五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是留意斜率不存在的特殊情况，二是区分截距为零与截距相等的不同情形，三是三线围成三角形要排除平行与共点情况，四是直线相交问题注意线段和直线范围差异，所有参数结果与直线方程最终均需验证是否满足题干限制条件 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、倾斜角的取值范围 典例1 直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：已知直线相关条件求解倾斜角取值范围，常结合斜率变化分析角度区间，易忽略斜率不存在对应的倾斜角情况. 2.方法：先明确倾斜角基础取值区间，建立倾斜角和斜率的对应关系，借助正切函数单调性划分区间讨论，区分斜率正负、斜率不存在的不同情形，确定倾斜角最终范围. 变式1-1已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-2若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-3若点，点为曲线：上一点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D．以上三项都不对 类型二、利用直线与线段（射线）的相交关系求斜率 典例2 已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：已知过定点的动直线与给定线段或者射线存在相交关系，求解直线斜率的取值范围，容易忽略斜率不存在的临界情况 2.方法：先计算定点与线段两端点连线对应的斜率，结合图像观察直线转动过程中斜率的变化趋势，区分斜率连续变化和断开跳跃的区间，确认临界斜率能否取到，同时检验竖直直线也就是斜率不存在的情形是否满足相交条件. 变式2-1已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-2经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______． 变式2-3已知直线与线段（或）的延长线相交，其中，，求直线斜率的取值范围． 题型三、斜率公式的综合应用 典例3 已知函数，且，则，，的大小关系为______（用“＞”连接）． 题型模版 1.特征：一类是函数值与自变量的比值比较大小，可转化为曲线上动点和原点连线的斜率；另一类是已知三点坐标，判定或者求解三点共线相关参数，两类题型都依托斜率公式求解，容易忽略直线竖直、斜率不存在的特殊情况； 2.方法：比值比较问题将分式改写为两点斜率形式，结合函数图像凹凸性判断斜率随自变量的变化趋势，完成大小对比；三点共线问题任选两组点分别计算斜率，两条直线斜率相等且存在公共点时三点共线，运算全程留意横坐标相等、斜率不存在的竖直直线情形，求出结果后进行检验。 变式3-1已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-2已知实数满足，则的最大值为______． 变式3-3已知，则的取值范围是________． 题型四、利用直线的截距关系求直线的方程 典例4 （多选）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：题目给出直线在坐标轴上截距的等量、倍数或正负相关条件，求解直线方程，容易忽略截距为零、直线过原点，或是直线垂直坐标轴不存在对应截距的特殊情况； 2.方法：比值先区分截距是否为零，截距不为零时使用截距式设出直线方程，结合截距关系列式求解参数；截距等于零时直线过原点，改用斜截式处理，求出直线方程后检验是否符合题干全部限制条件，排除增根。 变式4-1（多选）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 变式4-2已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式4-3直线过点，且在轴、轴上的截距互为相反数，则直线的方程为________. 题型五、利用直线平行与垂直的关系求参数 典例5-1 直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 典例5-2 若方程表示两条平行的直线，则的值为__________. 题型模版 1.特征：给出两条含参数直线的一般式或斜截式，依据平行、垂直的位置关系求解参数，容易漏掉直线斜率不存在的特殊情况，平行问题还需检验两直线是否重合； 2.方法：先判断直线斜率是否存在，两条直线平行时斜率相等且截距不等，两条直线垂直时斜率乘积为负一，若存在竖直直线则单独判定垂直关系，算出参数后代回原直线方程，检验排除重合或者不符合位置关系的解。 变式5-1（多选）已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 变式5-2已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 变式5-3若关于，的方程组无解，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． ． 类型六、含参动直线的过定点及其应用问题 典例6 已知直线：． （1）求经过的定点坐标； （2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点． ①的面积为，求的最小值和此时直线的方程； ②当取最小值时，求直线的方程． 题型模版 1.特征：给出带有参数的动直线方程，探究直线恒过定点，或是依托定点解决距离最值、范围相关问题，容易出现整理式子时分组出错，以及忽略定点在特殊位置的几何情形. 2.方法：将直线方程按照参数整理，拆成参数相关项与常数项两组，令两组式子分别等于零，联立方程组求解得到定点坐标；找到定点后结合几何性质处理后续最值问题，最后代入原直线方程验证定点是否恒满足等式. 变式6-1已知直线． (1)求直线过定点的坐标； (2)求原点到直线l的距离的最大值. (3)若交轴正半轴于，交轴正半轴于，的面积为，求最小值时直线的方程． 变式6-2已知直线. （1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求面积的最小值； （3）已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的方程. 变式6-3已知直线. (1)直线经过定点吗？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，说明理由； (2)求原点到直线距离的最大值； (3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，当面积最小时，求对应的直线的方程. 类型七、三线能围成三角形的问题 典例7 已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 题型模版 1.特征：给出三条含参数直线，判断或求解参数范围使得三条直线可以围成三角形，核心反面情况是三线共点或者存在两条直线互相平行，解题容易遗漏其中一种否定情况. 2.方法：先求出任意两条直线平行时对应的参数，再联立直线方程算出三线共点时的参数，排除以上两类不能构成三角形的参数取值，剩余范围即为所求，最后检验结果是否完整 变式7-1两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 变式7-2已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围.                                                                    ． 变式7-3已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 类型八、到角公式的应用问题 典例2 如图所示 ，正方形一条对角线所在的直线斜率为 ，则正方形两条邻边所在的直线的斜率为____ . 题型模版 1.特征：已知相交的两条直线以及一条转过固定到角的目标直线，求解直线斜率或方程，容易混淆到角与夹角，忽略到角具有方向、顺序不可调换，同时遗漏直线斜率不存在的特殊情况 2.方法：先分清起始直线与终止直线，严格按照到角的先后顺序套用公式，若存在竖直直线则单独分析角度关系，算出斜率后写出直线方程，最后画图检验角度方向是否符合题意 变式8-1在平面直角坐标系中，已知两直线：和：，定点. (1)若与相交于点，求直线的方程； (2)若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程. 变式8-2已知的三个顶点是，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)的角平分线所在直线的方程. 变式8-3在中，所在的直线方程：；所在的直线方程：；所在的直线方程：； (1)求边的高线所在直线方程； (2)已知直线l过点A且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般式方程； (3)求的角平分线所在直线方程. 类型九、求中线、高线、角平分线的直线方程 典例9 在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 题型模版 1.特征：已知三角形顶点坐标，求解中线、高线、角平分线对应的直线方程，三类直线各自具备不同几何性质，容易混淆垂直、中点、距离相等的对应条件，还会忽略斜率不存在的特殊直线情况 2.方法：求中线先利用中点公式算出对边中点，再结合顶点两点式写方程；求高线依据高线和底边垂直得到斜率，搭配顶点写出直线；求角平分线可使用角平分线上点到两边距离相等求解，算出结果后剔除不符合内角范围的解，最后核对直线是否落在三角形内部. 变式9-1已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的角平分线所在直线的方程． 变式9-2已知的顶点，在AB边上的中线CM所在的直线方程为的角平分线BH所在直线方程为. (1)求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程; (2)求直线BC的方程; (3)在线段AB上是否存在点D，满足，若存在，求D点坐标，若不存在，说明理由. 变式9-3在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． (1)若的角平分线所在的直线方程为，求点坐标； (2)在（1）的条件下，求边所在的直线方程． 类型十、两点距离、点到直线的距离以及两平行线距离的综合应用 典例10-1 对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 典例10-2 已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 典例10-3 已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：综合运用两点距离、点到直线距离、两条平行线间距离公式求解参数、线段长度、图形面积等问题，容易忽略两平行线使用距离公式前要统一直线一般式系数，计算时常遗漏绝对值带来的多解情况，也会混淆三类距离对应的适用场景 2.方法：先分清题目所求距离类型，两点距离直接代入坐标运算，点到直线距离需要将直线整理为标准一般式，两条平行线距离必须统一对应未知数系数后再套用公式，计算后处理绝对值得到全部解，结合题意舍去不符合条件的答案，最后检验计算过程. 变式10-1实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 变式10-2在平面直角坐标系中，已知的三个顶点是. (1)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，求证：当取得最小值直线平分的面积. 变式10-3已知点． (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 4．点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 5．（多选）下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 6．（多选）下列说法正确的是（   ） A．直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 7．设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 8．数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，则中垂线所在直线的方程为______． 9．在平面直角坐标系中，已知射线：，：，过点作直线分别交射线，于点A，B. （1）当的中点在直线上时，直线的方程为______． （2）当的面积取得最小值时，直线的方程为______． 10．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是___________ 11．已知两条直线，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值，并求直线与之间的距离. 12．设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程； (3)设点，若是线段上的动点，求的取值范围.                         ． 13．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为. (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程. 14．已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 15．已知过点的直线l分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于点． (1)当时，求直线l的倾斜角大小； (2)求面积的最小值； (3)求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $