专题01 直线倾斜角·斜率·平行·垂直五大模型（题型专练）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 以“概念-方法-应用”为主线，系统构建直线倾斜角、斜率及平行垂直的五大题型方法体系，突出数学抽象与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |倾斜角与斜率|1典例+3变式|定义辨析（运动观点）、斜率存在性判断|从倾斜角定义（0-π范围）到斜率概念（tanθ），建立角与数的对应| |斜率求算|1典例+3变式|定义法、两点公式法、数形结合范围法|公式推导→特殊情况（垂直无斜率）→动态范围问题| |夹角公式|1典例+3变式|斜率关系公式应用|倾斜角差→正切公式→参数求解| |平行垂直定理|1典例+3变式|斜率相等（不重合）、斜率积-1（或一斜率0一不存在）|从倾斜角关系推导斜率判定，结合一般式系数关系| |直线方程求法|1典例+3变式|平行设参法、垂直设参法、过交点系法|定理应用→方程构建→定点与面积综合|

专题01 直线倾斜角·斜率·平行·垂直五大模型 （题型突破·举一反三） 题型01 直线的倾斜角与斜率 题型02 直线的斜率求算方法 题型03 两条直线的夹角公式 题型04 平行与垂直定理 题型05 平行与垂直的直线方程求法 ▌题型01 直线的倾斜角与斜率 ①倾斜角与斜率（角度问题） Ⅰ从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角． Ⅱ规定：直线与轴平行或重合时，直线的倾斜角为． Ⅲ直线倾斜角的取值范围是：． Ⅳ在同一直角坐标系下，任何一条直线都有倾斜角且唯一，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． Ⅴ直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，即()．它从另一个方面反映了直线的倾斜程度． 注意：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率，当时，；当时，；当时，k不存在，当时，．即：斜率的取值范围为． 【典例1】直线 （t为参数）的倾斜角是 A． B． C． D． 【变式1-1】若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】图中的直线的斜率分别为，则有（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． ▌题型02 直线的斜率求算方法 法一：定义法： 已知直线的倾斜角为，且，则该直线的斜率 法二：公式法： 经过两点，的直线的斜率公式：． 注意：①斜率公式与两点的顺序无关，即 ②特别地：当时，；此时直线平行于轴或与轴重合；当时，不存在，此时直线的倾斜角为，直线与y轴平行或重合． 法三：数形结合求斜率范围 已知一条线段的端点及线段外一点，求过点的直线与线段有交点的情况下直线的斜率的取值范围，若直线的斜率均存在，则步骤如下： 第一步：连接 第二步：由斜率公式求出 第三步：结合图象逆时针旋转（递增），当接近垂直时为，一旦跨过垂直线则为 逆时针旋转（仍为递增）. 【典例2】已知点，直线的倾斜角，那么的取值范围是__________． 【变式2-1】已知三点共线，则实数的值为______. 【变式2-2】已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． ▌题型03 两条直线的夹角公式 直线的方程为，直线的方程为 则直线与直线的夹角公式 【典例3】设常数，若直线与直线的夹角为，则______. 【变式3-1】已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 【变式3-2】已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【变式3-3】已知直线过点； (1)若直线与的夹角为，求直线的方程； (2)若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； ▌题型04 平行与垂直定理 Ⅰ：平行定理 ①当两条直线的斜率存在时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定 设两条直线分别为：，： 若，则的倾斜角相等，即由，可得，即，此时；反之也成立． 所以有且 ②当两条直线的斜率都不存在时，二者的倾斜角均为，若不重合，则它们也是平行直线 注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论： 设两条直线分别为：，： 可得（其中分母不为0） Ⅱ：垂直定理 ①当两条直线的斜率存在且不为0时，均可化成它的斜截式方程， 即 ②两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直． 由①②得，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般地，或一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零． 注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论： 设两条直线分别为：，： 可得 【典例4】若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【变式4-1】已知直线：和直线：，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. ▌题型05 平行与垂直的直线方程求法 ①设直线， 则与平行的直线方程为； 与垂直的直线方程为. ②定点问题 把含参直线方程化为即可得出定点坐标. ③过交点系方程 经过两直线与交点的直线系方程为，其中是待定系数． 【典例5】求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【变式5-1】（多选）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【变式5-2】经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的方程： (2)若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线倾斜角·斜率·平行·垂直五大模型 （题型突破·举一反三） ▌题型01 直线的倾斜角与斜率 【典例1】【答案】C 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】D ▌题型02 直线的斜率求算方法 【典例2】【答案】 【变式2-1】【答案】4 【变式2-2】【答案】B 【变式2-3】【答案】 ▌题型03 两条直线的夹角公式 【典例3】【答案】或 【变式3-1】【答案】或 【变式3-2】【答案】或 【变式3-3】【答案】(1)或 (2)或或或 ▌题型04 平行与垂直定理 【典例4】【答案】B 【变式4-1】【答案】C 【变式4-2】【答案】D 【变式4-3】【答案】6 ▌题型05 平行与垂直的直线方程求法 【典例5】【答案】(1)(2) 【变式5-1】【答案】AC 【变式5-2】【答案】A 【变式5-3】【答案】(1)(2) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线倾斜角·斜率·平行·垂直五大模型 （题型突破·举一反三） 题型01 直线的倾斜角与斜率 题型02 直线的斜率求算方法 题型03 两条直线的夹角公式 题型04 平行与垂直定理 题型05 平行与垂直的直线方程求法 ▌题型01 直线的倾斜角与斜率 ①倾斜角与斜率（角度问题） Ⅰ从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角． Ⅱ规定：直线与轴平行或重合时，直线的倾斜角为． Ⅲ直线倾斜角的取值范围是：． Ⅳ在同一直角坐标系下，任何一条直线都有倾斜角且唯一，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． Ⅴ直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，即()．它从另一个方面反映了直线的倾斜程度． 注意：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率，当时，；当时，；当时，k不存在，当时，．即：斜率的取值范围为． 【典例1】直线 （t为参数）的倾斜角是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设法从参数方程中消去参数，再借助直线斜率的定义求解. 【详解】由得，消去参数得 因为 即有 所以此直线的倾斜角为 故选：C 【变式1-1】若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合斜率、倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】因为直线恒过点， 直线与坐标轴的交点分别为， 直线的斜率，此时倾斜角为； 直线的斜率不存在，此时倾斜角为； 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 【变式1-2】图中的直线的斜率分别为，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果. 【详解】由图象可得，， 故选：C 【变式1-3】直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. ▌题型02 直线的斜率求算方法 法一：定义法： 已知直线的倾斜角为，且，则该直线的斜率 法二：公式法： 经过两点，的直线的斜率公式：． 注意：①斜率公式与两点的顺序无关，即 ②特别地：当时，；此时直线平行于轴或与轴重合；当时，不存在，此时直线的倾斜角为，直线与y轴平行或重合． 法三：数形结合求斜率范围 已知一条线段的端点及线段外一点，求过点的直线与线段有交点的情况下直线的斜率的取值范围，若直线的斜率均存在，则步骤如下： 第一步：连接 第二步：由斜率公式求出 第三步：结合图象逆时针旋转（递增），当接近垂直时为，一旦跨过垂直线则为 逆时针旋转（仍为递增）. 【典例2】已知点，直线的倾斜角，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先根据倾斜角的取值范围确定直线斜率的取值范围，再利用表示斜率，解不等式即可． 【详解】因为直线的倾斜角，可得直线的斜率， 又因为，可得直线的斜率，解得， 即的范围为， 故答案为：． 【变式2-1】已知三点共线，则实数的值为______. 【答案】4 【分析】根据A，B，C三点共线可得，然后利用两点间的斜率公式代入求解即可. 【详解】因为三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为：. 【变式2-2】已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 【变式2-3】若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】确定线段端点与直线的位置关系，先代入端点计算，再解不等式即可. 【详解】将 代入直线方程： ， 将 代入直线方程： ， 因为直线 与线段 有公共点， 所以，所以解集为 ， 即实数 的取值范围为 ， 故答案为：. ▌题型03 两条直线的夹角公式 直线的方程为，直线的方程为 则直线与直线的夹角公式 【典例3】设常数，若直线与直线的夹角为，则______. 【答案】或 【分析】分别设出两直线的倾斜角，根据斜率公式列出方程即可求解. 【详解】依题意，设直线与直线的倾斜角分别为，则； 又，所以； 又直线与直线的夹角为， 所以当时， ，即，此时直线的斜率不存在，即； 所以当时， ，即，解得；所以，即，解得； 综上，或. 故答案为：或. 【变式3-1】已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 【答案】或 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】的斜率为，所以其倾斜角为， 如图，直线恒过点,若直线与直线的夹角为， 则的倾斜角为或者，所以斜率为或．    【变式3-2】已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 【变式3-3】已知直线过点； (1)若直线与的夹角为，求直线的方程； (2)若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】(1)利用两直线的夹角公式，即可列方程求解斜率，然后求直线方程； (2)利用设直线方程求与坐标轴的横纵截距，结合面积可得斜率方程求解即可. 【详解】（1）已知，则直线斜率， 设​斜率为 ​，两直线夹角，由两直线夹角公式： 代入得： ​，整理得，解得 ​或， 结合过，整理得的方程为：或 ； （2）设斜率为，方程为，令得：纵截距， 令得：横截距， 由题意面积， 整理得： ，分情况求解： 当时，方程化为，解得或； 当时，方程化为，解得或， 综上可得直线的斜率为或或或. ▌题型04 平行与垂直定理 Ⅰ：平行定理 ①当两条直线的斜率存在时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定 设两条直线分别为：，： 若，则的倾斜角相等，即由，可得，即，此时；反之也成立． 所以有且 ②当两条直线的斜率都不存在时，二者的倾斜角均为，若不重合，则它们也是平行直线 注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论： 设两条直线分别为：，： 可得（其中分母不为0） Ⅱ：垂直定理 ①当两条直线的斜率存在且不为0时，均可化成它的斜截式方程， 即 ②两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直． 由①②得，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般地，或一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零． 注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论： 设两条直线分别为：，： 可得 【典例4】若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 【变式4-1】已知直线：和直线：，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知直线：，可变形为，其斜率为， 直线：，可变形为，其斜率为， 因为， 所以，解得． 【变式4-2】已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则线段的垂直平分线的方向向量为， 又线段中点为，则线段的垂直平分线为. 【变式4-3】在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 【答案】6 【详解】设关于直线的对称点为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立. 而， 解得，故，故直线，所以. 故的最小值为6. ▌题型05 平行与垂直的直线方程求法 ①设直线， 则与平行的直线方程为； 与垂直的直线方程为. ②定点问题 把含参直线方程化为即可得出定点坐标. ③过交点系方程 经过两直线与交点的直线系方程为，其中是待定系数． 【典例5】求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂直的直线的斜率乘积为，从而求解直线方程. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的直线方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为. 【变式5-1】（多选）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【详解】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. 【变式5-2】经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两直线平行斜率相等先求出直线的斜率，再利用点斜式计算方程. 【详解】已知，则，斜率， 经过点的方程为：，整理得. 故选：A 【变式5-3】已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的方程： (2)若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出BC的斜率，从而可求BC边的高的斜率，由此利用点斜式方程能求出BC边的高所在直线的方程． （2）利用中点坐标公式求出，，由此能求出过点M且平行于边的直线方程． 【详解】（1）因为，所以， 所以边上的高所在直线的斜率为，又， 所以边上的高所在直线的方程为， 即； （2）因为，且点是线段的中点， 所以，即， 又，所以， 又因为直线经过点且平行于直线，所以， 所以直线的方程为，即． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $