第1章 周末练4 章末检测试卷一(第1章)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 聚焦集合、命题与不等式的章末检测，以题载法构建从概念辨析到综合应用的递进训练，渗透抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与逻辑|5题（1-4,9）|集合运算三步法（化简→定义→结果）、命题否定规则、充要条件判定（范围法）|从集合基本概念到逻辑关系，形成概念→判定→应用链条| |不等式应用|7题（5,6,8,13-15,17）|基本不等式构造（“1”的代换、换元法）、含参不等式分类讨论|从不等式性质到最值求法，体现性质→变形→应用逻辑| |综合解答|3题（18-19）|实际问题建模（函数浓度模型）、分类整合思想|综合集合、不等式知识，培养数学应用与创新意识|

周末练4　章末检测试卷一(第一章) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知集合A＝{x|x－2≤0}，B＝N，则集合A∩B等于(　　) A.{0，1，2} B.{x|x≤2} C.{1，2} D.{x|0≤x≤2} 答案　A 解析　由题意得A＝{x|x≤2}， ∴A∩B＝{0，1，2}. 2.命题“∀x∈R，2x2＝3x”的否定是(　　) A.∀x∉R，2x2≠3x B.∀x∈R，2x2≠3x C.∃x∉R，2x2≠3x D.∃x∈R，2x2≠3x 答案　D 3.已知p：－1<x<1，q：x≥－2，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若－1<x<1，则必有x≥－2成立， 而当x≥－2时，－1<x<1不一定成立，即p⇒q成立，反之不成立，所以p是q的充分不必要条件. 4.若p：(x＋1)(x－2)≤0，q：≤0，则p为q的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件 答案　B 解析　由(x＋1)(x－2)≤0得－1≤x≤2，由≤0得－2<x≤2，所以p⇒q，但qp，所以p为q的充分不必要条件. 5.已知实数a，b满足a>0，b>1，且a＋b＝5，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为a>0，b>1，且a＋b＝5，所以b－1>0， 则[a＋(b－1)]× ＝≥ ＝，当且仅当，即a＝8－4，b＝4－3时，等号成立. 6.已知命题p：“∀x∈R，ax2＋2x＋3>0”为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　若命题p为真命题， ①若a＝0，则不等式等价为2x＋3>0对∀x∈R不成立； ②若a≠0，则解得a>， ∴使命题p为真命题的a的取值范围为， ∴使命题p为假命题的a的取值范围是. 7.已知当≤x≤2时，y1＝x2＋bx＋c(b，c∈R)与y2＝在同一点取得相同的最小值，那么当≤x≤2时，y1＝x2＋bx＋c的最大值是(　　) A. B.4 C.8 D. 答案　B 解析　y2＝＝x＋1＋，≤x≤2. 当x＝1时，y2取得最小值3， 所以y1＝(x－1)2＋3. 所以当x＝2时，(y1)max＝4. 8.已知a>0，b>1，且a＋b＝2，则的最小值为(　　) A.13 B.14 C.15 D.16 答案　C 解析　∵a>0，b>1且a＋b＝2， ∴a＋b－1＝1，故＝a＋＋(b－1)＋2＋＝3＋＝3＋[a＋(b－1)] ＝3＋3＋＋3 ≥9＋2 ＝9＋6＝15，当且仅当且a＋b＝2， 即a＝，b＝时取“＝”. 故的最小值为15. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有(　　) A.3∈A B.{－3}∈A C.∅⊆A D.{3，－3}⊆A 答案　ACD 解析　A＝{x|x2－9＝0}＝{－3，3}， 对于A，3∈A，故A正确； 对于B，{－3}⊆A，集合与集合之间的关系符号错误，故B不正确； 对于C，∅⊆A，故C正确； 对于D，{3，－3}⊆A，故D正确. 10.若“x2＋3x－4<0”是“x2－(2k＋3)x＋k2＋3k>0”的充分不必要条件，则实数k可以是(　　) A.－8 B.－5 C.1 D.4 答案　ACD 解析　由x2＋3x－4<0，解得－4<x<1， 令A＝{x|－4<x<1}， x2－(2k＋3)x＋k2＋3k>0，即(x－k)[x－(k＋3)]>0，解得x<k或x>k＋3， 令B＝{x|x<k或x>k＋3}. 由题意知AB，所以k≥1或k＋3≤－4， 即k∈(－∞，－7]∪[1，＋∞). 11.当一个非空数集G满足“若任意a，b∈G，则a＋b，a－b，ab∈G，且b≠0时，∈G”时，我们称G就是一个数域，以下关于数域的说法正确的有(　　) A.0是任何数域的元素 B.若数域G有非零元素，则2 024∈G C.集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个数域 D.有理数集是一个数域 答案　ABD 解析　当a＝b时，由数域的定义可知，若a，b∈G，则有a－b∈G，即0∈G，故A正确； 当a＝b≠0时，由数域的定义可知，若a，b∈G，则有∈G，即1∈G，若1∈G，则1＋1＝2∈G，则2＋1＝3∈G，…，1＋2 023＝2 024∈G，故B正确； 当a＝2∈P，b＝4∈P时，∉P，故C错误； 对任意a，b∈Q，则a＋b，a－b，ab∈Q，且b≠0时，∈Q，所以有理数集是一个数域，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4＝0}，则(∁RS)∪T＝　　　　.  答案　{x|x≤－2或x＝1} 解析　∁RS＝{x|x≤－2}，T＝{x|x2＋3x－4＝0} ＝{－4，1}.所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2或x＝1}. 13.能说明“若a>b，则a2>b2”为假命题的一组a，b的值依次为　　　　.  答案　1，－3(答案不唯一) 解析　由不等式的性质，若a>b>0，则a2>b2， 可通过构造a，b一正一负或两个同负的反例即可. 比如，a＝1，b＝－3或者a＝－1，b＝－3. 14.若关于x的不等式x＋≥5在x>a时恒成立，则实数a的最小值为　　　　.  答案　1 解析　关于x的不等式x＋≥5在x>a时恒成立，即x－a＋≥5－a在x>a时恒成立，由x>a，可得x－a>0，则x－a＋≥2＝4，当且仅当x－a＝2，即x＝a＋2时，x－a＋取得最小值4， 所以5－a≤4，解得a≥1，故a的最小值为1. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|1<x<a}，其中a为实常数. (1)若a＝，求A∩B；(6分) (2)若B⊆A，求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)当a＝时，B＝， 又A＝{x|1<x<2}，∴A∩B＝. (2)当a≤1时，集合B＝∅满足B⊆A； 当a>1时，要使得B⊆A，则需满足a≤2， 即满足此种情况的a的取值范围为1<a≤2. 综上可知，当B⊆A时，实数a的取值范围为{a|a≤2}. 16.(15分)已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}. (1)若a＝3，求(∁RP)∩Q；(6分) (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.(9分) 解　因为P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0. (1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}， ∁RP＝{x|x<4，或x>7}， Q＝{x|－2≤x≤5}， 所以(∁RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}. (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件， 则PQ， 即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a≤2， 即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}. 17.(15分)(1)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值；(7分) (2)当x>－1时，求的最小值.(8分) 解　(1)xy＝2x＋y＋6≥2＋6， 令＝t，可得t2－2t－6≥0， 又∵t>0，解得t≥3， 故xy的最小值为18. (2)设x＋1＝t，则x＝t－1(t>0)， ∴题中式子变为 ＝t＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当t＝，即t＝2，x＝1时，取等号， ∴的最小值为9. 18.(17分)设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0. 解　(1)当a＝0时，原不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}. (2)当a≠0时，原不等式可化为(ax＋1)(x－2)>0，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－. ①当a<0时，则 (ⅰ)当－<2，即a<－时， 解不等式得－<x<2， 即原不等式的解集为； (ⅱ)当－＝2，即a＝－时，不等式无解， 即原不等式的解集为∅； (ⅲ)当－>2，即－<a<0时， 解不等式得2<x<－， 即原不等式的解集为. ②当a>0时，－<2， 解不等式得x<－或x>2， 即原不等式的解集为. 综上，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>2}； 当a＝－时，原不等式的解集为∅； 当a<－时，原不等式的解集为； 当－<a<0时，原不等式的解集为； 当a>0时，原不等式的解集为. 19.(17分)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y＝－1；当4<x≤10时，y＝5－x.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用. (1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达几天？(7分) (2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值.(精确到0.1，参考数据：≈1.4)(10分) 解　(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂， 所以浓度y1可表示为：当0≤x≤4时，y1＝－4； 当4<x≤10时，y1＝20－2x. 则当0≤x≤4时，由－4≥4，解得0≤x<8， 所以此时0≤x≤4； 当4<x≤10时，由20－2x≥4，解得x≤8， 所以此时4<x≤8. 综上得0≤x≤8.故若一次喷洒4个单位的净化剂， 则有效净化时间可达8天. (2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天， 浓度y2＝2＋a＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4. 因为4≤14－x≤8，而1≤a≤4，则1≤≤2， 所以4≤4≤8，故y2≥8－a－4. 当且仅当14－x＝4时，y2有最小值为8－a－4. 令8－a－4≥4，即a－8＋8≤0， 解得4－2≤≤2，所以24－16≤a≤4， 所以a的最小值为24－16≈1.6. 学科网（北京）股份有限公司 $